Metoder för att lösa andragradsekvationer. Kvadratisk ekvation

Problemet är välkänt från matematiken. De initiala data här är koefficienterna a, b, c. Lösningen i det allmänna fallet är två rötter x 1 och x 2, som beräknas med formlerna:

Alla värden som används i detta program är av verklig typ.

alg rötter till en andragradsekvation

sak a, b, c, xl, x2, d

tidigt mata in a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b–Öd)/(2a)

utgång x1, x2

Svagheten i en sådan algoritm är synlig för blotta ögat. Han äger inte den viktigaste egendomen tillämpas på kvalitativa algoritmer: universalitet i förhållande till initialdata. Oavsett värdena för de initiala uppgifterna måste algoritmen leda till ett visst resultat och nå slutet. Resultatet kan bli ett numeriskt svar, men det kan också vara ett budskap om att med sådan data har problemet ingen lösning. Stopp i mitten av algoritmen på grund av omöjligheten att utföra någon operation är inte tillåtna. Samma egenskap i litteraturen om programmering kallas effektiviteten av algoritmen (i alla fall måste något resultat erhållas).

För att bygga en universell algoritm är det först nödvändigt att noggrant analysera det matematiska innehållet i problemet.

Lösningen av ekvationen beror på värdena för koefficienterna a, b, c. Här är en analys av detta problem (vi begränsar oss bara till att hitta verkliga rötter):

om a=0, b=0, c=0, så är vilket x som helst en lösning till ekvationen;

om a=0, b=0, c¹0, så har ekvationen inga lösningar;

om a=0, b¹0, då detta linjär ekvation, som har en lösning: x=–c/b;

om a¹0 och d=b 2 -4ac³0, så har ekvationen två reella rötter (formlerna ges ovan);

om a¹0 och d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Blockdiagram av algoritmen:

Samma algoritm på algoritmiskt språk:

alg rötter till en andragradsekvation

sak a, b, c, d, xl, x2

tidigt mata in a, b, c

om a=0

sedan om b=0

sedan om c=0

sedan mata ut "valfritt x är en lösning"

annat skriv "inga lösningar"

annat x:= -c/b

annat d:=b2–4ac

om och d<0

sedan utgång "inga riktiga rötter"

annat e xl:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)

utgång “x1=”,x1, “x2=”,x2

Denna algoritm återanvänder grenstruktur kommando. Den allmänna uppfattningen av grenkommandot i flödesscheman och i det algoritmiska språket är som följer:

Först kontrolleras "villkoret" (relationen, det logiska uttrycket beräknas). Om villkoret är sant, exekveras "serie 1" - sekvensen av kommandon som anges av pilen med inskriptionen "ja" (positiv gren). Annars exekveras "serie 2" (negativ gren). I EL skrivs villkoret efter tjänsteordet "om", den positiva grenen - efter ordet "då", den negativa grenen - efter ordet "annars". Bokstäverna "kv" indikerar slutet av grenen.

Om grenarna i en gren innehåller andra grenar, så har en sådan algoritm strukturen kapslade grenar. Det är denna struktur som algoritmen "rötter till en andragradsekvation" har. I den används för korthets skull istället för orden "ja" respektive "nej", "+" och "-".

Tänk på följande problem: givet ett positivt heltal n. Det krävs för att beräkna n! (n-faktoriell). Kom ihåg definitionen av faktoriell.

Nedan finns ett blockschema över algoritmen. Den använder tre heltalsvariabler: n är ett argument; i är en mellanvariabel; F är resultatet. En spårningstabell byggdes för att kontrollera algoritmens korrekthet. I en sådan tabell, för specifika värden av initialdata, spåras förändringarna i variablerna som ingår i algoritmen med steg. Denna tabell är sammanställd för fallet n=3.

Spåret bevisar riktigheten av algoritmen. Låt oss nu skriva denna algoritm på ett algoritmiskt språk.

alg Faktoriell

hela n, jag, F

tidigt ingång n

F:=1; i:=1

Hejdå i£n, upprepa

nc F:=F´i

Denna algoritm har en cyklisk struktur. Algoritmen använder strukturkommandot "loop-while" eller "loop with precondition". Den allmänna uppfattningen av kommandot "loop-bye" i flödesscheman och i EL är som följer:

Exekveringen av en serie kommandon (loopkropp) upprepas medan loopvillkoret är sant. När villkoret blir falskt avslutas slingan. Serviceorden "nts" och "kts" betecknar början av cykeln respektive slutet av cykeln.

En loop med en förutsättning är den huvudsakliga, men inte den enda formen av organisering av cykliska algoritmer. Ett annat alternativ är slinga med postcondition. Låt oss återgå till algoritmen för att lösa en andragradsekvation. Det kan närma sig från denna position: om a=0 är detta inte längre en andragradsekvation och den kan ignoreras. I det här fallet kommer vi att anta att användaren gjorde ett misstag när han skrev in data och bör uppmanas att upprepa inmatningen. Med andra ord kommer algoritmen att tillhandahålla kontroll av tillförlitligheten hos de initiala data, vilket ger användaren möjlighet att korrigera felet. Förekomsten av sådan kontroll är ytterligare ett tecken på god programkvalitet.

I allmänhet representeras det strukturella kommandot "loop med postcondition" eller "loop-before" enligt följande:

Det är här slingavslutningsvillkoret används. När det blir sant avslutas loopen.

Låt oss komponera en algoritm för att lösa följande problem: givet två naturliga tal M och N. Det krävs för att beräkna deras största gemensamma divisor - gcd(M,N).

Detta problem löses med en metod som kallas Euklids algoritm. Hans idé är baserad på egenskapen att om M>N, då gcd(M

1) om talen är lika, ta sedan deras totala värde som ett svar; annars, fortsätt exekveringen av algoritmen;

2) bestämma det största av siffrorna;

3) ersätt det större antalet med skillnaden mellan de större och mindre värdena;

4) återgå till genomförandet av punkt 1.

Blockdiagrammet och algoritmen i AL kommer att se ut som följer:

Algoritmen har en loopstruktur med kapslad förgrening. Gör din egen spårning av denna algoritm för fallet M=18, N=12. Resultatet är gcd=6, vilket uppenbarligen är sant.

Bibliografisk beskrivning: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Solutions Kvadratisk ekvation// Ung vetenskapsman. - 2016. - Nej 6.1. - S. 17-20..04.2019).

Vårt projekt är dedikerat till sätten att lösa andragradsekvationer. Syftet med projektet: att lära sig att lösa andragradsekvationer på sätt som inte ingår i skolans läroplan. Uppgift: hitta alla möjliga sätt att lösa andragradsekvationer och lära dig att använda dem själv och introducera klasskamrater för dessa metoder.

Vad är "kvadratiska ekvationer"?

Andragradsekvation- formens ekvation yxa2 + bx + c = 0, var a, b, c- några siffror ( a ≠ 0), x- okänd.

Talen a, b, c kallas andragradsekvationens koefficienter.

a kallas den första koefficienten;
b kallas den andra koefficienten;
c - gratis medlem.

Och vem var den första som "uppfann" andragradsekvationer?

Vissa algebraiska tekniker för att lösa linjära och andragradsekvationer var kända så tidigt som för 4000 år sedan i det antika Babylon. De funna forntida babyloniska lertavlor, daterade någonstans mellan 1800 och 1600 f.Kr., är det tidigaste beviset på studiet av andragradsekvationer. Samma tabletter innehåller metoder för att lösa vissa typer av andragradsekvationer.

Behovet av att lösa ekvationer inte bara av den första utan också av den andra graden i forntida tider orsakades av behovet av att lösa problem relaterade till att hitta områden med land och markarbeten av militär natur, såväl som utvecklingen av astronomi och matematiken i sig.

Regeln för att lösa dessa ekvationer, som anges i de babyloniska texterna, sammanfaller i huvudsak med den moderna, men det är inte känt hur babylonierna kom till denna regel. Nästan alla kilskriftstexter som hittills hittats ger bara problem med lösningar angivna i form av recept, utan någon indikation på hur de hittats. Trots den höga utvecklingen av algebra i Babylon saknar kilskriftstexterna konceptet med ett negativt tal och allmänna metoder för att lösa andragradsekvationer.

Babyloniska matematiker från omkring 300-talet f.Kr. använde kvadratkomplementmetoden för att lösa ekvationer med positiva rötter. Omkring 300 f.Kr. Euclid kom med en mer allmän geometrisk lösningsmetod. Den första matematikern som hittade lösningar på en ekvation med negativa rötter i form av en algebraisk formel var en indisk vetenskapsman. Brahmagupta(Indien, 700-talet e.Kr.).

Brahmagupta beskrev en allmän regel för att lösa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form:

ax2 + bx = c, a>0

I denna ekvation kan koefficienterna vara negativa. Brahmaguptas styre sammanfaller i huvudsak med vårt.

I Indien var offentliga tävlingar för att lösa svåra problem vanliga. I en av de gamla indiska böckerna sägs följande om sådana tävlingar: "Som solen överglänser stjärnorna med sin briljans, så kommer en lärd person att överglänsa äran i offentliga möten, föreslå och lösa algebraiska problem." Uppgifterna var ofta klädda i poetisk form.

I en algebraisk avhandling Al-Khwarizmi en klassificering av linjära och andragradsekvationer ges. Författaren listar 6 typer av ekvationer som uttrycker dem enligt följande:

1) "Kvadrater är lika med rötter", dvs ax2 = bx.

2) "Kvadrater är lika med tal", dvs ax2 = c.

3) "Rötterna är lika med antalet", dvs ax2 = c.

4) "Kvadrater och tal är lika med rötter", dvs ax2 + c = bx.

5) "Kvadrater och rötter är lika med tal", dvs ax2 + bx = c.

6) "Rötter och tal är lika med kvadrater", dvs bx + c == ax2.

För Al-Khwarizmi, som undvek användningen av negativa tal, är termerna för var och en av dessa ekvationer adderingar, inte subtraktioner. I detta fall tas uppenbarligen inte hänsyn till ekvationer som inte har positiva lösningar. Författaren beskriver metoderna för att lösa dessa ekvationer, med hjälp av metoderna från al-jabr och al-muqabala. Hans beslut sammanfaller naturligtvis inte helt med vårt. För att inte tala om det faktum att det är rent retoriskt, det bör till exempel noteras att när man löser en ofullständig andragradsekvation av den första typen tar Al-Khwarizmi, liksom alla matematiker före 1600-talet, inte hänsyn till nollan. lösning, förmodligen för att det i specifika praktiska uppgifter inte spelar någon roll. När man löser fullständiga andragradsekvationer, anger Al-Khwarizmi reglerna för att lösa dem med hjälp av särskilda numeriska exempel, och sedan deras geometriska bevis.

Former för att lösa andragradsekvationer på modellen av Al-Khwarizmi i Europa beskrevs först i "Abacusboken", skriven 1202. italiensk matematiker Leonard Fibonacci. Författaren utvecklade självständigt några nya algebraiska exempel på problemlösning och var den första i Europa som närmade sig införandet av negativa tal.

Denna bok bidrog till spridningen av algebraisk kunskap inte bara i Italien utan även i Tyskland, Frankrike och andra europeiska länder. Många uppgifter från denna bok överfördes till nästan alla europeiska läroböcker på 1300-1600-talen. Den allmänna regeln för att lösa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form x2 + bx = c med alla möjliga kombinationer av tecken och koefficienter b, c, formulerades i Europa 1544. M. Stiefel.

Vieta har en allmän härledning av formeln för att lösa en andragradsekvation, men Vieta kände bara igen positiva rötter. italienska matematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli bland de första på 1500-talet. ta hänsyn, förutom positiva, och negativa rötter. Endast under XVII-talet. tack vare arbetet Girard, Descartes, Newton och andra vetenskapsmän tar sättet att lösa andragradsekvationer en modern form.

Fundera på flera sätt att lösa andragradsekvationer.

Standardsätt att lösa andragradsekvationer från skolans läroplan:

Faktorisering av vänster sida av ekvationen.
Hel kvadratisk urvalsmetod.
Lösning av andragradsekvationer med formel.
Grafisk lösning av en andragradsekvation.
Lösning av ekvationer med hjälp av Vietas sats.

Låt oss uppehålla oss mer i detalj vid lösningen av reducerade och icke-reducerade kvadratiska ekvationer med hjälp av Vieta-satsen.

Kom ihåg att för att lösa de givna andragradsekvationerna räcker det att hitta två tal så att produkten av vilka är lika med den fria termen och summan är lika med den andra koefficienten med motsatt tecken.

Exempel.x 2 -5x+6=0

Du måste hitta siffror vars produkt är 6 och summan är 5. Dessa siffror blir 3 och 2.

Svar: x 1 =2, x 2 =3.

Men du kan använda den här metoden för ekvationer där den första koefficienten inte är lika med en.

Exempel.3x 2 +2x-5=0

Vi tar den första koefficienten och multiplicerar den med den fria termen: x 2 +2x-15=0

Rötterna till denna ekvation kommer att vara tal vars produkt är - 15, och summan är - 2. Dessa tal är 5 och 3. För att hitta rötterna till den ursprungliga ekvationen dividerar vi de erhållna rötterna med den första koefficienten.

Svar: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lösning av ekvationer med metoden "överföring".

Betrakta andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0, där a≠0.

Om vi multiplicerar båda dess delar med a får vi ekvationen a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Låt ax = y, varav x = y/a; då kommer vi fram till ekvationen y 2 + by + ac = 0, vilket är ekvivalent med den givna. Vi hittar dess rötter vid 1 och vid 2 med hjälp av Vieta-satsen.

Slutligen får vi x 1 = y 1 /a och x 2 = y 2 /a.

Med denna metod multipliceras koefficienten a med den fria termen, som om den "överförs" till den, därför kallas den för "överföringsmetoden". Denna metod används när det är lätt att hitta rötterna till en ekvation med hjälp av Vietas sats och, viktigast av allt, när diskriminanten är en exakt kvadrat.

Exempel.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Låt oss "överföra" koefficienten 2 till den fria termen och genom att byta ut får vi ekvationen y 2 - 11y + 30 = 0.

Enligt Vietas inversa sats

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Svar: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Egenskaper för koefficienterna för en andragradsekvation.

Låt andragradsekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 ges.

1. Om a + b + c \u003d 0 (dvs summan av ekvationens koefficienter är noll), då x 1 \u003d 1.

2. Om a - b + c \u003d 0, eller b \u003d a + c, då x 1 \u003d - 1.

Exempel.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Sedan a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), sedan x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Svar: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exempel.132x 2 + 247x + 115 = 0

Därför att a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), sedan x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Svar: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Det finns andra egenskaper hos koefficienterna för en andragradsekvation. men deras användning är mer komplicerad.

8. Lösa andragradsekvationer med hjälp av ett nomogram.

Fig 1. Nomogram

Detta är en gammal och för närvarande bortglömd metod för att lösa andragradsekvationer, placerad på s. 83 i samlingen: Bradis V.M. Fyrsiffriga matematiska tabeller. - M., utbildning, 1990.

Tabell XXII. Nomogram för ekvationslösning z2 + pz + q = 0. Detta nomogram tillåter, utan att lösa andragradsekvationen, att bestämma ekvationens rötter genom dess koefficienter.

Nomogrammets kurvlinjära skala är uppbyggd enligt formlerna (fig. 1):

Förutsatt OS = p, ED = q, OE = a(alla i cm), från fig. 1 likhet av trianglar SAN och CDF vi får andelen

varifrån, efter substitutioner och förenklingar, ekvationen följer z 2 + pz + q = 0, och brevet z betyder etiketten för vilken punkt som helst på den böjda skalan.

Ris. 2 Lösa en andragradsekvation med hjälp av ett nomogram

Exempel.

1) För ekvationen z 2 - 9z + 8 = 0 nomogrammet ger rötterna z 1 = 8,0 och z 2 = 1,0

Svar: 8,0; 1.0.

2) Lös ekvationen med hjälp av nomogrammet

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Dividera koefficienterna för denna ekvation med 2, vi får ekvationen z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogrammet ger rötterna z 1 = 4 och z 2 = 0,5.

Svar: 4; 0,5.

9. Geometrisk metod för att lösa andragradsekvationer.

Exempel.X 2 + 10x = 39.

I originalet är detta problem formulerat enligt följande: "Kvadraten och tio rötter är lika med 39."

Tänk på en kvadrat med sidan x, rektanglar är byggda på dess sidor så att den andra sidan av var och en av dem är 2,5, därför är strandens yta 2,5x. Den resulterande siffran kompletteras sedan med en ny kvadrat ABCD, och fyra lika stora rutor fylls i hörnen, sidan på var och en av dem är 2,5 och arean är 6,25

Ris. 3 Grafiskt sätt att lösa ekvationen x 2 + 10x = 39

Arean S av kvadrat ABCD kan representeras som summan av ytorna: den ursprungliga kvadraten x 2, fyra rektanglar (4∙2,5x = 10x) och fyra bifogade kvadrater (6,25∙4 = 25), d.v.s. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Genom att ersätta x 2 + 10x med talet 39 får vi att S \u003d 39 + 25 \u003d 64, vilket innebär att sidan av kvadraten ABCD, dvs. segment AB \u003d 8. För den önskade sidan x av den ursprungliga kvadraten får vi

10. Lösning av ekvationer med Bezouts sats.

Bezouts teorem. Resten efter att ha dividerat polynomet P(x) med binomet x - α är lika med P(α) (det vill säga värdet av P(x) vid x = α).

Om talet α är roten till polynomet P(x), så är detta polynom delbart med x -α utan rest.

Exempel.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Dividera P(x) med (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, eller x-3=0, x=3; Svar: x1 =2, x2 =3.

Slutsats: Förmågan att snabbt och rationellt lösa andragradsekvationer är helt enkelt nödvändig för att lösa mer komplexa ekvationer, till exempel rationella bråkekvationer, ekvationer med högre potenser, biquadratiska ekvationer och i gymnasiet trigonometriska, exponentiella och logaritmiska ekvationer. Efter att ha studerat alla metoder som hittats för att lösa andragradsekvationer kan vi råda klasskamrater, förutom standardmetoder, att lösa med överföringsmetoden (6) och lösa ekvationer med egenskapen koefficienter (7), eftersom de är mer tillgängliga för förståelse .

Litteratur:

Bradis V.M. Fyrsiffriga matematiska tabeller. - M., utbildning, 1990.
Algebra årskurs 8: lärobok för årskurs 8. Allmän utbildning institutioner Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15:e uppl., reviderad. - M.: Upplysning, 2015
https://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. En guide för lärare. / Ed. V.N. Yngre. - M.: Upplysningen, 1964.

glida 2

Andragradsekvationer cykel av algebra lektioner i 8:an enligt läroboken av A.G. Mordkovich

Lärare MBOU Grushevskaya gymnasieskola Kireeva T.A.

glida 3

Mål: att introducera begreppen i en andragradsekvation, roten till en andragradsekvation; visa lösningar av andragradsekvationer; att bilda förmågan att lösa andragradsekvationer; visa ett sätt att lösa fullständiga andragradsekvationer med hjälp av formeln för rötterna i en andragradsekvation.

glida 4

glida 5

Lite historia Andragradsekvationer i det antika Babylon. Behovet av att lösa ekvationer inte bara av den första utan också av den andra graden, även i antiken orsakades av behovet av att lösa problem relaterade till att hitta områden med land och markarbeten av militär natur, såväl som utvecklingen av astronomi och matematiken i sig. Babylonierna visste hur de skulle lösa andragradsekvationer cirka 2000 år före vår tro. Genom att tillämpa modern algebraisk notation kan man säga att det i deras kilskriftstexter finns, förutom ofullständiga, sådana till exempel fullständiga andragradsekvationer.

glida 6

Regeln för att lösa dessa ekvationer, som anges i de babyloniska texterna, sammanfaller med den moderna, men det är inte känt hur babylonierna kom till denna regel. Nästan alla kilskriftstexter som hittills hittats ger bara problem med lösningar som anges i form av recept, utan någon indikation på hur de hittats. Trots den höga utvecklingen av algebra i Babylonien saknas konceptet med ett negativt tal och allmänna metoder för att lösa andragradsekvationer i kilskriftstexter.

Bild 7

Definition 1. En andragradsekvation är en ekvation av den form där koefficienterna a, b, c är valfria reella tal, och polynomet kallas ett kvadrattrinomium. a är den första eller högsta koefficienten c är den andra koefficienten c är en fri term

Bild 8

Definition 2. En andragradsekvation kallas reducerad om dess ledande koefficient är lika med 1; en andragradsekvation kallas oreducerad om den ledande koefficienten skiljer sig från 1. Exempel. 2 - 5 + 3 = 0 - oreducerad andragradsekvation - reducerad andragradsekvation

Bild 9

Definition 3. En fullständig andragradsekvation är en andragradsekvation där alla tre termer finns. a + in + c \u003d 0 En ofullständig andragradsekvation är en ekvation där inte alla tre termerna är närvarande; är en ekvation för vilken minst en av koefficienterna i, med noll-.

Bild 10

Metoder för att lösa ofullständiga andragradsekvationer.

glida 11

Lös uppgifter nr 24.16 (a, b) Lös ekvationen: eller Svara. eller Svara.

glida 12

Definition 4 Roten till en andragradsekvation är vilket värde som helst på variabeln x där trinomialet försvinner; ett sådant värde på variabeln x kallas också roten till ett kvadrattrinomial.Att lösa en andragradsekvation innebär att hitta alla dess rötter eller att fastställa att det inte finns några rötter.

glida 13

Diskriminanten för en andragradsekvation D 0 D=0 Ekvationen har inga rötter Ekvationen har två rötter Ekvationen har en rot Formler för rötter till en andragradsekvation

Bild 14

D>0 andragradsekvationen har två rötter, som hittas av formlerna Exempel. Lös ekvationen Lösning. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Svar: 1; -3

glida 15

Algoritm för att lösa en andragradsekvation 1. Beräkna diskriminanten D med formeln D = 2. Om D 0 har andragradsekvationen två rötter.

Andragradsekvationer studeras i årskurs 8, så det är inget komplicerat här. Förmågan att lösa dem är avgörande.

En andragradsekvation är en ekvation av formen ax 2 + bx + c = 0, där koefficienterna a , b och c är godtyckliga tal, och a ≠ 0.

Innan vi studerar specifika lösningsmetoder, noterar vi att alla andragradsekvationer kan delas in i tre klasser:

Har inga rötter;
De har exakt en rot;
De har två olika rötter.

Detta är en viktig skillnad mellan kvadratiska och linjära ekvationer, där roten alltid finns och är unik. Hur avgör man hur många rötter en ekvation har? Det finns en underbar sak för detta - diskriminerande.

Diskriminerande

Låt andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0. Då är diskriminanten helt enkelt talet D = b 2 − 4ac .

Denna formel måste vara känd utantill. Var det kommer ifrån är inte viktigt nu. En annan sak är viktig: genom diskriminantens tecken kan du bestämma hur många rötter en andragradsekvation har. Nämligen:

Om D< 0, корней нет;
Om D = 0 finns det exakt en rot;
Om D > 0 kommer det att finnas två rötter.

Observera: diskriminanten indikerar antalet rötter, och inte alls deras tecken, som många av någon anledning tror. Ta en titt på exemplen så förstår du allt själv:

Uppgift. Hur många rötter har andragradsekvationer:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Vi skriver koefficienterna för den första ekvationen och hittar diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten är positiv, så ekvationen har två olika rötter. Vi analyserar den andra ekvationen på samma sätt:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanten är negativ, det finns inga rötter. Den sista ekvationen kvarstår:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten är lika med noll - roten kommer att vara en.

Observera att koefficienter har skrivits ut för varje ekvation. Ja, det är långt, ja, det är tråkigt – men du kommer inte att blanda ihop oddsen och inte göra dumma misstag. Välj själv: hastighet eller kvalitet.

Förresten, om du "fyller din hand", efter ett tag behöver du inte längre skriva ut alla koefficienter. Du kommer att utföra sådana operationer i ditt huvud. De flesta börjar göra detta någonstans efter 50-70 lösta ekvationer - i allmänhet inte så många.

Rötterna till en andragradsekvation

Låt oss nu gå vidare till lösningen. Om diskriminanten D > 0, kan rötterna hittas med formlerna:

Grundformeln för rötterna till en andragradsekvation

När D = 0 kan du använda vilken som helst av dessa formler - du får samma tal, vilket blir svaret. Slutligen, om D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2 x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Första ekvationen:
x 2 - 2 x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ekvationen har två rötter. Låt oss hitta dem:

Andra ekvationen:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ekvationen har återigen två rötter. Låt oss hitta dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Slutligen den tredje ekvationen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ekvationen har en rot. Vilken formel som helst kan användas. Till exempel den första:

Som du kan se från exemplen är allt väldigt enkelt. Om du kan formlerna och kan räkna blir det inga problem. Oftast uppstår fel när negativa koefficienter ersätts i formeln. Här, återigen, kommer tekniken som beskrivs ovan att hjälpa: titta på formeln bokstavligen, måla varje steg - och bli av med misstag mycket snart.

Ofullständiga andragradsekvationer

Det händer att andragradsekvationen skiljer sig något från vad som anges i definitionen. Till exempel:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Det är lätt att se att en av termerna saknas i dessa ekvationer. Sådana andragradsekvationer är ännu lättare att lösa än standardekvationer: de behöver inte ens beräkna diskriminanten. Så låt oss introducera ett nytt koncept:

Ekvationen ax 2 + bx + c = 0 kallas en ofullständig andragradsekvation om b = 0 eller c = 0, d.v.s. koefficienten för variabeln x eller det fria elementet är lika med noll.

Naturligtvis är ett mycket svårt fall möjligt när båda dessa koefficienter är lika med noll: b \u003d c \u003d 0. I det här fallet tar ekvationen formen ax 2 \u003d 0. Uppenbarligen har en sådan ekvation en enda rot: x \u003d 0.

Låt oss överväga andra fall. Låt b \u003d 0, då får vi en ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 + c \u003d 0. Låt oss omvandla det något:

För aritmetiken Roten ur existerar endast från ett icke-negativt tal, den sista likheten är bara meningsfull för (−c /a ) ≥ 0. Slutsats:

Om en ofullständig andragradsekvation av formen ax 2 + c = 0 uppfyller olikheten (−c / a ) ≥ 0, kommer det att finnas två rötter. Formeln ges ovan;
Om (−c/a)< 0, корней нет.

Som du kan se krävdes inte diskriminanten - det finns inga komplicerade beräkningar alls i ofullständiga andragradsekvationer. Det är faktiskt inte ens nödvändigt att komma ihåg olikheten (−c / a ) ≥ 0. Det räcker med att uttrycka värdet på x 2 och se vad som finns på andra sidan likhetstecknet. Om det finns ett positivt tal kommer det att finnas två rötter. Om det är negativt kommer det inte att finnas några rötter alls.

Låt oss nu ta itu med ekvationer av formen ax 2 + bx = 0, där det fria elementet är lika med noll. Allt är enkelt här: det kommer alltid att finnas två rötter. Det räcker att faktorisera polynomet:

Att ta den gemensamma faktorn ur fästet

Produkten är lika med noll när minst en av faktorerna är lika med noll. Det är härifrån rötterna kommer. Avslutningsvis kommer vi att analysera flera av dessa ekvationer: