Bet kokia kalba gali išreikšti tą pačią informaciją skirtingi žodžiai ir apyvartos. Ne išimtis ir matematinė kalba. Tačiau tą pačią išraišką galima lygiaverčiai parašyti skirtingais būdais. Ir kai kuriose situacijose vienas iš įrašų yra paprastesnis. Šioje pamokoje kalbėsime apie posakių supaprastinimą.

Žmonės bendrauja toliau skirtingomis kalbomis. Mums svarbus palyginimas yra pora „Rusų kalba – matematinė kalba“. Ta pati informacija gali būti pateikiama skirtingomis kalbomis. Tačiau, be to, vienoje kalboje jis gali būti tariamas skirtingai.

Pavyzdžiui: „Petras draugauja su Vasya“, „Vasya draugauja su Petya“, „Petras ir Vasya yra draugai“. Sakė kitaip, bet vienas ir tas pats. Bet kurią iš šių frazių suprastume, kas yra pavojuje.

Pažiūrėkime į šią frazę: „Berniukas Petya ir berniukas Vasya yra draugai“. Suprantame ką klausime. Tačiau mums nepatinka, kaip skamba ši frazė. Ar negalime supaprastinti, pasakyti tą patį, bet paprasčiau? „Berniukas ir berniukas“ - galite pasakyti vieną kartą: „Berniukai Petya ir Vasya yra draugai“.

„Berniukai“... Ar ne iš jų vardų aišku, kad tai ne mergaitės. Mes pašaliname „berniukus“: „Petya ir Vasya yra draugai“. O žodį „draugai“ galima pakeisti „draugais“: „Petya ir Vasya yra draugai“. Dėl to pirmoji, ilga, negraži frazė buvo pakeista lygiaverčiu teiginiu, kurį lengviau pasakyti ir suprasti. Mes supaprastinome šią frazę. Supaprastinti reiškia pasakyti lengviau, bet neprarasti, neiškreipti prasmės.

Tas pats vyksta matematinėje kalboje. Tą patį galima pasakyti skirtingai. Ką reiškia supaprastinti išraišką? Tai reiškia, kad originaliai išraiškai yra daug lygiaverčių posakių, ty tų, kurie reiškia tą patį. Ir iš visos šios gausybės turime pasirinkti patį paprasčiausią, mūsų nuomone, arba tinkamiausią tolimesniems tikslams.

Pavyzdžiui, apsvarstykite skaitinę išraišką. Tai bus lygiavertė.

Jis taip pat bus lygiavertis pirmiesiems dviem: .

Pasirodo, supaprastinome savo posakius ir radome trumpiausią ekvivalentinę išraišką.

Skaitmeninėms išraiškoms visada reikia atlikti visą darbą ir gauti lygiavertę išraišką kaip vieną skaičių.

Apsvarstykite pažodinės išraiškos pavyzdį . Aišku, bus paprasčiau.

Supaprastindami pažodines išraiškas, turite atlikti visus įmanomus veiksmus.

Ar visada reikia supaprastinti išraišką? Ne, kartais mums patogesnis bus lygiavertis, bet ilgesnis žymėjimas.

Pavyzdys: atimkite skaičių iš skaičiaus.

Skaičiuoti galima, bet jei pirmasis skaičius būtų pavaizduotas lygiaverčiu jo žymėjimu: , tada skaičiavimai būtų momentiniai: .

Tai yra, supaprastinta išraiška ne visada mums naudinga atliekant tolesnius skaičiavimus.

Nepaisant to, labai dažnai susiduriame su užduotimi, kuri skamba kaip „supaprastinkite išraišką“.

Supaprastinkite posakį: .

Sprendimas

1) Atlikite veiksmus pirmame ir antrame skliausteliuose: .

2) Apskaičiuokite produktus: .

Akivaizdu, kad paskutinė išraiška yra paprastesnė nei pradinė. Mes tai supaprastinome.

Siekiant supaprastinti išraišką, ji turi būti pakeista ekvivalentu (lygiu).

Norėdami nustatyti lygiavertę išraišką, turite:

1) atlikti visus įmanomus veiksmus,

2) naudoti sudėjimo, atimties, daugybos ir dalybos savybes, kad supaprastintų skaičiavimus.

Sudėjimo ir atimties savybės:

1. Komutacinė sudėties savybė: suma nesikeičia dėl sąlygų pertvarkymo.

2. Asociatyvi sudėjimo savybė: norėdami prie dviejų skaičių sumos pridėti trečią skaičių, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių sumą.

3. Sumos atėmimo iš skaičiaus savybė: norėdami atimti sumą iš skaičiaus, galite atimti kiekvieną narį atskirai.

Daugybos ir dalybos savybės

1. Daugybos komutacinė savybė: sandauga nekinta nuo veiksnių permutacijos.

2. Asociacinė savybė: norėdami skaičių padauginti iš dviejų skaičių sandaugos, pirmiausia galite jį padauginti iš pirmojo koeficiento, o tada gautą sandaugą padauginti iš antrojo koeficiento.

3. Daugybos skirstomoji savybė: norint padauginti skaičių iš sumos, reikia jį padauginti iš kiekvieno nario atskirai.

Pažiūrėkime, kaip iš tikrųjų atliekame protinius skaičiavimus.

Apskaičiuoti:

Sprendimas

1) Įsivaizduokite, kaip

2) Pirmąjį veiksnį pavaizduokime kaip sumą bitų terminai ir padarykite daugybą:

3) galite įsivaizduoti, kaip ir atlikti daugybą:

4) Pakeiskite pirmąjį koeficientą lygiaverte suma:

Paskirstymo dėsnį galima naudoti ir priešinga kryptimi: .

Atlikite šiuos veiksmus:

1) 2)

Sprendimas

1) Patogumui galite naudoti paskirstymo dėsnį, tiesiog naudokite jį priešinga kryptimi – išimkite bendrą koeficientą iš skliaustų.

2) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų

Būtina nusipirkti linoleumą virtuvėje ir koridoriuje. Virtuvės zona – prieškambaris –. Yra trijų tipų linoleumai: už ir rubliai. Kiek kainuos kiekvienas iš trijų linoleumo tipų? (1 pav.)

Ryžiai. 1. Problemos būklės iliustracija

Sprendimas

1 būdas. Galite atskirai sužinoti, kiek pinigų reikės norint nusipirkti linoleumą virtuvėje, o tada pridėti jį prie koridoriaus ir susumuoti gautus darbus.

Išraiškos, išraiškų konvertavimas

Galios išraiškos (išraiškos su galiomis) ir jų transformacija

Šiame straipsnyje kalbėsime apie išraiškų transformavimą su galiomis. Pirma, mes sutelksime dėmesį į transformacijas, kurios atliekamos naudojant bet kokios rūšies išraiškas, įskaitant galios išraiškas, pvz., atidaromus skliaustus, sumažinančius panašius terminus. Tada mes analizuosime transformacijas, būdingas konkrečiai išraiškoms su laipsniais: dirbant su baze ir laipsniu, naudojant laipsnių savybes ir kt.

Puslapio naršymas.

Kas yra galios išraiškos?

Sąvoka „galios išraiškos“ praktiškai nerandama mokykliniuose matematikos vadovėliuose, tačiau ji dažnai pasirodo uždavinių rinkiniuose, ypač skirtuose, pavyzdžiui, pasirengti vieningam valstybiniam egzaminui ir OGE. Išanalizavus užduotis, kuriose reikia atlikti bet kokius veiksmus su galios išraiškomis, paaiškėja, kad galios išraiškos suprantamos kaip išraiškos, kurių įrašuose yra laipsniai. Todėl sau galite pasirinkti tokį apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Galios išraiškos yra išraiškos, turinčios galių.

Atnešam galios išraiškų pavyzdžiai. Be to, pavaizduosime juos pagal tai, kaip vyksta požiūrių raida nuo laipsnio su natūraliu rodikliu iki laipsnio su realiu rodikliu.

Kaip žinia, pirmiausia susipažįstama su skaičiaus laipsniu su natūraliuoju laipsniu, šiame etape pirmosios paprasčiausios laipsnio išraiškos tipo 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ir kt.

Šiek tiek vėliau tiriama skaičiaus su sveikuoju laipsniu galia, dėl kurios atsiranda galios išraiškos su neigiamomis sveikųjų skaičių galiomis, pavyzdžiui: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Vyresnėse klasėse jie vėl grįžta prie laipsnių. Įvedamas laipsnis su racionalus rodiklis, dėl ko atsiranda atitinkamos galios išraiškos: , , ir tt Galiausiai nagrinėjami laipsniai su neracionaliais rodikliais ir juos turinčios išraiškos: , .

Reikalas neapsiriboja išvardintomis galios išraiškomis: toliau kintamasis prasiskverbia į eksponentą, ir yra, pavyzdžiui, tokios išraiškos 2 x 2 +1 arba . O susipažinus pradeda atsirasti išraiškos su laipsniais ir logaritmais, pavyzdžiui, x 2 lgx −5 x lgx.

Taigi, mes išsiaiškinome klausimą, kas yra galios išraiškos. Toliau išmoksime juos transformuoti.

Pagrindiniai galios raiškų transformacijų tipai

Naudodami galios išraiškas galite atlikti bet kurią iš pagrindinių išraiškų tapatybės transformacijų. Pavyzdžiui, galite išplėsti skliaustus, pakeisti skaitines išraiškas jų reikšmėmis, pridėti panašių terminų ir pan. Natūralu, kad tokiu atveju būtina laikytis priimtos veiksmų atlikimo tvarkos. Pateikime pavyzdžių.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite laipsnio išraiškos reikšmę 2 3 ·(4 2 −12) .

Sprendimas.

Pagal veiksmų eiliškumą pirmiausia atliekame veiksmus skliausteliuose. Ten, pirma, 4 2 laipsnį pakeičiame jo reikšme 16 (jei reikia žr.), antra, apskaičiuojame skirtumą 16−12=4 . Mes turime 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Gautoje išraiškoje 2 3 laipsnį pakeičiame jo reikšme 8, po to apskaičiuojame sandaugą 8·4=32 . Tai yra norima vertė.

Taigi, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Atsakymas:

2 3 (4 2 -12) = 32 .

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraiškas 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Sprendimas.

Akivaizdu, kad šioje išraiškoje yra panašių terminų 3 · a 4 · b − 7 ir 2 · a 4 · b − 7 , ir galime juos sumažinti: .

Atsakymas:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Pavyzdys.

Išreikškite išraišką galiomis kaip produktą.

Sprendimas.

Norint susidoroti su užduotimi, skaičių 9 galima pavaizduoti kaip 3 2 laipsnį ir vėliau naudoti sutrumpintą daugybos formulę, kvadratų skirtumą:

Atsakymas:

Taip pat yra keletas identiškų transformacijų, būdingų galios išraiškoms. Toliau mes juos analizuosime.

Darbas su baze ir eksponentu

Yra laipsnių, kurių pagrindas ir (arba) rodiklis yra ne tik skaičiai ar kintamieji, bet ir kai kurios išraiškos. Kaip pavyzdį parašykime (2+0.3 7) 5−3.7 ir (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Dirbant su panašiomis išraiškomis, tiek laipsnio bazėje, tiek laipsnio išraiška gali būti pakeisti identiškai lygiavertė išraiška jo kintamųjų ODZ. Kitaip tariant, pagal mums žinomas taisykles galime atskirai konvertuoti laipsnio bazę, o atskirai – rodiklį. Akivaizdu, kad dėl šios transformacijos gaunama išraiška, kuri yra identiška pradinei.

Tokios transformacijos leidžia mums supaprastinti posakius su galiomis arba pasiekti kitų mums reikalingų tikslų. Pavyzdžiui, aukščiau paminėtoje laipsnio išraiškoje (2+0,3 7) 5−3,7 galima atlikti operacijas su skaičiais bazėje ir laipsnyje, kurie leis pereiti prie laipsnio 4,1 1,3. O atplėšę skliaustus ir įvedę panašius terminus į laipsnio bazę (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) gauname galios išraišką daugiau paprasta forma a 2 (x+1) .

Maitinimo savybių naudojimas

Viena iš pagrindinių priemonių transformuojant išraiškas galiomis yra lygybės, kurios atspindi . Prisiminkime pagrindinius. Bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b ir savavališkai realūs skaičiai r ir s turi šias galių savybes:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Atminkite, kad natūraliųjų, sveikųjų ir teigiamų rodiklių apribojimai skaičių a ir b gali būti ne tokie griežti. Pavyzdžiui, už natūraliuosius skaičius m ir n lygybė a m ·a n =a m+n yra teisinga ne tik teigiamoms a , bet ir neigiamoms, o a=0 .

Mokykloje pagrindinis dėmesys galios išraiškų transformacijoje yra sutelktas būtent į gebėjimą rinktis tinkamas turtas ir taikykite jį teisingai. Šiuo atveju laipsnių pagrindai dažniausiai būna teigiami, o tai leidžia be apribojimų naudoti laipsnių savybes. Tas pats pasakytina ir apie reiškinių, turinčių kintamuosius laipsnių bazėse, transformaciją - priimtinų kintamųjų reikšmių diapazonas paprastai yra toks, kad bazės ima tik teigiamas reikšmes, o tai leidžia laisvai naudoti savybes. laipsnių. Apskritai reikia nuolat savęs klausti, ar šiuo atveju galima pritaikyti kokią nors laipsnių savybę, nes netikslus savybių panaudojimas gali lemti ODZ susiaurėjimą ir kitų bėdų. Šie punktai išsamiai ir su pavyzdžiais aptariami straipsnyje išraiškų transformacija naudojant laipsnių savybes. Čia apsiribojame keliais paprastais pavyzdžiais.

Pavyzdys.

Išreikškite išraišką a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kaip laipsnį su baze a .

Sprendimas.

Pirma, antrąjį koeficientą (a 2) −3 paverčiame savybe pakelti laipsnį į laipsnį: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Šiuo atveju pradinė galios išraiška bus a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Akivaizdu, kad belieka naudoti galių daugybos ir padalijimo savybes su ta pačia baze, kurią turime
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Atsakymas:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Galios savybės naudojamos transformuojant galios išraiškas tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę.

Pavyzdys.

Raskite galios išraiškos reikšmę.

Sprendimas.

Lygybė (a·b) r =a r ·b r, taikoma iš dešinės į kairę, leidžia pereiti nuo pradinės išraiškos prie formos sandaugos ir toliau. O kai dauginant galias su tais pačiais pagrindais Sumuojami rodikliai: .

Pradinės išraiškos transformaciją buvo galima atlikti kitu būdu:

Atsakymas:

.

Pavyzdys.

Atsižvelgiant į galios išraišką a 1,5 −a 0,5 −6 , įveskite naują kintamąjį t=a 0,5 .

Sprendimas.

Laipsnis a 1,5 gali būti pavaizduotas kaip 0,5 3 ir toliau, remiantis laipsnio savybe laipsnyje (a r) s =a r s, taikomas iš dešinės į kairę, konvertuoti jį į formą (a 0,5) 3 . Taigi, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Dabar nesunku įvesti naują kintamąjį t=a 0,5 , gauname t 3 −t−6 .

Atsakymas:

t 3 −t−6 .

Trupmenų, turinčių laipsnius, konvertavimas

Galios išraiškos gali turėti trupmenas su laipsniais arba tokias trupmenas atvaizduoti. Bet kurios pagrindinės trupmenų transformacijos, būdingos bet kokios rūšies trupmenoms, yra visiškai taikomos tokioms trupmenoms. Tai yra, trupmenas, kuriose yra laipsniai, galima sumažinti, sumažinti iki naujo vardiklio, dirbti atskirai su jų skaitikliu ir atskirai su vardikliu ir pan. Norėdami iliustruoti aukščiau pateiktus žodžius, apsvarstykite kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraišką .

Sprendimas.

Ši galios išraiška yra trupmena. Dirbkime su jo skaitikliu ir vardikliu. Skaitiklyje atveriame skliaustus ir supaprastiname po to gautą išraišką, naudodami galių savybes, o vardiklyje pateikiame panašius terminus:

Taip pat keičiame vardiklio ženklą, prieš trupmeną padėdami minusą: .

Atsakymas:

.

Trupmenų turinčių laipsnių sumažinimas iki naujo vardiklio atliekamas panašiai kaip redukavimas iki naujo vardiklio racionalios trupmenos. Tuo pačiu metu taip pat randamas papildomas koeficientas ir iš jo padauginamas trupmenos skaitiklis ir vardiklis. Atliekant šį veiksmą verta atsiminti, kad sumažinimas iki naujo vardiklio gali lemti DPV susiaurėjimą. Kad taip neatsitiktų, būtina, kad jokioms kintamųjų reikšmėms iš pradinės išraiškos ODZ kintamųjų neišnyktų papildomas veiksnys.

Pavyzdys.

Perkelkite trupmenas į naują vardiklį: a) į vardiklį a, b) į vardiklį.

Sprendimas.

a) Tokiu atveju gana nesunku išsiaiškinti, koks papildomas veiksnys padeda pasiekti norimą rezultatą. Tai yra daugiklis a 0,3, nes a 0,7 a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a . Atkreipkite dėmesį, kad kintamojo a priimtinų reikšmių diapazone (tai yra visų teigiamų realiųjų skaičių aibė) laipsnis a 0,3 neišnyksta, todėl mes turime teisę padauginti duotosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį. pagal šį papildomą veiksnį:

b) Atidžiau pažvelgę ​​į vardiklį, nustatome, kad

ir padauginus šią išraišką iš gausite kubelių sumą ir , Tai yra, . Ir tai yra naujas vardiklis, į kurį turime įtraukti pradinę trupmeną.

Taigi radome papildomą veiksnį. Išraiška neišnyksta kintamųjų x ir y priimtinų reikšmių diapazone, todėl galime iš jos padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį:

Atsakymas:

a) , b) .

Taip pat nėra nieko naujo ir laipsnius turinčių trupmenų redukcijoje: skaitiklis ir vardiklis vaizduojami kaip tam tikras faktorių skaičius, o tie patys skaitiklio ir vardiklio koeficientai mažinami.

Pavyzdys.

Sumažinkite trupmeną: a) , b).

Sprendimas.

a) Pirma, skaitiklį ir vardiklį galima sumažinti skaičiais 30 ir 45, kurie yra lygūs 15. Be to, akivaizdu, kad galite sumažinti x 0,5 +1 ir dar . Štai ką mes turime:

b) Šiuo atveju tie patys veiksniai skaitiklyje ir vardiklyje nėra matomi iš karto. Norėdami juos gauti, turite atlikti išankstines transformacijas. Šiuo atveju jie susideda iš vardiklio išskaidymo į veiksnius pagal kvadratų skirtumo formulę:

Atsakymas:

a)

b) .

Trupmenų mažinimas iki naujo vardiklio ir trupmenų mažinimas daugiausia naudojamas trupmenoms atlikti. Veiksmai atliekami pagal žinomas taisykles. Sudedant (atimant) trupmenas, jos sumažinamos iki bendro vardiklio, po to pridedami (atimami) skaitikliai, o vardiklis lieka toks pat. Rezultatas yra trupmena, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis yra vardklių sandauga. Dalyba iš trupmenos yra daugyba iš jos abipusio skaičiaus.

Pavyzdys.

Sekite žingsnius .

Sprendimas.

Pirma, skliausteliuose atimame trupmenas. Norėdami tai padaryti, sujungiame juos į bendrą vardiklį, kuris yra , tada atimkite skaitiklius:

Dabar padauginame trupmenas:

Akivaizdu, kad galima sumažinti galią x 1/2, o po to mes turime .

Taip pat galite supaprastinti galios išraišką vardiklyje naudodami kvadratų skirtumo formulę: .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraišką .

Sprendimas.

Akivaizdu, kad šią trupmeną galima sumažinti (x 2,7 +1) 2, tai suteikia trupmeną . Aišku, kad su x galiomis reikia daryti dar ką nors. Norėdami tai padaryti, gautą frakciją paverčiame produktu. Tai suteikia mums galimybę panaudoti galių dalijimo savybę tais pačiais pagrindais: . O proceso pabaigoje nuo paskutinio produkto pereiname prie frakcijos.

Atsakymas:

.

Ir priduriame, kad galima ir daugeliu atvejų pageidautina perkelti veiksnius su neigiamais rodikliais iš skaitiklio į vardiklį arba iš vardiklio į skaitiklį, keičiant rodiklio ženklą. Tokios transformacijos dažnai supaprastina tolesnius veiksmus. Pavyzdžiui, galios išraišką galima pakeisti .

Posakių konvertavimas su šaknimis ir galiomis

Dažnai išraiškose, kuriose būtinos kai kurios transformacijos, kartu su laipsniais su trupmeniniais eksponentais, yra ir šaknų. Norėdami konvertuoti tokią išraišką į tinkamos rūšies, daugeliu atvejų pakanka eiti tik prie šaknų arba tik prie galių. Bet kadangi su laipsniais dirbti patogiau, jie dažniausiai juda nuo šaknų iki laipsnių. Tačiau patartina atlikti tokį perėjimą, kai pradinės išraiškos kintamųjų ODZ leidžia pakeisti šaknis laipsniais, nereikia pasiekti modulio arba padalinti ODZ į kelis intervalus (tai išsamiai aptarėme straipsnis, perėjimas nuo šaknų prie laipsnių ir atvirkščiai Susipažinus su laipsniu su racionaliuoju rodikliu, įvedamas laipsnis su iracionaliuoju rodikliu, kuris leidžia kalbėti apie laipsnį su savavališku realiuoju rodikliu. Šiame etape mokykla pradeda mokytis eksponentinė funkcija , kuris analitiškai pateikiamas laipsniu, kurio pagrindu yra skaičius, o rodiklyje - kintamasis. Taigi susiduriame su galios išraiškomis, turinčiomis skaičius laipsnio bazėje, o laipsnyje - išraiškas su kintamaisiais, ir natūraliai atsiranda poreikis atlikti tokių išraiškų transformacijas.

Reikia pasakyti, kad sprendžiant dažniausiai tenka atlikti nurodyto tipo posakių transformaciją eksponentinės lygtys ir eksponentinės nelygybės , ir šios transformacijos yra gana paprastos. Daugeliu atvejų jie yra pagrįsti laipsnio savybėmis ir dažniausiai yra skirti įvesti naują kintamąjį ateityje. Lygtis leis mums juos parodyti 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirma, rodikliai, kurių rodikliuose randama kokio nors kintamojo (arba išraiškos su kintamaisiais) ir skaičiaus suma, pakeičiami sandaugomis. Tai taikoma pirmajai ir paskutinei išraiškos kairėje pusėje:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tada abi lygybės dalys padalijamos iš išraiškos 7 2 x , kuri ima tik teigiamas x kintamojo ODV reikšmes pradinei lygčiai (tai yra standartinė tokio pobūdžio lygčių sprendimo technika, mes nesame kalbame apie tai dabar, todėl sutelkite dėmesį į vėlesnius posakių transformavimus su galiomis ):

Dabar trupmenos su galiomis yra panaikintos, o tai suteikia .

Galiausiai laipsnių santykis su tais pačiais rodikliais pakeičiamas santykio laipsniais, todėl gaunama lygtis , kuri yra lygiavertė . Atliktos transformacijos leidžia įvesti naują kintamąjį, kuris sumažina pradinės eksponentinės lygties sprendimą iki kvadratinės lygties sprendinio

I. V. Boikovas, L. D. Romanova Užduočių rinkinys ruošiantis egzaminui. 1 dalis. Penza 2003 m.

Algebrinė išraiška, kurios įraše kartu su sudėties, atimties ir daugybos operacijomis taip pat naudojamas padalijimas į pažodines išraiškas, vadinama trupmenine algebrine išraiška. Tokie yra, pavyzdžiui, posakiai

Algebrine trupmena vadiname algebrinę išraišką, kuri yra dviejų sveikųjų algebrinių reiškinių (pavyzdžiui, vienanarių arba daugianarių) dalybos forma. Tokie yra, pavyzdžiui, posakiai

trečioji iš posakių).

Trupmeninių algebrinių išraiškų tapatybės transformacijos dažniausiai yra skirtos jas reprezentuoti formoje algebrinė trupmena. Norint rasti bendrą vardiklį, naudojamas trupmenų vardikų faktorinavimas – terminai, siekiant rasti jų mažiausią bendrą kartotinį. Mažinant algebrines trupmenas, gali būti pažeista griežta išraiškų tapatybė: būtina išskirti dydžių reikšmes, kurioms esant veiksnys, kuriuo redukuojama, išnyksta.

Pateiksime identiškų trupmeninių algebrinių reiškinių transformacijų pavyzdžių.

1 pavyzdys: supaprastinkite išraišką

Visus terminus galima redukuoti iki bendro vardiklio (patogu pakeisti paskutinio termino vardiklio ženklą ir ženklą prieš jį):

Mūsų išraiška yra lygi vienetui visoms reikšmėms, išskyrus šias reikšmes, ji neapibrėžta ir trupmenos mažinimas yra neteisėtas).

2 pavyzdys. Pavaizduokite išraišką kaip algebrinę trupmeną

Sprendimas. Išraiška gali būti laikoma bendru vardikliu. Iš eilės randame:

Pratimai

1. Raskite nurodytų parametrų verčių algebrinių išraiškų reikšmes:

2. Faktorizuoti.

Matematikos skaičiuotuvas internete v.1.0

Skaičiuoklė atlieka tokias operacijas: sudėties, atimties, daugybos, dalybos, darbo su dešimtainėmis dalimis, šaknies ištraukimą, kėlimą iki laipsnio, procentų skaičiavimo ir kitus veiksmus.

Sprendimas:

Kaip naudotis matematikos skaičiuokle

Raktas	Paskyrimas	Paaiškinimas
5	skaičiai 0-9	Arabiški skaitmenys. Įveskite natūralius sveikuosius skaičius, nulį. Norėdami gauti neigiamą sveikąjį skaičių, paspauskite +/- klavišą
.	kabliataškis)	Dešimtainis skyriklis. Jei prieš tašką (kablelį) nėra skaitmens, skaičiuotuvas automatiškai pakeis nulį prieš tašką. Pavyzdžiui: bus rašoma .5 - 0,5
+	pliuso ženklas	Skaičių sudėjimas (sveika, dešimtainės trupmenos)
-	minuso ženklas	Skaičių atėmimas (sveika, dešimtainės trupmenos)
÷	padalijimo ženklas	Skaičių padalijimas (sveika, dešimtainės trupmenos)
X	daugybos ženklas	Skaičių daugyba (sveikieji skaičiai, dešimtainės dalys)
√	šaknis	Šaknies ištraukimas iš skaičiaus. Dar kartą paspaudus mygtuką „root“, šaknis apskaičiuojama pagal rezultatą. Pavyzdžiui: kvadratinė šaknis iš 16 = 4; kvadratinė šaknis iš 4 = 2
x2	kvadratūra	Skaičiaus kvadratas. Dar kartą paspaudus mygtuką „Kvadratas“ rezultatas pavaizduojamas kvadratu. Pavyzdžiui: kvadratas 2 = 4; kvadratas 4 = 16
1/x	trupmena	Išvestis dešimtųjų tikslumu. Skaitiklyje 1, vardiklyje - įvesties skaičius
%	proc	Gaukite procentą nuo skaičiaus. Norėdami dirbti, turite įvesti: skaičių, nuo kurio bus skaičiuojamas procentas, ženklą (pliusas, minusas, padalinti, dauginti), kiek procentų skaitine forma, mygtuką "%"
(	atviras laikiklis	Atviri skliaustai, skirti nustatyti vertinimo prioritetą. Būtinas uždaras skliaustas. Pavyzdys: (2+3)*2=10
)	uždaras laikiklis	Uždarytas skliaustas, skirtas nustatyti vertinimo prioritetą. Reikalingas prieinamumas atviras laikiklis
±	plius minusas	Keičia ženklą į priešingą
=	lygus	Rodo sprendimo rezultatą. Taip pat tarpiniai skaičiavimai ir rezultatas rodomi virš skaičiuoklės laukelyje „Sprendimas“.
←	simbolio ištrynimas	Ištrina paskutinį simbolį
Su	nustatyti iš naujo	Perkrovimo mygtukas. Visiškai atstato skaičiuotuvą į „0“

Internetinės skaičiuoklės algoritmas su pavyzdžiais

Papildymas.

Sveikųjų natūraliųjų skaičių sudėjimas ( 5 + 7 = 12 )

Sveikųjų natūraliųjų ir neigiamų skaičių sudėjimas ( 5 + (-2) = 3 )

Dešimtainis sudėjimas trupmeniniai skaičiai { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Atimtis.

Sveikųjų natūraliųjų skaičių atėmimas ( 7 - 5 = 2 )

Sveikųjų natūraliųjų ir neigiamų skaičių atėmimas ( 5 - (-2) = 7 )

Dešimtainių trupmeninių skaičių atėmimas ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Daugyba.

Sveikųjų natūraliųjų skaičių sandauga ( 3 * 7 = 21 )

Sveikųjų natūraliųjų ir neigiamų skaičių sandauga ( 5 * (-3) = -15 )

Dešimtainių trupmeninių skaičių sandauga ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Padalinys.

Sveikųjų natūraliųjų skaičių dalyba ( 27 / 3 = 9 )

Sveikųjų natūraliųjų ir neigiamų skaičių padalijimas ( 15 / (-3) = -5 )

Dešimtainių trupmeninių skaičių padalijimas ( 6.2 / 2 = 3.1 )

Šaknies ištraukimas iš skaičiaus.

Sveikojo skaičiaus šaknies ištraukimas ( šaknis(9) = 3 )

Dešimtainių skaičių šaknies ištraukimas ( šaknis(2.5) = 1.58 )

Šaknies išskyrimas iš skaičių sumos ( šaknis(56 + 25) = 9 )

Skaičių skirtumo šaknies ištraukimas ( šaknis (32–7) = 5)

Skaičiaus kvadratas.

Sveikojo skaičiaus kvadratas ( (3) 2 = 9 )

Kvadratinis dešimtainis skaičius ( (2.2) 2 = 4.84 )

Konvertuoti į dešimtaines trupmenas.

Skaičiaus procentų skaičiavimas

Padidinti 230 15 % ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Sumažinkite skaičių 510 35 % ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

18 % skaičiaus 140 yra ( 140 * 0,18 = 25,2 )

Patogu ir paprasta internetinis skaičiuotuvas frakcijos su detaliu sprendimu gal būt:

• Sudėkite, atimkite, padauginkite ir padalykite trupmenos internete,
• Gauti „iki rakto“ sprendimas trupmenos su paveiksliuku ir patogu jį perkelti.



Trupmenų sprendimo rezultatas bus čia ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Trupmenos ženklas "/" + - * :
_wipe Išvalyti
Mūsų internetinis trupmenų skaičiuotuvas turi greitą įvestį. Pavyzdžiui, norėdami gauti trupmenų sprendimą, tiesiog parašykite 1/2+2/7 į skaičiuotuvą ir paspauskite " išspręsti trupmenas“. Skaičiuoklė jums parašys detalus sprendimas trupmenomis ir išduoti kopijavimui tinkamas vaizdas.

Rašant skaičiuoklėje naudojami simboliai

Galite įvesti sprendimo pavyzdį ir naudodami klaviatūrą, ir naudodami mygtukus.

Internetinio trupmenų skaičiuoklės ypatybės

Trupmenų skaičiuotuvas gali atlikti operacijas tik su 2 paprastomis trupmenomis. Jie gali būti teisingi (skaitiklis mažesnis už vardiklį) arba neteisingi (skaitiklis didesnis už vardiklį). Skaičiai skaitiklyje ir vardikliuose negali būti neigiami ir didesni nei 999.
Mūsų internetinis skaičiuotuvas išsprendžia trupmenas ir pateikia atsakymą teisinga forma- jei reikia, sumažina trupmeną ir paryškina visą dalį.

Jei reikia išspręsti neigiamas trupmenas, tiesiog naudokite minusines savybes. Dauginant ir dalijant neigiamas trupmenas, minusas iš minuso suteikia pliusą. Tai yra, neigiamų trupmenų sandauga ir padalijimas yra lygus tų pačių teigiamų dalių sandaugai ir padalijimui. Jei padauginus arba padalijus viena trupmena yra neigiama, tiesiog pašalinkite minusą ir pridėkite jį prie atsakymo. Pridedant neigiamas trupmenas, rezultatas bus toks pat, kaip pridėjus tas pačias teigiamas trupmenas. Jei pridėsite vieną neigiamą trupmeną, tai yra tas pats, kas atimti tą pačią teigiamą trupmeną.
Atėmus neigiamas trupmenas, rezultatas bus toks pat, lyg jos būtų apverstos ir padarytos teigiamos. Tai yra, minusas minusu šiuo atveju duoda pliusą, o suma nesikeičia dėl sąlygų pertvarkymo. Atimdami trupmenas, kurių viena yra neigiama, naudojame tas pačias taisykles.

Norėdami išspręsti mišrias trupmenas (trupomis, kuriose paryškinta visa dalis), tiesiog surinkite visą dalį į trupmeną. Norėdami tai padaryti, sveikojo skaičiaus dalį padauginkite iš vardiklio ir pridėkite prie skaitiklio.

Jei jums reikia išspręsti 3 ar daugiau trupmenų internete, tuomet turėtumėte jas išspręsti po vieną. Pirmiausia suskaičiuokite pirmąsias 2 trupmenas, tada gautu atsakymu išspręskite kitą trupmeną ir pan. Atlikite veiksmus paeiliui 2 trupmenoms ir galiausiai gausite teisingą atsakymą.