Ceea ce se numește fracție. Fracții comune

Numătorul și numitorul unei fracții. Tipuri de fracții. Să continuăm cu fracțiile. În primul rând, o mică avertizare - noi, luând în considerare fracțiile și exemplele corespunzătoare cu acestea, deocamdată vom lucra doar cu reprezentarea sa numerică. Există și fracționale expresii literale(cu și fără numere).Cu toate acestea, toate „principiile” și regulile se aplică și acestora, dar despre astfel de expresii vom vorbi separat în viitor. Recomand să vizitați și să studiați (reamintirea) subiectul fracțiilor pas cu pas.

Cel mai important este să înțelegeți, să vă amintiți și să realizați că o FRACȚIE este un NUMĂR!!!

Fracție comună este un număr de forma:

Numărul situat „sus” (în acest caz m) se numește numărător, numărul situat mai jos (numărul n) se numește numitor. Cei care tocmai au atins subiectul devin adesea confuzi - care este numele.

Iată un truc pentru tine, cum să-ți amintești pentru totdeauna - unde este numărătorul și unde este numitorul. Această tehnică este asociată cu asocierea verbal-figurativă. Imaginează-ți un borcan cu apă tulbure. Se știe că, pe măsură ce apa se depune, apa curată rămâne deasupra și turbiditatea (murdăria) se stabilește, amintiți-vă:

Apă CHISSS topită SUS (tortor CHISSS deasupra)

noroi ZZZNNN-ul de fund de apă (ZZZNN Amenator de mai jos)

Deci, de îndată ce devine necesar să ne amintim unde este numărătorul și unde este numitorul, ei au prezentat imediat vizual un borcan cu apă decantată, în care Apa pura, si sub apa murdara. Există și alte trucuri de reținut, dacă te ajută, atunci bine.

Exemple de fracții obișnuite:

Ce înseamnă linia orizontală dintre numere? Acesta nu este altceva decât un semn de diviziune. Rezultă că o fracție poate fi considerată ca exemplu cu acțiunea de împărțire. Această acțiune este pur și simplu înregistrată în acest formular. Adică, numărul de sus (numărătorul) este împărțit la numărul de jos (numitorul):

În plus, există o altă formă de înregistrare - o fracție poate fi scrisă astfel (printr-o bară oblică):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 și așa mai departe...

Putem scrie fracțiile de mai sus după cum urmează:

Rezultatul împărțirii, după cum știți, este numărul.

Clarificat - FRACȚIA ACEST NUMĂR !!!

După cum ați observat deja, într-o fracție obișnuită, numărătorul poate fi mai mic decât numitorul, poate fi mai mare decât numitorul și poate fi egal cu acesta. Aici sunt multe Puncte importante, care sunt de înțeles intuitiv, fără bibelouri teoretice. De exemplu:

1. Fracțiile 1 și 3 pot fi scrise ca 0,5 și 0,01. Să mergem puțin înainte - acestea sunt fracții zecimale, vom vorbi despre ele puțin mai jos.

2. Fracțiile 4 și 6 au ca rezultat un întreg 45:9=5, 11:1 = 11.

3. Fracția 5 dă ca rezultat o unitate 155:155 = 1.

Ce concluzii se sugerează? Următoarele:

1. Numărătorul, atunci când este împărțit la numitor, poate da un număr finit. Este posibil să nu funcționeze, împărțiți la o coloană 7 la 13 sau 17 la 11 - în niciun caz! Puteți împărți la infinit, dar vom vorbi și despre asta puțin mai jos.

2. O fracție poate rezulta într-un număr întreg. Prin urmare, putem reprezenta orice număr întreg ca o fracție, sau mai degrabă o serie infinită de fracții, uite, toate aceste fracții sunt egale cu 2:

Inca! Putem scrie întotdeauna orice număr întreg ca fracție - acest număr în sine este la numărător, unul la numitor:

3. Putem reprezenta întotdeauna o unitate ca o fracție cu orice numitor:

*Punctele indicate sunt extrem de importante pentru lucrul cu fracții în calcule și conversii.

Tipuri de fracții.

Și acum despre împărțirea teoretică a fracțiilor ordinare. Ele sunt împărțite în bine si rau.

O fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul se numește fracție proprie. Exemple:

O fracție al cărei numărător este mai mare sau egal cu numitorul se numește fracție improprie. Exemple:

fracție mixtă(număr mixt).

O fracție mixtă este o fracție scrisă ca număr întreg și fracție proprie și este înțeleasă ca suma acestui număr și a părții sale fracționale. Exemple:

O fracție mixtă poate fi întotdeauna reprezentată ca o fracție improprie și invers. Să mergem mai departe!

zecimale.

Le-am atins deja mai sus, acestea sunt exemplele (1) și (3), acum mai detaliat. Iată exemple de zecimale: 0,3 0,89 0,001 5,345.

O fracție al cărei numitor este o putere a lui 10, cum ar fi 10, 100, 1000 și așa mai departe, se numește zecimală. Nu este dificil să scrieți primele trei fracții indicate ca fracții obișnuite:

A patra este o fracție mixtă (număr mixt):

O fracție zecimală are următoarea notație - cuîncepe partea întreagă, apoi separatorul părților întregi și fracționale este un punct sau virgulă și apoi partea fracțională, numărul de cifre al părții fracționale este strict determinat de dimensiunea părții fracționale: dacă acestea sunt zecimi, partea fracțională este scrisă ca o cifră; dacă miimi - trei; zece miimi - patru etc.

Aceste fracții sunt finite și infinite.

Exemple de zecimale de sfârșit: 0,234; 0,87; 34,00005; 5.765.

Exemplele sunt nesfârșite. De exemplu, numărul Pi este o fracție zecimală infinită, dar - 0,333333333333…... 0,16666666666…. si altii. De asemenea, rezultatul extragerii rădăcinii din numerele 3, 5, 7 etc. va fi o fracție infinită.

Partea fracțională poate fi ciclică (există un ciclu în ea), cele două exemple de mai sus sunt exact aceleași, mai multe exemple:

0,123123123123…... ciclul 123

0,781781781718…... ciclul 781

0,0250102501…. ciclu 02501

Ele pot fi scrise ca 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Numărul Pi nu este o fracție ciclică, cum ar fi, de exemplu, rădăcina lui trei.

Mai jos, în exemple, vor suna cuvinte precum „întoarceți” fracția - aceasta înseamnă că numărătorul și numitorul sunt interschimbate. De fapt, o astfel de fracție are un nume - fracția reciprocă. Exemple de fracții reciproce:

Mic rezumat! Fracțiile sunt:

Obișnuit (corect și incorect).

Decimale (finite și infinite).

Mixt (numere mixte).

Asta e tot!

Cu stimă, Alexandru.

Numătorul și cel cu care este împărțit este numitorul.

Pentru a scrie o fracție, scrieți mai întâi numărătorul acesteia, apoi trageți o linie orizontală sub acest număr și scrieți numitorul sub linie. Linia orizontală care separă numărătorul și numitorul se numește bară fracțională. Uneori este descris ca un „/” sau „∕” oblic. În acest caz, numărătorul este scris în stânga liniei, iar numitorul în dreapta. Deci, de exemplu, fracția „două treimi” va fi scrisă ca 2/3. Pentru claritate, numărătorul este de obicei scris în partea de sus a liniei, iar numitorul în partea de jos, adică în loc de 2/3, puteți găsi: ⅔.

Pentru a calcula produsul fracțiilor, mai întâi înmulțiți numărătorul lui unu fractii la alt numărător. Scrieți rezultatul la numărătorul noului fractii. Apoi înmulțiți și numitorii. Specificați valoarea finală în noua fractii. De exemplu, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Pentru a împărți o fracție la alta, mai întâi înmulțiți numărătorul primei cu numitorul celei de-a doua. Faceți același lucru cu a doua fracție (divizor). Sau, înainte de a efectua toți pașii, mai întâi „întoarceți” divizorul, dacă vă este mai convenabil: numitorul ar trebui să fie în locul numărătorului. Apoi înmulțiți numitorul dividendului cu noul numitor al divizorului și înmulțiți numărătorii. De exemplu, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Surse:

• Sarcini de bază pentru fracții

Numerele fracționale vă permit să vă exprimați formă diferită valoare exacta cantități. Puteți face același lucru cu fracțiile. operatii matematice, ca și în cazul numerelor întregi: scădere, adunare, înmulțire și împărțire. Să înveți cum să decizi fractii, este necesar să ne amintim unele dintre caracteristicile lor. Ele depind de tip fractii, prezența unei părți întregi, un numitor comun. niste operatii aritmetice după execuție, ele necesită reducerea părții fracționale a rezultatului.

Vei avea nevoie

• - calculator

Instruire

Privește cu atenție numerele. Dacă există fracții zecimale și neregulate printre fracții, uneori este mai convenabil să efectuați mai întâi acțiuni cu zecimale și apoi să le convertiți în forma greșită. Poti sa traduci fractiiîn această formă inițial, scriind valoarea după virgulă la numărător și punând 10 la numitor. Dacă este necesar, reduceți fracția împărțind numerele de mai sus și de dedesubt la un divizor. Fracțiile în care se evidențiază întreaga parte duc la forma greșită înmulțind-o cu numitorul și adunând numărătorul la rezultat. Valori date va deveni noul numărător fractii. Pentru a extrage întreaga parte din inițial incorectă fractii, împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți întregul rezultat din fractii. Iar restul diviziunii devine noul numărător, numitorul fractiiîn timp ce nu se schimbă. Pentru fracțiile cu o parte întreagă, este posibil să se efectueze acțiuni separat, mai întâi pentru întregul și apoi pentru părțile fracționale. De exemplu, suma 1 2/3 și 2 ¾ poate fi calculată:
- Conversia fracțiilor la forma greșită:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Însumarea separată a părților întregi și fracționale ale termenilor:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Pentru cu fracții. Faceți același lucru pentru numitori. La împărțirea uneia fractii scrieți o fracție pe cealaltă și apoi înmulțiți-i numărătorul cu numitorul celei de-a doua. În același timp, numitorul primului fractiiînmulțit corespunzător cu numărătorul celui de-al doilea. În același timp, un fel de inversare a celui de-al doilea fractii(divizor). Fracția finală va fi din rezultatele înmulțirii numărătorilor și numitorilor ambelor fracții. Usor de invatat fractii, scris în condiția sub forma unui „cu patru etaje” fractii. Dacă separă doi fractii, rescrie-le cu un delimitator „:” și continuă cu împărțirea normală.

Pentru a obține rezultatul final, reduceți fracția rezultată împărțind numărătorul și numitorul la un număr întreg, cel mai mare posibil în acest caz. În acest caz, trebuie să existe numere întregi deasupra și sub linie.

Notă

Nu faceți aritmetică cu fracții care au numitori diferiți. Alegeți un număr astfel încât, atunci când numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțiți cu acesta, ca rezultat, numitorii ambelor fracții să fie egali.

Sfat util

Când scrieți numere fracționale, dividendul este scris deasupra liniei. Această cantitate este denumită numărătorul unei fracții. Sub linie se scrie divizorul sau numitorul fracției. De exemplu, un kilogram și jumătate de orez sub formă de fracție se va scrie astfel: 1 ½ kg de orez. Dacă numitorul unei fracții este 10, se numește fracție zecimală. În acest caz, numărătorul (dividendul) se scrie în dreapta întregii părți, despărțit prin virgulă: 1,5 kg de orez. Pentru comoditatea calculelor, o astfel de fracție poate fi întotdeauna scrisă într-o formă greșită: 1 2/10 kg de cartofi. Pentru a simplifica, puteți reduce valorile numărătorului și numitorului împărțindu-le la un singur număr întreg. LA acest exemplu este posibilă împărțirea la 2. Rezultatul va fi 1 1/5 kg de cartofi. Asigurați-vă că numerele cu care veți face aritmetica sunt în aceeași formă.

Acțiunile unei unități și este reprezentată ca \frac(a)(b).

Numărătorul de fracții (a)- numărul de deasupra liniei fracției și care arată numărul de acțiuni în care a fost împărțită unitatea.

Numitorul fracțiunii (b)- numărul de sub linia fracției și care arată câte acțiuni a fost împărțită unitatea.

Ascundeți afișarea

Proprietatea de bază a fracției

Dacă ad=bc , atunci două fracții \frac(a)(b)și \frac(c)(d) sunt considerate egale. De exemplu, fracțiile vor fi egale \frac35și \frac(9)(15), deoarece 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7)și \frac(24)(14), deoarece 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Din definiția egalității fracțiilor rezultă că fracțiile vor fi egale \frac(a)(b)și \frac(am)(bm), deoarece a(bm)=b(am) este un exemplu clar de utilizare a proprietăților asociative și comutative ale înmulțirii numere naturale In actiune.

Mijloace \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- arata asa proprietatea de baza a fractiei.

Cu alte cuvinte, obținem o fracție egală cu cea dată prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale cu același număr natural.

Reducerea fracțiilor este procesul de înlocuire a unei fracții, în care noua fracție este egală cu cea inițială, dar cu un numărător și un numitor mai mici.

Se obișnuiește să se reducă fracțiile pe baza proprietății principale a unei fracții.

De exemplu, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(numătorul și numitorul sunt divizibile cu numărul 3); fracția rezultată poate fi din nou redusă prin împărțirea la 5, adică \frac(15)(20)=\frac 34.

fracție ireductibilă este o fracțiune a formei \frac 34, unde numărătorul și numitorul sunt numere prime relativ. Scopul principal al reducerii fracțiilor este de a face fracția ireductibilă.

Aducerea fracțiilor la un numitor comun

Să luăm ca exemplu două fracții: \frac(2)(3)și \frac(5)(8) cu numitori diferiți 3 și 8 . Pentru a aduce aceste fracții la un numitor comun și înmulți mai întâi numărătorul și numitorul fracției \frac(2)(3) prin 8 . Obtinem urmatorul rezultat: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Apoi înmulțiți numărătorul și numitorul fracției \frac(5)(8) prin 3 . Obtinem ca rezultat: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Deci, fracțiile originale sunt reduse la un numitor comun 24.

Operații aritmetice pe fracții obișnuite

Adunarea fracțiilor obișnuite

a) Când aceiași numitori Numărătorul primei fracții se adaugă numărătorului celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același. După cum se vede în exemplu:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Când numitori diferiti fracțiile sunt mai întâi reduse la un numitor comun, apoi numărătorii se adună conform regulii a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Scăderea fracțiilor ordinare

a) Cu aceiași numitori, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții, lăsând numitorul același:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, atunci mai întâi fracțiile se reduc la un numitor comun, apoi se repetă pașii ca la paragraful a).

Înmulțirea fracțiilor ordinare

Înmulțirea fracțiilor respectă următoarea regulă:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

adică înmulțiți separat numărătorii și numitorii.

De exemplu:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Împărțirea fracțiilor ordinare

Fracțiile sunt împărțite în felul următor:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

adica o fractiune \frac(a)(b) inmultit cu o fractiune \frac(d)(c).

Exemplu: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Numerele reciproce

Dacă ab=1, atunci numărul b este număr invers pentru numărul a.

Exemplu: pentru numărul 9, inversul este \frac(1)(9), deoarece 9 \cdot \frac(1)(9)=1, pentru numărul 5 - \frac(1)(5), deoarece 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

zecimale

Zecimal este o fracție proprie al cărei numitor este 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

De exemplu: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

În același mod, se scriu numere incorecte cu numitor 10 ^ n sau numere mixte.

De exemplu: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Sub forma unei fracții zecimale, este reprezentată orice fracție obișnuită cu un numitor care este divizor al unei anumite puteri a numărului 10.

Exemplu: 5 este un divizor al lui 100, deci fracția \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Operații aritmetice pe fracții zecimale

Adăugarea de zecimale

Pentru a adăuga două fracții zecimale, trebuie să le aranjați astfel încât aceleași cifre și o virgulă sub virgulă să apară una sub alta, apoi adăugați fracțiile ca numere obișnuite.

Scăderea zecimalelor

Funcționează în același mod ca și adăugarea.

Înmulțirea zecimală

La înmulțire numere zecimale doar înmulțiți numere date, nefiind atent la virgule (ca numere naturale), iar in raspunsul primit virgula din dreapta desparte tot atatea cifre cate cifre sunt dupa virgula in ambii factori in total.

Să facem înmulțirea lui 2,7 cu 1,3. Avem 27 \cdot 13=351 . Separăm două cifre de la dreapta cu o virgulă (primul și al doilea număr au o cifră după virgulă zecimală; 1+1=2). Ca rezultat, obținem 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

Dacă rezultatul este mai puțin de cifre decât este necesar să se separe cu o virgulă, atunci zerourile lipsă sunt scrise în față, de exemplu:

Pentru a înmulți cu 10, 100, 1000, este necesar să mutați punctul zecimal cu 1, 2, 3 cifre la dreapta în fracția zecimală (dacă este necesar, un anumit număr zerouri).

De exemplu: 1,47 \cdot 10\,000 = 14.700 .

Împărțire zecimală

Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face în același mod ca și împărțirea unui număr natural la un număr natural. O virgulă în privat este plasată după ce s-a încheiat împărțirea părții întregi.

Dacă partea întreagă a dividendului este mai mică decât divizorul, atunci răspunsul este zero numere întregi, de exemplu:

Luați în considerare împărțirea unei zecimale la o zecimală. Să presupunem că trebuie să împărțim 2,576 la 1,12. În primul rând, înmulțim dividendul și divizorul fracției cu 100, adică mutam virgula la dreapta în dividend și divizor cu atâtea caractere câte sunt în divizor după virgulă (în acest exemplu , Două). Apoi trebuie să împărțiți fracția 257,6 la numărul natural 112, adică problema se reduce la cazul deja luat în considerare:

Se întâmplă ca fracția zecimală finală să nu se obțină întotdeauna la împărțirea unui număr la altul. Rezultatul este o zecimală infinită. În astfel de cazuri, mergeți la fracții obișnuite.

2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Acest articol este despre fracții comune. Aici ne vom familiariza cu conceptul de fracție a unui întreg, ceea ce ne va conduce la definirea unei fracții obișnuite. În continuare, ne vom opri asupra notației acceptate pentru fracțiile obișnuite și vom da exemple de fracții, să spunem despre numărătorul și numitorul unei fracții. După aceea, vom da definiții ale fracțiilor corecte și incorecte, pozitive și negative și vom lua în considerare, de asemenea, poziția numerelor fracționale pe raza de coordonate. În concluzie, enumeram principalele acțiuni cu fracții.

Navigare în pagină.

Acțiuni ale întregului

Mai întâi vă prezentăm împărtășește conceptul.

Să presupunem că avem un obiect format din mai multe părți absolut identice (adică egale). Pentru claritate, vă puteți imagina, de exemplu, un măr tăiat în mai multe părti egale, sau o portocală, constând din mai multe felii egale. Fiecare dintre aceste părți egale care alcătuiesc întregul obiect se numește cota din întreg sau pur și simplu acțiuni.

Rețineți că acțiunile sunt diferite. Să explicăm asta. Să presupunem că avem două mere. Să tăiem primul măr în două părți egale, iar al doilea în 6 părți egale. Este clar că cota primului măr va fi diferită de cota celui de-al doilea măr.

În funcție de numărul de acțiuni care alcătuiesc întregul obiect, aceste acțiuni au propriile nume. Să analizăm nume de partajare. Dacă obiectul este format din două părți, oricare dintre ele se numește o a doua parte a întregului obiect; dacă obiectul este format din trei părți, atunci oricare dintre ele se numește o a treia parte și așa mai departe.

O secundă ritm are un nume special - jumătate. O treime este numită al treileași un cvadruplu - sfert.

De dragul conciziei, următoarele desemnări de partajare. O a doua acțiune este desemnată ca sau 1/2, o a treia acțiune - ca sau 1/3; un sfert share - like sau 1/4, și așa mai departe. Rețineți că notația cu o bară orizontală este folosită mai des. Pentru a consolida materialul, să mai dăm un exemplu: intrarea denotă o sută șaizeci și șapte din întreg.

Conceptul de cotă se extinde în mod natural de la obiecte la mărimi. De exemplu, una dintre măsurile de lungime este metrul. Pentru a măsura lungimi mai mici de un metru, pot fi folosite fracțiuni de metru. Deci, puteți folosi, de exemplu, o jumătate de metru sau o zecime sau o miime de metru. Acțiunile altor cantități sunt aplicate în mod similar.

Fracții comune, definiție și exemple de fracții

Pentru a descrie numărul de acțiuni sunt utilizate fracții comune. Să dăm un exemplu care ne va permite să abordăm definiția fracțiilor obișnuite.

Lasă o portocală să fie formată din 12 părți. Fiecare acțiune în acest caz reprezintă o doisprezecea parte dintr-o portocală întreagă, adică . Să notăm două bătăi ca , trei bătăi ca și așa mai departe, 12 bătăi ca . Fiecare dintre aceste intrări se numește fracție obișnuită.

Acum să dăm un general definirea fracțiilor comune.

Definiția vocală a fracțiilor obișnuite ne permite să aducem exemple de fracții comune: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Și aici sunt înregistrările nu se potrivesc cu definiția vocală a fracțiilor obișnuite, adică nu sunt fracții obișnuite.

Numătorul și numitorul

Pentru comoditate, în fracțiile obișnuite distingem numărător și numitor.

Definiție.

Numărător fracția ordinară (m / n) este un număr natural m.

Definiție.

Numitor fracția ordinară (m / n) este un număr natural n.

Deci, numărătorul este situat deasupra barei de fracțiuni (în stânga barei oblice), iar numitorul este sub bara de fracțiuni (în dreapta barei oblice). De exemplu, să luăm o fracție obișnuită 17/29, numărătorul acestei fracții este numărul 17, iar numitorul este numărul 29.

Rămâne de discutat semnificația conținută în numărătorul și numitorul unei fracții obișnuite. Numitorul fracției arată din câte acțiuni este format un articol, numărătorul, la rândul său, indică numărul de astfel de acțiuni. De exemplu, numitorul 5 al fracției 12/5 înseamnă că un articol este format din cinci părți, iar numărătorul 12 înseamnă că sunt luate 12 astfel de părți.

Număr natural ca fracție cu numitorul 1

Numitorul unei fracții comune poate fi egal cu unu. În acest caz, putem presupune că obiectul este indivizibil, cu alte cuvinte, este ceva întreg. Numătorul unei astfel de fracții indică câte articole întregi sunt luate. Astfel, o fracție obișnuită de forma m/1 are semnificația unui număr natural m. Așa am fundamentat egalitatea m/1=m .

Să rescriem ultima egalitate astfel: m=m/1 . Această egalitate ne permite să reprezentăm orice număr natural m ca o fracție obișnuită. De exemplu, numărul 4 este fracția 4/1, iar numărul 103498 este fracția 103498/1.

Asa de, orice număr natural m poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită cu numitorul 1 ca m/1 și orice fracție obișnuită de forma m/1 poate fi înlocuită cu un număr natural m.

Bara de fracțiuni ca semn de diviziune

Reprezentarea obiectului original sub formă de n părți nu este altceva decât o împărțire în n părți egale. După ce articolul este împărțit în n părți, îl putem împărți în mod egal între n persoane - fiecare va primi o acțiune.

Dacă inițial avem m obiecte identice, fiecare dintre ele împărțite în n părți, atunci putem împărți în mod egal aceste m obiecte între n oameni, dând fiecărei persoane o cotă din fiecare dintre cele m obiecte. În acest caz, fiecare persoană va avea m acțiuni 1/n, iar m acțiuni 1/n dă o fracție obișnuită m/n. Astfel, fracția comună m/n poate fi utilizată pentru a reprezenta împărțirea m elemente între n oameni.

Așadar, am obținut o legătură explicită între fracțiile obișnuite și diviziune (vezi ideea generală a împărțirii numerelor naturale). Această relație se exprimă după cum urmează: Bara unei fracții poate fi înțeleasă ca semn de împărțire, adică m/n=m:n.

Cu ajutorul unei fracții obișnuite, puteți scrie rezultatul împărțirii a două numere naturale pentru care împărțirea nu este efectuată printr-un număr întreg. De exemplu, rezultatul împărțirii a 5 mere la 8 persoane poate fi scris ca 5/8, adică fiecare va primi cinci optimi dintr-un măr: 5:8=5/8.

Fracții ordinare egale și inegale, comparație de fracții

O acțiune destul de firească este compararea fracțiilor comune, deoarece este clar că 1/12 dintr-o portocală este diferită de 5/12, iar 1/6 dintr-un măr este la fel cu cealaltă 1/6 din acest măr.

În urma comparării a două fracții obișnuite, se obține unul dintre rezultate: fracțiile fie sunt egale, fie nu sunt egale. În primul caz avem fracții comune egale, iar în al doilea fracții comune inegale. Să dăm o definiție a fracțiilor ordinare egale și inegale.

Definiție.

egal, dacă egalitatea a d=b c este adevărată.

Definiție.

Două fracții comune a/b și c/d nu este egal, dacă egalitatea a d=b c nu este satisfăcută.

Iată câteva exemple de fracții egale. De exemplu, fracția comună 1/2 este egală cu fracția 2/4, deoarece 1 4=2 2 (dacă este necesar, vezi regulile și exemplele de înmulțire a numerelor naturale). Pentru claritate, vă puteți imagina două mere identice, primul este tăiat în jumătate, iar al doilea - în 4 părți. Este evident că două sferturi dintr-un măr reprezintă 1/2 cotă. Alte exemple de fracții comune egale sunt fracțiile 4/7 și 36/63 și perechea de fracții 81/50 și 1620/1000.

Și fracțiile obișnuite 4/13 și 5/14 nu sunt egale, deoarece 4 14=56 și 13 5=65, adică 4 14≠13 5. Un alt exemplu de fracții comune inegale sunt fracțiile 17/7 și 6/4.

Dacă, atunci când comparăm două fracții obișnuite, se dovedește că acestea nu sunt egale, atunci poate fi necesar să aflați care dintre aceste fracții obișnuite Mai puțin alta, si care Mai mult. Pentru a afla, se folosește regula de comparare a fracțiilor obișnuite, a cărei esență este aducerea fracțiilor comparate la un numitor comun și apoi compararea numărătorilor. Informații detaliate despre acest subiect sunt colectate în articolul compararea fracțiilor: reguli, exemple, soluții.

Numerele fracționale

Fiecare fracție este o înregistrare număr fracționar. Adică, o fracție este doar o „înveliș” a unui număr fracționar, ea aspect, iar întreaga încărcare semantică este conținută tocmai într-un număr fracționar. Cu toate acestea, pentru concizie și comoditate, conceptul de fracție și un număr fracționar sunt combinate și pur și simplu numite fracție. Aici se cuvine să parafrazăm binecunoscuta zicală: spunem o fracție – vrem să spunem număr fracționar, spunem un număr fracționar - ne referim la o fracție.

Fracții pe fasciculul de coordonate

Toate numerele fracționale corespunzătoare fracțiilor obișnuite au propriile lor numere loc unic pe , adică există o corespondență unu-la-unu între fracțiile și punctele razei de coordonate.

Pentru a ajunge la punctul corespunzător fracției m / n pe raza de coordonate, este necesar să amânăm m segmente de la origine în direcția pozitivă, a căror lungime este 1 / n a segmentului unitar. Astfel de segmente pot fi obținute prin împărțirea unui singur segment în n părți egale, ceea ce se poate realiza întotdeauna folosind o busolă și o riglă.

De exemplu, să arătăm punctul M de pe raza de coordonate, corespunzător fracției 14/10. Lungimea segmentului cu capete în punctul O și punctul cel mai apropiat de acesta, marcat cu o liniuță mică, este 1/10 din segmentul unitar. Punctul cu coordonata 14/10 este îndepărtat de la origine prin 14 astfel de segmente.

Fracțiilor egale corespund aceluiași număr fracționar, adică fracții egale sunt coordonatele aceluiași punct de pe raza de coordonate. De exemplu, unui punct corespunde coordonatele 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 pe raza de coordonate, deoarece toate fracțiile scrise sunt egale (este situat la o distanță de jumătate din segmentul unitar, amânat de la origine în sens pozitiv).

Pe o rază de coordonate orizontală și îndreptată spre dreapta, punctul a cărui coordonată este o fracție mare este situat la dreapta punctului a cărui coordonată este o fracție mai mică. În mod similar, punctul cu coordonata mai mică se află la stânga punctului cu coordonata mai mare.

Fracții proprii și improprii, definiții, exemple

Printre fracțiile obișnuite, există fracții proprii și improprii. Această diviziune are practic o comparație a numărătorului și numitorului.

Să dăm o definiție a fracțiilor ordinare proprii și improprii.

Definiție.

Fracțiunea corespunzătoare este o fracție obișnuită, al cărei numărător este mai mic decât numitorul, adică dacă m

Definiție.

Fracție improprie este o fracție obișnuită în care numărătorul este mai mare sau egal cu numitorul, adică dacă m≥n, atunci fracția ordinară este improprie.

Iată câteva exemple de fracții proprii: 1/4 , , 32 765/909 003 . Într-adevăr, în fiecare dintre fracțiile ordinare scrise, numărătorul este mai mic decât numitorul (dacă este necesar, vezi articolul compararea numerelor naturale), deci sunt corecte prin definiție.

Și iată exemple de fracții improprii: 9/9, 23/4,. Într-adevăr, numărătorul primei dintre fracțiile ordinare scrise este egal cu numitorul, iar în fracțiile rămase numărătorul este mai mare decât numitorul.

Există, de asemenea, definiții ale fracțiilor proprii și improprii bazate pe compararea fracțiilor cu una.

Definiție.

corect dacă este mai mică de unu.

Definiție.

Fracția comună se numește gresit, dacă este fie egal cu unu, fie mai mare decât 1 .

Deci fracția obișnuită 7/11 este corectă, deoarece 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 și 27/27=1.

Să ne gândim la modul în care fracțiile obișnuite cu un numărător mai mare sau egal cu numitorul merită un astfel de nume - „greșit”.

Să luăm ca exemplu fracția improprie 9/9. Această fracție înseamnă că sunt luate nouă părți ale unui obiect, care constă din nouă părți. Adică din cele nouă acțiuni disponibile, putem alcătui un întreg subiect. Adică, fracția improprie 9/9 dă în esență un obiect întreg, adică 9/9=1. În general, fracțiile improprii cu un numărător egal cu numitorul denotă un obiect întreg, iar o astfel de fracție poate fi înlocuită cu un număr natural 1.

Acum luați în considerare fracțiile improprii 7/3 și 12/4. Este destul de evident că din aceste șapte treimi putem face două obiecte întregi (un obiect întreg este de 3 părți, apoi pentru a compune două obiecte întregi avem nevoie de 3 + 3 = 6 părți) și va mai fi o a treia cotă. Adică, fracția improprie 7/3 înseamnă în esență 2 articole și chiar 1/3 din cota unui astfel de articol. Și din douăsprezece sferturi putem face trei obiecte întregi (trei obiecte cu patru părți fiecare). Adică, fracția 12/4 înseamnă în esență 3 obiecte întregi.

Exemplele luate în considerare ne conduc la următoarea concluzie: fracțiile improprie pot fi înlocuite fie cu numere naturale, când numărătorul este împărțit în întregime la numitor (de exemplu, 9/9=1 și 12/4=3), fie suma dintre un număr natural și o fracție proprie, când numărătorul nu este divizibil egal cu numitorul (de exemplu, 7/3=2+1/3 ). Poate că tocmai acesta este ceea ce fracțiile improprii merită un astfel de nume - „greșit”.

Un interes deosebit este reprezentarea unei fracții improprie ca sumă a unui număr natural și a unei fracții proprii (7/3=2+1/3). Acest proces se numește extragerea unei părți întregi dintr-o fracție necorespunzătoare și merită o analiză separată și mai atentă.

De asemenea, este de remarcat faptul că există o relație foarte strânsă între fracțiile improprie și numerele mixte.

Fracții pozitive și negative

Fiecare fracție obișnuită îi corespunde un număr fracționar pozitiv (vezi articolul numere pozitive și negative). Adică fracțiile obișnuite sunt fracții pozitive. De exemplu, fracțiile obișnuite 1/5, 56/18, 35/144 sunt fracții pozitive. Când este necesar să se sublinieze pozitivitatea unei fracții, atunci este plasat un semn plus în fața acesteia, de exemplu, +3/4, +72/34.

Dacă puneți un semn minus în fața unei fracții obișnuite, atunci această intrare va corespunde unui număr fracționar negativ. În acest caz, se poate vorbi despre fracții negative. Iată câteva exemple de fracții negative: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Fracțiile pozitive și negative m/n și −m/n sunt numere opuse. De exemplu, fracțiile 5/7 și -5/7 sunt fracții opuse.

Fracțiile pozitive, cum ar fi numerele pozitive în general, denotă o creștere, un venit, o modificare a unei valori în sus etc. Fracțiunile negative corespund cheltuielilor, datoriilor, unei modificări a oricărei valori în direcția scăderii. De exemplu, o fracție negativă -3/4 poate fi interpretată ca o datorie, a cărei valoare este 3/4.

Pe orizontală și fracțiile negative direcționate spre dreapta sunt situate la stânga punctului de referință. Punctele dreptei de coordonate ale cărei coordonate sunt fracția pozitivă m/n și fracția negativă −m/n sunt situate la aceeași distanță de origine, dar pe laturi opuse punctului O .

Aici merită menționate fracțiile de forma 0/n. Aceste fracții sunt egale cu numărul zero, adică 0/n=0 .

Fracțiile pozitive, fracțiile negative și fracțiile 0/n se combină pentru a forma numere raționale.

Acțiuni cu fracții

O acțiune cu fracții obișnuite - compararea fracțiilor - am considerat-o deja mai sus. Încă patru aritmetice sunt definite operatii cu fractii- adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor. Să ne oprim asupra fiecăruia dintre ele.

Esența generală a acțiunilor cu fracții este similară cu esența acțiunilor corespunzătoare cu numere naturale. Să facem o analogie.

Înmulțirea fracțiilor poate fi considerată ca o acțiune în care se găsește o fracție dintr-o fracție. Pentru a clarifica, să luăm un exemplu. Să presupunem că avem 1/6 dintr-un măr și trebuie să luăm 2/3 din el. Partea de care avem nevoie este rezultatul înmulțirii fracțiilor 1/6 și 2/3. Rezultatul înmulțirii a două fracții ordinare este o fracție obișnuită (care într-un caz particular este egală cu un număr natural). În continuare vă recomandăm să studiați informațiile articolului înmulțirea fracțiilor - reguli, exemple și soluții.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică: manual pentru 5 celule. institutii de invatamant.
• Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).

O parte a unei unități sau mai multe părți ale acesteia se numește fracție simplă sau obișnuită. Numărul de părți egale în care este împărțită unitatea se numește numitor, iar numărul de părți luate se numește numărător. Fracția se scrie astfel:

În acest caz, a este numărătorul, b este numitorul.

Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci fracția este mai mică decât 1 și se numește fracție proprie. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, atunci fracția este mai mare decât 1, atunci fracția se numește fracție improprie.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt egale, atunci fracția este egală.

1. Dacă numărătorul poate fi împărțit la numitor, atunci această fracție este egală cu câtul de împărțire:

Dacă împărțirea se face cu un rest, atunci această fracție improprie poate fi reprezentată printr-un număr mixt, de exemplu:

Atunci 9 este un coeficient incomplet (partea întreagă a numărului mixt),
1 - rest (numeratorul părții fracționale),
5 este numitorul.

Pentru a converti un număr mixt într-o fracție, înmulțiți partea întreagă a numărului mixt cu numitorul și adăugați numărătorul părții fracționale.

Rezultatul obținut va fi numărătorul unei fracții obișnuite, iar numitorul va rămâne același.

Acțiuni cu fracții

Expansiunea fracțiilor. Valoarea unei fracții nu se modifică dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți cu același număr diferit de zero.
De exemplu:

Reducerea fracțiilor. Valoarea unei fracții nu se modifică dacă numărătorul și numitorul ei sunt împărțite la același număr diferit de zero.
De exemplu:

Comparația fracțiunilor. Dintre două fracții cu același numărător, cea mai mare este cea cu numitorul mai mic:

Dintre două fracții cu aceiași numitori, cea cu numărătorul mai mare este mai mare:

Pentru a compara fracții care au numărători și numitori diferiți, este necesar să le extindeți, adică să le aduceți la un numitor comun. Luați în considerare, de exemplu, următoarele fracții:

Adunarea și scăderea fracțiilor. Dacă numitorii fracțiilor sunt aceiași, atunci pentru a adăuga fracțiile este necesar să se adună numărătorii lor, iar pentru a scădea fracțiile este necesar să se scadă numărătorii lor. Suma sau diferența rezultată va fi numărătorul rezultatului, în timp ce numitorul va rămâne același. Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, mai întâi trebuie să reduceți fracțiile la un numitor comun. Când se adaugă numere mixte, părțile lor întregi și fracționale sunt adăugate separat. Când scădeți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în forma de fracții improprii, apoi să scădeți una de la alta și apoi să aduceți din nou rezultatul, dacă este necesar, la forma unui număr mixt.

Înmulțirea fracțiilor. Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii și să împărțiți primul produs la al doilea.

Împărțirea fracțiilor. Pentru a împărți un număr la o fracție, trebuie să înmulțiți acel număr cu reciproca sa.

Zecimal este rezultatul împărțirii unu la zece, o sută, o mie etc. părți. Mai întâi, se scrie partea întreagă a numărului, apoi punctul zecimal este plasat în dreapta. Prima cifră după virgulă zecimală înseamnă numărul de zecimi, a doua - numărul de sutimi, a treia - numărul de miimi etc. Numerele de după virgulă zecimală se numesc zecimale.

De exemplu:

Proprietăți zecimale

Proprietăți:

• Fracția zecimală nu se modifică dacă se adaugă zerouri la dreapta: 4,5 = 4,5000.
• Fracția zecimală nu se modifică dacă zerourile situate la sfârșitul fracției zecimale sunt eliminate: 0,0560000 = 0,056.
• Decimala crește la 10, 100, 1000 și așa mai departe. ori, dacă mutați punctul zecimal la unu, doi, trei etc. poziții la dreapta: 4,5 45 (fracția a crescut de 10 ori).
• Decimala este redusă cu 10, 100, 1000 etc. ori, dacă mutați punctul zecimal la unu, doi, trei etc. poziții la stânga: 4,5 0,45 (fracția a scăzut de 10 ori).

O zecimală periodică conține un grup de cifre care se repetă la infinit numită perioadă: 0,321321321321...=0,(321)

Operații cu zecimale

Adunarea și scăderea zecimalelor se face în același mod ca și adunarea și scăderea numerelor întregi, trebuie doar să scrieți zecimale corespunzătoare una sub alta.
De exemplu:

Înmulțirea fracțiilor zecimale se realizează în mai multe etape:

• Înmulțim zecimale ca numere întregi, fără a ține cont de punctul zecimal.
• Se aplică regula: numărul de zecimale din produs este egal cu suma zecimale din toți factorii.

De exemplu:

Suma numerelor zecimale din factori este: 2+1=3. Acum trebuie să numărați 3 cifre de la sfârșitul numărului rezultat și să puneți un punct zecimal: 0,675.

Împărțirea zecimalelor. Împărțirea unei zecimale la un număr întreg: dacă dividendul este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să scrieți zero în partea întreagă a coeficientului și să puneți un punct zecimal după el. Apoi, fără a lua în considerare punctul zecimal al dividendului, adăugați următoarea cifră a părții fracționale la partea sa întreagă și comparați din nou partea întreagă rezultată a dividendului cu divizorul. Dacă noul număr este din nou mai mic decât divizorul, operația trebuie repetată. Acest proces se repetă până când dividendul rezultat este mai mare decât divizorul. După aceea, împărțirea este efectuată ca pentru numerele întregi. Dacă dividendul este mai mare sau egal cu divizorul, mai întâi împărțim partea sa întreagă, scriem rezultatul împărțirii în coeficient și punem virgulă zecimală. După aceea, împărțirea continuă, ca și în cazul numerelor întregi.

Împărțirea unei fracții zecimale în alta: mai întâi, punctele zecimale din dividend și divizor sunt transferate cu numărul de zecimale din divizor, adică facem divizorul un număr întreg și sunt efectuate acțiunile descrise mai sus.

Pentru a converti o fracție zecimală într-una obișnuită, este necesar să luați numărul de după virgulă ca numărător și să luați puterea k-a a lui zece ca numitor (k este numărul de zecimale). Partea întreagă diferită de zero este păstrată în fracția comună; partea întreagă zero este omisă.
De exemplu:

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, este necesar să împărțiți numărătorul la numitor în conformitate cu regulile de împărțire.

Un procent este o sutime de unitate, de exemplu: 5% înseamnă 0,05. Un raport este câtul de împărțire a unui număr la altul. Proporția este egalitatea a două rapoarte.

De exemplu:

Proprietatea principală a proporției: produsul membrilor extremi ai proporției este egal cu produsul membrilor săi mijlocii, adică 5x30 = 6x25. Două mărimi dependente reciproc se numesc proporționale dacă raportul cantităților lor rămâne neschimbat (coeficient de proporționalitate).

Astfel, sunt relevate următoarele operații aritmetice.
De exemplu:

Setul de numere raționale include numere pozitive și negative (întregi și fracționari) și zero. O definiție mai precisă a numerelor raționale, adoptată în matematică, este următoarea: un număr se numește rațional dacă poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă obișnuită de forma:, unde a și b sunt numere întregi.

Pentru un număr negativ, valoarea absolută (modulul) este un număr pozitiv obținut prin schimbarea semnului său din „-” în „+”; pentru un număr pozitiv și zero, numărul în sine. Pentru a desemna modulul unui număr se folosesc două drepte, în interiorul cărora este scris acest număr, de exemplu: |–5|=5.

Proprietăți de valoare absolută

Fie dat modulul unui număr , pentru care proprietățile sunt valabile:

Un monom este produsul a doi sau mai mulți factori, fiecare dintre care fie un număr, fie o literă, fie puterea unei litere: 3 x a x b. Coeficientul este cel mai adesea numit doar un factor numeric. Se spune că monoamele sunt similare dacă sunt aceleași sau diferă doar în coeficienți. Gradul unui monom este suma exponenților tuturor literelor sale. Dacă există unele similare printre suma monomiilor, atunci suma poate fi redusă la o formă mai simplă: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Această operație se numește constrângere de termeni similari sau paranteze.

Un polinom este o sumă algebrică de monomii. Gradul unui polinom este cel mai mare dintre gradele monomiilor incluse în polinomul dat.

Există următoarele formule pentru înmulțirea prescurtată:

Metode de factoring:

O fracție algebrică este o expresie de forma , unde A și B pot fi un număr, un monom, un polinom.

Dacă două expresii (numerice și alfabetice) sunt conectate prin semnul „=", atunci se spune că formează egalitate. Orice egalitate adevărată, valabilă pentru toate valorile numerice admisibile ale literelor incluse în ea, se numește identitate.

O ecuație este o egalitate literală care este valabilă pentru anumite valori ale literelor incluse în ea. Aceste litere sunt numite necunoscute (variabile), iar valorile lor, la care ecuația dată devine o identitate, sunt numite rădăcini ale ecuației.

Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor rădăcinilor acesteia. Se spune că două sau mai multe ecuații sunt echivalente dacă au aceleași rădăcini.

• zero a fost rădăcina ecuației;
• Ecuația are doar un număr finit de rădăcini.

Principalele tipuri de ecuații algebrice:

Ecuația liniară are ax + b = 0:

• dacă a x 0, există o singură rădăcină x = -b/a;
• dacă a = 0, b ≠ 0, fără rădăcini;
• dacă a = 0, b = 0, rădăcina este orice număr real.

Ecuația xn = a, n N:

• dacă n este un număr impar, are o rădăcină reală egală cu a/n pentru orice a;
• dacă n este un număr par, atunci pentru un 0, atunci are două rădăcini.

Transformări identice de bază: înlocuirea unei expresii cu alta, identic egală cu aceasta; transferul termenilor ecuației de la o parte la alta cu semne opuse; înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale ecuației cu aceeași expresie (număr), alta decât zero.

O ecuație liniară cu o necunoscută este o ecuație de forma: ax+b=0, unde a și b sunt numere cunoscute, iar x este o valoare necunoscută.

Sistemele de două ecuații liniare cu două necunoscute au forma:

Unde a, b, c, d, e, f sunt date numere; x, y sunt necunoscute.

Numerele a, b, c, d - coeficienți pentru necunoscute; e, f - membri liberi. Rezolvarea acestui sistem de ecuații poate fi găsită prin două metode principale: metoda substituției: dintr-o ecuație exprimăm una dintre necunoscute prin coeficienți și cealaltă necunoscută, apoi o substituim în a doua ecuație, rezolvând ultima ecuație. , găsim mai întâi o necunoscută, apoi substituim valoarea găsită în prima ecuație și găsim a doua necunoscută; metoda de adunare sau scădere a unei ecuații din alta.

Operații cu rădăcini:

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ a este un număr nenegativ a cărui putere a n-a este egală cu a. Rădăcina algebrică a gradului al n-lea dintr-un număr dat este mulțimea tuturor rădăcinilor din acest număr.

Numerele iraționale, spre deosebire de cele raționale, nu pot fi reprezentate ca o fracție ireductibilă obișnuită de forma m/n, unde m și n sunt numere întregi. Acestea sunt numere de tip nou care pot fi calculate cu orice precizie, dar nu pot fi înlocuite cu un număr rațional. Ele pot apărea ca rezultat al măsurătorilor geometrice, de exemplu: raportul dintre lungimea diagonalei unui pătrat și lungimea laturii acestuia este egal.

O ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi ax2+bx+c=0, unde a, b, c au coeficienți numerici sau alfabetici, x este o necunoscută. Dacă împărțim toți termenii acestei ecuații la a, ca rezultat obținem x2+px+q=0 - ecuația redusă p=b/a, q=c/a. Rădăcinile sale se găsesc după formula:

Dacă b2-4ac>0 atunci există două rădăcini distincte, b2-4ac=0 atunci sunt două rădăcină egală; b2-4ac Ecuații care conțin module

Principalele tipuri de ecuații care conțin module:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, unde f(x), g(x), fk(x), gk(x) sunt date funcții.