Nelygybės skaičiuoklė su internetiniu sprendimu. Tiesinės nelygybės

Nelygybė yra skaitinis santykis, iliustruojantis skaičių dydį vienas kito atžvilgiu. Nelygybės plačiai naudojamos ieškant dydžių taikomuosiuose moksluose. Mūsų skaičiuoklė padės jums susidoroti su tokia sudėtinga tema kaip tiesinių nelygybių sprendimas.

Kas yra nelygybė

Nevienodi santykiai realiame gyvenime atitinka nuolatinį skirtingų objektų lyginimą: aukščiau ar žemiau, toliau ar arčiau, sunkesniu ar lengvesniu. Intuityviai arba vizualiai galime suprasti, kad vienas objektas yra didesnis, aukštesnis ar sunkesnis už kitą, tačiau iš tikrųjų visada reikia palyginti skaičius, apibūdinančius atitinkamus dydžius. Galite palyginti objektus bet kokiu pagrindu ir bet kuriuo atveju galime padaryti skaitinę nelygybę.

Jei nežinomi dydžiai tam tikromis sąlygomis yra lygūs, tada jų skaitiniam nustatymui sudarome lygtį. Jei ne, tai vietoj „lygybės“ ženklo galime nurodyti bet kokį kitą šių dydžių santykį. Du skaičiai arba matematiniai objektai gali būti didesni nei ">", mažesni nei "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Nelygybės ženklus šiuolaikine forma išrado britų matematikas Thomas Harriot, kuris 1631 metais išleido knygą apie nelygius santykius. Didesnis nei ">" ir mažesnis nei "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Nelygybių sprendimas

Nelygybės, kaip ir lygtys, būna įvairių tipų. Tiesiniai, kvadratiniai, logaritminiai ar eksponentiniai nelygūs santykiai išlaisvinami įvairiais metodais. Tačiau, nepaisant metodo, bet kokia nelygybė pirmiausia turi būti sumažinta iki standartinės formos. Tam naudojamos identiškos transformacijos, kurios yra identiškos lygybių modifikacijoms.

Nelygybių tapatybės transformacijos

Tokios išraiškų transformacijos labai panašios į lygčių šmėklą, tačiau jos turi niuansų, į kuriuos svarbu atsižvelgti atsiejant nelygybes.

Pirmoji tapatybės transformacija yra identiška analogiškam veiksmui su lygybėmis. Prie abiejų nelygybės santykio pusių galite pridėti arba atimti tą patį skaičių arba išraišką su nežinomu x, o nelygybės ženklas išlieka toks pat. Dažniausiai šis metodas naudojamas supaprastinta forma kaip išraiškos terminų perkėlimas per nelygybės ženklą su skaičiaus ženklo pakeitimu į priešingą. Tai reiškia paties termino ženklo pakeitimą, tai yra, + R perkeliant per bet kurį nelygybės ženklą pasikeis į - R ir atvirkščiai.

Antroji transformacija turi du taškus:

Abi nevienodo santykio puses leidžiama padauginti arba padalyti iš to paties teigiamo skaičiaus. Pats nelygybės ženklas nepasikeis.
Abi nelygybės puses leidžiama padalyti arba padauginti iš to paties neigiamo skaičiaus. Pats nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.

Antroji identiška nelygybių transformacija turi rimtų skirtumų su lygčių modifikavimu. Pirma, dauginant/dalinant iš neigiamo skaičiaus, nelygios išraiškos ženklas visada pasikeičia. Antra, santykio dalis galima dalyti ar dauginti tik iš skaičiaus, o ne iš jokios išraiškos, kurioje yra nežinomasis. Faktas yra tas, kad negalime tiksliai žinoti, ar už nežinomybės slepiasi didesnis ar mažesnis už nulį skaičius, todėl antroji identiška transformacija taikoma nelygybėms tik su skaičiais. Pažvelkime į šias taisykles su pavyzdžiais.

Nelygybių atsiejimo pavyzdžiai

Algebros užduotyse yra įvairių užduočių nelygybių tema. Pateikime išraišką:

6x – 3 (4x + 1) > 6.

Pirmiausia atidarykite skliaustus ir visus nežinomus perkelkite į kairę, o visus skaičius – į dešinę.

6x – 12x > 6 + 3

Abi išraiškos dalis turime padalyti iš −6, todėl radus nežinomą x nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.

Spręsdami šią nelygybę, naudojome abi identiškas transformacijas: visus skaičius perkėlėme į dešinę nuo ženklo ir abi santykio puses padalinome iš neigiamo skaičiaus.

Mūsų programa yra skaičiuotuvas, skirtas spręsti skaitines nelygybes, kuriose nėra nežinomųjų. Programoje yra šios teoremos trijų skaičių santykiams:

jeigu< B то A–C< B–C;
jei A > B, tai A–C > B–C.

Užuot atėmę terminus A-C, galite nurodyti bet kurią aritmetinę operaciją: sudėtį, daugybą ar padalijimą. Taigi skaičiuoklė automatiškai pateiks sumų, skirtumų, sandaugų ar trupmenų nelygybes.

Išvada

Realiame gyvenime nelygybės yra tokios pat dažnos kaip lygtys. Natūralu, kad kasdieniame gyvenime žinių apie nelygybių sprendimą gali ir neprireikti. Tačiau taikomuosiuose moksluose nelygybės ir jų sistemos yra plačiai naudojamos. Pavyzdžiui, įvairūs pasaulinės ekonomikos problemų tyrinėjimai susiaurinami iki tiesinių ar kvadratinių nelygybių sistemų sudarymo ir išlaisvinimo, o kai kurie nelygūs santykiai yra vienareikšmis būdas įrodyti tam tikrų objektų egzistavimą. Naudokite mūsų programas, kad išspręstumėte tiesines nelygybes arba patikrintumėte savo skaičiavimus.

Forma ax 2 + bx + 0 0, kur (vietoj > ženklo, žinoma, gali būti bet koks kitas nelygybės ženklas). Turime visus teorijos faktus, reikalingus tokioms nelygybėms išspręsti, kuriuos dabar patikrinsime.

1 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 - 2x - 3< 0.
Sprendimas,

a) Apsvarstykite parabolę y \u003d x 2 - 2x - 3, parodytą fig. 117.

Išspręsti nelygybę x 2 - 2x - 3 > 0 - tai reiškia, kad reikia atsakyti į klausimą, kurioms x reikšmėms parabolės taškų ordinatės yra teigiamos.

Pastebime, kad y > 0, t.y. funkcijos grafikas yra virš x ašies, ties x< -1 или при х > 3.

Vadinasi, visi nelygybės sprendiniai yra atviri taškai sija(- 00 , - 1), taip pat visi atviro spindulio taškai (3, +00).

Naudojant ženklą U (aibių sąjungos ženklą), atsakymą galima parašyti taip: (-00 , - 1) U (3, +00). Tačiau atsakymas gali būti parašytas taip:< - 1; х > 3.

b) Nelygybė x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: tvarkaraštį esantis žemiau x ašies, jei -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nelygybė x 2 - 2x - 3 > 0 skiriasi nuo nelygybės x 2 - 2x - 3 > 0 tuo, kad atsakymas turi apimti ir lygties x 2 - 2x - 3 = 0 šaknis, ty taškus x = - 1

ir x \u003d 3. Taigi šios negriežtos nelygybės sprendiniai yra visi pluošto taškai (-00, - 1], taip pat visi pluošto taškai.

Praktiniai matematikai dažniausiai sako taip: kodėl mes, išspręsdami nelygybę ax 2 + bx + c > 0, atsargiai sudarome kvadratinės funkcijos parabolinę grafiką

y \u003d ax 2 + bx + c (kaip buvo padaryta 1 pavyzdyje)? Užtenka padaryti scheminį grafiko eskizą, kuriam tereikia surasti šaknys kvadratinis trinaris (parabolės susikirtimo su x ašimi taškas) ir nustatyti, kur nukreiptos parabolės šakos – aukštyn ar žemyn. Šis schematinis eskizas suteiks vaizdinį nelygybės sprendimo interpretaciją.

2 pavyzdys Išspręskite nelygybę - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Sprendimas.

1) Raskite kvadratinio trinalio šaknis - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabolė, kuri yra funkcijos y \u003d -2x 2 + Zx + 9 grafikas, kerta x ašį taškuose 3 ir - 1,5, o parabolės šakos nukreiptos žemyn, nes senesnė koeficientas- neigiamas skaičius - 2. Pav. 118 yra grafiko eskizas.

3) Naudojant pav. 118, darome išvadą:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Atsakymas: x< -1,5; х > 3.

3 pavyzdys Išspręskite nelygybę 4x 2 - 4x + 1< 0.
Sprendimas.

1) Iš lygties 4x 2 - 4x + 1 = 0 randame.

2) Kvadratinis trinaris turi vieną šaknį; tai reiškia, kad parabolė, tarnaujanti kaip kvadratinio trinalio grafikas, nekerta x ašies, o paliečia ją taške. Parabolės šakos nukreiptos į viršų (119 pav.)

3) Naudojant geometrinį modelį, parodytą pav. 119, nustatome, kad nurodyta nelygybė tenkinama tik taške, nes visoms kitoms x reikšmėms grafiko ordinatės yra teigiamos.
Atsakymas:.
Tikriausiai pastebėjote, kad iš tikrųjų 1, 2, 3 pavyzdžiuose aiškiai apibrėžta algoritmas spręsdami kvadratines nelygybes, ją įforminsime.

Kvadratinės nelygybės ax 2 + bx + 0 0 (ax 2 + bx + c) sprendimo algoritmas< 0)

Pirmasis šio algoritmo žingsnis yra rasti kvadratinio trinalio šaknis. Tačiau šaknų gali ir nebūti, tad ką daryti? Tada algoritmas netaikomas, vadinasi, reikia samprotauti kitaip. Šių argumentų esmę pateikia šios teoremos.

Kitaip tariant, jei D< 0, а >0, tada nelygybė ax 2 + bx + c > 0 tenkinama visiems x; priešingai, nelygybė ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Įrodymas. tvarkaraštį funkcijas y \u003d ax 2 + bx + c yra parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų (kadangi a > 0) ir kuri nesikerta su x ašimi, nes kvadratinis trinaris pagal sąlygą neturi šaknų. Grafikas parodytas fig. 120. Matome, kad visiems x grafikas yra virš x ašies, o tai reiškia, kad visiems x tenkinama nelygybė ax 2 + bx + c > 0, kurią ir reikėjo įrodyti.

Kitaip tariant, jei D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 neturi sprendimų.

Įrodymas. Funkcijos y \u003d ax 2 + bx + c grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn (nes a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

4 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Raskite kvadratinio trinalio 2x 2 - x + 4 diskriminantą. Turime D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Vyriausiasis trinario koeficientas (skaičius 2) yra teigiamas.

Vadinasi, pagal 1 teoremą visiems x tenkinama nelygybė 2x 2 - x + 4 > 0, t.y., duotosios nelygybės sprendinys yra visuma (-00, + 00).

b) Raskite kvadratinio trinalio diskriminantą - x 2 + Zx - 8. Turime D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Atsakymas: a) (-00, + 00); b) sprendimų nėra.

Toliau pateiktame pavyzdyje susipažinsime su kitu samprotavimo būdu, kuris naudojamas sprendžiant kvadratines nelygybes.

5 pavyzdys Išspręskite nelygybę 3x 2 - 10x + 3< 0.
Sprendimas. Paskaičiuokime kvadratinį trinarį 3x 2 - 10x + 3. Trinario šaknys yra skaičiai 3, todėl naudojant ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), gauname Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Skaičių eilutėje pažymime trinario šaknis: 3 ir (122 pav.).

Tegu x > 3; tada x-3>0 ir x->0, taigi sandauga 3(x - 3)(x - ) yra teigiama. Kitas, tegul< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Todėl sandauga 3(x-3)(x-) yra neigiama. Galiausiai leiskite x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) yra teigiamas.

Apibendrinant samprotavimus, prieiname prie išvados: kvadratinio trinalio Zx 2 - 10x + 3 ženklai kinta, kaip parodyta pav. 122. Mums įdomu, kokiam x kvadratiniam trinaliui įgyjamos neigiamos reikšmės. Iš pav. 122 darome išvadą: kvadratinis trinaris 3x 2 - 10x + 3 ima neigiamas reikšmes bet kuriai x reikšmei iš intervalo (, 3)
Atsakymas (, 3) arba< х < 3.

komentuoti. Samprotavimo metodas, kurį taikėme 5 pavyzdyje, paprastai vadinamas intervalų metodu (arba intervalų metodu). Jis aktyviai naudojamas matematikoje sprendžiant racionalus nelygybės. 9 klasėje plačiau nagrinėsime intervalų metodą.

6 pavyzdys. Kokiomis parametro p reikšmėmis yra kvadratinė lygtis x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) turi dvi skirtingas šaknis;

b) turi vieną šaknį;

c) neturi šaknų?

Sprendimas. Kvadratinės lygties šaknų skaičius priklauso nuo jos diskriminanto D ženklo. Šiuo atveju randame D \u003d 25 - 4p 2.

a) Kvadratinė lygtis turi dvi skirtingas šaknis, jei D> 0, tai uždavinys redukuojamas iki nelygybės 25 - 4p 2 > 0 išsprendimo. Abi šios nelygybės dalis padauginame iš -1 (nelygybės ženklo keisti nepamiršdami). Gauname ekvivalentinę nelygybę 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Išraiškos 4(p - 2,5) (p + 2,5) ženklai parodyti pav. 123.

Darome išvadą, kad nelygybė 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadratinė lygtis turi vieną šaknį, jei D yra 0.
Kaip minėjome aukščiau, D = 0, kai p = 2,5 arba p = -2,5.

Šioms parametro p reikšmėms ši kvadratinė lygtis turi tik vieną šaknį.

c) Kvadratinė lygtis neturi šaknų, jei D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Gauname 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, iš kur (žr. 123 pav.) p.< -2,5; р >2.5. Šioms parametro p reikšmėms ši kvadratinė lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: a) ties p (-2,5, 2,5);

b) kai p = 2,5 arba p = -2,5;
c) ties r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė: proc. bendrajam lavinimui institucijos – 3 leid., baigtas. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: iliustr.

Pagalba mokiniui internetu, Matematika 8 klasei parsisiųsti, kalendorius-teminis planavimas

taip pat žr. Linijinio programavimo uždavinio sprendimas grafiniu būdu, Kanoninė linijinio programavimo uždavinių forma

Tokios problemos apribojimų sistema susideda iš dviejų kintamųjų nelygybių:
o tikslo funkcija turi formą F = C 1 x + C 2 y, kuris turi būti padidintas.

Atsakykime į klausimą: kokios skaičių poros ( x; y) yra nelygybių sistemos sprendiniai, t.y., ar jie tenkina kiekvieną iš nelygybių vienu metu? Kitaip tariant, ką reiškia grafiškai išspręsti sistemą?
Pirmiausia turite suprasti, kas yra vienos tiesinės nelygybės su dviem nežinomaisiais sprendimas.
Išspręsti tiesinę nelygybę su dviem nežinomaisiais reiškia nustatyti visas nežinomųjų reikšmių poras, kurių nelygybė tenkinama.
Pavyzdžiui, 3 nelygybė x – 5y≥ 42 patenkina poras ( x , y): (100, 2); (3, –10) ir tt Problema yra rasti visas tokias poras.
Apsvarstykite dvi nelygybes: kirvis + pateikė≤ c, kirvis + pateikė≥ c. Tiesiai kirvis + pateikė = c padalija plokštumą į dvi pusplokštumas taip, kad vienos iš jų taškų koordinatės tenkintų nelygybę kirvis + pateikė >c, ir kita nelygybė kirvis + +pateikė <c.
Iš tiesų, paimkite tašką su koordinatėmis x = x 0; tada taškas, esantis tiesioje linijoje ir turintis abscisę x 0 , turi ordinatę

Leiskite konkretumui a<0, b>0, c>0. Visi taškai su abscisėmis x 0 aukščiau P(pvz., taškas M), turi y M>y 0 , o visi taškai žemiau taško P, su abscisėmis x 0, turi yN<y 0 . Tiek, kiek x 0 yra savavališkas taškas, tada vienoje linijos pusėje visada bus taškų kirvis+ pateikė > c, sudaro pusiau plokštumą, o kita vertus, taškai, už kuriuos kirvis + pateikė< c.

1 paveikslas

Nelygybės ženklas pusplokštumoje priklauso nuo skaičių a, b , c.
Tai reiškia tokį dviejų kintamųjų tiesinių nelygybių sistemų grafinio sprendimo metodą. Norėdami išspręsti sistemą, jums reikia:

Kiekvienai nelygybei užrašykite lygtį, atitinkančią duotą nelygybę.
Sukurkite linijas, kurios yra lygčių pateiktų funkcijų grafikai.
Kiekvienai tiesei nustatykite pusplokštumą, kurią suteikia nelygybė. Norėdami tai padaryti, paimkite savavališką tašką, kuris nėra tiesioje linijoje, pakeiskite jo koordinates į nelygybę. jei nelygybė teisinga, tai pusplokštuma, kurioje yra pasirinktas taškas, yra pradinės nelygybės sprendimas. Jei nelygybė klaidinga, tai pusplokštuma kitoje tiesės pusėje yra šios nelygybės sprendinių rinkinys.
Norint išspręsti nelygybių sistemą, reikia rasti visų pusplokštumų, kurios yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas, susikirtimo plotą.

Ši sritis gali pasirodyti tuščia, tada nelygybių sistema neturi sprendinių, yra nenuosekli. Priešingu atveju sistema yra suderinama.
Sprendimai gali būti baigtinis skaičius ir begalinė aibė. Plotas gali būti uždaras daugiakampis arba neribotas.

Pažvelkime į tris svarbius pavyzdžius.

1 pavyzdys. Grafiškai išspręskite sistemą:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

apsvarstykite nelygybes atitinkančias lygtis x+y–1=0 ir –2x–2y+5=0;
statykime šių lygčių pateiktas tieses.

2 pav

Apibrėžkime nelygybių duotas pusplokštumas. Paimkite savavališką tašką, tegul (0; 0). Apsvarstykite x+ y- 1 0, tašką (0; 0) pakeičiame: 0 + 0 – 1 ≤ 0. vadinasi, pusplokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, t.y. pusplokštuma, esanti žemiau tiesės, yra pirmosios nelygybės sprendimas. Pakeitę šį tašką (0; 0) į antrąjį, gauname: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, t.y. pusplokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), -2 x – 2y+ 5≥ 0, o mūsų paklausė, kur -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, todėl kitoje pusplokštumoje - virš tiesės.
Raskite šių dviejų pusiau plokštumų sankirtą. Tiesės lygiagrečios, todėl plokštumos niekur nesikerta, vadinasi, šių nelygybių sistema neturi sprendinių, yra nenuosekli.

2 pavyzdys. Grafiškai raskite nelygybių sistemos sprendimus:

3 pav
1. Užrašykite lygtis atitinkančias nelygybes ir sukonstruokite tieses.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Pasirinkę tašką (0; 0), nustatome nelygybių požymius pusplokštumose:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, t.y. x + 2y– 2 ≤ 0 pusiau plokštumoje žemiau tiesės;
0 – 0 – 1 ≤ 0, t.y. y –x– 1 ≤ 0 pusplokštumoje žemiau tiesės;
0 + 2 =2 ≥ 0, t.y. y+ 2 ≥ 0 pusplokštumoje virš linijos.
3. Šių trijų pusiau plokštumų sankirta bus sritis, kuri yra trikampis. Nesunku rasti srities viršūnes kaip atitinkamų tiesių susikirtimo taškus

Šiuo būdu, BET(–3; –2), IN(0; 1), NUO(6; –2).

Panagrinėkime dar vieną pavyzdį, kuriame gauta sistemos sprendimo sritis nėra ribojama.

Nelygybių sprendimas internete

Prieš sprendžiant nelygybes, būtina gerai suprasti, kaip sprendžiamos lygtys.

Nesvarbu, ar nelygybė yra griežta () ar negriežta (≤, ≥), pirmiausia reikia išspręsti lygtį, pakeičiant nelygybės ženklą lygybe (=).

Paaiškinkite, ką reiškia išspręsti nelygybę?

Išstudijavus lygtis, studento galvoje atsiranda toks vaizdas: reikia rasti tokias kintamojo reikšmes, kurių abi lygties dalys turi tas pačias reikšmes. Kitaip tariant, suraskite visus taškus, kuriuose galioja lygybė. Viskas teisinga!

Kalbėdami apie nelygybes, jie reiškia intervalų (segmentų), kuriuose galioja nelygybė, radimą. Jei nelygybėje yra du kintamieji, tada sprendimas bus nebe intervalai, o kai kurios plokštumos sritys. Atspėk, koks bus trijų kintamųjų nelygybės sprendimas?

Kaip išspręsti nelygybes?

Intervalų metodas (dar žinomas kaip intervalų metodas) laikomas universaliu nelygybių sprendimo būdu, kurį sudaro visų intervalų, per kuriuos bus įvykdyta duota nelygybė, nustatymas.

Nesileidžiant į nelygybės tipą, šiuo atveju tai nėra esmė, reikia išspręsti atitinkamą lygtį ir nustatyti jos šaknis, o po to šiuos sprendinius žymėti skaitinėje ašyje.

Kaip teisingai parašyti nelygybės sprendimą?

Kai nustatote nelygybės sprendimo intervalus, turite teisingai užrašyti patį sprendimą. Yra svarbus niuansas – ar į sprendinį įtrauktos intervalų ribos?

Čia viskas paprasta. Jei lygties sprendimas tenkina ODZ ir nelygybė nėra griežta, tai intervalo riba įtraukiama į nelygybės sprendinį. Priešingu atveju ne.

Atsižvelgiant į kiekvieną intervalą, nelygybės sprendimas gali būti pats intervalas arba pusintervalas (kai viena iš jo ribų tenkina nelygybę), arba atkarpa - intervalas kartu su jo ribomis.

Svarbus punktas

Nemanykite, kad tik intervalai, pusintervalai ir segmentai gali būti nelygybės sprendimas. Ne, į sprendimą galima įtraukti ir atskirus taškus.

Pavyzdžiui, nelygybė |x|≤0 turi tik vieną sprendinį – tašką 0.

Ir nelygybė |x|

Kam skirta nelygybės skaičiuoklė?

Nelygybės skaičiuoklė pateikia teisingą galutinį atsakymą. Šiuo atveju daugeliu atvejų pateikiama skaitinės ašies arba plokštumos iliustracija. Galite matyti, ar intervalų ribos įtrauktos į sprendimą, ar ne – taškai rodomi užpildyti arba pradurti.

Internetinės nelygybės skaičiuoklės dėka galite patikrinti, ar teisingai radote lygties šaknis, pažymėjote jas skaičių eilutėje ir patikrinote nelygybės sąlygas intervaluose (ir ribose)?

Jei jūsų atsakymas skiriasi nuo skaičiuoklės atsakymo, tuomet tikrai turite dar kartą patikrinti savo sprendimą ir nustatyti padarytą klaidą.

Nelygybė yra išraiška su, ≤ arba ≥. Pavyzdžiui, 3x - 5 Išspręsti nelygybę reiškia rasti visas kintamųjų, kuriems ši nelygybė yra teisinga, reikšmes. Kiekvienas iš šių skaičių yra nelygybės sprendimas, o visų tokių sprendinių aibė yra jo daug sprendimų. Vadinamos nelygybės, turinčios tą patį sprendinių rinkinį ekvivalentinės nelygybės.

Tiesinės nelygybės

Nelygybių sprendimo principai yra panašūs į lygčių sprendimo principus.

Nelygybių sprendimo principai
Bet kokiems realiesiems skaičiams a, b ir c:
Nelygybių pridėjimo principas: Jeigu Nelygybių daugybos principas: Jei a 0 yra teisinga, tada ac Jei bc taip pat yra teisinga.
Panašūs teiginiai taip pat taikomi a ≤ b.

Kai abi nelygybės pusės padauginamos iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklą reikia apversti.
Pirmojo lygio nelygybės, kaip 1 pavyzdyje (toliau), vadinamos tiesinės nelygybės.

1 pavyzdys Išspręskite kiekvieną iš šių nelygybių. Tada nubrėžkite sprendimų rinkinį.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Sprendimas
Bet koks skaičius, mažesnis nei 11/5, yra sprendimas.
Sprendimų rinkinys yra (x|x
Norėdami patikrinti, galime nubraižyti y 1 = 3x - 5 ir y 2 = 6 - 2x. Tada iš čia matyti, kad x
Sprendimų rinkinys yra (x|x ≤ 1) arba (-∞, 1]. Sprendimų aibės grafikas parodytas žemiau.

Dviguba nelygybė

Kai dvi nelygybės yra sujungtos žodžiu Ir, arba, tada jis susidaro dviguba nelygybė. Dviguba nelygybė patinka
-3 Ir 2x + 5 ≤ 7
paskambino prijungtas nes naudojasi Ir. Įrašas -3 Dvigubos nelygybės gali būti išspręstos taikant nelygybių sudėties ir daugybos principus.

2 pavyzdys Išspręskite -3 Sprendimas Mes turime

Sprendimų rinkinys (x|x ≤ -1 arba x > 3). Sprendimą taip pat galime parašyti naudodami tarpų žymėjimą ir simbolį for asociacijos arba abiejų aibių inkliuzai: (-∞ -1] (3, ∞).Sprendinių aibės grafikas parodytas žemiau.

Norėdami patikrinti, nubrėžkite y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 ir y 3 = 1. Atminkite, kad (x|x ≤ -1 arba x > 3), y 1 ≤ y 2 arba y 1 > y 3 .

Nelygybės su absoliučia verte (modulis)

Nelygybės kartais apima modulius. Joms išspręsti naudojamos šios savybės.
Jei > 0 ir algebrinė išraiška x:
|x| |x| > a yra lygiavertis x arba x > a.
Panašūs teiginiai |x| ≤ a ir |x| ≥ a.

Pavyzdžiui,
|x| |y| ≥ 1 yra lygiavertis y ≤ -1 arba y ≥ 1;
ir |2x + 3| ≤ 4 atitinka -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

4 pavyzdys Išspręskite kiekvieną iš šių nelygybių. Nubraižykite sprendimų rinkinį.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Sprendimas
a) |3x + 2|

Sprendimų rinkinys yra (x|-7/3