Ridicarea unei fracții într-un cub. Ridicarea unei fracții algebrice la o putere

Este timpul să vă familiarizați cu erecție fracție algebricăîntr-o măsură. Această acțiune cu fracții algebrice, din punct de vedere al gradului, se reduce la înmulțire fracții identice. În acest articol, vom da regula corespunzătoare și vom lua în considerare exemple de ridicare a fracțiilor algebrice la puteri naturale.

Navigare în pagină.

Regula ridicării unei fracții algebrice la o putere, dovada acesteia

Înainte de a vorbi despre ridicarea unei fracții algebrice la o putere, nu strică să ne amintim care este produsul acelorași factori care stau la baza gradului, iar numărul lor este determinat de indicator. De exemplu, 2 3 =2 2 2=8 .

Și acum să ne amintim de regula creșterii la puterea unei fracții obișnuite - pentru aceasta trebuie să ridicați separat numărătorul la puterea indicată și separat numitorul. De exemplu, . Această regulă se aplică ridicării unei fracții algebrice la o putere naturală.

Ridicarea unei fracții algebrice la o putere naturală dă o nouă fracție, în al cărei numărător este gradul specificat al numărătorului fracției originale, iar în numitor - gradul numitorului. În formă literală, această regulă corespunde egalității, unde a și b sunt polinoame arbitrare (în cazuri particulare, monomii sau numere), iar b este un polinom diferit de zero și n este .

Dovada regulii vocale pentru ridicarea unei fracții algebrice la o putere se bazează pe definirea unui grad cu exponent natural și pe modul în care am definit înmulțirea fracțiilor algebrice: .

Exemple, soluții

Regula obținută în paragraful anterior reduce ridicarea unei fracții algebrice la o putere la ridicarea numărătorului și numitorului fracției inițiale la această putere. Și deoarece numărătorul și numitorul fracției algebrice originale sunt polinoame (în cazul particular, monomii sau numere), sarcina inițială se reduce la ridicarea polinoamelor la o putere. După efectuarea acestei acțiuni, se va obține o nouă fracție algebrică, identic egală cu puterea specificată a fracției algebrice inițiale.

Să aruncăm o privire la câteva exemple.

Exemplu.

Pătratul unei fracții algebrice.

Decizie.

Să scriem gradul. Acum ne întoarcem la regula pentru ridicarea unei fracții algebrice la o putere, ne oferă egalitatea . Rămâne să convertiți fracția rezultată în forma unei fracții algebrice prin ridicarea monomiilor la o putere. Asa de .

De obicei, la ridicarea unei fracții algebrice la o putere, cursul soluției nu este explicat, iar soluția este scrisă pe scurt. Exemplul nostru corespunde înregistrării .

Răspuns:

.

Când polinoamele, în special binoamele, sunt în numărătorul și/sau numitorul unei fracții algebrice, atunci când o ridicați la o putere, este indicat să folosiți formulele de înmulțire prescurtate corespunzătoare.

Exemplu.

Ridicați o fracție algebrică la gradul doi.

Decizie.

După regula ridicării unei fracțiuni la putere, avem .

Pentru a transforma expresia rezultată în numărător, folosim formula pătratului diferenței, iar la numitor - formula pătratului sumei a trei termeni:

Răspuns:

În concluzie, observăm că dacă ridicăm o fracție algebrică ireductibilă la o putere naturală, atunci rezultatul va fi și o fracție ireductibilă. Dacă fracția inițială este anulabilă, atunci înainte de a o ridica la o putere, este indicat să reduceți fracția algebrică pentru a nu efectua reducerea după ridicarea la o putere.

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Manualul elevului institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte din www.site-ul web, inclusiv materialele interneși design exterior, nu poate fi reprodus sub nicio formă sau utilizat fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.

În continuarea conversației despre gradul unui număr, este logic să ne ocupăm de găsirea valorii gradului. Acest proces a fost numit exponentiare. În acest articol, vom studia doar modul în care se realizează exponențiarea, în timp ce vom atinge toți exponenții posibili - naturali, întregi, raționali și iraționali. Și prin tradiție, vom analiza în detaliu soluțiile la exemple de ridicare a numerelor la diferite puteri.

Navigare în pagină.

Ce înseamnă „exponentiare”?

Să începem prin a explica ceea ce se numește exponențiere. Iată definiția relevantă.

Definiție.

Exponentiație este de a afla valoarea puterii unui număr.

Astfel, găsirea valorii puterii lui a cu exponentul r și ridicarea numărului a la puterea lui r este același lucru. De exemplu, dacă sarcina este „calculați valoarea puterii (0,5) 5”, atunci poate fi reformulată după cum urmează: „Ridicați numărul 0,5 la puterea lui 5”.

Acum puteți merge direct la regulile prin care se realizează exponentiarea.

Ridicarea unui număr la o putere naturală

În practică, egalitatea bazată pe se aplică de obicei sub forma . Adică, atunci când se ridică numărul a la o putere fracțională m / n, se extrage mai întâi rădăcina gradului al n-lea din numărul a, după care rezultatul este ridicat la o putere întreagă m.

Luați în considerare soluții la exemple de ridicare la o putere fracțională.

Exemplu.

Calculați valoarea gradului.

Decizie.

Vă prezentăm două soluții.

Prima cale. Prin definiția gradului cu exponent fracționar. Calculăm valoarea gradului sub semnul rădăcinii, după care extragem rădăcină cubă: .

A doua cale. Prin definiția unui grad cu exponent fracționar și pe baza proprietăților rădăcinilor, egalitățile sunt adevărate . Acum extrageți rădăcina În cele din urmă, ridicăm la o putere întreagă .

Evident, rezultatele obținute ale ridicării la o putere fracțională coincid.

Răspuns:

Rețineți că exponentul fracționar poate fi scris ca o fracție zecimală sau un număr mixt, în aceste cazuri ar trebui înlocuit cu fracția obișnuită corespunzătoare, iar apoi trebuie efectuată exponențiarea.

Exemplu.

Calculați (44,89) 2,5 .

Decizie.

Scriem exponentul sub forma unei fracții obișnuite (dacă este necesar, vezi articolul): . Acum efectuăm ridicarea la o putere fracțională:

Răspuns:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

De asemenea, trebuie spus că ridicarea numerelor la puteri raționale este un proces destul de laborios (mai ales când numărătorul și numitorul exponentului fracționar conțin suficient numere mari), care se realizează de obicei folosind tehnologia computerizată.

În încheierea acestui paragraf, ne vom opri asupra construcției numărului zero într-o putere fracțională. Am dat următorul sens gradului fracționar de zero al formei: căci avem , în timp ce zero la puterea m/n nu este definit. Deci zero la o putere fracțională pozitivă zero, De exemplu, . Și zero într-o putere negativă fracțională nu are sens, de exemplu, expresiile și 0 -4,3 nu au sens.

Ridicarea la o putere irațională

Uneori devine necesar să se afle valoarea gradului unui număr cu un exponent irațional. În acest caz, în scopuri practice, de obicei este suficientă obținerea valorii gradului până la un anumit semn. Observăm imediat că această valoare este calculată în practică folosind tehnologia de calcul electronică, de când a crescut la ir grad rațional cere manual un numar mare calcule greoaie. Cu toate acestea, vom descrie in termeni generali esența acțiunii.

Pentru a obține o valoare aproximativă a puterii unui cu indicator irațional, se ia o aproximare zecimală a exponentului și se calculează valoarea exponentului. Această valoare este valoarea aproximativă a gradului numărului a cu un exponent irațional. Cu cât aproximarea zecimală a unui număr este mai precisă inițial, cu atât mai mult valoare exacta gradul va fi obtinut in final.

Ca exemplu, să calculăm valoarea aproximativă a puterii lui 2 1,174367... . Să luăm următoarea aproximare zecimală a unui indicator irațional: . Acum ridicăm 2 la o putere rațională de 1,17 (am descris esența acestui proces în paragraful anterior), obținem 2 1,17 ≈ 2,250116. Prin urmare, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Dacă luăm o aproximare zecimală mai precisă a unui exponent irațional, de exemplu, , atunci obținem o valoare mai precisă a gradului inițial: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică Zh pentru 5 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 7 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: un manual pentru 9 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

Lecția va lua în considerare o versiune mai generalizată a înmulțirii fracțiilor - aceasta este exponențiația. În primul rând, vom vorbi despre gradul natural al fracției și exemple care demonstrează acțiuni similare cu fracțiile. La începutul lecției, vom repeta, de asemenea, ridicarea la o putere naturală a expresiilor întregi și vom vedea cum este utilă pentru a rezolva alte exemple.

Tema: Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecția: Ridicarea unei fracții algebrice la o putere

1. Reguli pentru ridicarea fracțiilor și a expresiilor întregi la puteri naturale cu exemple elementare

Regula pentru ridicarea fracțiilor ordinare și algebrice la puteri naturale:

Puteți face o analogie cu gradul unei expresii întregi și vă puteți aminti ce înseamnă ridicarea acesteia la o putere:

Exemplul 1 .

După cum puteți vedea din exemplu, ridicarea unei fracții la o putere este caz specialînmulțirea fracțiilor, care a fost studiat în lecția anterioară.

Exemplul 2. a), b) - minus dispare, pentru că am ridicat expresia la o putere uniformă.

Pentru confortul de a lucra cu grade, amintim regulile de bază pentru ridicarea la o putere naturală:

- produsul gradelor;

- împărțirea gradelor;

Ridicarea unui grad la o putere;

Gradul lucrării.

Exemplul 3. - acest lucru ne este cunoscut încă de la tema „Ridicarea la puterea expresiilor întregi”, cu excepția unui caz: nu există.

2. Cele mai simple exemple pentru ridicarea fracțiilor algebrice la puteri naturale

Exemplul 4. Ridicați o fracție la o putere.

Decizie. Când este ridicat la o putere egală, minus dispare:

Exemplul 5. Ridicați o fracție la o putere.

Decizie. Acum folosim regulile pentru ridicarea imediată a unui grad la o putere fără un program separat:

.

Acum luați în considerare sarcinile combinate în care va trebui să ridicăm fracții la o putere, să le înmulțim și să împărțim.

Exemplul 6: Efectuați acțiuni.

Decizie. . În continuare, trebuie să faceți o reducere. Vom descrie o dată în detaliu cum vom face acest lucru și apoi vom indica rezultatul imediat prin analogie:. În mod similar (sau după regula împărțirii gradelor). Noi avem: .

Exemplul 7: Efectuați acțiuni.

Decizie. . Reducerea se realizează prin analogie cu exemplul discutat mai devreme.

Exemplul 8: Efectuați acțiuni.

Decizie. . LA acest exemplu am descris încă o dată mai detaliat procesul de reducere a puterilor în fracții pentru a consolida această metodă.

3. Exemple mai complexe de ridicare a fracțiilor algebrice la puteri naturale (ținând cont de semne și cu termeni între paranteze)

Exemplul 9: Efectuați acțiuni .

Decizie. În acest exemplu, vom omite deja înmulțirea separată a fracțiilor și vom folosi imediat regula pentru înmulțirea lor și o vom scrie sub un numitor. În același timp, urmărim semnele - în acest caz, fracțiile sunt ridicate la puteri egale, astfel încât minusurile dispar. Să facem o reducere la final.

Exemplul 10: Efectuați acțiuni .

Decizie. În acest exemplu, există o împărțire a fracțiilor, amintiți-vă că în acest caz prima fracție este înmulțită cu a doua, dar inversată.

Subiectul se rezumă la faptul că trebuie să înmulțim fracții identice. Acest articol vă va spune ce regulă trebuie să utilizați pentru a ridica corect fracțiile algebrice la puteri naturale.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regula pentru ridicarea unei fracții algebrice la o putere, dovada acesteia

Înainte de a începe să ridici la o putere, trebuie să-ți aprofundezi cunoștințele cu ajutorul unui articol despre o diplomă cu un indicator natural, unde există un produs al acelorași factori care stau la baza gradului, iar numărul lor este determinat de indicator. De exemplu, numărul 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Când ridicăm la o putere, cel mai adesea folosim regula. Pentru a face acest lucru, ridicați separat numărătorul și numitorul separat. Luați în considerare exemplul 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 . Regula se aplică la ridicarea unei fracțiuni la o putere naturală.

La ridicarea unei fracții algebrice la o putere naturală obținem unul nou, unde numărătorul are gradul fracției inițiale, iar numitorul are gradul numitorului. Acestea sunt toate de forma a b n = a n b n , unde a și b sunt polinoame arbitrare, b este diferit de zero și n este un număr natural.

Dovada acestei reguli se scrie ca o fracție, care trebuie ridicată la o putere, pe baza definiției în sine cu un indicator natural. Apoi obținem înmulțirea fracțiilor de forma a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . b = a n b n

Exemple, soluții

Regula de ridicare a unei fracții algebrice la o putere se realizează secvențial: mai întâi numărătorul, apoi numitorul. Când există un polinom în numărător și numitor, atunci sarcina în sine se va reduce la ridicarea polinomului dat la o putere. După aceea, va fi indicată o nouă fracție, care este egală cu cea inițială.

Exemplul 1

La pătratul fracției x 2 3 y z 3

Decizie

Este necesar să se fixeze gradul x 2 3 · y · z 3 2 . După regula ridicării unei fracții algebrice la o putere, obținem o egalitate de forma x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Acum este necesar să convertiți fracția rezultată într-o formă algebrică prin exponențiere. Apoi obținem o expresie a formei

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Toate cazurile de exponențiere nu necesită o explicație detaliată, astfel încât soluția în sine are o scurtă înregistrare. Adică înțelegem asta

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

Răspuns: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 .

Dacă numărătorul și numitorul au polinoame, atunci este necesar să ridicați întreaga fracție la o putere și apoi să aplicați formulele de înmulțire abreviate pentru a o simplifica.

Exemplul 2

Patratul fracției 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.

Decizie

Din regulă avem asta

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

Pentru a converti expresia, trebuie să utilizați formula pentru pătratul sumei a trei termeni la numitor, iar la numărător - pătratul diferenței, ceea ce va simplifica expresia. Primim:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Răspuns: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

Rețineți că atunci când ridicăm o fracție pe care nu o putem reduce la o putere naturală, obținem și o fracție ireductibilă. Acest lucru nu face mai ușor de rezolvat. Când o fracție dată poate fi redusă, atunci când este exponențiată, constatăm că este necesar să se efectueze reducerea fracției algebrice, pentru a evita efectuarea reducerii după ridicarea la putere.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Ne-am dat seama care este gradul unui număr în general. Acum trebuie să înțelegem cum să o calculăm corect, de exemplu. ridica numerele la puteri. În acest material, vom analiza regulile de bază pentru calcularea gradului în cazul unui exponent întreg, natural, fracționar, rațional și irațional. Toate definițiile vor fi ilustrate cu exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de exponentiare

Să începem cu formularea definițiilor de bază.

Definiția 1

Exponentiație este calculul valorii puterii unui număr.

Adică cuvintele „calcul valorii gradului” și „exponențiație” înseamnă același lucru. Deci, dacă sarcina este „Ridicați numărul 0 , 5 la a cincea putere”, aceasta ar trebui înțeleasă ca „calculați valoarea puterii (0 , 5) 5 .

Acum oferim regulile de bază care trebuie urmate în astfel de calcule.

Amintiți-vă ce este o putere a unui număr cu exponent natural. Pentru o putere cu baza a și exponentul n, acesta va fi produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu a. Acesta poate fi scris astfel:

Pentru a calcula valoarea gradului, trebuie să efectuați operația de înmulțire, adică să înmulțiți bazele gradului de numărul specificat de ori. Însuși conceptul de diplomă cu un indicator natural se bazează pe capacitatea de a se înmulți rapid. Să dăm exemple.

Exemplul 1

Condiție: Ridicați - 2 la puterea de 4.

Decizie

Folosind definiția de mai sus, scriem: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . În continuare, trebuie doar să urmăm acești pași și să obținem 16 .

Să luăm un exemplu mai complicat.

Exemplul 2

Calculați valoarea 3 2 7 2

Decizie

Această intrare poate fi rescrisă ca 3 2 7 · 3 2 7 . Mai devreme, am analizat cum să înmulțim corect numerele mixte menționate în condiție.

Efectuați acești pași și obțineți răspunsul: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Dacă sarcina indică necesitatea de a ridica numerele iraționale la o putere naturală, va trebui mai întâi să le rotunjim bazele la o cifră care ne va permite să obținem un răspuns cu precizia dorită. Să luăm un exemplu.

Exemplul 3

Efectuați pătratul numărului π .

Decizie

Să o rotunjim mai întâi la sutimi. Atunci π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Dacă π ≈ 3 . 14159, atunci vom obține un rezultat mai precis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Rețineți că necesitatea de a calcula puterile numerelor iraționale în practică apare relativ rar. Putem apoi să scriem răspunsul ca puterea însăși (ln 6) 3 sau să convertim dacă este posibil: 5 7 = 125 5 .

Separat, trebuie indicat care este prima putere a unui număr. Aici vă puteți aminti că orice număr ridicat la prima putere va rămâne el însuși:

Acest lucru este clar din înregistrare. .

Nu depinde de baza gradului.

Exemplul 4

Deci, (− 9) 1 = − 9 , iar 7 3 ridicat la prima putere rămâne egal cu 7 3 .

Pentru comoditate, vom analiza trei cazuri separat: dacă exponentul este un întreg pozitiv, dacă este zero și dacă este un număr întreg negativ.

În primul caz, aceasta este același lucru cu ridicarea la o putere naturală: la urma urmei, numerele întregi pozitive aparțin mulțimii numerelor naturale. Am descris deja cum să lucrăm cu astfel de grade mai sus.

Acum să vedem cum să ridicăm corect la puterea zero. Cu o bază care este diferită de zero, acest calcul produce întotdeauna o ieșire de 1. Am explicat anterior că puterea 0 a lui a poate fi definită pentru oricare numar real, nu este egal cu 0 , iar a 0 = 1 .

Exemplul 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nedefinit.

Ne rămâne doar cazul unui grad cu exponent întreg negativ. Am discutat deja că astfel de grade pot fi scrise ca o fracție 1 a z, unde a este orice număr și z este un număr întreg negativ. Vedem că numitorul acestei fracții nu este altceva decât grad obișnuit cu un întreg pozitiv și am învățat deja cum să-l calculăm. Să dăm exemple de sarcini.

Exemplul 6

Ridicați 3 la puterea -2.

Decizie

Folosind definiția de mai sus, scriem: 2 - 3 = 1 2 3

Calculăm numitorul acestei fracții și obținem 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Atunci răspunsul este: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemplul 7

Ridicați 1, 43 la puterea -2.

Decizie

Reformulați: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calculăm pătratul la numitor: 1,43 1,43. Decimalele pot fi înmulțite astfel:

Ca rezultat, am obținut (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Rămâne să scriem acest rezultat sub forma unei fracții obișnuite, pentru care este necesar să-l înmulțim cu 10 mii (a se vedea materialul despre conversia fracțiilor).

Răspuns: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caz separat este ridicarea unui număr la prima putere minus. Valoarea unui astfel de grad este egală cu numărul opus valorii inițiale a bazei: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exemplul 8

Exemplu: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cum se ridică un număr la o putere fracțională

Pentru a efectua o astfel de operație, trebuie să ne amintim definiția de bază a unui grad cu un exponent fracționar: a m n \u003d a m n pentru orice a pozitiv, întreg m și n natural.

Definiția 2

Astfel, calculul unui grad fracționar trebuie efectuat în două etape: ridicarea la o putere întreagă și găsirea rădăcinii gradului al n-lea.

Avem egalitatea a m n = a m n , care, având în vedere proprietățile rădăcinilor, este de obicei folosită pentru a rezolva probleme sub forma a m n = a n m . Aceasta înseamnă că dacă ridicăm numărul a la o putere fracțională m / n, atunci mai întâi extragem rădăcina gradului al n-lea din a, apoi ridicăm rezultatul la o putere cu un exponent întreg m.

Să ilustrăm cu un exemplu.

Exemplul 9

Calculați 8 - 2 3 .

Decizie

Metoda 1. Conform definiției de bază, putem reprezenta aceasta ca: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Acum să calculăm gradul sub rădăcină și să extragem a treia rădăcină din rezultat: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Să transformăm egalitatea de bază: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

După aceea, extragem rădăcina 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 și pătratăm rezultatul: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vedem că soluțiile sunt identice. Puteți folosi în orice mod doriți.

Există cazuri când gradul are un indicator exprimat ca număr mixt sau fracție zecimală. Pentru ușurință de calcul, este mai bine să o înlocuiți cu o fracție obișnuită și să numărați așa cum este indicat mai sus.

Exemplul 10

Ridicați 44,89 la puterea de 2,5.

Decizie

Convertiți valoarea indicatorului în fracție comună - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Și acum efectuăm toate acțiunile indicate mai sus în ordine: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 100 50 = 100 50 13 501, 25107

Răspuns: 13501, 25107.

Dacă există numere mari în numărătorul și numitorul unui exponent fracționar, atunci calcularea unor astfel de exponenți cu exponenți raționali este o muncă destul de dificilă. De obicei necesită tehnologie computerizată.

Separat, ne oprim asupra gradului cu o bază zero și un exponent fracționar. O expresie de forma 0 m n i se poate da următorul sens: dacă m n > 0, atunci 0 m n = 0 m n = 0 ; dacă m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cum să ridici un număr la o putere irațională

Necesitatea de a calcula valoarea gradului, în indicatorul căruia există un număr irațional, nu apare atât de des. În practică, sarcina este de obicei limitată la calcularea unei valori aproximative (până la un anumit număr de zecimale). Acest lucru este de obicei calculat pe un computer datorită complexității unor astfel de calcule, așa că nu ne vom opri în detaliu, ci vom indica doar principalele prevederi.

Dacă trebuie să calculăm valoarea gradului a cu un exponent irațional a , atunci luăm aproximarea zecimală a exponentului și numărăm din acesta. Rezultatul va fi un răspuns aproximativ. Cu cât aproximarea zecimală luată este mai precisă, cu atât răspunsul este mai precis. Să arătăm cu un exemplu:

Exemplul 11

Calculați o valoare aproximativă de 21 , 174367 ....

Decizie

Ne restrângem la aproximarea zecimală a n = 1 , 17 . Să facem calculele folosind acest număr: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Dacă luăm, de exemplu, aproximarea a n = 1 , 1743 , atunci răspunsul va fi puțin mai precis: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter