Rešitev kvadratnih grafov. Kako izračunati minimum ali maksimum z uporabo matematičnih operacij

Vsi vedo, kaj je parabola. Toda kako ga pravilno, kompetentno uporabiti pri reševanju različnih praktičnih problemov, bomo razumeli spodaj.

Najprej označimo osnovne pojme, ki jih algebra in geometrija dajeta temu izrazu. Upoštevajte vse možne vrste ta grafikon.

Izvedemo vse glavne značilnosti te funkcije. Razumimo osnove konstruiranja krivulje (geometrije). Naučimo se najti zgornje, druge osnovne vrednosti grafa te vrste.

Ugotovili bomo: kako je zahtevana krivulja pravilno sestavljena v skladu z enačbo, na kaj morate biti pozorni. Poglejmo glavno praktična uporaba to edinstveno vrednost v človeškem življenju.

Kaj je parabola in kako izgleda

Algebra: ta izraz se nanaša na graf kvadratna funkcija.

Geometrija: to je krivulja drugega reda, ki ima številne posebne značilnosti:

Kanonična parabola enačba

Slika prikazuje pravokotni koordinatni sistem (XOY), ekstrem, smer risbe funkcije se veje vzdolž abscisne osi.

Kanonična enačba je:

y 2 \u003d 2 * p * x,

kjer je koeficient p goriščni parameter parabole (AF).

V algebri je drugače zapisano:

y = a x 2 + b x + c (prepoznaven vzorec: y = x 2).

Lastnosti in graf kvadratne funkcije

Funkcija ima simetrično os in središče (ekstremum). Domena definicije so vse vrednosti osi x.

Razpon vrednosti funkcije - (-∞, M) ali (M, +∞) je odvisen od smeri vej krivulje. Parameter M tukaj pomeni vrednost funkcije na vrhu vrstice.

Kako ugotoviti, kam so usmerjene veje parabole

Če želite poiskati smer te vrste krivulje iz izraza, morate določiti predznak pred prvim parametrom algebraični izraz. Če je a ˃ 0, so usmerjeni navzgor. Sicer pa dol.

Kako najti vrh parabole s formulo

Iskanje ekstrema je glavni korak pri reševanju številnih praktičnih problemov. Seveda lahko odprete posebno spletni kalkulatorji ampak bolje je, da to zmoreš sam.

Kako ga definirati? Obstaja posebna formula. Če b ni enak 0, moramo poiskati koordinate te točke.

Formule za iskanje vrha:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Primer.

Obstaja funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Poiščimo oglišča te funkcije.

Za takšno vrstico:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Dobimo koordinate oglišča (-2, -41).

Odmik parabole

Klasičen primer je, ko sta v kvadratni funkciji y = a x 2 + b x + c drugi in tretji parameter 0 in = 1 - vrh je v točki (0; 0).

Gibanje vzdolž osi abscise ali ordinate je posledica spremembe parametrov b oziroma c. Premik črte na ravnini bo izveden natančno s številom enot, ki je enako vrednosti parametra.

Primer.

Imamo: b = 2, c = 3.

To pomeni, da se bo klasičen pogled krivulje premaknil za 2 odseka enote vzdolž osi abscise in za 3 vzdolž ordinatne osi.

Kako sestaviti parabolo z uporabo kvadratne enačbe

Pomembno je, da se šolarji naučijo pravilno risati parabolo glede na dane parametre.

Z analizo izrazov in enačb lahko vidite naslednje:

Točka presečišča želene črte z ordinatnim vektorjem bo imela vrednost c.
Vse točke grafa (vzdolž osi x) bodo simetrične glede na glavni ekstrem funkcije.

Poleg tega je mogoče najti presečišča z OX, če poznamo diskriminanto (D) takšne funkcije:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Če želite to narediti, morate izraz enačiti z nič.

Prisotnost korenin parabole je odvisna od rezultata:

D ˃ 0, potem x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, nato x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, potem ni presečišč z vektorjem OX.

Dobimo algoritem za konstruiranje parabole:

določiti smer vej;
poiščite koordinate vrha;
poišči presečišče z osjo y;
poiščite presečišče z osjo x.

Primer 1

Glede na funkcijo y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Treba je zgraditi parabolo. Delujemo po algoritmu:

a \u003d 1, zato so veje usmerjene navzgor;
ekstremne koordinate: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
seka z osjo y pri vrednosti y = 4;
poišči diskriminanto: D = 25 - 16 = 9;
išče korenine

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (deset).

Primer 2

Za funkcijo y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 morate zgraditi parabolo. Delujemo po zgornjem algoritmu:

a \u003d 3, zato so veje usmerjene navzgor;
ekstremne koordinate: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
z osjo y se bo sekala pri vrednosti y \u003d -1;
poiščite diskriminanto: D = 4 + 12 = 16. Torej korenine:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 = (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Iz dobljenih točk lahko zgradite parabolo.

Directrix, ekscentričnost, fokus parabole

Na podlagi kanonične enačbe ima žarišče F koordinate (p/2, 0).

Premica AB je direktrisa (nekakšna tetiva parabole določene dolžine). Njena enačba je x = -p/2.

Ekscentričnost (konstanta) = 1.

Zaključek

Upoštevali smo temo, ki jo študenti študirajo Srednja šola. Zdaj veste, če pogledate kvadratno funkcijo parabole, kako najti njeno točko, v katero smer bodo usmerjene veje, ali obstaja odmik vzdolž osi in z algoritemom konstrukcije lahko narišete njen graf.