Prva stopnja

Aritmetično napredovanje. Podrobna teorija s primeri (2019)

Številčno zaporedje

Zato se usedimo in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:
Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko kolikor želite (v našem primeru jih). Ne glede na to, koliko števil zapišemo, lahko vedno rečemo, katero od njih je prvo, katero drugo in tako naprej do zadnjega, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Številčno zaporedje
Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno zaporedno številko. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Druga številka (tako kot -ta številka) je vedno enaka.
Število s številko se imenuje --ti član zaporedja.

Celotno zaporedje običajno imenujemo neka črka (na primer), in vsak član tega zaporedja - ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člana: .

v našem primeru:

Recimo, da imamo številčno zaporedje, pri katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka.
Na primer:

itd.
Takšno številčno zaporedje imenujemo aritmetična progresija.
Izraz "napredovanje" je uvedel rimski avtor Boecij že v 6. stoletju in ga razumeli bolj širok smisel, kot neskončno zaporedje številk. Ime "aritmetika" je bilo preneseno iz teorije neprekinjenih razmerij, s katero so se ukvarjali stari Grki.

To je številčno zaporedje, katerega vsak član je enak prejšnjemu, dodanemu z istim številom. To število se imenuje razlika aritmetične progresije in je označeno.

Poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so aritmetična progresija in katera niso:

a)
b)
c)
d)

Razumem? Primerjaj naše odgovore:
Je aritmetična progresija - b, c.
Ni aritmetična progresija - a, d.

Vrnimo se na dano progresijo () in poskusimo najti vrednost njenega th člana. Obstaja dve način, da ga najdeš.

1. Metoda

Prejšnji vrednosti števila napredovanja lahko dodajamo, dokler ne dosežemo th člena napredovanja. Dobro je, da nimamo veliko za povzeti - samo tri vrednote:

Torej je --ti član opisane aritmetične progresije enak.

2. Način

Kaj pa, če bi morali najti vrednost th člena napredovanja? Seštevanje bi nam vzelo več kot eno uro in ni dejstvo, da se pri seštevanju številk ne bi zmotili.
Seveda so matematiki izmislili način, da vam prejšnji vrednosti ni treba dodati razlike aritmetične progresije. Pozorno poglejte narisano sliko ... Gotovo ste že opazili določen vzorec, in sicer:

Na primer, poglejmo, kaj sestavlja vrednost --ega člana te aritmetične progresije:


Z drugimi besedami:

Poskusite na ta način samostojno najti vrednost člana te aritmetične progresije.

Izračunano? Primerjaj svoje vnose z odgovorom:

Bodite pozorni, da ste dobili popolnoma enako število kot pri prejšnji metodi, ko smo prejšnji vrednosti zaporedno dodajali člane aritmetične progresije.
Poskusimo se "depersonalizirati" to formulo- pripelji jo k splošna oblika in dobite:

Enačba aritmetične progresije.

Aritmetične progresije se povečujejo ali zmanjšujejo.

Povečanje- napredovanja, v katerih je vsaka naslednja vrednost izrazov večja od prejšnje.
Na primer:

Padajoče- napredovanja, v katerih je vsaka naslednja vrednost pogojev manjša od prejšnje.
Na primer:

Izpeljana formula se uporablja pri izračunu izrazov v naraščajočih in padajočih izrazih aritmetične progresije.
Preverimo v praksi.
Dobimo aritmetično progresijo, sestavljeno iz naslednjih številk:

Od takrat:

Tako smo bili prepričani, da formula deluje tako pri padajoči kot pri naraščajoči aritmetični progresiji.
Poskusite sami poiskati -th in -th člana te aritmetične progresije.

Primerjajmo rezultate:

Lastnost aritmetične progresije

Zapletemo nalogo – izpeljemo lastnost aritmetične progresije.
Recimo, da imamo naslednji pogoj:
- aritmetična progresija, poiščite vrednost.
Preprosto je, pravite, in začnite šteti po formuli, ki jo že poznate:

Naj, a, potem:

Popolnoma prav. Izkazalo se je, da najprej najdemo, nato jo dodamo prvi številki in dobimo, kar iščemo. Če je napredovanje predstavljeno z majhnimi vrednostmi, potem v tem ni nič zapletenega, kaj pa, če so nam v pogoju podane številke? Strinjam se, obstaja možnost napak pri izračunih.
Zdaj pomislite, ali je mogoče ta problem rešiti v enem koraku s katero koli formulo? Seveda, da, in zdaj ga bomo poskušali razkriti.

Označimo želeni izraz aritmetične progresije, saj poznamo formulo za iskanje - to je ista formula, ki smo jo izpeljali na začetku:
, potem:

• prejšnji član napredovanja je:
• naslednji termin napredovanja je:

Seštejmo prejšnje in naslednje člane napredovanja:

Izkazalo se je, da je vsota prejšnjega in naslednjih članov progresije dvakrat večja od vrednosti člana progresije, ki se nahaja med njima. Z drugimi besedami, da bi našli vrednost napredovalnega člana z znanimi prejšnjimi in zaporednimi vrednostmi, jih je treba sešteti in deliti z.

Tako je, dobili smo isto številko. Popravimo material. Vrednost za napredovanje si izračunajte sami, saj to sploh ni težko.

Dobro opravljeno! O napredovanju veste skoraj vse! Ostaja še ugotoviti samo eno formulo, ki jo je, po legendi, eden največjih matematikov vseh časov, "kralj matematikov" - Karl Gauss, zlahka sklepal zase ...

Ko je bil Carl Gauss star 9 let, je učitelj, zaposlen s preverjanjem dela učencev iz drugih razredov, pri pouku zastavil naslednjo nalogo: "Izračunaj vsoto vseh naravnih števil od do (po drugih virih do) vključno. " Kakšno je bilo presenečenje učitelja, ko je eden od njegovih učencev (to je bil Karl Gauss) po minuti dal pravilen odgovor na nalogo, medtem ko je večina sošolcev drznika po dolgih izračunih prejela napačen rezultat ...

Mladi Carl Gauss je opazil vzorec, ki ga zlahka opazite.
Recimo, da imamo aritmetično progresijo, sestavljeno iz -ti članov: Najti moramo vsoto danih članov aritmetične progresije. Seveda lahko ročno seštejemo vse vrednosti, a kaj, če moramo v nalogi najti vsoto njenih členov, kot je iskal Gauss?

Opišimo napredovanje, ki nam je dano. Pozorno si oglejte označene številke in poskusite z njimi izvesti različne matematične operacije.


Poskušal? Kaj ste opazili? Prav! Njihove vsote so enake

Zdaj pa odgovori, koliko takih parov bo v napredovanju, ki nam je dano? Seveda točno polovica vseh številk, tj.
Na podlagi dejstva, da je vsota dveh članov aritmetične progresije enaka in podobni enaki pari, dobimo, da skupni znesek je enako:
.
Tako bo formula za vsoto prvih členov katere koli aritmetične progresije:

Pri nekaterih težavah ne poznamo th izraza, poznamo pa razliko v napredovanju. Poskusite v formulo vsote nadomestiti formulo th člana.
kaj si dobil?

Dobro opravljeno! Zdaj pa se vrnimo k problemu, ki ga je dobil Carl Gauss: sami izračunajte, kolikšna je vsota števil, ki se začnejo od -th, in vsota števil, ki se začnejo od -th.

koliko si dobil?
Gauss se je izkazal, da je vsota členov enaka in vsota členov. Ste se tako odločili?

Pravzaprav je formulo za vsoto članov aritmetične progresije dokazal starogrški znanstvenik Diofant že v 3. stoletju in ves ta čas so duhoviti ljudje z vso močjo uporabljali lastnosti aritmetične progresije.
Na primer, predstavljajte si Starodavni Egipt in največje gradbišče tistega časa - gradnja piramide ... Slika prikazuje eno njegovo stran.

Kje je tukaj napredek, pravite? Pozorno poglejte in poiščite vzorec v številu peščenih blokov v vsaki vrsti stene piramide.


Zakaj ne aritmetična progresija? Preštejte, koliko blokov je potrebnih za izgradnjo ene stene, če so opeke iz blokov postavljene v podlago. Upam, da ne boste šteli s premikanjem prsta po monitorju, se spomnite zadnje formule in vsega, kar smo povedali o aritmetični progresiji?

V tem primeru je napredovanje videti takole:
Razlika v aritmetičnem napredovanju.
Število članov aritmetične progresije.
Zamenjajmo naše podatke v zadnje formule (število blokov štejemo na 2 načina).

1. metoda.

2. metoda.

In zdaj lahko izračunate tudi na monitorju: primerjajte pridobljene vrednosti s številom blokov, ki so v naši piramidi. Se je strinjalo? Bravo, osvojili ste vsoto th členov aritmetične progresije.
Seveda ne morete zgraditi piramide iz blokov na dnu, ampak iz? Poskusite izračunati, koliko peščenih opek je potrebnih za gradnjo stene s tem pogojem.
Vam je uspelo?
Pravilen odgovor so bloki:

Usposabljanje

Naloge:

1. Maša prihaja v formo za poletje. Vsak dan poveča število počepov. Kolikokrat bo Maša počepnila v tednih, če je počepe naredila na prvem treningu.
2. Kolikšna je vsota vseh lihih števil, ki jih vsebuje.
3. Pri shranjevanju hlodov jih drvarji zlagajo tako, da vsak zgornji sloj vsebuje en dnevnik manj kot prejšnji. Koliko hlodov je v enem zidu, če je osnova zidane hlode.

odgovori:

1. Določimo parametre aritmetične progresije. V tem primeru
   (tedni = dnevi).

   odgovor:Čez dva tedna naj Maša počepne enkrat na dan.

2. Prvič liho število, zadnja številka.
   Razlika v aritmetičnem napredovanju.
   Število lihih števil na pol pa preverite to dejstvo s formulo za iskanje --toga člana aritmetične progresije:

   Številke vsebujejo liha števila.
   Razpoložljive podatke nadomestimo v formulo:

   odgovor: Vsota vseh lihih števil, ki jih vsebuje, je enaka.

3. Spomnimo se problema s piramidami. V našem primeru a , ker je vsak zgornji sloj zmanjšan za en dnevnik, obstaja le kup plasti, tj.
   Zamenjajte podatke v formuli:

   odgovor: V zidu so hlodi.

Povzetek

1. - številčno zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka. Povečuje se in upada.
2. Iskanje formule th član aritmetične progresije je zapisan s formulo - , kjer je število števil v progresiji.
3. Lastnost članov aritmetične progresije- - kjer - število številk v napredovanju.
4. Vsota članov aritmetične progresije najdemo na dva načina:
   
   , kjer je število vrednosti.

ARITHMETIČNI NAPREDEK. POVPREČNA RAVEN

Številčno zaporedje

Usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko kolikor želite. Vedno pa lahko poveš, kateri od njih je prvi, kateri drugi in tako naprej, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja.

Številčno zaporedje je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Z drugimi besedami, vsako število je lahko povezano z določenim naravnim številom in samo z enim. In te številke ne bomo dodelili nobeni drugi številki iz tega niza.

Število s številko se imenuje --ti član zaporedja.

Celotno zaporedje običajno imenujemo neka črka (na primer), in vsak član tega zaporedja - ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člana: .

Zelo priročno je, če lahko --ti član zaporedja podamo z neko formulo. Na primer formula

nastavi zaporedje:

In formula je naslednje zaporedje:

Na primer, aritmetična progresija je zaporedje (prvi člen je tukaj enak in razlika). Ali (, razlika).

formula za n-ti izraz

Ponavljajoča se imenuje formula, v kateri morate, da bi ugotovili --ti člen, poznati prejšnji ali več prejšnjih:

Da bi na primer našli th člen napredovanja s takšno formulo, moramo izračunati prejšnjih devet. Na primer, naj. Nato:

No, zdaj je jasno, kakšna je formula?

V vsaki vrstici dodamo do, pomnoženo z neko številko. Za kaj? Zelo preprosto: to je številka trenutnega člana minus:

Zdaj je veliko bolj udobno, kajne? Preverimo:

Odločite se sami:

V aritmetični progresiji poiščite formulo za n-ti člen in poiščite stoti člen.

rešitev:

Prvi član je enak. In kakšna je razlika? In tukaj:

(navsezadnje se imenuje razlika, ker je enaka razliki zaporednih članov progresije).

Torej je formula:

Potem je stoti člen:

Kolikšna je vsota vseh naravnih števil od do?

Po legendi je veliki matematik Carl Gauss, ki je bil 9-letni deček, to količino izračunal v nekaj minutah. Opazil je, da je vsota prvega in zadnjega števila enaka, vsota drugega in predzadnjega enaka, vsota tretjega in 3. s konca enaka itd. Koliko je takih parov? Tako je, točno polovica vseh številk, tj. torej

Splošna formula za vsoto prvih členov katere koli aritmetične progresije bo:

Primer:
Poiščite vsoto vseh dvomestnih večkratnikov.

rešitev:

Prva taka številka je ta. Vsako naslednjo dobimo tako, da prejšnjemu dodamo številko. Tako številke, ki nas zanimajo, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom in razliko.

Formula za th izraz za to napredovanje je:

Koliko členov je v napredovanju, če morajo biti vsi dvomestni?

Zelo enostavno: .

Zadnji člen napredovanja bo enak. Nato vsota:

Odgovor: .

Zdaj pa se odločite sami:

1. Vsak dan športnik teče 1 m več kot prejšnji dan. Koliko kilometrov bo pretekel v tednih, če je prvi dan pretekel km m?
2. Kolesar vsak dan prevozi več kilometrov kot prejšnji. Prvi dan je prevozil km. Koliko dni mora voziti, da prevozi kilometer? Koliko kilometrov bo prepotoval zadnji dan potovanja?
3. Cena hladilnika v trgovini se vsako leto zniža za enak znesek. Ugotovite, za koliko se je vsako leto znižala cena hladilnika, če bi ga, dali na prodajo za rublje, šest let pozneje prodali za rublje.

odgovori:

1. Najpomembnejše pri tem je prepoznati aritmetično progresijo in določiti njene parametre. V tem primeru (tedni = dnevi). Določiti morate vsoto prvih členov tega napredovanja:
   .
   odgovor:
2. Tukaj je podano:, to je treba najti.
   Očitno morate uporabiti isto formulo vsote kot v prejšnji težavi:
   .
   Zamenjaj vrednosti:

   Koren očitno ne ustreza, zato odgovor.
   Izračunajmo prevoženo razdaljo v zadnjem dnevu s formulo --toga člana:
   (km).
   odgovor:

3. Podano: . Najti: .
   Ne bo lažje:
   (drgni).
   odgovor:

ARITHMETIČNI NAPREDEK. NAKRATKO O GLAVNEM

To je številčno zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka.

Aritmetična progresija narašča () in pada ().

Na primer:

Formula za iskanje n-tega člana aritmetične progresije

je zapisana kot formula, kjer je število številk v progresiji.

Lastnost članov aritmetične progresije

Omogoča enostavno iskanje člana progresije, če so znani njegovi sosednji člani – kje je število številk v napredovanju.

Vsota članov aritmetične progresije

Obstajata dva načina za iskanje vsote:

Kje je število vrednosti.

Kje je število vrednosti.

lekcija 4

Algebra imena predmeta

razred 9

UMK algebra. 9. razred Ob 14. uri 1. del. Študentski učbenik izobraževalne ustanove/ A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2012 - 160 str. 2. del. Opravilnik za študente izobraževalnih ustanov [A. G. Mordkovich in drugi]; ur. A. G. Mordkovič. - M.: Mnemosyne, 2012 - 270

Osnovna stopnja izobrazbe

Tema lekcije " Značilna lastnost aritmetične progresije"

Skupno število ur, namenjenih študiju teme 5

Mesto lekcije v sistemu pouka na temo 4

Namen lekcije:
Spoznavanje značilnih lastnosti članov aritmetične progresije.

Naloge lekcija:
1) Izobraževalni - sklepaj in dokaži značilna lastnost aritmetična progresija; oblikovati sposobnost uporabe lastnosti aritmetične progresije pri reševanju problemov
2) Razvijanje - razvijati sposobnost primerjanja matematičnih pojmov, iskanja podobnosti in razlik, sposobnost opazovanja, opazovanja vzorcev, sklepanja po analogiji; razviti zmožnost gradnje in interpretacije matematični model neka realna situacija.
3) Izobraževalni – spodbujati razvoj zanimanja za matematiko in njene aplikacije, aktivnost, sposobnost komuniciranja in razumnega zagovarjanja svojih stališč.

oprema: računalnik, multimedijski projektor, predstavitev

pričakovani rezultati: V tej lekciji moramo vzpostaviti razmerje med člani aritmetične progresije in rešiti naloge, ki uporabljajo lastnosti aritmetične progresije.

II. Aktualizacija znanja učencev

Sprednja anketa:

Kaj je aritmetična progresija?

Kako je definirana aritmetična progresija?

- Poimenujte formulo P th član aritmetične progresije.

2. Matematični narek (naloge so razdeljene na kartice)

1 možnost

№1. Glede na aritmetično progresijo

1;4;7;11;…

№2. ampak 1 =, d= Najdi 11 -?

№3. Poiščite vsoto (S) prvih sto členov aritmetične progresije (a n), če ampak 1 =-9, d=4

2. možnost

št. 1. Podana je aritmetična progresija -

9;6;3;0;;… Poiščite njegov prvi izraz in razliko.

№2. ampak 1 =0,2, d= .Najti ampak 11 - ?

št. 3 Poiščite vsoto (S) prvih sto členov aritmetične progresije (a n), če ampak 1 =70, d=-1

III. Učenje nove snovi. (slajd 1-3)

1. Upoštevajte aritmetično progresijo ( X P): 2; 5; 8; 11; 14.

Ugotovimo, ali obstaja povezava med katerimi koli tremi zaporednimi člani progresije? Predlagam, da to povezavo vzpostavite sami. Če želite to narediti, bomo raziskovalno delo.

= (5.)

= (8.)

= (11.)

Kakšen sklep je mogoče sklepati o razmerju med člani aritmetične progresije?

Zaključek: "Vsak član aritmetične progresije, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini prejšnjega in naslednjih članov."

2. Ker smo to domnevali na podlagi upoštevanja določenega zaporedja, je treba to trditev dokazati:

Naj bo ( X P) je torej aritmetična progresija

X P – X P – 1 = X P + 1 – X P, tj

2X P = X P – 1 + X P + 1 ,

X P =

Plačati bi bilo treba Posebna pozornostštudenti, da je ta izjava lastnine aritmetična progresija. In če oblikujemo obratno trditev in jo lahko dokažemo, kako se bo imenovala? Bo znak aritmetična progresija: "Če je v zaporedju ( X P) vsak člen, začenši z drugim, je enak aritmetični sredini prejšnjega in naslednjih členov, potem je to zaporedje aritmetična progresija.

Naj bo X P =
, kje P≥ 2, nato 2 X P = X P – 1 + X P + 1,

X P – X P – 1 = X P + 1 – X P, to je razlika med naslednjim in prejšnjim članom zaporedja ( X P) ostane konstantna. Pomeni, ( X P) je aritmetična progresija.

IV. Oblikovanje spretnosti in sposobnosti.

Reši #16.40 ustno z uporabo karakteristične lastnosti aritmetične progresije:

ampak)
potem

b)
potem ampak 18 + ampak 20 = 2  ampak 19 = 2  5 = 10;

2. Rešite št. 16.42 (b) s komentarji na licu mesta.

Če ampak 14 + ampak 16 = -20, torej ampak 15 = –20: 2 = –10;

Če ampak 29 + ampak 31 = 40 potem ampak 30 = 40: 2 = 20;

Najdimo ampak 15 + ampak 30 = –10 + 20 = 10.

Odgovor: 10.

3. Reši številko 16.44 na tabli in v zvezkih.

Glede na karakteristično lastnost morajo podani izrazi izpolnjevati relacijo

2pri = 5pri – 3; 3pri = 3; pri = 1.

Odgovor: 1.

4. Reši #16.46. Rešitev razloži učitelj.

ampak) To je približno o vsoti članov končne aritmetične progresije 104; 112; 120; … 992. To napredovanje ima ampak 1 = 104; ampak n = 992; d= 8. Najprej najdemo n(število članov napredovanja):

ampak n = ampak 1 + (n –1)d; 992 = 104 + (n – 1)  8;

992 = 8n + 96; n = 112.

Odgovor: 61376.

5. Reši št. 16.48 (b; d) na tabli in v zvezkih.

b) ampak 9 = –30; ampak 19 = -45. Najdimo ampak n .

ampak n = ampak 1 + (n – 1)d= –18 + (n – 1)(–1,5) = –1,5n – 16,5.

G) ampak 5 = 0,2; ampak 16 = -7,5. Najdimo a n .

ampak n = 3 – 0,7(n– 1).

A n s e r: b) –18 – 1,5( n- ena); d) 3 – 0,7 ( n– 1).

6. Reši št. 16.68  . Rešitev razloži učitelj.

Z uporabo karakteristične lastnosti aritmetične progresije dobimo enačbo
X – 3 =
= (X– 5) 2 ; X 2 – 11X + 28 = 0; X 1 = 7; X 2 \u003d 4 - tuji koren, ki ne zadovoljuje iracionalna enačba

Odgovor: 7.

V. Rezultati pouka.

Vprašanja od h a shch in m s i:

- Formulirajte lastnost aritmetične progresije.

Na primer, zaporedje \(2\); \(pet\); \(8\); \(enajst\); \(14\)… je aritmetična progresija, ker se vsak naslednji element razlikuje od prejšnjega za tri (lahko ga dobimo od prejšnjega z dodajanjem treh):

V tem napredovanju je razlika \(d\) pozitivna (enaka \(3\)), zato je vsak naslednji člen večji od prejšnjega. Takšna napredovanja se imenujejo naraščajoče.

Vendar pa je \(d\) lahko tudi negativno število. Na primer, v aritmetični progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… razlika v napredovanju \(d\) je enaka minus šest.

In v tem primeru bo vsak naslednji element manjši od prejšnjega. Ta napredovanja se imenujejo zmanjševanje.

Zapis aritmetičnega napredovanja

Napredovanje je označeno z malo latinično črko.

Številke, ki tvorijo napredovanje, se imenujejo člani(ali elementi).

Označeni so z isto črko kot aritmetična progresija, vendar s številčnim indeksom, ki je po vrstnem redu enak številki elementa.

Na primer, aritmetična progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) je sestavljena iz elementov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) in tako naprej.

Z drugimi besedami, za napredovanje \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Reševanje nalog v aritmetični progresiji

Načeloma so zgornji podatki že dovolj za rešitev skoraj vsake težave z aritmetično progresijo (vključno s tistimi, ki jih ponuja OGE).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji \(b_1=7; d=4\). Poiščite \(b_5\).
rešitev:

odgovor: \(b_5=23\)

Primer (OGE). Podani so prvi trije členi aritmetične progresije: \(62; 49; 36…\) Poiščite vrednost prvega negativnega člena te progresije.
rešitev:

	Dani so nam prvi elementi zaporedja in vemo, da je to aritmetična progresija. To pomeni, da se vsak element razlikuje od sosednjega za isto število. Ugotovite katerega tako, da prejšnjega odštejete od naslednjega elementa: \(d=49-62=-13\).
	Zdaj lahko obnovimo naš napredek na želeni (prvi negativni) element.
	Pripravljen. Lahko napišeš odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primer (OGE). Podanih je več zaporednih elementov aritmetične progresije: \(...5; x; 10; 12,5...\) Poiščite vrednost elementa, označenega s črko \(x\).
rešitev:

	Da bi našli \(x\), moramo vedeti, koliko se naslednji element razlikuje od prejšnjega, z drugimi besedami, razlika v napredovanju. Poiščimo ga iz dveh znanih sosednjih elementov: \(d=12,5-10=2,5\).
	In zdaj brez težav najdemo tisto, kar iščemo: \(x=5+2,5=7,5\).
	Pripravljen. Lahko napišeš odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana z naslednjimi pogoji: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Poiščite vsoto prvih šestih členov te progresije.
rešitev:

	Najti moramo vsoto prvih šestih členov napredovanja. Toda ne poznamo njihovih pomenov, podan nam je le prvi element. Zato najprej izračunamo vrednosti po vrsti, pri čemer uporabimo dano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) In ko izračunamo šest elementov, ki jih potrebujemo, najdemo njihovo vsoto.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Zahtevani znesek je bil najden.

odgovor: \(S_6=9\).

Primer (OGE). V aritmetični progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Poiščite razliko tega napredovanja.
rešitev:

odgovor: \(d=7\).

Pomembne formule za aritmetično napredovanje

Kot lahko vidite, je veliko težav z aritmetično progresijo mogoče rešiti preprosto z razumevanjem glavne stvari - da je aritmetična progresija veriga številk in vsak naslednji element v tej verigi dobimo tako, da prejšnjemu dodamo isto število (razlika napredovanja).

Vendar pa včasih obstajajo situacije, ko je zelo neprijetno reševati "na čelu". Predstavljajte si na primer, da v prvem primeru ne moramo najti petega elementa \(b_5\), ampak tristo šestinosemdesetega \(b_(386)\). Kaj je to, moramo \ (385 \) krat sešteti štiri? Ali pa si predstavljajte, da morate v predzadnjem primeru najti vsoto prvih triinsedemdeset elementov. Štetje je zmedeno ...

Zato v takih primerih ne rešujejo "na čelu", ampak uporabljajo posebne formule, izpeljane za aritmetično napredovanje. In glavni sta formula za n-ti člen progresije in formula za vsoto \(n\) prvih členov.

Formula za \(n\)-ti član: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kjer je \(a_1\) prvi član napredovanja;
\(n\) – številka zahtevanega elementa;
\(a_n\) je član napredovanja s številko \(n\).

Ta formula nam omogoča, da hitro najdemo vsaj tristoti, celo milijonti element, pri čemer poznamo samo prvi in ​​progresivno razliko.

Primer. Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Poiščite \(b_(246)\).
rešitev:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za vsoto prvih n členov je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kjer je

\(a_n\) je zadnji seštevek;

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji \(a_n=3,4n-0,6\). Poiščite vsoto prvih \(25\) členov te progresije.
rešitev:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Za izračun vsote prvih petindvajset elementov moramo poznati vrednost prvega in petindvajsetega člena. Naše napredovanje je podano s formulo n-ega člena, odvisno od njegovega števila (glej podrobnosti). Izračunajmo prvi element tako, da zamenjamo \(n\) z eno.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Zdaj pa poiščimo petindvajseti člen tako, da namesto \(n\) nadomestimo petindvajset.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		No, zdaj brez težav izračunamo zahtevano količino.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za vsoto \(n\) prvih členov lahko dobite drugo formulo: samo morate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namesto \(a_n\) nadomestite s formulo \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobimo:

Formula za vsoto prvih n členov je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kjer je

\(S_n\) – zahtevana vsota \(n\) prvih elementov;
\(a_1\) je prvi člen, ki ga je treba sešteti;
\(d\) – razlika v napredovanju;
\(n\) - število elementov v vsoti.

Primer. Poiščite vsoto prvih \(33\)-ex členov aritmetične progresije: \(17\); \(15,5\); \(štirinajst\)…
rešitev:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Kompleksnejši problemi aritmetičnega napredovanja

Zdaj imate vse informacije, ki jih potrebujete za rešitev skoraj vsakega problema aritmetičnega napredovanja. Naj zaključimo temo z obravnavanjem problemov, pri katerih morate ne le uporabiti formule, ampak tudi malo razmisliti (pri matematiki je to lahko koristno ☺)

Primer (OGE). Poiščite vsoto vseh negativnih členov napredovanja: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
rešitev:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Naloga je zelo podobna prejšnji. Začnemo reševati na enak način: najprej poiščemo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Zdaj bi v formulo za vsoto nadomestili \(d\) ... in tukaj se pojavi majhen odtenek - ne vemo \(n\). Z drugimi besedami, ne vemo, koliko izrazov bo treba dodati. Kako ugotoviti? pomislimo. Ko pridemo do prvega pozitivnega elementa, bomo nehali dodajati elemente. To pomeni, da morate ugotoviti številko tega elementa. Kako? Zapišimo formulo za izračun katerega koli elementa aritmetične progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš primer.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		\(a_n\) moramo biti večji od nič. Ugotovimo, zakaj \(n\) se bo to zgodilo.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strani neenakosti delimo z \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenesemo minus eno, ne pozabimo spremeniti znakov
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Računalništvo ...
\(n>65,333…\)		...in izkazalo se je, da je prvi pozitiven element bo imela številko \(66\). V skladu s tem ima zadnji negativni \(n=65\). Za vsak slučaj preverimo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Tako moramo dodati prvih \(65\) elementov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Poiščite vsoto od \(26\)th do vključno \(42\).
rešitev:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tem problemu morate poiskati tudi vsoto elementov, vendar ne od prvega, ampak od \(26\)th. Nimamo formule za to. Kako se odločiti? Enostavno - da dobite vsoto od \(26\)th do \(42\)th, morate najprej poiskati vsoto od \(1\)th do \(42\)th in nato od nje odšteti vsoto iz prvi do \ (25 \) th (glej sliko).
	Za naš napredek \(a_1=-33\) in razliko \(d=4\) (navsezadnje prejšnjemu elementu dodamo štiri, da najdemo naslednjega). Če to poznamo, najdemo vsoto prvih \(42\)-uh elementov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Zdaj vsota prvih \(25\)-tih elementov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	In končno izračunamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetično progresijo obstaja še nekaj formul, ki jih v tem članku nismo upoštevali zaradi njihove nizke praktične uporabnosti. Vendar jih zlahka najdete.

Geslo naše lekcije bodo besede ruskega matematika V.P. Ermakova: "V matematiki se ne bi morali spomniti formul, ampak procesov razmišljanja."

Med poukom

Formulacija problema

Na tabli je Gaussov portret. Učitelj ali učenec, ki je vnaprej dobil nalogo, da pripravi sporočilo, pravi, da je učitelj, ko je bil Gauss v šoli, prosil učence, naj vse seštejejo. cela števila od 1 do 100. Mali Gauss je to težavo rešil v minuti.

vprašanje . Kako je Gauss dobil odgovor?

Iščite rešitve

Učenci izrazijo svoje predpostavke, nato pa povzamejo: ugotovijo, da so vsote 1 + 100, 2 + 99 itd. so enaki, Gauss pomnoži 101 s 50, torej s številom takšnih vsot. Z drugimi besedami, opazil je vzorec, ki je neločljivo povezan z aritmetično progresijo.

Izpeljava formule vsote n prvi členi aritmetične progresije

Na tablo in v zvezke zapišite temo lekcije. Učenci skupaj z učiteljem zapišejo izpeljavo formule:

Naj bo a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- aritmetična progresija.

Primarno pritrditev

1. Rešimo s formulo (1) Gaussov problem:

2. S formulo (1) ustno reši naloge (njihovi pogoji so napisani na tabli ali koda pozitivno), ( a n) - aritmetična progresija:

ampak) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

v) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Dokončajte nalogo.

dano :( a n) - aritmetična progresija;

a 1 = 3, a 60 = 57.

Najti: S 60 .

Rešitev. Uporabimo formulo vsote n prvi členi aritmetične progresije

Odgovori: 1800.

Dodatno vprašanje. Koliko vrst različnih problemov je mogoče rešiti s to formulo?

Odgovori. Štiri vrste nalog:

Poiščite znesek S n;

Poiščite prvi člen aritmetične progresije a 1 ;

Najti n-th član aritmetične progresije a n;

Poiščite število članov aritmetične progresije.

4. Izpolni nalogo: št. 369(b).

Poiščite vsoto enainšestdesetih členov aritmetične progresije ( a n), če a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Rešitev.

Odgovori: 1230.

Dodatno vprašanje. Zapišite formulo n th član aritmetične progresije.

Odgovori: a n = a 1 + d(n – 1).

5. Izračunajte formulo za prvih devet členov aritmetične progresije ( b n),
če b 1 = –17, d = 6.

Ali je mogoče takoj izračunati s formulo?

Ne, ker deveti izraz ni znan.

Kako ga najti?

Po formuli n th član aritmetične progresije.

Rešitev. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Odgovori: 63.

vprašanje. Ali je mogoče najti vsoto, ne da bi izračunali deveti člen napredovanja?

Formulacija problema

Problem: dobite formulo vsote n prvi člen aritmetične progresije, pri čemer poznamo prvi člen in razliko d.

(Učenčev rezultat formule na tabli.)

Rešimo št. 371(a) z novo formulo (2):

Verbalno utrdi formule (2) ( pogoji naloge so napisani na tabli).

(a n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Učence vprašajte, katera vprašanja ne razumejo.

Samostojno delo

1. možnost

dano: (a n) je aritmetična progresija.

1. a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2. a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

2. možnost

dano: (a n) je aritmetična progresija.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Učenci menjajo zvezke in drug drugega preverjajo rešitve.

Povzemite asimilacijo gradiva na podlagi rezultatov samostojnega dela.