În activitățile practice, o persoană trebuie să măsoare diferite cantități, să ia în considerare materialele și produsele muncii, să producă diverse calcule. Rezultatele diferitelor măsurători, numărări și calcule sunt numere. Numerele obţinute în urma măsurării, doar aproximativ, cu un anumit grad de precizie, caracterizează valorile dorite. Măsurătorile precise nu sunt posibile din cauza inexactităților instrumente de masura, imperfecțiunile organelor noastre vizuale și obiectele măsurate în sine nu ne permit uneori să le determinăm cu exactitate magnitudinea.

Deci, de exemplu, se știe că lungimea Canalului Suez este de 160 km, distanța de-a lungul calea ferata de la Moscova la Leningrad 651 km. Aici avem rezultatele măsurătorilor făcute cu o precizie de până la un kilometru. Dacă, de exemplu, lungimea zona dreptunghiulara 29 m, lățime 12 m, apoi, probabil, măsurătorile au fost făcute cu o precizie de metru, iar fracțiile de metru au fost neglijate,

Înainte de a efectua orice măsurătoare, este necesar să se decidă cu ce precizie trebuie efectuată, adică. ce fracții ale unității de măsură trebuie luate în considerare și care trebuie neglijate.

Dacă există vreo valoare dar, a cărui valoare adevărată este necunoscută, iar valoarea aproximativă (aproximație) a acestei valori este egală cu X, ei scriu un x.

Cu măsurători diferite ale aceleiași mărimi, vom obține aproximări diferite. Fiecare dintre aceste aproximări va diferi de valoarea adevărată a valorii măsurate, egală, de exemplu, dar, cu o anumită sumă, pe care o vom numi eroare. Definiție. Dacă numărul x este o valoare aproximativă (aproximație) a unei cantități, a cărei valoare adevărată este egală cu numărul dar, apoi modulul diferenței de numere, darȘi X numit eroare absolută aproximatie data si notata A X: sau pur și simplu A. Astfel, prin definiție,

A x = a-x (1)

Din această definiţie rezultă că

a = x A X (2)

Dacă se știe despre ce cantitate vorbim, atunci în notație A X index dar se omite și egalitatea (2) se scrie după cum urmează:

a = x x (3)

Deoarece valoarea adevărată a mărimii dorite este cel mai adesea necunoscută, este imposibil să găsiți eroarea absolută în aproximarea acestei mărimi. Puteți indica în fiecare caz specific doar un număr pozitiv, mai mare decât acesta eroare absolută nu poate fi. Acest număr se numește limita erorii absolute a aproximării mărimii Ași notat h A. Astfel, dacă X este o aproximare arbitrară a valorii a pentru o procedură dată de obținere a aproximărilor, atunci

A x = a-x h A (4)

Din cele de mai sus rezultă că dacă h A este limita erorii absolute a aproximării mărimii dar, atunci orice număr mai mare decât h A, va fi, de asemenea, limita erorii absolute a aproximării mărimii dar.

În practică, se obișnuiește să se aleagă cel mai mic număr care satisface inegalitatea (4) ca limită a erorii absolute.

Rezolvarea inegalității a-x h Aînţelegem asta dar cuprinse în limite

x-h A a x + h A (5)

Un concept mai riguros al limitei erorii absolute poate fi dat după cum urmează.

Lasa X- multe aproximări posibile X cantități dar pentru o procedură dată de obţinere a unei aproximări. Apoi orice număr h, îndeplinind condiția a-x h A pentru orice xX, se numește granița erorii absolute a aproximărilor din mulțime X. Notează prin h A cel mai mic număr cunoscut h. Acest număr h Ași este ales în practică ca limită a erorii absolute.

Eroarea de aproximare absolută nu caracterizează calitatea măsurătorilor. Într-adevăr, dacă măsurăm orice lungime cu o precizie de 1 cm, atunci în cazul în care vorbim despre determinarea lungimii unui creion, va fi o precizie slabă. Dacă, cu o precizie de 1 cm, determinați lungimea sau lățimea terenului de volei, atunci aceasta va fi o precizie ridicată.

Pentru a caracteriza acuratețea măsurării, este introdus conceptul de eroare relativă.

Definiție. Dacă A X: există o eroare absolută de aproximare X o anumită cantitate, a cărei valoare adevărată este egală cu numărul dar, apoi raportul A X la modulul unui număr X se numește eroare relativă de aproximare și se notează A X sau X.

Astfel, prin definiție,

Eroarea relativă este de obicei exprimată ca procent.

Spre deosebire de eroarea absolută, care este cel mai adesea o mărime dimensională, eroarea relativă este o mărime adimensională.

În practică, nu eroarea relativă este luată în considerare, ci așa-numita limită de eroare relativă: un astfel de număr E A, care nu poate fi mai mare decât eroarea relativă a aproximării valorii dorite.

În acest fel, A x E A .

Dacă h A-- limita erorii absolute a aproximărilor mărimii dar, apoi A x h Ași, prin urmare

Evident, orice număr E, îndeplinind condiția, va fi limita erorii relative. În practică, o anumită aproximare este de obicei cunoscută X cantități darși limita de eroare absolută. Apoi numărul

1. Numerele sunt exacte și aproximative. Numerele pe care le întâlnim în practică sunt de două feluri. Unele dau adevărata valoare a cantității, altele doar aproximative. Primul se numește exact, al doilea - aproximativ. Cel mai adesea este convenabil să folosiți un număr aproximativ în loc de unul exact, mai ales că în multe cazuri număr exactîn general imposibil de găsit.

Rezultatele operatiilor cu numere dau: cu numere aproximative numere aproximative. De exemplu. În timpul epidemiei, 60% dintre locuitorii Sankt Petersburgului fac gripă. Este vorba despre aproximativ 3 milioane de oameni. cu numere exacte numere exacte De ex. Sunt 65 de persoane în public la o prelegere despre matematică. numere aproximative De ex. Temperatura medie corporală a pacientului în timpul zilei 37,3: dimineața: 37,2; zi: 36,8 ; seara38.

Teoria calculelor aproximative permite: 1) cunoașterea gradului de acuratețe al datelor, aprecierea gradului de acuratețe a rezultatelor; 2) preia datele cu un grad adecvat de acuratețe, suficient pentru a asigura acuratețea necesară a rezultatului; 3) raționalizați procesul de calcul, eliberându-l de acele calcule care nu vor afecta acuratețea rezultatului.

1) dacă prima (stânga) dintre cifrele aruncate este mai mică de 5, atunci ultima cifră rămasă nu este modificată (rotunjirea în jos); 2) dacă prima cifră aruncată este mai mare de 5 sau egală cu 5, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu unu (rotunjire în sus). Rotunjire: a) la zecimi 12,34 12,3; b) până la sutimi 3,2465 3,25; 1038,79. c) până la miimi 3,4335 3,434. d) până la mii; Aceasta ia în considerare următoarele:

Mărimile cel mai frecvent măsurate în medicină: masa m, lungimea l, viteza procesului v, timpul t, temperatura t, volumul V etc. A măsura o mărime fizică înseamnă a o compara cu o mărime omogenă luată ca unitate. 9 Unități de măsură ale mărimilor fizice: Lungime de bază - 1 m - (metru) Timp - 1 s - (secundă) Masă - 1 kg - (kilogram) Produse Volum - 1 m³ - (metru cub) Viteză - 1 m/s - (metru pe secundă)

Prefixe la numele unităților: Prefixe multiple - crește cu 10, 100, 1000 etc. ori g - hecto (×100) k - kilo (× 1000) M - mega (×) 1 km (kilometru) 1 kg (kilogram) 1 km = 1000 m = 10³ m 1 kg = 1000 g = 10³ g scădere cu 10 , 100, 1000 etc. ori d - deci (×0,1) s - centi (× 0,01) m - mili (× 0,001) 1 dm (decimetru) 1dm = 0,1 m 1 cm (centimetru) 1cm = 0,01 m 1 mm (milimetru) 1mm = 0,001 m

Pentru diagnosticarea, tratamentul, prevenirea bolilor în medicină se utilizează diverse echipamente medicale de măsurare.

Termometru. În primul rând, trebuie să țineți cont de limitele superioare și inferioare de măsurare. Limita inferioară este valoarea minimă, iar limita superioară este valoarea maximă măsurabilă. Dacă valoarea așteptată a valorii măsurate este necunoscută, este mai bine să luați dispozitivul cu o „marjă”. De exemplu, măsurarea temperaturii apa fierbinte nu efectuați cu un termometru stradal sau de cameră. Este mai bine să găsiți un dispozitiv cu o limită superioară de 100 ° C. În al doilea rând, trebuie să înțelegeți cât de precis trebuie măsurată cantitatea. Deoarece eroarea de măsurare depinde de valoarea diviziunii, pentru mai multe măsurători precise este selectat instrumentul cu cel mai mic interval de scară.

Erori de măsurare. Pentru a măsura diferiți parametri de diagnosticare, aveți nevoie de propriul dispozitiv. De exemplu, lungimea se măsoară cu o riglă, iar temperatura cu un termometru. Dar riglele, termometrele, tonometrele și alte dispozitive sunt diferite, așa că pentru a măsura orice mărime fizică, trebuie să alegeți un dispozitiv potrivit pentru această măsurătoare.

Prețul de împărțire a dispozitivului. Temperatura corpului uman trebuie determinată cu precizie, medicamentele trebuie administrate într-o cantitate strict definită, prin urmare prețul diviziunilor scalei dispozitivului de măsurare este o caracteristică importantă a fiecărui dispozitiv. Regula pentru calcularea prețului diviziunii dispozitivului Pentru a calcula prețul diviziunilor scalei, trebuie să: a) selectați cele mai apropiate două linii digitalizate de pe scară; b) numără numărul de diviziuni dintre ele; c) Împărțiți diferența de valori în jurul liniilor selectate la numărul de diviziuni.

Prețul de împărțire a dispozitivului. Valoarea diviziunii (50-30)/4=5 (ml) Valoarea diviziunii: (40-20)/10=2 km/h, (20-10)/10= 1gm, (39-19)/10=2 LITR , (8-4)/10=0,4 psi, (90-50)/10= 4 temperatură, (4-2)/10=0,2 s

Determinați prețul de împărțire a dispozitivelor: 16

Eroare absolută de măsurare. Erorile sunt obligate să apară în orice măsurătoare. Aceste erori se datorează diverșilor factori. Toți factorii pot fi împărțiți în trei părți: erori cauzate de imperfecțiunea instrumentelor; erori cauzate de imperfecțiunea metodelor de măsurare; erori datorate influenţei unor factori aleatori care nu pot fi eliminaţi. Când se măsoară orice valoare, se dorește să știe nu numai valoarea acesteia, ci și cât de mult se poate avea încredere în această valoare, cât de exactă este. Pentru a face acest lucru, este necesar să știți cât de mult poate diferi adevărata valoare a unei cantități de cea măsurată. În aceste scopuri se introduce conceptul de erori absolute și relative.

Erori absolute și relative. Eroarea absolută arată cât de mult este valoarea reală cantitate fizica diferit de cel măsurat. Depinde de aparatul în sine (eroare instrumentală) și de procesul de măsurare (eroare de citire pe scară). Eroarea instrumentală trebuie să fie indicată în pașaportul instrumentului (de regulă, este egală cu diviziunea pe scară a instrumentului). Eroarea de citire este de obicei considerată egală cu jumătate din valoarea diviziunii. Eroarea absolută a unei valori aproximative este diferența Δ x \u003d | x - x 0 |, unde x 0 este o valoare aproximativă și x este valoarea exactă a valorii măsurate sau, uneori, în loc de x, folosesc A ΔA \ u003d | A - A 0 |.

Erori absolute și relative. Exemplu. Se știe că -0,333 este o valoare aproximativă pentru -1/3. Atunci prin definiția erorii absolute Δ x= |x – x 0 |= | -1/3+0,333 | = | -1/3+33/1000 | = | -1/300 | = 1/300. În multe cazuri practic importante, este imposibil de găsit eroarea absolută a aproximării din cauza faptului că valoarea exactă a mărimii este necunoscută. Cu toate acestea, puteți specifica un număr pozitiv, mai mult decât această eroare absolută nu poate fi. Acesta este orice număr h care satisface inegalitatea | ∆x | h Se numește limită de eroare absolută.

În acest caz, ei spun că valoarea lui x este aproximativ până la h egală cu x 0. x \u003d x 0 ± h sau x 0 - h x x 0 + h

Erorile instrumentale absolute ale instrumentelor de măsură

Estimarea erorilor instrumentale ale valorilor măsurate. Pentru majoritatea instrumentelor de măsurare, eroarea instrumentului este egală cu diviziunea la scară. Excepție fac instrumentele digitale și cadranele. Pentru dispozitivele digitale, eroarea este indicată în pașaportul lor și este de obicei de câteva ori mai mare decât diviziunea la scară a dispozitivului. Pentru instrumentele de măsurare cu indicator, eroarea este determinată de clasa lor de precizie, care este indicată pe scara instrumentului, și de limita de măsurare. Clasa de precizie este indicată pe scara dispozitivului ca un număr care nu este înconjurat de niciun cadru. De exemplu, în figura prezentată, clasa de precizie a manometrului este 1,5. Clasa de precizie arată câte procente este eroarea dispozitivului din limita măsurătorilor acestuia. Pentru un manometru cu indicator, limita de măsurare este de 3 atm, respectiv, eroarea de măsurare a presiunii este de 1,5% din 3 atm, adică 0,045 atm. Trebuie remarcat faptul că pentru majoritatea dispozitivelor pointer, eroarea lor se dovedește a fi egală cu valoarea diviziunii dispozitivului. Ca și în exemplul nostru, unde prețul de diviziune al barometrului este de 0,05 atm.

Erori absolute și relative. Eroarea absolută este necesară pentru a determina intervalul în care valoarea adevărată poate cădea, dar pentru evaluarea acurateței rezultatului în ansamblu, nu este foarte indicativă. La urma urmei, măsurarea unei lungimi de 10 m cu o eroare de 1 mm este cu siguranță foarte precisă, în același timp, măsurarea unei lungimi de 2 mm cu o eroare de 1 mm este evident extrem de inexactă. Eroarea de măsurare absolută este de obicei rotunjită la o cifră semnificativă ΔA 0,17 0,2. Valoarea numerică a rezultatului măsurării este rotunjită astfel încât ultima sa cifră să fie în aceeași cifră cu cifra de eroare A=10,332 10,3

Erori absolute și relative. Alături de eroarea absolută, se obișnuiește să se ia în considerare eroarea relativă, care este egală cu raportul dintre eroarea absolută și valoarea cantității în sine. Eroarea relativă a unui număr aproximativ este raportul dintre eroarea absolută a unui număr aproximativ și acest număr însuși: E = Δx. 100% x 0 Eroarea relativă arată câte procente din valoarea în sine ar putea apărea o eroare și este orientativă atunci când se evaluează calitatea rezultatelor experimentale.

Exemplu. La măsurarea lungimii și diametrului capilarului s-au obținut l = (10,0 ± 0,1) cm, d = (2,5 ± 0,1) mm. Care dintre aceste măsurători este mai precisă? La măsurarea lungimii capilarului este permisă o eroare absolută de 10 mm la 100 mm, prin urmare eroarea absolută este 10/100=0,1=10%. La măsurarea diametrului capilar, eroarea absolută admisă este 0,1/2,5=0,04=4% Prin urmare, măsurarea diametrului capilar este mai precisă.

În multe cazuri, nu poate fi găsită nicio eroare absolută. De aici eroarea relativă. Dar puteți găsi limita erorii relative. Orice număr δ care satisface inegalitatea | ∆x | / | x o | δ, este limita erorii relative. În special, dacă h este limita de eroare absolută, atunci numărul δ= h/| x o |, este limita erorii relative a aproximării x o. De aici. Cunoscând graniţa rel.p-i. δ, se poate găsi limita erorii absolute h. h=δ | x o |

Exemplu. Se știe că 2=1,41… Aflați precizia relativă a egalității aproximative sau limita erorii relative a egalității aproximative 2 1.41. Aici x \u003d 2, x o \u003d 1,41, Δ x \u003d 2-1,41. Evident 0 Δ x 1,42-1,41=0,01 Δ x/ x o 0,01/1,41=1/141, limita de eroare absolută este 0,01, limita de eroare relativă este 1/141

Exemplu. Când citiți citirea de pe scară, este important ca privirea să cadă perpendicular pe scara instrumentului, în timp ce eroarea va fi mai mică. Pentru a determina citirea termometrului: 1. determinați numărul de diviziuni, 2. înmulțiți-le cu prețul diviziunii 3. luați în considerare eroarea 4. notați rezultatul final. t = 20 °C ± 1,5 °C Aceasta înseamnă că temperatura este între 18,5° și 21,5°. Adică, poate fi, de exemplu, 19, și 20 și 21 de grade Celsius. Pentru a crește acuratețea măsurătorilor, se obișnuiește să le repetați de cel puțin trei ori și să calculați valoarea medie a valorii măsurate

N A C O R D E N I A A N E D E N G O N I N I O N I Rezultatele măsurătorilor C 1 \u003d 34.5 C 2 \u003d 33.8 C 3 \u003d 33.9 C 4 \u003d 33 .5 C 5 \u003d 33 .5 C 5 \u003d a cantităților medii Fie cp 3 \u003d = 1 c 5 \u003d = 0 c 4 \u003d = u003d 2 + c 3 + c 4): 4 c cf \u003d (34,5 + 33,8 + 33,9 + 33 ,5):4 = 33,925 33,9 b) Aflați abaterea valorii de la valoarea medie Δс = | c-cp | ∆c 1 = | c 1 – c cp | = | 34,5 – 33,9 | = 0,6 ∆c 2 = | c 2 – c cp | = | 33,8 – 33,9 | = 0,1 ∆c 3 = | c 3 – c cp | = | 33,9 – 33,9 | = 0 ∆c 4 = | c 4 – c cp | = | 33,5 – 33,9 | = 0,4

C) Aflați eroarea absolută Δc \u003d (c 1 + c 2 + c 3 + c 4): 4 Δc \u003d (0,6 + 0,4): 4 \u003d 0,275 0,3 g) Aflați eroarea relativă δ \u003d Δc: s SR δ = (0,3: 33,9) 100% = 0,9% e) Notează răspunsul final c = 33,9 ± 0,3 δ = 0,9%

TEMA Pregateste-te pentru lectie practica pe baza prelegerii. Efectuați sarcina. Aflați valoarea medie și eroarea: a 1 = 3,685 a 2 = 3,247 a 3 = 3,410 a 4 = 3,309 a 5 = 3,392. Creați prezentări pe teme: „Rotunjirea valorilor în medicină”, „Erori de măsurare”, „Echipamente medicale de măsurare”

Introducere

Eroare absolută- este o estimare a erorii absolute de măsurare. Calculat căi diferite. Metoda de calcul este determinată de distribuția variabilei aleatoare. În consecință, mărimea erorii absolute, în funcție de distribuția variabilei aleatoare, poate fi diferită. Dacă este valoarea măsurată și este valoarea adevărată, atunci inegalitatea trebuie să se mențină cu o probabilitate apropiată de 1. Dacă valoare aleatorie distribuit conform legii normale, atunci de obicei deviația sa standard este considerată eroare absolută. Eroarea absolută este măsurată în aceleași unități ca și valoarea în sine.

Există mai multe moduri de a scrie o cantitate împreună cu eroarea sa absolută.

· Se folosește de obicei notația cu semnul ±. De exemplu, recordul de 100 m stabilit în 1983 este 9,930±0,005 s.

· Pentru a înregistra valorile măsurate cu o precizie foarte mare, se folosește o altă notație: numerele corespunzătoare erorii ultimelor cifre ale mantisei sunt adăugate între paranteze. De exemplu, valoarea măsurată a constantei Boltzmann este 1,380 6488 (13)-10-23 J/K, care poate fi scris și mult mai mult ca 1,380 6488?10?23 ±0,000 0013?10?23 J/K.

Eroare relativă- eroare de măsurare, exprimată ca raport dintre eroarea absolută de măsurare și valoarea reală sau medie a mărimii măsurate (RMG 29-99):.

Eroarea relativă este o mărime adimensională sau este măsurată ca procent.

Apropiere

Prea mult și prea puțin? În procesul de calcule, de multe ori trebuie să se ocupe de numere aproximative. Lasa DAR- valoarea exactă a unei anumite cantități, denumită în continuare numărul exact a. Sub valoarea aproximativă a cantității DAR, sau numere aproximative numit un număr dar, care înlocuiește valoarea exactă a cantității DAR. Dacă dar< DAR, apoi dar se numește valoarea aproximativă a numărului Și din lipsă. Dacă dar> DAR,- apoi în exces. De exemplu, 3,14 este o aproximare a numărului R prin deficiență și 3,15 prin exces. Pentru a caracteriza gradul de acuratețe al acestei aproximări, se folosește conceptul erori sau erori.

Eroare D dar număr aproximativ dar se numește diferența de formă

D a = A-dar,

Unde DAR este numărul exact corespunzător.

Figura arată că lungimea segmentului AB este între 6 cm și 7 cm.

Aceasta înseamnă că 6 este valoarea aproximativă a lungimii segmentului AB (în centimetri)\u003e cu o deficiență, iar 7 este cu un exces.

Notând lungimea segmentului cu litera y, obținem: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segment AB (vezi fig. 149) este mai aproape de 6 cm decât de 7 cm.Este aproximativ egal cu 6 cm.Se spune că numărul 6 a fost obținut prin rotunjirea lungimii segmentului la numere întregi.

Valoare absolută diferențeîntre valoarea aproximativă și exactă (adevărată) a unei mărimi se numește eroare absolută valoare aproximativă. De exemplu dacă numărul exact 1,214 rotunjit la zecimi, obținem un număr aproximativ 1,2 . În acest caz, eroarea absolută a numărului aproximativ va fi 1,214 – 1,2 = 0,014 .

Dar, în majoritatea cazurilor, valoarea exactă a cantității luate în considerare este necunoscută, dar doar aproximativă. Atunci eroarea absolută este, de asemenea, necunoscută. În aceste cazuri indicați frontieră pe care nu le depăşeşte. Acest număr este numit eroare absolută de limită. Ei spun că valoarea exactă a unui număr este egală cu valoarea sa aproximativă, cu o eroare mai mică decât eroarea de limită. De exemplu, număr 23,71 este valoarea aproximativă a numărului 23,7125 pâna la 0,01 , deoarece eroarea de aproximare absolută este egală cu 0,0025 și mai puțin 0,01 . Aici, eroarea absolută la limită este egală cu 0,01 .*

(* Absolut eroarea este atât pozitivă, cât și negativă. De exemplu, 1,68 ≈ 1,7 . Eroarea absolută este 1 ,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Limite eroarea este întotdeauna pozitivă).

Eroarea absolută la limită a numărului aproximativ " dar » este notat cu simbolul Δ dar . Înregistrare

x ≈ dar ( Δ dar)

trebuie înțeles astfel: valoarea exactă a cantității X este între dar +Δ dar Și dar –Δ dar, care sunt numite respectiv fundȘi limită superioară X si denota H G X Și ÎN G X .

De exemplu, dacă X≈ 2,3 ( 0,1), apoi 2,2 < X < 2,4 .

Dimpotrivă, dacă 7,3 < X < 7,4, apoi X≈ 7,35 ( 0,05).

Eroare absolută sau limită absolută nu caracterizează calitatea măsurării. Aceeași eroare absolută poate fi considerată semnificativă și nesemnificativă, în funcție de numărul care exprimă valoarea măsurată.

De exemplu, dacă măsurăm distanța dintre două orașe cu o precizie de un kilometru, atunci o astfel de precizie este destul de suficientă pentru această măsurătoare, în timp ce, în același timp, la măsurarea distanței dintre două case de pe aceeași stradă, o astfel de precizie va fi inacceptabilă .

În consecință, acuratețea valorii aproximative a unei mărimi depinde nu numai de mărimea erorii absolute, ci și de valoarea mărimii măsurate. De aceea măsura preciziei este eroarea relativă.

Eroare relativă este raportul dintre eroarea absolută și valoarea numărului aproximativ. Se numește raportul dintre eroarea absolută la limită și numărul aproximativ eroare relativă la limită; denotă-l astfel: Δ a/a. Erorile relative și relative la limită sunt de obicei exprimate în procente.

De exemplu dacă măsurătorile arată că distanța dintre două puncte este mai mare decât 12,3 km, dar mai puțin 12,7 km, apoi pentru aproximativ sensul lui este acceptat in medie aceste două numere, adică lor jumătate de sumă, apoi limite eroarea absolută este semidiferență aceste numere. În acest caz X≈ 12,5 ( 0,2). Aici este limita absolut eroarea este 0,2 km, și granița

Pentru sarcini moderne este necesar să se utilizeze un aparat matematic complex și să se dezvolte metode de rezolvare a acestora. În acest caz, se întâlnesc adesea probleme pentru care soluția analitică, adică, o soluție sub forma unei expresii analitice care leagă datele inițiale cu rezultatele cerute este fie imposibilă deloc, fie este exprimată în formule atât de greoaie încât nu este practic să le folosești în scopuri practice.

În acest caz, se folosesc metode numerice de rezolvare, care fac posibilă obținerea pur și simplu a unei soluții numerice a problemei. Metodele numerice sunt implementate folosind algoritmi de calcul.

Întreaga varietate de metode numerice este împărțită în două grupuri:

Exact - ei presupun că, dacă calculele sunt efectuate cu acuratețe, atunci cu ajutorul unui număr finit de operații aritmetice și logice, pot fi obținute valorile exacte ale cantităților dorite.

Aproximativ - care, chiar și în ipoteza că calculele sunt efectuate fără rotunjire, vă permit să obțineți o soluție a problemei doar cu o anumită precizie.

1. valoare şi număr. O cantitate este ceva care poate fi exprimat ca număr în anumite unități.

Când vorbesc despre valoarea unei mărimi, se referă la un anumit număr, numit valoarea numerică a mărimii, și unitatea de măsură a acestuia.

Astfel, o cantitate este o caracteristică a unei proprietăți a unui obiect sau fenomen, care este comună multor obiecte, dar are valori individuale pentru fiecare dintre ele.

Valorile pot fi constante sau variabile. Dacă, în anumite condiții, o mărime ia o singură valoare și nu o poate schimba, atunci se numește constantă, dar dacă poate lua diverse sensuri, atunci este o variabilă. Da, accelerare cădere liberă trup în acest loc suprafața pământului este o valoare constantă, luând o singură valoare numerică g = 9,81 ... m/s2, în timp ce calea s, parcursă punct materialîn timpul mișcării sale, este o variabilă.

2. valorile aproximative ale numerelor. Valoarea cantității, despre care nu ne îndoim de adevăr, se numește exactă. De multe ori, însă, când se caută valoarea unei cantități, se obține doar valoarea ei aproximativă. În practica calculelor, de multe ori trebuie să se ocupe de valorile aproximative ale numerelor. Deci, p este un număr exact, dar datorită iraționalității sale, poate fi folosită doar valoarea sa aproximativă.

În multe probleme, din cauza complexității, și deseori a imposibilității de a obține soluții exacte, se folosesc metode de rezolvare aproximativă, acestea includ: rezolvarea aproximativă a ecuațiilor, interpolarea funcțiilor, calculul aproximativ al integralelor etc.

Principala cerință pentru calculele aproximative este respectarea preciziei specificate a calculelor intermediare și a rezultatului final. În același timp, atât o creștere a erorilor (erori) prin grosiere nejustificată a calculelor, cât și reținerea unor cifre redundante care nu corespund acurateței efective sunt la fel de inacceptabile.

Există două clase de erori rezultate din calcule și numere de rotunjire - absolute și relative.

1. Eroare absolută (eroare).

Să introducem notația:

Fie A valoarea exactă a unei cantități, Record a » A Vom citi „a este aproximativ egal cu A”. Uneori vom scrie A = a, ținând cont că vorbim de egalitate aproximativă.

Dacă se știe că a< А, то а называют valoarea aproximativă a lui A cu un dezavantaj. Dacă a > A, atunci se numește a valoarea aproximativă a lui A în exces.

Se numește diferența dintre valorile exacte și cele aproximative ale unei cantități eroare de aproximare si este notat cu D, i.e.

D \u003d A - a (1)

Eroarea D a aproximării poate fi atât pozitivă, cât și negativă.

Pentru a caracteriza diferența dintre valoarea aproximativă a unei cantități și valoarea exactă, este adesea suficient să se indice valoarea absolută a diferenței dintre valorile exacte și cele aproximative.

Valoarea absolută a diferenței dintre aproximativ dar si precise DAR valorile numerice se numesc eroare (eroare) absolută de aproximareși notat cu D dar:

D dar = ½ dar – DAR½ (2)

Exemplul 1 Când se măsoară o linie l a folosit o riglă, a cărei valoare a diviziunii la scară este de 0,5 cm. Am obținut o valoare aproximativă pentru lungimea segmentului dar= 204 cm.

Este clar că în timpul măsurării acestea ar putea fi greșite cu cel mult 0,5 cm, adică. eroarea de măsurare absolută nu depășește 0,5 cm.

De obicei, eroarea absolută este necunoscută, deoarece este necunoscută valoarea exactă a numărului A. Prin urmare, unele evaluare eroare absolută:

D dar <= Ddar inainte de. (3)

unde D inainte de. – eroare marginală (număr, Mai mult zero), care se stabilește ținând cont de certitudinea cu care este cunoscut numărul a.

Eroarea absolută limitativă este de asemenea numită marja de eroare. Deci, în exemplul dat,
D inainte de. = 0,5 cm.

Din (3) obținem: D dar = ½ dar – DAR½<= Ddar inainte de. . și apoi

dar- D dar inainte de. ≤ DAR≤ dar+ D dar inainte de. . (4)

Mijloace, anunț dar inainte de. va fi o aproximare DAR cu un dezavantaj şi a + D dar inainte de – valoare aproximativă DARîn exces. De asemenea, folosesc stenografie: DAR= dar±D dar inainte de (5)

Din definiția erorii absolute limitative rezultă că numerele D dar inainte de, satisfacand inegalitatea (3), va exista o multime infinita. În practică, încercăm să alegem eventual mai putin din numerele D inainte de, satisfacerea inegalității D dar <= Ddar inainte de.

Exemplul 2 Să determinăm eroarea absolută limitativă a numărului a=3,14, luată ca valoare aproximativă a numărului π.

Se știe că 3,14<π<3,15. De aici rezultă că

|dar – π |< 0,01.

Numărul D poate fi luat drept eroare absolută limitativă dar = 0,01.

Totuși, dacă ținem cont de faptul că 3,14<π<3,142 , atunci obținem o estimare mai bună :D dar= 0,002, atunci π ≈3,14 ±0,002.

Eroare relativă (eroare). Cunoașterea doar a erorii absolute nu este suficientă pentru a caracteriza calitatea măsurării.

Să fie, de exemplu, când cântărim două corpuri, se obțin următoarele rezultate:

P 1 \u003d 240,3 ± 0,1 g.

P 2 \u003d 3,8 ± 0,1 g.

Deși erorile absolute de măsurare ale ambelor rezultate sunt aceleași, calitatea măsurării în primul caz va fi mai bună decât în ​​al doilea. Se caracterizează printr-o eroare relativă.

Eroare relativă (eroare) aproximarea numărului DAR se numește raportul de eroare absolută D a aproximarea la valoarea absolută a numărului A:

Deoarece valoarea exactă a cantității este de obicei necunoscută, aceasta este înlocuită cu o valoare aproximativă și apoi:

Limitarea erorii relative sau limita erorii relative de aproximare, numit numărul d si inainte.>0, astfel încât:

d dar<= d si inainte.

Pentru eroarea relativă limită, se poate lua în mod evident raportul dintre eroarea absolută limită și valoarea absolută a valorii aproximative:

Din (9) se obține cu ușurință următoarea relație importantă:

∆si inainte. = |A| d si inainte.

Eroarea relativă limită este de obicei exprimată ca procent:

Exemplu. Baza logaritmilor naturali pentru calcul este considerată egală cu e=2,72. Am luat drept valoare exactă e m = 2,7183. Aflați erorile absolute și relative ale unui număr aproximativ.

D e = ½ e – e t ½=0,0017;

.

Valoarea erorii relative rămâne neschimbată cu o modificare proporțională a numărului cel mai aproximativ și a erorii sale absolute. Deci, pentru numărul 634,7, calculat cu o eroare absolută D = 1,3, și pentru numărul 6347 cu o eroare D = 13, erorile relative sunt aceleași: d= 0,2.