Gradul este o fracție simplă. Ridicarea unei fracții algebrice la o putere: regulă, exemple

Lecția va lua în considerare o versiune mai generalizată a înmulțirii fracțiilor - aceasta este exponențiația. În primul rând, vom vorbi despre gradul natural al unei fracții și despre exemple care demonstrează acțiuni similare cu fracțiile. La începutul lecției, vom repeta, de asemenea, ridicarea la o putere naturală a expresiilor întregi și vom vedea cum este utilă pentru a rezolva alte exemple.

Tema: Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecția: Construcții fracție algebricăîntr-o măsură

1. Reguli pentru ridicarea fracțiilor și a expresiilor întregi la puteri naturale cu exemple elementare

Regula pentru ridicarea fracțiilor ordinare și algebrice la puteri naturale:

Puteți face o analogie cu gradul unei expresii întregi și vă puteți aminti ce înseamnă ridicarea acesteia la o putere:

Exemplul 1 .

După cum puteți vedea din exemplu, ridicarea unei fracții la o putere este caz specialînmulțirea fracțiilor, care a fost studiat în lecția anterioară.

Exemplul 2. a), b) - minus dispare, pentru că am ridicat expresia la o putere uniformă.

Pentru confortul de a lucra cu grade, amintim regulile de bază pentru ridicarea la o putere naturală:

- produsul gradelor;

- împărțirea gradelor;

Ridicarea unui grad la o putere;

Gradul lucrării.

Exemplul 3. - acest lucru ne este cunoscut încă de la tema „Ridicarea la puterea expresiilor întregi”, cu excepția unui caz: nu există.

2. Cele mai simple exemple pentru ridicarea fracțiilor algebrice la puteri naturale

Exemplul 4. Ridicați o fracție la o putere.

Decizie. Când este ridicat la o putere egală, minus dispare:

Exemplul 5. Ridicați o fracție la o putere.

Decizie. Acum folosim regulile pentru ridicarea imediată a unui grad la o putere fără un program separat:

Acum luați în considerare sarcinile combinate în care va trebui să ridicăm fracții la o putere, să le înmulțim și să împărțim.

Exemplul 6: Efectuați acțiuni.

Decizie. . În continuare, trebuie să faceți o reducere. Vom descrie o dată în detaliu cum vom face acest lucru și apoi vom indica rezultatul imediat prin analogie:. În mod similar (sau după regula împărțirii gradelor). Noi avem: .

Exemplul 7: Efectuați acțiuni.

Decizie. . Reducerea se realizează prin analogie cu exemplul discutat mai devreme.

Exemplul 8: Efectuați acțiuni.

Decizie. . LA acest exemplu am descris încă o dată mai detaliat procesul de reducere a puterilor în fracții pentru a consolida această metodă.

3. Exemple mai complexe de ridicare a fracțiilor algebrice la puteri naturale (ținând cont de semne și cu termeni între paranteze)

Exemplul 9: Efectuați acțiuni .

Decizie. În acest exemplu, vom omite deja înmulțirea separată a fracțiilor și vom folosi imediat regula pentru înmulțirea lor și o vom scrie sub un numitor. În același timp, urmărim semnele - în acest caz, fracțiile sunt ridicate la puteri egale, astfel încât minusurile dispar. Să facem o reducere la final.

Exemplul 10: Efectuați acțiuni .

Decizie. În acest exemplu, există o împărțire a fracțiilor, amintiți-vă că în acest caz prima fracție este înmulțită cu a doua, dar inversată.

Exponentiația este o operație strâns legată de înmulțire, această operație este rezultatul înmulțirii multiple a unui număr de la sine. Să reprezentăm formula: a1 * a2 * ... * an = an.

De exemplu, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

În general, exponentiația este adesea folosită în diverse formule din matematică și fizică. Această funcție are un scop mai științific decât cele patru de bază: Adunare, Scădere, Înmulțire, Împărțire.

Ridicarea unui număr la o putere

Ridicarea unui număr la o putere nu este o operațiune dificilă. Este legat de înmulțire ca și relația dintre înmulțire și adunare. Înregistrați an - o scurtă înregistrare a celui de-al n-lea număr de numere „a” înmulțite între ele.

Luați în considerare cel mult exponentiația exemple simple trecând la cele complexe.

De exemplu, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Patru pătrat (la a doua putere) este egal cu șaisprezece. Dacă nu înțelegeți înmulțirea 4 * 4, atunci citiți articolul nostru despre înmulțire.

Să ne uităm la un alt exemplu: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Cinci cubi (la a treia putere) este egal cu o sută douăzeci și cinci.

Un alt exemplu: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nouă cuburi este egal cu șapte sute douăzeci și nouă.

Formule de exponentiare

Pentru a ridica corect la o putere, trebuie să vă amintiți și să cunoașteți formulele de mai jos. Nu există nimic dincolo de natural în asta, principalul lucru este să înțelegeți esența și atunci nu numai că vor fi amintite, ci vor părea și ușoare.

Ridicarea unui monom la putere

Ce este un monom? Acesta este produsul numerelor și variabilelor în orice cantitate. De exemplu, doi este un monom. Și acest articol este despre ridicarea unor astfel de monomii la putere.

Folosind formule de exponențiere, nu va fi dificil să se calculeze exponențiația unui monom la o putere.

De exemplu, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Dacă ridicați un monom la o putere, atunci fiecare componentă a monomului este ridicată la o putere.

Când se ridică o variabilă care are deja un grad la o putere, gradele sunt înmulțite. De exemplu, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Ridicarea la o putere negativă

Un exponent negativ este reciproca unui număr. Ce este o reciprocă? Pentru orice număr X, reciproca este 1/X. Adică X-1=1/X. Aceasta este esența gradului negativ.

Luați în considerare exemplul (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

De ce este asta? Deoarece există un minus în grad, pur și simplu transferăm această expresie la numitor și apoi o ridicăm la a treia putere. Doar corect?

Ridicarea la o putere fracționată

Să începem discuția exemplu concret. 43/2. Ce înseamnă putere 3/2? 3 - numărător, înseamnă ridicarea unui număr (în acest caz 4) la un cub. Numărul 2 este numitorul, aceasta este extragerea celei de-a doua rădăcini a numărului (în acest caz 4).

Apoi obținem rădăcina pătrată a lui 43 = 2^3 = 8 . Raspuns: 8.

Deci, numitorul unui grad fracționar poate fi fie 3, fie 4 și la infinit orice număr, iar acest număr determină gradul rădăcină pătrată extras din număr dat. Desigur, numitorul nu poate fi zero.

Ridicarea unei rădăcini la o putere

Dacă rădăcina este ridicată la o putere egală cu puterea rădăcinii însăși, atunci răspunsul este expresia radicală. De exemplu, (√x)2 = x. Și așa în orice caz de egalitate a gradului de rădăcină și a gradului de ridicare a rădăcinii.

Dacă (√x)^4. Atunci (√x)^4=x^2. Pentru a verifica soluția, traducem expresia într-o expresie cu grad fracționar. Deoarece rădăcina este pătrată, numitorul este 2. Și dacă rădăcina este ridicată la a patra putere, atunci numărătorul este 4. Obținem 4/2=2. Răspuns: x = 2.

Oricum cel mai bun mod convertiți doar expresia într-o expresie cu o putere fracțională. Dacă fracția nu este redusă, atunci un astfel de răspuns va fi, cu condiția ca rădăcina numărului dat să nu fie alocată.

Exponentiarea unui numar complex

Ce este un număr complex? Un număr complex este o expresie care are formula a + b * i; a, b sunt numere reale. i este numărul care, la pătrat, dă numărul -1.

Luați în considerare un exemplu. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Înscrieți-vă la cursul „Accelerează numărarea mentală, NU aritmetica mentală” pentru a învăța cum să adunăm, scădeți, înmulțiți, împărțiți, pătrați și chiar să luați rădăcini rapid și corect. În 30 de zile, vei învăța cum să folosești trucuri simple pentru a simplifica operațiile aritmetice. Fiecare lecție conține tehnici noi, exemple clare și sarcini utile.

Exponentiație online

Cu ajutorul calculatorului nostru, puteți calcula exponențiația unui număr la o putere:

Gradul de exponentiare 7

Ridicarea la putere începe să treacă de școlari abia în clasa a șaptea.

Exponentiația este o operație strâns legată de înmulțire, această operație este rezultatul înmulțirii multiple a unui număr de la sine. Să reprezentăm formula: a1 * a2 * … * an=an .

De exemplu, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Exemple de soluții:

Prezentarea exponentiatiei

Prezentare despre exponențiere, destinată elevilor de clasa a VII-a. Prezentarea poate clarifica unele puncte de neînțeles, dar probabil că nu vor exista astfel de puncte datorită articolului nostru.

Rezultat

Am luat în considerare doar vârful aisbergului, pentru a înțelege mai bine matematica - înscrie-te la cursul nostru: Accelerează aritmetica mentală - NU aritmetica mentală.

Din curs, nu numai că vei învăța zeci de trucuri pentru înmulțirea simplificată și rapidă, adunarea, înmulțirea, împărțirea, calcularea procentelor, dar și le vei rezolva în sarcini speciale și jocuri educaționale! Numărarea mentală necesită, de asemenea, multă atenție și concentrare, care sunt antrenate activ în rezolvarea problemelor interesante.

Instruire

Dacă în sursă este dat în formatul unei fracții obișnuite, atunci operația trebuie efectuată în doi pași. Secvența lor nu va afecta în niciun fel rezultatul - începeți, de exemplu, prin extragerea din numărul rădăcinii gradului indicat în numitorul fracției. De exemplu, a ridica la grad⅔ din acesta trebuie extras numărul 64 la acest pas: 64^⅔ = (³√64)² = 4².

Ridicati valoarea obtinuta in primul pas la grad egal cu numărul din numărătorul fracției. Rezultatul acestei operații va fi rezultatul creșterii numărului la un fracționar grad. Pentru exemplul de la pasul anterior, întregul proces de calcul poate fi scris astfel: 64^⅔ = (³√64)² = 4² = 16.

Porniți de la simplitatea calculelor la determinarea succesiunii operațiilor descrise mai sus, extragerea rădăcinii și ridicarea la grad. De exemplu, dacă ar fi cerut în același grad⅔ pentru a ridica numărul 8, apoi începând cu luarea rădăcinii cubice a celor opt ar fi , deoarece rezultatul ar fi un fracționar . În acest caz, este mai bine să începeți cu 8 la pătrat, apoi să luați a treia rădăcină a lui 64 și astfel să evitați valorile intermediare fracționale: 8^⅔ = ³√(8²) = ³√64 = 4.

Dacă exponentul din datele sursă este dat în format zecimal, începeți prin a-l converti într-o fracție obișnuită și apoi urmați algoritmul descris mai sus. De exemplu, pentru a ridica un număr la grad 0,75 transformă această cifră într-o fracție obișnuită ¾, apoi extrage a patra rădăcină și ridică rezultatul la un cub.

Folosiți oricare dacă cursul calculelor nu contează, ci doar rezultatul este important. Poate fi, de asemenea, un script încorporat în motor de căutare Google- cu ajutorul lui valoarea dorită chiar mai ușor decât utilizarea calculatorului standard Windows. De exemplu, pentru a ridica numărul 15 la grad⅗ du-te la pagina principala site și introduceți 15^(3/5) în câmpul de căutare. Google va afișa rezultatul calculelor cu o precizie de până la 8 caractere chiar și fără a apăsa butonul de trimitere cerere: 15 ^ (3 / 5) = 5,07755639.

Surse:

cum se ridică la o putere fracționată

grad numerele rezolvat la școală la lecțiile de algebră. În viață, o astfel de operație este rar efectuată. De exemplu, atunci când se calculează aria unui pătrat sau volumul unui cub, se folosesc exponenți, deoarece lungimea, lățimea și pentru un cub și înălțimea sunt valori egale. În caz contrar, exponentiația este cel mai adesea de natură industrială aplicată.

Vei avea nevoie

Hârtie, stilou, calculator de inginerie, tabele de grade, produse software (de exemplu, un editor de foi de calcul Excel).

Instruire

Când lucrați cu un număr negativ, trebuie să fiți atenți la semne. Trebuie amintit că un grad par (n) va da un semn plus, unul impar - un semn.
de exemplu
(-7)^2 = (-7)*(-7) = 49
(-7)^3 = (-7)*(-7)*(-7) = 343

Grad zero (n = 0) de la oricare numerele va fi întotdeauna egal cu unu.
15^0 = 1
(-6)^0 = 1
(1/3)^0 = 1 Dacă n = 1, numărul nu trebuie să fie înmulțit cu el însuși.
Voi
7^1 = 7
329^1 = 329

Dacă n = 2, atunci gradul este un pătrat, dacă n = 3, gradul se numește cub. Calcularea pătratului și a cubului din numerele primelor zece este destul de ușor de făcut. Dar cu o creștere numerele ridicat la o putere, iar pe măsură ce puterea însăși crește, calculele devin laborioase. Pentru astfel de calcule au fost elaborate tabele speciale. Există, de asemenea, calculatoare speciale de inginerie și online, produse software. Fiind cel mai simplu software pentru operațiuni cu, puteți utiliza editorul de foi de calcul Excel.

Surse:

http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

La rezolvarea unor probleme tehnice, poate fi necesar să se calculeze rădăcină al treilea grad. Uneori, acest număr este numit și rădăcină cubă. rădăcină al treilea grad dintr-un număr dat se numește un astfel de număr, al cărui cub (gradul trei) este egal cu cel dat. Adică dacă y rădăcină al treilea grad numerele x, atunci trebuie îndeplinită următoarea condiție: y?=x (x este egal cu y cub).

Vei avea nevoie

calculator sau calculator

Instruire

A număra rădăcină grad folosiți calculatorul. Este de dorit ca acesta să nu fie unul obișnuit, ci un calculator folosit pentru calcule de inginerie. Cu toate acestea, nici pe aceasta nu veți găsi un buton special pentru extragerea rădăcinii. al treilea grad. Deci folosiți o funcție pentru a ridica un număr la o putere. Extragerea rădăcinii al treilea grad corespunde ridicării la puterea de 1/3 (o treime).

Pentru a ridica un număr la puterea de 1/3, introduceți numărul însuși pe tastatura calculatorului. Apoi apăsați tasta „exponentiation”. Un astfel de buton, în funcție de tipul de calculator, poate arăta ca xy (y - sub forma unui superscript). Deoarece majoritatea calculatoarelor nu au capacitatea de a lucra cu numere obișnuite (non-zecimale), în loc de numărul 1/3, introduceți valoarea sa aproximativă: 0,33. Pentru a obține o precizie mai mare a calculelor, este necesar să creșteți numărul de „triple”, de exemplu, formați 0.33333333333333. Apoi, apăsați butonul „=".

A număra rădăcină al treilea grad pe , utilizați calculatorul standard Windows. Procedura este complet similară cu cea descrisă în paragraful anterior al instrucțiunii. Singurul lucru sunt butoanele de exponentiare. Pe un calculator „calculator”, arată ca x ^ y.

În cazul în care un rădăcină al treilea grad Dacă trebuie să o faci sistematic, atunci folosește MS Excel. A număra rădăcină al treilea gradîn Excel, introduceți semnul „=” în orice celulă, apoi selectați „fx” - inserați o funcție. În fereastra care apare, în lista „Selectați o funcție”, selectați linia „GRAD”. Faceți clic pe butonul OK. În fereastra nou apărută, introduceți în rândul „Număr” valoarea numărului din care doriți să extrageți rădăcină. În rândul „Grad” introduceți numărul „1/3” și faceți clic pe „OK”. Valoarea dorită a rădăcinii cubice din numărul original va apărea în tabel.

În calculele tehnice și în rezolvarea multor probleme, uneori se cere rădăcină, adică găsiți un număr al cărui cub este egal cu cel original. Un calculator de inginerie este suficient pentru a calcula valoarea rădăcinii cubice. Cu toate acestea, chiar și pe un astfel de calculator nu există o cheie specială pentru calcularea rădăcinii cubice. Dar folosind câteva trucuri simple, te poți descurca fără un astfel de buton.

Vei avea nevoie

calculator sau calculator de inginerie

Instruire

Pentru a găsi rădăcina cubă folosind un calculator, luați numărul de inginerie și introduceți numărul original pe el. Apoi, faceți clic pe butonul de exponențiere. Acum introduceți valoarea indicatorului. În acest caz, (teoretic) ar trebui să fie egal cu 1/3. Dar, deoarece utilizarea fracțiilor obișnuite chiar și pe un calculator de inginerie este dificilă, atunci formați valoarea rotunjită a numărului 1/3, adică: 0,33. Apoi faceți clic pe butonul „=". Valoarea dorită va apărea pe indicatorul calculatorului. Pentru a obține mai mult valoare exacta, nu formați două triple, ci, de exemplu, 0,333333333333.

Pentru a calcula rădăcina cubului pe un computer, rulați programul calculatorului. Dacă pictograma corespunzătoare nu este pe desktop, procedați în felul următor:
- apăsați butonul „Start”;
- selectați elementul de meniu „Run”;
- introduceți linia „calc” în fereastra care apare. Dacă calculatorul care apare pe desktop are un aspect normal (seamănă cu un „calculator de contabilitate”), atunci treceți-l în modul de calcul. Pentru a face acest lucru, selectați linia "Vizualizare" și selectați elementul "Inginerie". Acum introduceți numărul din care doriți să extrageți rădăcina cubului. Apoi apăsați butonul „x^y” de pe calculator. Apoi, formați , de exemplu, 0,33. Pentru a obține un rezultat mai precis, puteți introduce o valoare mai mare a exponentului, de exemplu, 0,333333333333. Pentru a obține un rezultat precis, introduceți exponentul „1/3” între paranteze. Adică, apăsați tastele „(1/3)” în succesiune.

Calculul in Excel. Rulați programul în sine, apăsați butonul „=" și selectați funcția „GRADĂ”. Apoi introduceți numărul din care doriți să extrageți rădăcina gradului. Apoi, în următoarea fereastră care apare, tastați fracția „1/3” și faceți clic pe butonul „OK”.

Videoclipuri asemănătoare

Surse:

cum se calculează rădăcini cubice

Când rezolvați probleme aritmetice și algebrice, uneori este necesar să construiți fracțiuneîn pătrat. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este când fracțiune zecimală - un calculator obișnuit este suficient. Cu toate acestea, dacă fracțiune obișnuit sau mixt, apoi la ridicarea unui astfel de număr la pătrat pot apărea unele dificultăți.

Ne-am dat seama care este gradul unui număr în general. Acum trebuie să înțelegem cum să o calculăm corect, de exemplu. ridica numerele la puteri. În acest material, vom analiza regulile de bază pentru calcularea gradului în cazul unui exponent întreg, natural, fracționar, rațional și irațional. Toate definițiile vor fi ilustrate cu exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Conceptul de exponentiare

Să începem cu formularea definițiilor de bază.

Definiția 1

Exponentiație este calculul valorii puterii unui număr.

Adică cuvintele „calcul valorii gradului” și „exponențiație” înseamnă același lucru. Deci, dacă sarcina este „Ridicați numărul 0 , 5 la a cincea putere”, aceasta ar trebui înțeleasă ca „calculați valoarea puterii (0 , 5) 5 .

Acum oferim regulile de bază care trebuie urmate în astfel de calcule.

Amintiți-vă ce este o putere a unui număr cu exponent natural. Pentru o putere cu baza a și exponentul n, acesta va fi produsul celui de-al n-lea număr de factori, fiecare dintre care este egal cu a. Acesta poate fi scris astfel:

Pentru a calcula valoarea gradului, trebuie să efectuați operația de înmulțire, adică să înmulțiți bazele gradului de numărul specificat de ori. Însuși conceptul de diplomă cu un indicator natural se bazează pe capacitatea de a se înmulți rapid. Să dăm exemple.

Exemplul 1

Condiție: Ridicați - 2 la puterea de 4.

Decizie

Folosind definiția de mai sus, scriem: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . În continuare, trebuie doar să urmăm acești pași și să obținem 16 .

Să luăm un exemplu mai complicat.

Exemplul 2

Calculați valoarea 3 2 7 2

Decizie

Această intrare poate fi rescrisă ca 3 2 7 · 3 2 7 . Mai devreme, am analizat cum să înmulțim corect numerele mixte menționate în condiție.

Efectuați acești pași și obțineți răspunsul: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Dacă sarcina indică necesitatea de a ridica numerele iraționale la o putere naturală, va trebui mai întâi să le rotunjim bazele la o cifră care ne va permite să obținem un răspuns cu precizia dorită. Să luăm un exemplu.

Exemplul 3

Efectuați pătratul numărului π .

Decizie

Să o rotunjim mai întâi la sutimi. Atunci π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Dacă π ≈ 3 . 14159, atunci vom obține un rezultat mai precis: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Rețineți că necesitatea de a calcula puterile numerelor iraționale în practică apare relativ rar. Putem apoi să scriem răspunsul ca puterea însăși (ln 6) 3 sau să convertim dacă este posibil: 5 7 = 125 5 .

Separat, trebuie indicat care este prima putere a unui număr. Aici vă puteți aminti că orice număr ridicat la prima putere va rămâne el însuși:

Acest lucru este clar din înregistrare. .

Nu depinde de baza gradului.

Exemplul 4

Deci, (− 9) 1 = − 9 , iar 7 3 ridicat la prima putere rămâne egal cu 7 3 .

Pentru comoditate, vom analiza trei cazuri separat: dacă exponentul este un întreg pozitiv, dacă este zero și dacă este un număr întreg negativ.

În primul caz, aceasta este același lucru cu ridicarea la o putere naturală: la urma urmei, numerele întregi pozitive aparțin mulțimii numerelor naturale. Am descris deja cum să lucrăm cu astfel de grade mai sus.

Acum să vedem cum să ridicăm corect la puterea zero. Cu o bază care este diferită de zero, acest calcul produce întotdeauna o ieșire de 1. Am explicat anterior că puterea 0 a lui a poate fi definită pentru oricare numar real, nu este egal cu 0 , iar a 0 = 1 .

Exemplul 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nedefinit.

Ne rămâne doar cazul unui grad cu exponent întreg negativ. Am discutat deja că astfel de grade pot fi scrise ca o fracție 1 a z, unde a este orice număr și z este un număr întreg negativ. Vedem că numitorul acestei fracții nu este altceva decât un grad obișnuit cu un întreg pozitiv și am învățat deja cum să-l calculăm. Să dăm exemple de sarcini.

Exemplul 6

Ridicați 3 la puterea -2.

Decizie

Folosind definiția de mai sus, scriem: 2 - 3 = 1 2 3

Calculăm numitorul acestei fracții și obținem 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Atunci răspunsul este: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Exemplul 7

Ridicați 1, 43 la puterea -2.

Decizie

Reformulați: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Calculăm pătratul la numitor: 1,43 1,43. Decimalele pot fi înmulțite astfel:

Ca rezultat, am obținut (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Rămâne să scriem acest rezultat sub forma unei fracții obișnuite, pentru care este necesar să-l înmulțim cu 10 mii (a se vedea materialul despre conversia fracțiilor).

Răspuns: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Un caz separat este ridicarea unui număr la prima putere minus. Valoarea unui astfel de grad este egală cu numărul opus valorii inițiale a bazei: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Exemplul 8

Exemplu: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cum se ridică un număr la o putere fracțională

Pentru a efectua o astfel de operație, trebuie să ne amintim definiția de bază a unui grad cu un exponent fracționar: a m n \u003d a m n pentru orice a pozitiv, întreg m și n natural.

Definiția 2

Astfel, calculul unui grad fracționar trebuie efectuat în două etape: ridicarea la o putere întreagă și găsirea rădăcinii gradului al n-lea.

Avem egalitatea a m n = a m n , care, având în vedere proprietățile rădăcinilor, este de obicei folosită pentru a rezolva probleme sub forma a m n = a n m . Aceasta înseamnă că dacă ridicăm numărul a la o putere fracțională m / n, atunci mai întâi extragem rădăcina gradului al n-lea din a, apoi ridicăm rezultatul la o putere cu un exponent întreg m.

Să ilustrăm cu un exemplu.

Exemplul 9

Calculați 8 - 2 3 .

Decizie

Metoda 1. Conform definiției de bază, putem reprezenta aceasta ca: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Acum să calculăm gradul sub rădăcină și să extragem a treia rădăcină din rezultat: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Să transformăm egalitatea de bază: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

După aceea, extragem rădăcina 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 și pătratăm rezultatul: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vedem că soluțiile sunt identice. Puteți folosi în orice mod doriți.

Există cazuri când gradul are un indicator exprimat ca număr mixt sau fracție zecimală. Pentru ușurință de calcul, este mai bine să o înlocuiți cu o fracție obișnuită și să numărați așa cum este indicat mai sus.

Exemplul 10

Ridicați 44,89 la puterea de 2,5.

Decizie

Să convertim valoarea indicatorului într-o fracție obișnuită - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Și acum efectuăm toate acțiunile indicate mai sus în ordine: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 100 50 = 100 50 13 501, 25107

Răspuns: 13501, 25107.

Dacă numărătorul și numitorul unui exponent fracționar sunt numere mari, apoi calculul unor astfel de puteri cu indicatori raționali- muncă destul de dificilă. De obicei necesită tehnologie computerizată.

Separat, ne oprim asupra gradului cu o bază zero și un exponent fracționar. O expresie de forma 0 m n i se poate da următorul sens: dacă m n > 0, atunci 0 m n = 0 m n = 0 ; dacă m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cum să ridici un număr la o putere irațională

Necesitatea de a calcula valoarea gradului, în indicatorul căruia există un număr irațional, nu apare atât de des. În practică, sarcina este de obicei limitată la calcularea unei valori aproximative (până la un anumit număr de zecimale). Acest lucru este de obicei calculat pe un computer datorită complexității unor astfel de calcule, așa că nu ne vom opri în detaliu, ci vom indica doar principalele prevederi.

Dacă trebuie să calculăm valoarea gradului a cu un exponent irațional a , atunci luăm aproximarea zecimală a exponentului și numărăm din acesta. Rezultatul va fi un răspuns aproximativ. Cu cât aproximarea zecimală luată este mai precisă, cu atât răspunsul este mai precis. Să arătăm cu un exemplu:

Exemplul 11

Calculați o valoare aproximativă de 21 , 174367 ....

Decizie

Ne restrângem la aproximarea zecimală a n = 1 , 17 . Să facem calculele folosind acest număr: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Dacă luăm, de exemplu, aproximarea a n = 1 , 1743 , atunci răspunsul va fi puțin mai precis: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Vei avea nevoie

calculator, calculator, aplicație excel.

Instruire

Pentru a ridica o zecimală fracțiuneîn pătrat, luați unul de inginerie, apelați pe acesta fiind încorporat pătrat fracțiuneși apăsați tasta de exponențiere. Pe majoritatea calculatoarelor, acest buton este etichetat „x²”. Pe un calculator standard Windows, ridicarea la pătrat arată ca „x^2”. De exemplu, pătrat fracția zecimală 3,14 va fi egală cu: 3,14² = 9,8596.

A ridica la pătrat zecimal fracțiune pe un calculator obișnuit (contabil), înmulțiți acest număr cu el însuși. Apropo, în unele modele de calculatoare este posibil să ridicați un număr la pătrat chiar dacă nu există un buton dedicat. Prin urmare, mai întâi citiți instrucțiunile pentru un anumit calculator. Uneori, pe coperta din spate sau pe calculator sunt date exponentiații „delicate”. De exemplu, pe multe calculatoare pentru ridicarea unui număr la pătrat doar apăsați butoanele „x” și „=".

Pentru erecție în pătrat fracție ordinară (formată din numărător și numitor), ridică la pătrat separat numărătorul și numitorul acestei fracții. Adică, folosiți următoarea regulă: (h / z)² = h² / z², unde h este numărătorul fracției, z este numitorul fracției. Exemplu: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Dacă este ridicat în pătrat fracțiune- mixt (constă dintr-o parte întreagă și o fracție obișnuită), apoi aduceți-l mai întâi la aspect obișnuit. Adică, aplicați următoarea formulă: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² \u003d (ts * s + h) ² / s², unde ts este partea întreagă a fracție mixtă.Exemplu: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Dacă în pătrat(nu) fracțiile sunt constante, apoi utilizați MS Excel. Pentru a face acest lucru, introduceți următoarea formulă într-unul dintre tabele: \u003d GRAD (A2; 2) unde A2 este adresa celulei în care va fi introdusă valoarea ridicată. pătrat fracțiune.Pentru a spune programului că numărul de intrare trebuie tratat ca fracțiune yu (adică nu îl convertiți în zecimală), tastați înainte fracțiune a doua cifră „0” și semnul „spațiu”. Adică, pentru a introduce, de exemplu, fracția 2/3, trebuie să introduceți: „0 2/3” (și apăsați Enter). În acest caz, linia de intrare va afișa reprezentarea zecimală a fracției introduse. Valoarea și reprezentarea fracției direct în se vor păstra în forma sa originală. În plus, la utilizare functii matematice, ale căror argumente sunt fracții ordinare, rezultatul va fi reprezentat și ca o fracție obișnuită. Prin urmare pătrat fracția 2/3 va fi reprezentată ca 4/9.