Kaip apibrėžti vienodai lygią išraišką. Išraiškų tapatybės transformacijos

Pagrindinės skaičių sudėties ir daugybos savybės.

Komutacinė sudėjimo savybė: perstačius terminus sumos reikšmė nekinta. Bet kurių skaičių a ir b lygybė yra teisinga

Asociatyvi sudėjimo savybė: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Komutacinė daugybos savybė: faktorių permutacija nekeičia sandaugos vertės. Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė yra teisinga

Asociatyvi daugybos savybė: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos.

Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė yra teisinga

Paskirstymo savybė: norėdami skaičių padauginti iš sumos, galite padauginti tą skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Iš komutacinių ir asociatyvių sudėjimo savybių išplaukia, kad bet kokia suma galite pertvarkyti terminus, kaip norite, ir savavališkai sujungti juos į grupes.

1 pavyzdys Apskaičiuokime sumą 1,23+13,5+4,27.

Norėdami tai padaryti, patogu derinti pirmąjį terminą su trečiuoju. Mes gauname:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Tai išplaukia iš daugybos komutacinių ir asociatyvinių savybių: bet kuriame sandaugoje jūs galite bet kokiu būdu pertvarkyti veiksnius ir savavališkai sujungti juos į grupes.

2 pavyzdys Raskime sandaugos vertę 1,8 0,25 64 0,5.

Sujungę pirmąjį veiksnį su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, gausime:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Paskirstymo savybė taip pat galioja, kai skaičius padauginamas iš trijų ar daugiau narių sumos.

Pavyzdžiui, bet kurių skaičių a, b, c ir d lygybė yra teisinga

a(b+c+d)=ab+ac+skelbimas.

Žinome, kad atimtį galima pakeisti pridėjimu, pridedant prie minuend priešingą skaičių atimties daliai:

Tai leidžia pateikti skaitinę išraišką tipas a-b laikykime skaičių a ir -b sumą, a + b-c-d formos skaitinę išraišką laikysime skaičių a, b, -c, -d ir tt suma. Tokioms sumoms galioja ir nagrinėjamos veiksmų savybės.

3 pavyzdys Raskime reiškinio reikšmę 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ši išraiška yra skaičių 3,27, -6,5, -2,5 ir 1,73 suma. Pritaikius sudėtines savybes, gauname: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4 pavyzdys Apskaičiuokime sandaugą 36·().

Daugiklis gali būti laikomas skaičių ir - suma. Naudodami daugybos skirstomąją savybę, gauname:

36()=36-36=9-10=-1.

Tapatybės

Apibrėžimas. Dvi išraiškos, kurių atitinkamos reikšmės yra lygios bet kuriai kintamųjų vertei, laikomos identiškomis.

Apibrėžimas. Lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Raskime reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmes, kai x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms atitinkamos reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmės yra lygios.

Dabar apsvarstykite išraiškas 2x+y ir 2xy. Jei x = 1, y = 2, jie turi vienodas reikšmes:

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.

Lygybė 3(x+y)=x+3y, tinkama bet kurioms x ir y reikšmėms, yra tapatybė.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis.

Taigi tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Galima pateikti kitų tapatybių pavyzdžių:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Išraiškų tapatybės transformacijos

Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygiaverte, vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Norėdami rasti išraiškos xy-xz reikšmę, atsižvelgiant į x, y, z reikšmes, turite atlikti tris veiksmus. Pavyzdžiui, kai x=2.3, y=0.8, z=0.2 gauname:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Šį rezultatą galima gauti tik dviem etapais, naudojant išraišką x(y-z), kuri yra identiška išraiškai xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Supaprastinome skaičiavimus, pakeitę išraišką xy-xz identiška lygiavertė išraiška x(y-z).

Išraiškų tapatybės transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Kai kurios identiškos transformacijos jau buvo atliktos, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimas, skliaustų atidarymas. Prisiminkite šių transformacijų atlikimo taisykles:

norint gauti panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies;

jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti, išsaugant kiekvieno termino ženklą skliausteliuose;

jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tai skliaustus galima praleisti pakeitus kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.

1 pavyzdys Sudėkime panašius terminus į sumą 5x+2x-3x.

Panašių terminų mažinimui naudojame taisyklę:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ši transformacija grindžiama daugybos paskirstymo savybe.

2 pavyzdys Išplėskime skliaustus reiškinyje 2a+(b-3c).

Skliaustų, prieš kuriuos yra pliuso ženklas, atidarymo taisyklės taikymas:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Atliekama transformacija remiasi asociatyvine sudėjimo savybe.

3 pavyzdys Išplėskime skliaustus išraiškoje a-(4b-c).

Naudokime taisyklę skliaustų išplėtimui prieš minuso ženklą:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Atliekama transformacija remiasi skirstomąją daugybos savybę ir asociatyvinę sudėties savybę. Parodykime. Pavaizduokime antrąjį šios išraiškos terminą -(4b-c) kaip sandaugą (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Taikydami šias veiksmų savybes, gauname:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Tapatybės išraiškos, tapatybė. Išraiškos tapatumo transformacija. Asmens tapatybės įrodymai

Raskime reiškinių 2(x - 1) 2x - 2 reikšmes nurodytoms kintamojo x reikšmėms. Rezultatus rašome į lentelę:

Galima daryti išvadą, kad reiškinių reikšmės 2(x - 1) 2x - 2 kiekvienam duota vertė kintamieji x yra lygūs vienas kitam. Pagal skirstomąją daugybos savybę atimties atžvilgiu 2(x - 1) = 2x - 2. Todėl bet kuriai kitai kintamojo x reikšmei išraiškos 2(x - 1) 2x - 2 reikšmė taip pat bus lygūs vienas kitam. Tokios išraiškos vadinamos identiškai lygiomis.

Pavyzdžiui, išraiškos 2x + 3x ir 5x yra sinonimai, nes kiekvienai kintamojo x vertei šios išraiškos įgyja tos pačios vertybės(tai išplaukia iš daugybos skirstomosios savybės sudėjimo atžvilgiu, nes 2x + 3x = 5x).

Dabar apsvarstykite išraiškas 3x + 2y ir 5xy. Jei x \u003d 1 ir b \u003d 1, tada atitinkamos šių išraiškų reikšmės yra lygios viena kitai:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes, kurių šių išraiškų reikšmės nebus lygios viena kitai. Pavyzdžiui, jei x = 2; y = 0, tada

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Vadinasi, yra tokios kintamųjų reikšmės, kurioms atitinkamos reiškinių 3x + 2y ir 5xy reikšmės nėra lygios viena kitai. Todėl išraiškos 3x + 2y ir 5xy nėra identiškos.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, tapatybės, visų pirma, yra lygybės: 2(x - 1) = 2x - 2 ir 2x + 3x = 5x.

Tapatybė yra kiekviena lygybė, kuri yra parašyta žinomos savybės veiksmai su skaičiais. Pavyzdžiui,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Taip pat yra tokios lygybės kaip tapatybės:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Jei reiškinyje -5x + 2x - 9 sumažinsime panašius terminus, gausime 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Šiuo atveju sakoma, kad išraiška 5x + 2x - 9 buvo pakeista išraiška 7x - 9, kuris yra identiškas.

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos taikant operacijų su skaičiais savybes. Visų pirma, identiškos transformacijos su skliaustų atidarymu, panašių terminų konstravimas ir panašiai.

Supaprastinant išraišką reikia atlikti identiškas transformacijas, tai yra pakeičiant kurią nors išraišką jai identiškai lygiaverte išraiška, kuri turėtų būti trumpesnė.

1 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 min;

2) 2 (3x4) + 3 (-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Norint įrodyti, kad lygybė yra tapatybė (kitaip tariant, norint įrodyti tapatybę, naudojamos išraiškų tapatybės transformacijos.

Tapatybę galite įrodyti vienu iš šių būdų:

atlikti identiškas kairiosios pusės transformacijas, taip sumažinant ją iki dešinės pusės;
atlikti identiškas dešinės pusės transformacijas, taip sumažinant ją iki kairiosios pusės;
atlikti identiškas abiejų jo dalių transformacijas, taip pakeliant abi dalis į tas pačias išraiškas.

2 pavyzdys. Įrodykite tapatybę:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 – 4a = 5 (2a – 3b) – 7 (2a – 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Vystymas

1) Transformuokime kairiąją šios lygybės pusę:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Identiškais pakeitimais kairėje lygybės pusėje esanti išraiška buvo sumažinta iki dešinės pusės ir taip įrodė, kad ši lygybė yra tapatybė.

2) Transformuokime dešinę šios lygybės pusę:

5(2a – 3b) – 7(2a – 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Identiškomis transformacijomis dešinė lygybės pusė buvo redukuota į kairiosios pusės formą ir taip įrodyta, kad ši lygybė yra tapatybė.

3) Šiuo atveju patogu supaprastinti tiek kairę, tiek dešinę lygybės dalis ir palyginti rezultatus:

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Identiškomis transformacijomis kairioji ir dešinioji lygybės dalys buvo sumažintos iki vienodos formos: 26x - 44. Todėl ši lygybė yra tapatybė.

Kokios išraiškos vadinamos tapačiomis? Pateikite identiškų posakių pavyzdį. Kokia lygybė vadinama tapatybe? Pateikite tapatybės pavyzdį. Kas vadinama išraiškos tapatumo transformacija? Kaip įrodyti tapatybę?

(Žodžiu) Arba yra vienodų posakių:

1) 2a + a ir 3a;

2) 7x + 6 ir 6 + 7x;

3) x + x + x ir x 3;

4) 2 (x - 2) ir 2x - 4;

5) m - n ir n - m;

6) 2a ∙ r ir 2p ∙ a?

Ar išraiškos yra vienodos:

1) 7x - 2x ir 5x;

2) 5a – 4 ir 4 – 5a;

3) 4m + n ir n + 4m;

4) a + a ir a 2;

5) 3 (a – 4) ir 3a – 12;

6) 5m ∙ n ir 5m + n?

(Žodžiu) Ar lygybės tapatybė:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3 (x - y) = 3x - 5y?

Atidaryti skliaustelį:

Atidaryti skliaustelį:

Sumažinti panašių terminų skaičių:

Pavadinkite keletą išraiškų, kurios yra identiškos 2a + 3a išraiškoms.
Supaprastinkite išraišką naudodami permutuojančias ir jungiamąsias daugybos savybes:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Supaprastinkite išraišką:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3 m);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Žodinis) Supaprastinkite posakį:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Sumažinti panašių terminų skaičių:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p – 7) – 2(g – 3);

4) -(3m - 5) + 2 (3m - 7).

Atidarykite skliaustus ir sumažinkite panašius terminus:

1) 3 (8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6x + 0,4 (x - 20), jei x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, jei a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), jei m = -3,7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y, jei x = -1, y = 1.

Supaprastinkite išraišką ir suraskite jos vertę:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), jei x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, jei v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), jei a = -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n, jei m = 1,8; n = -0,9.

Įrodykite tapatybę:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Įrodykite tapatybę:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7 (2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

Vienos iš trikampio kraštinių ilgis yra cm, o kiekvienos iš kitų dviejų kraštinių ilgis yra 2 cm didesnis už jį. Parašykite trikampio perimetrą kaip išraišką ir supaprastinkite išraišką.
Stačiakampio plotis x cm, o ilgis 3 cm didesnis už plotį. Parašykite stačiakampio perimetrą kaip išraišką ir supaprastinkite išraišką.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Išplėskite skliaustus ir supaprastinkite išraišką:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Įrodykite tapatybę:

1) 10x – (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

Įrodykite tapatybę:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Įrodykite, kad išraiškos reikšmė

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2 m) nepriklauso nuo kintamojo reikšmės.

Įrodykite, kad bet kurios kintamojo reikšmės išraiškos reikšmė

a – (a – (5a + 2)) – 5 (a – 8)

yra tas pats numeris.

Įrodykite, kad trijų iš eilės einančių lyginių skaičių suma dalijasi iš 6.
Įrodykite, kad jei n yra natūralusis skaičius, tai reiškinio -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) reikšmė yra lyginis skaičius.

Pratimai kartoti

1,6 kg sveriančiame lydinyje yra 15% vario. Kiek kg vario yra šiame lydinyje?
Kiek procentų yra jo skaičius 20:

1) kvadratas;

Turistas vaikščiojo 2 valandas, o dviračiu važiavo 3 valandas. Iš viso turistas įveikė 56 km. Raskite greitį, kuriuo turistas važiavo dviračiu, jei jis yra 12 km/h didesnis už greitį, kuriuo jis ėjo.

Įdomios užduotys tingiems mokiniams

Miesto futbolo čempionate dalyvauja 11 komandų. Kiekviena komanda žaidžia po vienerias rungtynes su kitomis. Įrodykite, kad bet kuriuo varžybų momentu yra komanda, sužaidusi lyginį skaičių rungtynių arba dar nežaidusi.

Apsvarstykite dvi lygybes:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Ši lygybė galios bet kuriai kintamojo a reikšmei. Tos lygybės galiojančių verčių diapazonas bus visas realiųjų skaičių rinkinys.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Ši nelygybė galios visoms kintamojo a reikšmėms, išskyrus lygią nuliui. Šios nelygybės priimtinų verčių diapazonas bus visas realiųjų skaičių rinkinys, išskyrus nulį.

Apie kiekvieną iš šių lygybių galima teigti, kad tai bus teisinga bet kurioms leistinoms kintamųjų a reikšmėms. Tokios lygtys matematikoje vadinamos tapatybės.

Tapatybės samprata

Tapatybė yra lygybė, kuri galioja bet kurioms leistinoms kintamųjų reikšmėms. Jei į šią lygybę vietoj kintamųjų pakeičiamos kokios nors galiojančios reikšmės, tuomet reikia gauti teisingą skaitinę lygybę.

Verta pažymėti, kad tikrosios skaitinės lygybės taip pat yra tapatybės. Pavyzdžiui, tapatybės bus veiksmų su skaičiais savybės.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Jei dvi bet kurių leistinų kintamųjų išraiškos yra atitinkamai lygios, tada tokios išraiškos vadinamos identiškai lygus. Žemiau pateikiami keli identiškų posakių pavyzdžiai:

1. (a 2) 4 ir a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) ir -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 * x 8)/x) ir x 10 .

Vieną išraišką visada galime pakeisti bet kuria kita išraiška, lygiančia pirmajai. Toks pakeitimas bus identiška transformacija.

Tapatybės pavyzdžiai

1 pavyzdys: ar yra šios lygybės tapatybės:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Ne visos aukščiau pateiktos išraiškos bus tapatybės. Iš šių lygybių tik 1,2 ir 3 lygybės yra tapatybės. Kad ir kokius skaičius juose pakeistume, vietoj kintamųjų a ir b vis tiek gauname teisingas skaitines lygybes.

Tačiau 4 lygybė nebėra tapatybė. Nes ne visoms leistinoms vertybėms ši lygybė bus įvykdyta. Pavyzdžiui, su reikšmėmis a = 5 ir b = 2, gausite tokį rezultatą:

Ši lygybė nėra teisinga, nes skaičius 3 nėra lygus skaičiui -3.

Tapatybės konvertavimas yra darbas, kurį atliekame su skaitmeninėmis ir abėcėlinėmis išraiškomis, taip pat su išraiškomis, kuriose yra kintamųjų. Mes atliekame visas šias transformacijas, kad originali išraiška būtų tokia, kuri būtų patogi sprendžiant problemą. Šioje temoje apsvarstysime pagrindinius identiškų transformacijų tipus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Išraiškos tapatumo transformacija. Kas tai yra?

Pirmą kartą su identiškų transformuotų mes sąvoka susiduriame algebros pamokose 7 klasėje. Tada pirmiausia susipažįstame su identiškai lygiaverčių posakių samprata. Panagrinėkime sąvokas ir apibrėžimus, kad būtų lengviau įsisavinti temą.

1 apibrėžimas

Išraiškos tapatumo transformacija yra veiksmai, atliekami siekiant pakeisti pradinę išraišką išraiška, kuri bus identiška pradinei.

Dažnai šis apibrėžimas vartojamas sutrumpinta forma, kurioje praleidžiamas žodis „identiškas“. Daroma prielaida, kad bet kuriuo atveju posakio transformaciją atliekame taip, kad gautume identišką pradinei išraišką, ir to atskirai pabrėžti nereikia.

Paaiškinkime šį apibrėžimą pavyzdžiais.

1 pavyzdys

Jei pakeisime išraišką x + 3 - 2į identiškai lygiavertę išraišką x+1, tada atliekame identišką išraiškos transformaciją x + 3 - 2.

2 pavyzdys

Išraiškos 2 ir 6 pakeitimas išraiška a 3 yra tapatybės transformacija, o išraiškos pakeitimas xį išraišką x2 nėra identiška transformacija, nes išraiškos x ir x2 nėra identiškai lygūs.

Atkreipiame dėmesį į posakių rašymo formą atliekant identiškas transformacijas. Paprastai pradinę išraišką ir gautą išraišką rašome kaip lygybę. Taigi rašymas x + 1 + 2 = x + 3 reiškia, kad išraiška x + 1 + 2 buvo sumažinta iki formos x + 3 .

Nuoseklus veiksmų atlikimas veda mus į lygybių grandinę, kuri yra keletas iš eilės identiškų transformacijų. Taigi, žymėjimą x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x suprantame kaip nuoseklų dviejų transformacijų įgyvendinimą: pirma, išraiška x + 1 + 2 buvo sumažinta iki formos x + 3 ir sumažinta iki forma 3 + x.

Tapatybės transformacijos ir ODZ

Kai kurios išraiškos, kurias pradedame studijuoti 8 klasėje, neturi prasmės jokioms kintamųjų reikšmėms. Tokiais atvejais atliekant identiškas transformacijas, reikia atkreipti dėmesį į leistinų kintamųjų reikšmių sritį (ODV). Atliekant identiškas transformacijas, ODZ gali likti nepakitęs arba susiaurinti.

3 pavyzdys

Atliekant perėjimą nuo išraiškos a + (-b)į išraišką a-b leistinų kintamųjų verčių diapazonas a ir b lieka toks pat.

4 pavyzdys

Perėjimas iš x išraiškos į išraišką x 2 x dėl to susiaurėja kintamojo x priimtinų reikšmių diapazonas nuo visų realiųjų skaičių aibės iki visų realiųjų skaičių, iš kurių nulis neįtrauktas.

5 pavyzdys

Išraiškos tapatumo transformacija x 2 x Išraiška x veda prie kintamojo x priimtinų reikšmių diapazono išplėtimo nuo visų realiųjų skaičių, išskyrus nulį, aibės iki visų realiųjų skaičių aibės.

Sprendžiant problemas svarbu susiaurinti arba išplėsti leistinų kintamųjų verčių diapazoną, kai atliekamos vienodos transformacijos, nes tai gali turėti įtakos skaičiavimų tikslumui ir sukelti klaidų.

Pagrindinės tapatybės transformacijos

Dabar pažiūrėkime, kas yra identiškos transformacijos ir kaip jos atliekamos. Išskirkime tuos identiškų transformacijų tipus, su kuriais dažniausiai susiduriame pagrindinėje grupėje.

Be pagrindinių tapatybės transformacijų, yra keletas transformacijų, susijusių su tam tikro tipo išraiškomis. Trupmenoms tai yra mažinimo ir redukavimo iki naujo vardiklio metodai. Posakiams su šaknimis ir galiomis – visi veiksmai, kurie atliekami remiantis šaknų ir galių savybėmis. Logaritminėms išraiškoms – veiksmai, kurie atliekami remiantis logaritmų savybėmis. Trigonometrinėms išraiškoms visi veiksmai naudojant trigonometrines formules. Visos šios konkrečios transformacijos yra išsamiai aptariamos atskirose temose, kurias galite rasti mūsų šaltinyje. Dėl šios priežasties šiame straipsnyje apie juos nekalbėsime.

Pereikime prie pagrindinių identiškų transformacijų svarstymo.

Terminų, veiksnių pertvarkymas

Pradėkime nuo sąlygų pertvarkymo. Su šia identiška transformacija susiduriame dažniausiai. O pagrindine taisykle čia galima laikyti tokį teiginį: bet kokia suma terminų pertvarkymas į vietas rezultatui įtakos neturi.

Ši taisyklė pagrįsta komutacinėmis ir asociacinėmis sudėties savybėmis. Šios savybės leidžia pakeisti terminus vietomis ir tuo pačiu gauti išraiškas, kurios yra identiškos pirminėms. Štai kodėl terminų išdėstymas vietomis sumoje yra identiška transformacija.

6 pavyzdys

Turime trijų narių sumą 3 + 5 + 7 . Jei pakeisime terminus 3 ir 5, tada išraiška bus 5 + 3 + 7. Šiuo atveju yra keletas sąlygų pertvarkymo variantų. Visi jie leidžia gauti išraiškas, kurios yra identiškos pradinei.

Ne tik skaičiai, bet ir išraiškos gali veikti kaip sumos nariai. Juos, kaip ir skaičius, galima pertvarkyti nepažeidžiant galutinio skaičiavimo rezultato.

7 pavyzdys

Trijų 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 ir - 12 a formos 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + terminų sumoje ( - 12) terminus galima pertvarkyti, pavyzdžiui, taip (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Savo ruožtu galite pertvarkyti terminus trupmenos 1 a + b vardiklyje, o trupmena bus 1 b + a forma. Ir išraiška po šaknies ženklu a 2 + 2 a + 5 taip pat yra suma, kuria terminai gali būti sukeisti.

Taip pat kaip ir terminai, pradinėse išraiškose galima sukeisti veiksnius ir gauti identiškai teisingas lygtis. Šį veiksmą reglamentuoja ši taisyklė:

2 apibrėžimas

Produkte veiksnių pertvarkymas vietomis neturi įtakos skaičiavimo rezultatui.

Ši taisyklė pagrįsta daugybos komutacinėmis ir asociacinėmis savybėmis, kurios patvirtina identiškos transformacijos teisingumą.

8 pavyzdys

Darbas 3 5 7 faktorių permutacija gali būti pavaizduota viena iš šių formų: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 arba 3 7 5.

9 pavyzdys

Pakeitus veiksnius sandaugoje x + 1 x 2 - x + 1 x gausite x 2 - x + 1 x x + 1

Kronšteino išplėtimas

Skliausteliuose gali būti skaitinių išraiškų ir išraiškų su kintamaisiais įrašai. Šiuos posakius galima paversti identiškai lygiaverčiais posakiais, kuriuose skliaustų iš viso nebus arba jų bus mažiau nei originaliuose posakiuose. Šis išraiškų konvertavimo būdas vadinamas skliaustų išplėtimu.

10 pavyzdys

Atlikime veiksmus su skliaustais formos išraiškoje 3 + x − 1 x kad gautumėte identišką tikrą išraišką 3 + x − 1 x.

Išraiška 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x gali būti konvertuojama į identišką išraišką be skliaustų 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Išsamiai aptarėme išraiškų konvertavimo su skliaustais taisykles temoje „Skliausto išplėtimas“, kuri yra paskelbta mūsų šaltinyje.

Grupavimo terminai, veiksniai

Tais atvejais, kai kalbame apie tris ar daugiau terminų, galime pasinaudoti tokio tipo identiškomis transformacijomis kaip terminų grupavimu. Šiuo transformavimo būdu suprantamas kelių terminų sujungimas į grupę, juos pertvarkant ir dedant skliausteliuose.

Grupuojant terminai sukeičiami taip, kad sugrupuoti terminai išraiškos įraše būtų vienas šalia kito. Po to jie gali būti uždėti skliausteliuose.

11 pavyzdys

Paimkite išraišką 5 + 7 + 1 . Jei sugrupuojame pirmąjį terminą su trečiuoju, gauname (5 + 1) + 7 .

Veiksnių grupavimas atliekamas panašiai kaip terminų grupavimas.

12 pavyzdys

Darbe 2 3 4 5 galima sugrupuoti pirmąjį veiksnį su trečiuoju, o antrą faktorių su ketvirtuoju, šiuo atveju gauname išraišką (2 4) (3 5). Ir jei sugrupuotume pirmąjį, antrąjį ir ketvirtąjį veiksnius, gautume išraišką (2 3 5) 4.

Grupuojami terminai ir veiksniai gali būti pavaizduoti tiek pirminiais skaičiais, tiek išraiškomis. Grupavimo taisyklės buvo išsamiai aptartos temoje „Grupavimo terminai ir veiksniai“.

Skirtumų pakeitimas sumomis, daliniais produktais ir atvirkščiai

Skirtumų pakeitimas sumomis tapo įmanomas dėl mūsų pažinties su priešingais skaičiais. Dabar atimkite iš skaičiaus a numeriai b gali būti vertinamas kaip numerio papildymas a numeriai −b. Lygybė a − b = a + (− b) gali būti laikomas sąžiningu ir jo pagrindu atlikti skirtumų pakeitimą sumomis.

13 pavyzdys

Paimkite išraišką 4 + 3 − 2 , kuriame skaičių skirtumas 3 − 2 galime rašyti kaip sumą 3 + (− 2) . Gauk 4 + 3 + (− 2) .

14 pavyzdys

Visi išraiškos skirtumai 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 galima pakeisti tokiomis sumomis kaip 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Iš bet kokių skirtumų galime pereiti prie sumų. Panašiai galime atlikti atvirkštinį pakeitimą.

Dalybos pakeitimas daugyba daliklio atvirkštiniu dydžiu yra įmanomas dėl atsakomųjų skaičių koncepcijos. Šią transformaciją galima parašyti kaip a: b = a (b – 1).

Ši taisyklė buvo paprastųjų trupmenų padalijimo taisyklės pagrindas.

15 pavyzdys

Privatus 1 2: 3 5 gali būti pakeistas formos gaminiu 1 2 5 3.

Panašiai pagal analogiją dalyba gali būti pakeista daugyba.

16 pavyzdys

Išraiškos atveju 1+5:x:(x+3) padalinimą pakeisti į x galima padauginti iš 1 x. Padalijimas pagal x + 3 galime pakeisti padaugindami iš 1 x + 3. Transformacija leidžia gauti išraišką, kuri yra identiška pradinei: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Daugybos pakeitimas padalijimu atliekamas pagal schemą a b = a: (b – 1).

17 pavyzdys

Išraiškoje 5 x x 2 + 1 - 3 daugyba gali būti pakeista padalijimu kaip 5: x 2 + 1 x - 3.

Veiksmų su skaičiais atlikimas

Atliekant operacijas su skaičiais galioja operacijų eilės taisyklė. Pirma, operacijos atliekamos su skaičių laipsniais ir skaičių šaknimis. Po to logaritmus, trigonometrines ir kitas funkcijas pakeičiame jų reikšmėmis. Tada atliekami skliausteliuose nurodyti veiksmai. Ir tada jau galite atlikti visus kitus veiksmus iš kairės į dešinę. Svarbu atsiminti, kad daugyba ir padalijimas atliekami prieš sudedant ir atimant.

Veiksmai su skaičiais leidžia paversti pradinę išraišką į identišką jai lygią.

18 pavyzdys

Transformuokime reiškinį 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, atlikdami visas įmanomas operacijas su skaičiais.

Sprendimas

Pirmiausia pažiūrėkime į laipsnį 2 3 ir šaknis 4 ir apskaičiuokite jų reikšmes: 2 3 = 8 ir 4 = 2 2 = 2 .

Pakeiskite gautas reikšmes į pradinę išraišką ir gaukite: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Dabar padarykime skliaustus: 8 − 1 = 7 . Ir pereikime prie išraiškos 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Mes tiesiog turime padaryti daugybą 3 ir 7 . Gauname: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Atsakymas: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Prieš operacijas su skaičiais gali būti atliekamos kitos tapatybės transformacijos, pvz., skaičių grupavimas arba skliaustų išplėtimas.

19 pavyzdys

Paimkite išraišką 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) – 2 + 11.

Sprendimas

Visų pirma pakeisime skliausteliuose esantį koeficientą 6: 3 apie jo reikšmę 2 . Gauname: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Išplėskime skliaustus: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Sugrupuokime skaitinius gaminio veiksnius, taip pat terminus, kurie yra skaičiai: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Padarykime skliaustus: (3 − 2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Atsakymas:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) – 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Jei dirbame su skaitinėmis išraiškomis, mūsų darbo tikslas bus rasti išraiškos reikšmę. Jei transformuosime išraiškas su kintamaisiais, mūsų veiksmų tikslas bus supaprastinti išraišką.

Bendrojo veiksnio apibrėžimas

Tais atvejais, kai išraiškos terminai turi tą patį veiksnį, šį bendrą veiksnį galime išimti iš skliaustų. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turime pavaizduoti pradinę išraišką kaip bendro veiksnio ir išraiškos skliausteliuose sandaugą, kurią sudaro pradiniai terminai be bendro veiksnio.

20 pavyzdys

Skaitmeniškai 2 7 + 2 3 galime išskirti bendrą veiksnį 2 skliaustuose ir gauti identiškai teisingą formos išraišką 2 (7 + 3).

Atitinkamoje mūsų šaltinio skiltyje galite atnaujinti atmintį apie bendro faktoriaus ištraukimo iš skliaustų taisykles. Medžiagoje išsamiai aptariamos bendro faktoriaus išėmimo iš skliaustų taisyklės ir pateikiama daug pavyzdžių.

Panašių terminų mažinimas

Dabar pereikime prie sumų, kuriose yra panašūs terminai. Čia galimi du variantai: sumos, turinčios tuos pačius terminus, ir sumos, kurių terminai skiriasi skaitiniu koeficientu. Veiksmai su sumomis, turinčiomis panašius terminus, vadinamos panašių terminų mažinimu. Tai atliekama taip: bendrosios raidės dalį dedame iš skliaustų ir apskaičiuojame skaitinių koeficientų sumą skliausteliuose.

21 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką 1 + 4 x - 2 x. Mes galime išimti pažodinę x dalį iš skliaustų ir gauti išraišką 1 + x (4–2). Apskaičiuokime reiškinio skliausteliuose reikšmę ir gaukime formos 1 + x · 2 sumą.

Skaičių ir išraiškų pakeitimas vienodomis išraiškomis

Skaičiai ir išraiškos, sudarantys pradinę išraišką, gali būti pakeisti išraiškomis, kurios yra identiškos jiems. Tokia pradinės išraiškos transformacija veda į išraišką, kuri jai yra identiška.

22 pavyzdys 23 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką 1 + a5, kuriame laipsnį a 5 galime pakeisti sandauga, identiška jam, pavyzdžiui, formos a 4. Tai suteiks mums išraišką 1 + 4.

Atlikta transformacija dirbtinė. Tai prasminga tik ruošiantis kitoms transformacijoms.

24 pavyzdys

Apsvarstykite sumos transformaciją 4 x 3 + 2 x 2. Čia terminas 4x3 galime reprezentuoti kaip prekę 2x2x2x. Dėl to pirminė išraiška įgauna formą 2 x 2 2 x + 2 x 2. Dabar galime išskirti bendrą veiksnį 2x2 ir išimkite jį iš skliaustų: 2 x 2 (2 x + 1).

To paties skaičiaus pridėjimas ir atėmimas

To paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimas ir atėmimas tuo pačiu metu yra dirbtinė išraiškos transformavimo technika.

25 pavyzdys

Apsvarstykite išraišką x 2 + 2 x. Iš jo galime pridėti arba atimti vieną, o tai leis vėliau atlikti kitą identišką transformaciją - pasirinkti dvinario kvadratą: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Turint idėją apie tapatybes, logiška pereiti prie pažinties su. Šiame straipsnyje atsakysime į klausimą, kas yra vienodai lygios išraiškos, taip pat, naudodamiesi pavyzdžiais, išsiaiškinsime, kurios išraiškos yra identiškos, o kurios ne.

Puslapio naršymas.

Kas yra identiškos vienodos išraiškos?

Identiškai vienodų posakių apibrėžimas pateikiamas lygiagrečiai su tapatybės apibrėžimu. Tai atsitinka algebros klasėje 7 klasėje. 7 klasių algebros vadovėlyje autorius Yu. N. Makarychev pateikia tokią formuluotę:

Apibrėžimas.

yra išraiškos, kurių reikšmės yra lygios bet kurioms į juos įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Skaitmeninės išraiškos, atitinkančios tas pačias reikšmes, taip pat vadinamos vienodai lygiomis.

Šis apibrėžimas naudojamas iki 8 klasės, jis galioja sveikųjų skaičių išraiškoms, nes jos turi prasmę bet kokioms į juos įtrauktų kintamųjų reikšmėms. O 8 klasėje nurodomas identiškai lygių posakių apibrėžimas. Paaiškinkime, su kuo tai susiję.

8 klasėje pradedama mokytis kitų tipų išraiškų, kurios, skirtingai nei sveikųjų skaičių išraiškos, kai kurioms kintamųjų reikšmėms gali neturėti prasmės. Dėl to būtina įvesti leistinų ir negaliojančių kintamųjų reikšmių apibrėžimus, taip pat kintamojo ODV leistinų verčių diapazoną ir dėl to patikslinti identiškų išraiškų apibrėžimą.

Apibrėžimas.

Iškviečiamos dvi išraiškos, kurių reikšmės yra lygios visoms leistinoms jų kintamųjų reikšmėms vienodos išraiškos. Dvi skaitinės išraiškos, turinčios tą pačią reikšmę, taip pat laikomos identiškai lygios.

Šiame identiškų posakių apibrėžime verta paaiškinti frazės „visoms leistinoms į juos įtrauktų kintamųjų verčių“ reikšmę. Tai reiškia visas tokias kintamųjų reikšmes, kurių abi identiškos išraiškos vienu metu turi prasmę. Ši mintis bus paaiškinta kitame skyriuje, nagrinėjant pavyzdžius.

Identiškai vienodų posakių apibrėžimas A. G. Mordkovičiaus vadovėlyje pateiktas kiek kitaip:

Apibrėžimas.

Identiškos vienodos išraiškos yra išraiškos kairėje ir dešinėje tapatybės pusėse.

Pagal prasmę šis ir ankstesni apibrėžimai sutampa.

Identiškai vienodų posakių pavyzdžiai

Ankstesniame poskyryje pateikti apibrėžimai leidžia mums pateikti identiškų posakių pavyzdžiai.

Pradėkime nuo identiškų skaitinių išraiškų. Skaitinės išraiškos 1+2 ir 2+1 yra identiškos, nes atitinka lygias reikšmes 3 ir 3 . Išraiškos 5 ir 30:6 taip pat yra vienodos, kaip ir išraiškos (2 2) 3 ir 2 6 (paskutinių išraiškų reikšmės yra lygios dėl ). Tačiau skaitinės išraiškos 3+2 ir 3−2 nėra identiškos, nes jos atitinka atitinkamai reikšmes 5 ir 1, tačiau nėra lygios.

Dabar pateikiame identiškų išraiškų su kintamaisiais pavyzdžius. Tai yra išraiškos a+b ir b+a . Iš tiesų, bet kurioms kintamųjų a ir b reikšmėms rašytinės išraiškos turi tas pačias reikšmes (tai išplaukia iš skaičių). Pavyzdžiui, su a=1 ir b=2 turime a+b=1+2=3 ir b+a=2+1=3 . Bet kurioms kitoms kintamųjų a ir b reikšmėms taip pat gausime lygias šių išraiškų reikšmes. Išraiškos 0·x·y·z ir 0 taip pat yra vienodos bet kurioms kintamųjų x , y ir z reikšmėms. Tačiau išraiškos 2 x ir 3 x nėra identiškai lygios, nes, pavyzdžiui, esant x=1, jų reikšmės nėra lygios. Iš tiesų, jei x=1, išraiška 2 x yra 2 1=2, o išraiška 3 x yra 3 1=3.

Kai reiškinių kintamųjų leistinų reikšmių sritys sutampa, kaip, pavyzdžiui, išraiškose a+1 ir 1+a , arba a b 0 ir 0 , arba ir , o šių išraiškų reikšmės yra lygios visos kintamųjų reikšmės iš šių sričių, tada čia viskas aišku - šios išraiškos yra vienodos visoms leistinoms į jas įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Taigi a+1≡1+a bet kuriam a reiškiniai a b 0 ir 0 yra vienodai vienodi bet kurioms kintamųjų a ir b reikšmėms, o išraiškos ir yra vienodos visiems x nuo ; red. S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 240 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich. - 17 leidimas, pridėti. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-02432-3.