Aritmetična progresija, kako najti vsoto prvih 8. Aritmetična progresija: kaj je to

Preden se začnemo odločati težave z aritmetično progresijo, razmislite, kaj je številsko zaporedje, saj je aritmetična progresija poseben primer številskega zaporedja.

Številčno zaporedje je številčni niz, katerega vsak element ima svojo zaporedno številko. Elementi tega niza se imenujejo člani zaporedja. Zaporedna številka elementa zaporedja je označena z indeksom:

Prvi element zaporedja;

Peti element zaporedja;

- "n-ti" element zaporedja, t.j. element "stoji v čakalni vrsti" na številki n.

Obstaja odvisnost med vrednostjo zaporednega elementa in njegovo redno številko. Zato lahko zaporedje obravnavamo kot funkcijo, katere argument je zaporedna številka elementa zaporedja. Z drugimi besedami, to lahko rečemo zaporedje je funkcija naravnega argumenta:

Zaporedje je mogoče določiti na tri načine:

1 . Zaporedje je mogoče določiti s tabelo. V tem primeru preprosto nastavimo vrednost vsakega člana zaporedja.

Nekdo se je na primer odločil za osebno upravljanje časa in za začetek izračunati, koliko časa med tednom preživi na VKontakte. Z zapisovanjem časa v tabelo bo dobil zaporedje, sestavljeno iz sedmih elementov:

Prva vrstica tabele vsebuje številko dneva v tednu, druga - čas v minutah. Vidimo, da je v ponedeljek nekdo na VKontakte porabil 125 minut, torej v četrtek - 248 minut, v petek pa le 15.

2 . Zaporedje je mogoče določiti s formulo n-ega člana.

V tem primeru je odvisnost vrednosti elementa zaporedja od njegovega števila izražena neposredno s formulo.

Na primer, če, potem

Da bi našli vrednost zaporednega elementa z dano številko, nadomestimo številko elementa v formulo za n-ti član.

Enako storimo, če moramo najti vrednost funkcije, če je vrednost argumenta znana. Namesto tega v enačbo funkcije nadomestimo vrednost argumenta:

Če npr. , potem

Še enkrat ugotavljam, da je v zaporedju, v nasprotju s poljubno številsko funkcijo, lahko argument le naravno število.

3 . Zaporedje lahko podate s formulo, ki izraža odvisnost vrednosti člana zaporedja s številko n od vrednosti prejšnjih članov. V tem primeru ni dovolj, da poznamo le številko zaporedja, da bi našli njegovo vrednost. Določiti moramo prvega člana ali prvih nekaj članov zaporedja.

Na primer, upoštevajte zaporedje ,

Najdemo lahko vrednosti članov zaporedja v zaporedju, začenši od tretjega:

To pomeni, da se vsakič, ko najdemo vrednost n-ega člana zaporedja, vrnemo na prejšnji dve. Ta način zaporedja se imenuje ponavljajoča se, iz latinske besede ponavljajoče se- Pridi nazaj.

Zdaj lahko definiramo aritmetično progresijo. Aritmetična progresija je preprost poseben primer številčnega zaporedja.

Aritmetično napredovanje se imenuje številčno zaporedje, katerega vsak član je, začenši z drugim, enak prejšnjemu, dodanemu z istim številom.

Številka je poklicana razlika aritmetične progresije. Razlika aritmetične progresije je lahko pozitivna, negativna ali nič.

Če naslov="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} naraščajoče.

Na primer, 2; 5; osem; enajst;...

Če je , potem je vsak člen aritmetične progresije manjši od prejšnjega, progresija pa je upada.

Na primer, 2; -ena; -4; -7;...

Če , potem so vsi člani napredovanja enaki istemu številu in progresija je stacionarni.

Na primer, 2;2;2;2;...

Glavna lastnost aritmetične progresije:

Poglejmo si sliko.

To vidimo

, in hkrati

Če dodamo ti dve enakosti, dobimo:

Obe strani enačbe delimo z 2:

Torej je vsak član aritmetične progresije, začenši od drugega, enak aritmetični sredini dveh sosednjih:

Poleg tega, saj

, in hkrati

, potem

, in zato

Vsak član aritmetične progresije, ki se začne z naslov="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

formula th člana.

Vidimo, da za člane aritmetične progresije veljajo naslednja razmerja:

in končno

Imamo formula n-ega člena.

POMEMBNO! Vsak član aritmetične progresije je mogoče izraziti z in . Če poznate prvi člen in razliko aritmetične progresije, lahko najdete katerega koli od njegovih članov.

Vsota n članov aritmetične progresije.

V poljubni aritmetični progresiji so vsote členov, ki so enako oddaljeni od skrajnih, enaki drug drugemu:

Razmislite o aritmetični progresiji z n člani. Naj je vsota n članov te progresije enaka .

Razporedite pogoje napredovanja najprej v naraščajočem vrstnem redu številk, nato pa v padajočem vrstnem redu:

Združimo ga:

Vsota v vsakem oklepaju je , število parov je n.

Dobimo:

torej vsoto n članov aritmetične progresije je mogoče najti s formulo:

Razmislite reševanje problemov aritmetičnega napredovanja.

1 . Zaporedje je podano s formulo n-ega člana: . Dokaži, da je to zaporedje aritmetična progresija.

Dokažimo, da je razlika med dvema sosednjima členoma zaporedja enaka enakemu številu.

Ugotovili smo, da razlika dveh sosednjih členov zaporedja ni odvisna od njunega števila in je konstanta. Zato je po definiciji to zaporedje aritmetična progresija.

2 . Glede na aritmetično progresijo -31; -27;...

a) Poiščite 31 členov napredovanja.

b) Ugotovite, ali je število 41 vključeno v to progresijo.

a) To vidimo;

Zapišimo formulo za n. člen za našo progresijo.

Na splošno

V našem primeru , Zato

Ali aritmetika - to je vrsta urejenega številčnega zaporedja, katerega lastnosti se preučujejo v šolskem tečaju algebre. Ta članek podrobno obravnava vprašanje, kako najti vsoto aritmetične progresije.

Kaj je to napredovanje?

Preden nadaljujete z obravnavo vprašanja (kako najti vsoto aritmetične progresije), je vredno razumeti, o čem bo govora.

Vsako zaporedje realnih števil, ki ga dobimo z dodajanjem (odštevanjem) neke vrednosti od vsakega prejšnjega števila, se imenuje algebraična (aritmetična) progresija. Ta definicija, prevedena v jezik matematike, ima obliko:

Tu je i redna številka elementa niza a i. Tako, če poznate samo eno začetno številko, lahko preprosto obnovite celotno serijo. Parameter d v formuli se imenuje razlika napredovanja.

Preprosto je mogoče pokazati, da za zaporedje obravnavanih števil velja naslednja enakost:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To pomeni, da bi našli vrednost n-tega elementa po vrstnem redu, dodajte razliko d prvemu elementu a 1 n-1 krat.

Kakšna je vsota aritmetične progresije: formula

Preden podate formulo za navedeni znesek, je vredno razmisliti o preprostem posebnem primeru. Glede na napredovanje naravnih števil od 1 do 10 morate najti njihovo vsoto. Ker je v progresiji (10) malo členov, je mogoče problem rešiti neposredno, torej sešteti vse elemente po vrstnem redu.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vredno je razmisliti o eni zanimivosti: ker se vsak izraz od naslednjega razlikuje za isto vrednost d = 1, bo parno seštevanje prvega z desetim, drugega z devetim in tako naprej dalo enak rezultat . res:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kot lahko vidite, je teh vsot le 5, torej natanko dvakrat manj od števila elementov v seriji. Če nato pomnožite število vsot (5) z rezultatom vsake vsote (11), boste prišli do rezultata, pridobljenega v prvem primeru.

Če te argumente posplošimo, lahko zapišemo naslednji izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ta izraz kaže, da sploh ni treba sešteti vseh elementov v vrsti, dovolj je, da poznamo vrednost prvega a 1 in zadnjega a n , pa tudi skupno število členov n.

Verjame se, da je Gauss prvič pomislil na to enakost, ko je iskal rešitev za problem, ki ga je postavil njegov šolski učitelj: sešteti prvih 100 celih števil.

Vsota elementov od m do n: formula

Formula, podana v prejšnjem odstavku, odgovarja na vprašanje, kako najti vsoto aritmetične progresije (prvih elementov), vendar je pogosto pri nalogah treba sešteti vrsto številk na sredini progresije. Kako narediti?

Na to vprašanje najlažje odgovorimo tako, da razmislimo o naslednjem primeru: najti je treba vsoto členov od mth do n. Za rešitev problema je treba dani segment napredovanja od m do n predstaviti kot nov številski niz. V tej predstavitvi bo m-ti član a m prvi, a n pa bo oštevilčen z n-(m-1). V tem primeru z uporabo standardne formule za vsoto dobimo naslednji izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primer uporabe formul

Če veste, kako najti vsoto aritmetične progresije, je vredno razmisliti o preprostem primeru uporabe zgornjih formul.

Spodaj je številčno zaporedje, poiščite vsoto njegovih članov, začenši s 5. in konča z 12.:

Dane številke kažejo, da je razlika d enaka 3. Z izrazom za n-ti element lahko najdete vrednosti 5. in 12. člena progresije. Izkazalo se je:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Če poznate vrednosti številk na koncih obravnavane algebraične progresije, in tudi če veste, katera števila v seriji zasedajo, lahko uporabite formulo za vsoto, dobljeno v prejšnjem odstavku. Pridobite:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Omeniti velja, da bi to vrednost lahko dobili drugače: najprej poišči vsoto prvih 12 elementov s standardno formulo, nato izračunaj vsoto prvih 4 elementov z isto formulo in nato od prve vsote odštej drugega. .

Težave z aritmetično progresijo obstajajo že od antičnih časov. Pojavili so se in zahtevali rešitev, ker so imeli praktično potrebo.

Torej, v enem od papirusov starega Egipta, ki ima matematično vsebino - Rhindov papir (XIX stoletje pr.n.št.) - vsebuje naslednjo nalogo: razdeli deset meril kruha na deset ljudi, pod pogojem, da je razlika med vsakim od njih ena osmina mere.

In v matematičnih delih starih Grkov so elegantni izreki, povezani z aritmetično progresijo. Tako je Hipsikle iz Aleksandrije (2. stoletje, ki je sestavil številne zanimive probleme in Evklidovim "Elementom" dodal štirinajsto knjigo), oblikoval idejo: "V aritmetični progresiji s sodim številom članov se vsota članov 2. pol. je večja od vsote članov 1. za kvadrat 1/2 članov.

Zaporedje an je označeno. Številke zaporedja se imenujejo njegovi člani in so običajno označene s črkami z indeksi, ki označujejo zaporedno številko tega člana (a1, a2, a3 ... se glasi: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd « in tako naprej).

Zaporedje je lahko neskončno ali končno.

Kaj je aritmetična progresija? Razumemo ga tako, kot ga dobimo s seštevanjem prejšnjega člena (n) z istim številom d, kar je razlika napredovanja.

Če d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, potem se šteje, da se takšno napredovanje povečuje.

Za aritmetično progresijo rečemo, da je končna, če upoštevamo le nekaj njenih prvih členov. Pri zelo velikem številu članov je to že neskončen napredek.

Vsaka aritmetična progresija je podana z naslednjo formulo:

an =kn+b, medtem ko sta b in k nekaj števil.

Trditev, ki je nasprotna, je popolnoma resnična: če je zaporedje podano s podobno formulo, potem je to točno aritmetična progresija, ki ima lastnosti:

Vsak član napredovanja je aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega člana.
Nasprotno: če je od 2. vsak člen aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega, t.j. če je pogoj izpolnjen, je dano zaporedje aritmetična progresija. Ta enakost je tudi znak napredovanja, zato se običajno imenuje značilna lastnost napredovanja.
Na enak način velja izrek, ki odraža to lastnost: zaporedje je aritmetična progresija le, če ta enakost velja za katerega koli od členov zaporedja, začenši z 2.

Značilno lastnost za katera koli štiri števila aritmetične progresije lahko izrazimo s formulo an + am = ak + al, če je n + m = k + l (m, n, k so števila progresije).

V aritmetični progresiji lahko vsak nujen (N-ti) člen najdemo z uporabo naslednje formule:

Na primer: prvi člen (a1) v aritmetični progresiji je podan in je enak trim, razlika (d) pa je enaka štirim. Najti morate petinštirideseti člen tega napredovanja. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) vam omogoča, da določite n-ti član aritmetične progresije skozi katerega koli od njegovih k-tih članov, pod pogojem, da je znan.

Vsota članov aritmetične progresije (ob predpostavki 1. n članov končne progresije) se izračuna na naslednji način:

Sn = (a1+an) n/2.

Če je znan tudi 1. člen, je za izračun primerna druga formula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Vsota aritmetične progresije, ki vsebuje n členov, se izračuna na naslednji način:

Izbira formul za izračune je odvisna od pogojev nalog in začetnih podatkov.

Naravni niz poljubnih števil, kot so 1,2,3,...,n,... je najpreprostejši primer aritmetične progresije.

Poleg aritmetične progresije obstaja še geometrijska, ki ima svoje lastnosti in značilnosti.

Mnogi so slišali za aritmetično progresijo, vendar se vsi ne zavedajo, kaj je. V tem članku bomo podali ustrezno definicijo in obravnavali vprašanje, kako najti razliko aritmetične progresije, in navedli številne primere.

Matematična definicija

Torej, če govorimo o aritmetični ali algebraični progresiji (ti koncepti opredeljujejo isto stvar), potem to pomeni, da obstaja neka vrsta številk, ki izpolnjuje naslednji zakon: vsaki dve sosednji števili v nizu se razlikujeta za isto vrednost. Matematično je to zapisano takole:

Tukaj n pomeni številko elementa a n v zaporedju, število d pa je razlika napredovanja (njegovo ime izhaja iz predstavljene formule).

Kaj pomeni vedeti razliko d? O tem, kako oddaljene so sosednje številke. Vendar je poznavanje d nujen, a ne zadosten pogoj za določitev (obnovitev) celotne progresije. Vedeti morate še eno številko, ki je lahko popolnoma kateri koli element obravnavane serije, na primer 4, a10, vendar se praviloma uporablja prva številka, torej 1.

Formule za določanje elementov napredovanja

Na splošno so zgoraj navedene informacije že dovolj za prehod na reševanje specifičnih težav. Kljub temu, preden je podana aritmetična progresija in bo treba najti njeno razliko, predstavljamo nekaj uporabnih formul, ki olajšajo kasnejši proces reševanja problemov.

Preprosto je pokazati, da je kateri koli element zaporedja s številko n mogoče najti na naslednji način:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Dejansko lahko vsakdo preveri to formulo s preprostim naštevanjem: če zamenjate n = 1, potem dobite prvi element, če nadomestite n = 2, potem izraz daje vsoto prvega števila in razlike itd. .

Pogoji številnih problemov so sestavljeni tako, da je treba za znan par številk, katerih števila so tudi podana v zaporedju, obnoviti celotno vrsto številk (poišči razliko in prvi element). Zdaj bomo to težavo rešili na splošen način.

Torej, recimo, da imamo dva elementa s številkama n in m. Z uporabo zgornje formule lahko sestavimo sistem dveh enačb:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

Za iskanje neznanih količin uporabljamo dobro znano preprosto metodo za reševanje takšnega sistema: levi in desni del odštejemo v parih, enakost pa ostane v veljavi. Imamo:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tako smo izločili eno neznano (a 1). Zdaj lahko zapišemo končni izraz za določanje d:

d = (a n - a m) / (n - m), kjer je n > m

Dobili smo zelo preprosto formulo: za izračun razlike d v skladu s pogoji problema je treba vzeti le razmerje razlik med samimi elementi in njihovimi serijskimi številkami. Pozornost je treba nameniti eni pomembni točki: razlike se upoštevajo med "starejšimi" in "mlajšimi" člani, to je n> m ("starejši" - pomeni, da stoji dlje od začetka zaporedja, njegova absolutna vrednost je lahko bodisi bolj ali manj bolj »mlajši« element).

Izraz za razliko d progresije je treba nadomestiti s katero koli enačbo na začetku rešitve problema, da dobimo vrednost prvega člena.

V naši dobi razvoja računalniške tehnologije mnogi šolarji poskušajo poiskati rešitve za svoje naloge na internetu, zato se pogosto pojavljajo tovrstna vprašanja: poiščite razliko aritmetične progresije na spletu. Na takšno zahtevo bo iskalnik prikazal več spletnih strani, na katere boste morali vnesti podatke, ki jih poznamo iz pogoja (lahko sta dva člana progresije ali vsota nekaterih od njih). in takoj dobite odgovor. Kljub temu je tak pristop k reševanju problema neproduktiven z vidika razvoja študenta in razumevanja bistva naloge, ki mu je bila dodeljena.

Rešitev brez uporabe formul

Rešimo prvo težavo, medtem ko nobene od zgornjih formul ne bomo uporabili. Naj so podani elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Poišči razliko aritmetične progresije.

Znani elementi so blizu drug drugemu v vrsti. Kolikokrat je treba razliko d dodati najmanjši, da dobimo največjo? Trikrat (prvič dodamo d, dobimo 7. element, drugič - osmi, končno, tretjič - deveti). Katero število je treba trikrat dodati trikrat, da dobimo 18? To je številka pet. res:

Tako je neznana razlika d = 5.

Seveda je bilo mogoče rešitev narediti z ustrezno formulo, vendar to ni bilo storjeno namerno. Podrobna razlaga rešitve problema bi morala postati jasen in nazoren primer, kaj je aritmetična progresija.

Naloga, podobna prejšnji

Zdaj pa rešimo podoben problem, vendar spremenimo vhodne podatke. Torej bi morali ugotoviti, če je a3 = 2, a9 = 19.

Seveda se lahko spet zatečete k metodi reševanja "na čelo". Ker pa so podani elementi serije, ki so relativno oddaljeni, taka metoda ni zelo priročna. Toda uporaba nastale formule nas bo hitro pripeljala do odgovora:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Tukaj smo zaokrožili končno številko. Koliko je to zaokroževanje povzročilo napako, lahko ocenite s preverjanjem rezultata:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Ta rezultat se od vrednosti, podane v pogoju, razlikuje le za 0,1 %. Zato se lahko zaokroževanje na stotinke šteje za dobro izbiro.

Naloge za uporabo formule za člana

Oglejmo si klasičen primer problema določanja neznanega d: poiščite razliko aritmetične progresije, če je a1 = 12, a5 = 40.

Ko sta podani dve številki neznanega algebrskega zaporedja in je eno od njih element a 1 , potem vam ni treba dolgo razmišljati, ampak morate takoj uporabiti formulo za a n člana. V tem primeru imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Točno številko smo dobili pri deljenju, zato nima smisla preverjati točnosti izračunanega rezultata, kot je bilo storjeno v prejšnjem odstavku.

Rešimo še en podoben problem: najti bi morali razliko aritmetične progresije, če je a1 = 16, a8 = 37.

Uporabimo podoben pristop kot prejšnji in dobimo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Kaj še morate vedeti o aritmetičnem napredovanju

Poleg problemov iskanja neznane razlike ali posameznih elementov je pogosto treba rešiti tudi probleme vsote prvih členov zaporedja. Obravnava teh problemov presega obseg teme članka, vendar zaradi popolnosti informacij predstavljamo splošno formulo za vsoto n številk serije:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Če je vsako naravno število n ujemajo z realnim številom a n , potem pravijo, da je dano številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številčno zaporedje funkcija naravnega argumenta.

Številka a 1 poklical prvi član zaporedja , številka a 2 — drugi član zaporedja , številka a 3 — tretjič itd. Številka a n poklical n-ti član zaporedja in naravno število n — njegovo številko .

Od dveh sosednjih članov a n in a n +1 zaporedja članov a n +1 poklical naknadno (proti a n ), a a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite podati zaporedje, morate podati metodo, ki vam omogoča, da najdete člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje podano z formule za n-ti izraz , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko podamo s formulo

a n= 2n- 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti ponavljajoča se formula, to je formula, ki izraža kateri koli člen zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) članov.

na primer

če a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potem je prvih sedem članov številčnega zaporedja nastavljenih na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko končno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

končno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje naraščajoče , če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje upada , če je vsak od njegovih članov, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se z naraščajočim številom ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Monotona zaporedja so zlasti naraščajoča in padajoča zaporedja.

Aritmetično napredovanje

Aritmetično napredovanje kliče se zaporedje, katerega vsak član je, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano isto število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

kje d - neka številka.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjim članom dane aritmetične progresije vedno konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Številka d poklical razlika aritmetične progresije.

Za nastavitev aritmetične progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično progresijo s prvim členom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poišči trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

a n=	a n-1 + a n+1
	2

vsak član aritmetične progresije, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini prejšnjega in naslednjih članov.

Števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eno od njih enako aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

zato

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Upoštevajte to n -th član aritmetične progresije je mogoče najti ne samo preko a 1 , ampak tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

za a 5 se lahko napiše

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potem očitno

a n=	a n-k +a n+k
	2

kateri koli član aritmetične progresije, začenši z drugim, je enak polovici vsote članov te aritmetične progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za vsako aritmetično progresijo velja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kot

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

najprej n člani aritmetične progresije je enak zmnožku polovice vsote skrajnih členov s številom členov:

Iz tega zlasti izhaja, da če je treba sešteti pogoje

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem količine a 1 , a n, d, n inS n povezana z dvema formulama:

Če so torej podane vrednosti treh od teh veličin, se iz teh formul določijo ustrezni vrednosti drugih dveh količin, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. pri čemer:

če d > 0 , potem se povečuje;
če d < 0 , potem se zmanjšuje;
če d = 0 , potem bo zaporedje nepremično.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija imenuje se zaporedje, katerega vsak člen, začenši z drugim, je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

kje q ≠ 0 - neka številka.

Tako je razmerje naslednjega člena te geometrijske progresije proti prejšnjemu konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Številka q poklical imenovalec geometrijske progresije.

Za nastavitev geometrijske progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n -ti izraz lahko najdemo po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

na primer

poišči sedmi člen geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrijski sredini (sorazmerni) prejšnjega in naslednjih členov.

Ker velja tudi obratno, velja naslednja trditev:

Števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih enak zmnožku drugih dveh, to je, da je eno od števil geometrijska sredina drugih dveh.

na primer

dokažimo, da je zaporedje podano s formulo b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

zato

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kar dokazuje zahtevano trditev. ◄

Upoštevajte to n th člen geometrijske progresije je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji mandat b k , za kar zadostuje uporaba formule

b n = b k · q n - k.

na primer

za b 5 se lahko napiše

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člana geometrijske progresije, začenši z drugega, je enak zmnožku členov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za katero koli geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

eksponentno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kot

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

najprej n členi geometrijske progresije z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= n.b. 1

Upoštevajte, da če moramo sešteti izraze

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

na primer

eksponentno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem količine b 1 , b n, q, n in S n povezana z dvema formulama:

Če so torej podane vrednosti katerih koli treh od teh veličin, se ustrezni vrednosti drugih dveh količin določijo iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko progresijo s prvim členom b 1 in imenovalec q potekajo naslednje lastnosti monotonosti :

napredovanje se povečuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

Napredovanje se zmanjšuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

Če q< 0 , potem je geometrijska progresija predznamno-izmenična: njeni lihi členi imajo enak predznak kot prvi člen, sodoštevilčni členi pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n izraze geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija se imenuje neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši od 1 , tj

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. To ustreza primeru

1 < q< 0 .

S takšnim imenovalcem je zaporedje predznačno izmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije poimenuj številko, na katero je vsota prvega n pogoji napredovanja z neomejenim povečanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo