namai > Mechaninė inžinerija

Funkcijos y x n savybės. Eksponentinė funkcija – savybės, grafikai, formulės

Funkcija kur X – kintamasis, A – duotas numeris, vadinamas galios funkcija .

Jei tada yra tiesinė funkcija, jos grafikas yra tiesė (žr. 4.3 skyrių, 4.7 pav.).

Jei tada- kvadratinė funkcija, jo grafikas yra parabolė (žr. 4.3 pastraipą, 4.8 pav.).

Jei tada jo grafikas yra kubinė parabolė (žr. 4.3 skyrių, 4.9 pav.).

Maitinimo funkcija

Tai atvirkštinė funkcija dėl

1. Domenas:

2. Kelios reikšmės:

3. Lyginis ir nelyginis: nelyginė funkcija.

4. Funkcijos periodiškumas: neperiodinis.

5. Funkcijos nuliai: X= 0 yra vienintelis nulis.

6. Funkcija neturi didžiausios arba mažiausios vertės.

7.

8. Funkcijų grafikas Simetriška kubinės parabolės grafikui tiesės atžvilgiu Y=X ir parodyta fig. 5.1.

Maitinimo funkcija

1. Domenas:

2. Kelios reikšmės:

3. Lyginis ir nelyginis: funkcija lygi.

4. Funkcijos periodiškumas: neperiodinis.

5. Funkcijos nuliai: vienas nulis X = 0.

6. Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės: ima mažiausią reikšmę X= 0, tai lygu 0.

7. Didėjimo ir mažėjimo intervalai: funkcija intervale mažėja ir intervale didėja

8. Funkcijų grafikas(kiekvienam N Î N) „atrodo“ kaip grafikas kvadratinė parabolė(funkcijų grafikai pavaizduoti 5.2 pav.).

Maitinimo funkcija

1. Domenas:

2. Kelios reikšmės:

3. Lyginis ir nelyginis: nelyginė funkcija.

4. Funkcijos periodiškumas: neperiodinis.

5. Funkcijos nuliai: X= 0 yra vienintelis nulis.

6. Didžiausios ir mažiausios vertės:

7. Didėjimo ir mažėjimo intervalai: funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

8. Funkcijų grafikas(kiekvienam ) „atrodo“ kaip kubinės parabolės grafikas (funkcijų grafikai pavaizduoti 5.3 pav.).

Maitinimo funkcija

1. Domenas:

2. Kelios reikšmės:

3. Lyginis ir nelyginis: nelyginė funkcija.

4. Funkcijos periodiškumas: neperiodinis.

5. Funkcijos nuliai: neturi nulių.

6. Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės: funkcija neturi didžiausių ir mažiausių verčių

7. Didėjimo ir mažėjimo intervalai: funkcija apibrėžimo srityje mažėja.

8. Asimptotai:(ašis OU) yra vertikali asimptotė;

(ašis Oi) yra horizontalioji asimptotė.

9. Funkcijų grafikas(bet kam N) „atrodo“ kaip hiperbolės grafikas (funkcijų grafikai pavaizduoti 5.4 pav.).

Maitinimo funkcija

1. Domenas:

2. Kelios reikšmės:

3. Lyginis ir nelyginis: funkcija lygi.

4. Funkcijos periodiškumas: neperiodinis.

5. Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės: funkcija neturi didžiausių ir mažiausių verčių

6. Didėjimo ir mažėjimo intervalai: funkcija didėja ir mažėja

7. Asimptotai: X= 0 (ašis OU) yra vertikali asimptotė;

Y= 0 (ašis Oi) yra horizontalioji asimptotė.

8. Funkcijų grafikai Ar kvadratinės hiperbolės (5.5 pav.).

Maitinimo funkcija

1. Domenas:

2. Kelios reikšmės:

3. Lyginis ir nelyginis: funkcija neturi lyginės ir nelyginės savybės.

4. Funkcijos periodiškumas: neperiodinis.

5. Funkcijos nuliai: X= 0 yra vienintelis nulis.

6. Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės: mažiausia reikšmė lygi 0, funkcija įgauna tašką X= 0; didžiausia vertybė neturi.

7. Didėjimo ir mažėjimo intervalai: funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

8. Kiekviena tokia funkcija su tam tikru indikatoriumi yra atvirkštinė funkcijai, numatytai

9. Funkcijų grafikas„atrodo“ kaip bet kurios funkcijos grafikas N ir parodyta fig. 5.6.

Maitinimo funkcija

1. Domenas:

2. Kelios reikšmės:

3. Lyginis ir nelyginis: nelyginė funkcija.

4. Funkcijos periodiškumas: neperiodinis.

5. Funkcijos nuliai: X= 0 yra vienintelis nulis.

6. Didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės: funkcija neturi didžiausių ir mažiausių verčių

7. Didėjimo ir mažėjimo intervalai: funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

8. Funkcijų grafikas Pavaizduota pav. 5.7.

Prisiminkite laipsnio funkcijų su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybes ir grafikus.

Netgi n:

Funkcijos pavyzdys:

Visi tokių funkcijų grafikai eina per du fiksuotus taškus: (1;1), (-1;1). Šio tipo funkcijų bruožas yra jų paritetas, grafikai yra simetriški op-y ašies atžvilgiu.

Ryžiai. 1. Funkcijos grafikas

Nelyginiam n:

Funkcijos pavyzdys:

Visi tokių funkcijų grafikai eina per du fiksuotus taškus: (1;1), (-1;-1). Šio tipo funkcijų bruožas yra jų keistumas, grafikai yra simetriški kilmės atžvilgiu.

Ryžiai. 2. Funkcijų grafikas

Prisiminkime pagrindinį apibrėžimą.

Neneigiamo skaičiaus a laipsnis su racionaliu teigiamu rodikliu vadinamas skaičiumi.

Teigiamojo skaičiaus a laipsnis su racionaliu neigiamu rodikliu vadinamas skaičiumi.

Šioms lygybėms galioja:

Pavyzdžiui: ; - išraiška neegzistuoja pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu racionaliuoju rodikliu; egzistuoja, nes eksponentas yra sveikasis skaičius,

Pereikime prie galios funkcijų su racionaliu neigiamu eksponentu svarstymo.

Pavyzdžiui:

Norėdami pavaizduoti šią funkciją, galite sudaryti lentelę. Darysime kitaip: pirmiausia sukursime ir išnagrinėsime vardiklio grafiką – mes jį žinome (3 pav.).

Ryžiai. 3. Funkcijos grafikas

Vardiklio funkcijos grafikas eina per fiksuotą tašką (1;1). Konstruojant pradinės funkcijos grafiką, šis taškas išlieka, kai šaknis taip pat linkusi į nulį, funkcija linkusi į begalybę. Ir atvirkščiai, kadangi x linksta į begalybę, funkcija linkusi į nulį (4 pav.).

Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas

Apsvarstykite dar vieną funkciją iš tiriamų funkcijų šeimos.

Svarbu, kad pagal apibrėžimą

Apsvarstykite funkcijos grafiką vardiklyje: , žinome šios funkcijos grafiką, ji didėja savo apibrėžimo srityje ir eina per tašką (1; 1) (5 pav.).

Ryžiai. 5. Funkcijų grafikas

Konstruojant pradinės funkcijos grafiką, išlieka taškas (1; 1), kai šaknis taip pat linkusi į nulį, funkcija linkusi į begalybę. Ir atvirkščiai, kadangi x linksta į begalybę, funkcija linkusi į nulį (6 pav.).

Ryžiai. 6. Funkcijų grafikas

Nagrinėjami pavyzdžiai padeda suprasti, kaip vyksta grafikas ir kokios yra tiriamos funkcijos – funkcijos su neigiamu racionaliuoju rodikliu – savybės.

Šios šeimos funkcijų grafikai eina per tašką (1;1), funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje.

Funkcijos apimtis:

Funkcija ribojama ne iš viršaus, o iš apačios. Funkcija neturi nei maksimumo, nei mažiausia vertė.

Funkcija yra nuolatinė, ji paima visas teigiamas reikšmes nuo nulio iki plius begalybės.

Išgaubta žemyn funkcija (15.7 pav.)

Taškai A ir B paimti į kreivę, per juos nubrėžta atkarpa, visa kreivė yra žemiau atkarpos, ši sąlyga tenkinama savavališkiems dviem kreivės taškams, todėl funkcija yra išgaubta žemyn. Ryžiai. 7.

Ryžiai. 7. Funkcijos išgaubtumas

Svarbu suprasti, kad šios šeimos funkcijos iš apačios ribojamos nuliu, tačiau jos neturi pačios mažiausios vertės.

1 pavyzdys – suraskite funkcijos maksimumą ir minimumą intervale \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Grafikas (2 pav.).

2 pav. Funkcijos $f\left(x\right)=x^(2n)$ grafikas

Laipsniškos funkcijos su natūraliuoju nelyginiu rodikliu savybės

    Apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai.

    $f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ yra nelyginė funkcija.

    $f(x)$ yra tęstinis visoje apibrėžimo srityje.

    Diapazonas yra visi realūs skaičiai.

    $f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

    Funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje.

    $f\left(x\right)0$, už $x\in (0,+\infty)$.

    $f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

    \ \

    Funkcija yra įgaubta $x\in (-\infty ,0)$ ir išgaubta $x\in (0,+\infty)$.

    Grafikas (3 pav.).

3 pav. Funkcijos $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ grafikas

Galios funkcija su sveikuoju rodikliu

Pirmiausia pristatome laipsnio sąvoką su sveikuoju rodikliu.

3 apibrėžimas

Realiojo skaičiaus $a$ su sveikuoju rodikliu $n$ laipsnis nustatomas pagal formulę:

4 pav

Dabar apsvarstykite galios funkciją su sveikuoju rodikliu, jos savybes ir grafiką.

4 apibrėžimas

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ vadinama galios funkcija su sveikuoju rodikliu.

Jei laipsnis didesnis už nulį, tada pasiekiame laipsnio funkcijos atvejį su natūraliuoju rodikliu. Mes tai jau svarstėme aukščiau. Jei $n=0$ gauname tiesinę funkciją $y=1$. Paliekame ją apsvarstyti skaitytojui. Belieka atsižvelgti į laipsnio funkcijos su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybes

Laipsninės funkcijos su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybės

    Taikymo sritis yra $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Jei eksponentas lyginis, tada funkcija yra lyginė, jei nelyginė, tada funkcija nelyginė.

    $f(x)$ yra tęstinis visoje apibrėžimo srityje.

    Vertės diapazonas:

    Jei rodiklis lyginis, tada $(0,+\infty)$, jei nelyginis, tada $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

    Jei eksponentas yra nelyginis, funkcija sumažėja kaip $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Jei eksponentas lygus, funkcija sumažėja kaip $x\in (0,+\infty)$. ir didėja kaip $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

    $f(x)\ge 0$ visame domene

Pateikiami atskaitos duomenys apie eksponentinę funkciją – pagrindinės savybės, grafikai ir formulės. Svarstomi šie klausimai: apibrėžimo sritis, reikšmių rinkinys, monotoniškumas, atvirkštinė funkcija, išvestinė, integralas, laipsnių eilučių išplėtimas ir vaizdavimas kompleksiniais skaičiais.

Apibrėžimas

Eksponentinė funkcija yra n skaičių sandaugos, lygios a, apibendrinimas:
y (n) = a n = a a a a,
į realiųjų skaičių x aibę:
y (x) = x.
Čia a yra fiksuota tikras numeris, kuris vadinamas eksponentinės funkcijos pagrindas.
Taip pat vadinama eksponentinė funkcija su baze a eksponentinis bazei a.

Apibendrinimas atliekamas taip.
Natūraliam x = 1, 2, 3,... , eksponentinė funkcija yra x faktorių sandauga:
.
Be to, jis turi savybių (1,5–8) (), kurios išplaukia iš skaičių dauginimo taisyklių. Prie nulio ir neigiamos reikšmės sveikieji skaičiai , eksponentinė funkcija nustatoma pagal formules (1.9-10). Trupmeninėms reikšmėms x = m/n racionalūs numeriai, , jis nustatomas pagal (1.11) formulę. Realiai eksponentinė funkcija apibrėžiama kaip sekos riba:
,
kur yra savavališka racionaliųjų skaičių seka, konverguojanti į x : .
Naudojant šį apibrėžimą, eksponentinė funkcija yra apibrėžta visiems ir atitinka savybes (1,5–8), taip pat natūraliam x .

Griežta matematinė eksponentinės funkcijos apibrėžimo formuluotė ir jos savybių įrodymas pateiktas puslapyje „Rodinio funkcijos savybių apibrėžimas ir įrodymas“.

Eksponentinės funkcijos savybės

Eksponentinė funkcija y = a x turi šias realiųjų skaičių () aibės savybes:
(1.1) yra apibrėžtas ir tęstinis , visiems ;
(1.2) kai a ≠ 1 turi daug reikšmių;
(1.3) griežtai didėja ties , griežtai mažėja ties ,
yra pastovus ties ;
(1.4) adresu ;
adresu ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Kitos naudingos formulės
.
Konvertavimo į eksponentinę funkciją su skirtinga galios baze formulė:

Jei b = e , gauname eksponentinės funkcijos išraišką eksponentu:

Privačios vertybės

, , , , .

Paveiksle pavaizduoti eksponentinės funkcijos grafikai
y (x) = x
keturioms vertėms laipsnių pagrindus:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 ir a = 1/8 . Galima pastebėti, kad > 1 eksponentinė funkcija monotoniškai didėja. Kuo didesnis a laipsnio pagrindas, tuo stipresnis augimas. At 0 < a < 1 eksponentinė funkcija monotoniškai mažėja. Kaip mažiau rodiklio laipsnis a, tuo stipresnis sumažėjimas.

Didėjimo tvarka Mažėjimo tvarka

Eksponentinė funkcija at yra griežtai monotoniška, todėl ji neturi ekstremalių. Pagrindinės jo savybės pateiktos lentelėje.

y = a x , a > 1 y = x, 0 < a < 1
Domenas - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
Vertybių diapazonas 0 < y < + ∞ 0 < y < + ∞
Monotoniškas didėja monotoniškai mažėja monotoniškai
Nuliai, y= 0 Nr Nr
Sankirtos taškai su y ašimi, x = 0 y= 1 y= 1
+ ∞ 0
0 + ∞

Atvirkštinė funkcija

Eksponentinės funkcijos, kurios bazė yra a, atvirkštinė vertė yra logaritmas su baze a.

Jei tada
.
Jei tada
.

Eksponentinės funkcijos diferenciacija

Norint diferencijuoti eksponentinę funkciją, jos bazę reikia sumažinti iki skaičiaus e, taikyti išvestinių lentelę ir kompleksinės funkcijos diferencijavimo taisyklę.

Norėdami tai padaryti, turite naudoti logaritmų savybę
ir formulė iš išvestinių lentelės:
.

Pateikiame eksponentinę funkciją:
.
Pristatome į bazę e:

Taikome kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę. Norėdami tai padaryti, pristatome kintamąjį

Tada

Iš išvestinių lentelės turime (kintamąjį x pakeiskite z ):
.
Kadangi yra konstanta, z išvestinė x atžvilgiu yra
.
Pagal sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę:
.

Eksponentinės funkcijos išvestinė

.
n-osios eilės vedinys:
.
Formulių išvedimas >>>

Eksponentinės funkcijos diferencijavimo pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę
y= 35 x

Sprendimas

Eksponentinės funkcijos bazę išreiškiame skaičiumi e.
3 = e log 3
Tada
.
Pristatome kintamąjį
.
Tada

Iš darinių lentelės randame:
.
Tiek, kiek 5ln 3 yra konstanta, tada z išvestinė x atžvilgiu yra:
.
Pagal sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę turime:
.

Atsakymas

Integralinis

Išraiškos kompleksiniais skaičiais

Apsvarstykite kompleksinio skaičiaus funkciją z:
f (z) = az
kur z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Kompleksinę konstantą a išreiškiame moduliu r ir argumentu φ:
a = r e i φ
Tada


.
Argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. IN bendras vaizdas
φ = φ 0 + 2 pn,
kur n yra sveikas skaičius. Todėl funkcija f (z) taip pat yra dviprasmiškas. Dažnai laikomas pagrindine jo svarba
.

Serijos išplėtimas


.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir aukštųjų mokyklų studentams, Lan, 2009 m.

Taip pat rekomenduojame

Įkeliama...Įkeliama...