Kurios lygties šaknis yra trupmena. Paprasčiausios racionalios lygtys

Lygčių su trupmenomis sprendimas pažiūrėkime į pavyzdžius. Pavyzdžiai yra paprasti ir iliustruojantys. Su jų pagalba jūs galite suprasti pačiu suprantamiausiu būdu.
Pavyzdžiui, reikia išspręsti paprastą lygtį x/b + c = d.

Tokio tipo lygtis vadinama tiesine, nes vardiklyje yra tik skaičiai.

Sprendimas atliekamas abi lygties puses padauginus iš b, tada lygtis įgauna formą x = b*(d – c), t.y. kairėje pusėje esančios trupmenos vardiklis sumažinamas.

Pavyzdžiui, kaip išspręsti trupmeninė lygtis:
x/5+4=9
Abi dalis padauginame iš 5. Gauname:
x+20=45
x=45-20=25

Kitas pavyzdys, kai vardiklyje yra nežinomasis:

Tokio tipo lygtys vadinamos trupmeninėmis racionaliosiomis arba tiesiog trupmeninėmis.

Trupmenų lygtį išspręstume atsikratę trupmenų, po kurių ši lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine lygtimi, kuri sprendžiama įprastu būdu. Turėtumėte atsižvelgti tik į šiuos dalykus:

kintamojo, kuris vardiklį paverčia 0, reikšmė negali būti šaknis;
negalite padalyti ar padauginti lygties iš išraiškos =0.

Čia įsigalioja tokia sąvoka kaip leistinų verčių plotas (ODZ) - tai lygties, kuriai lygtis turi prasmę, šaknų reikšmės.

Taigi, sprendžiant lygtį, reikia rasti šaknis ir patikrinti, ar jos atitinka ODZ. Tos šaknys, kurios neatitinka mūsų DHS, neįtraukiamos į atsakymą.

Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti trupmeninę lygtį:

Remiantis aukščiau pateikta taisykle, x negali būti = 0, t.y. ODZ šiuo atveju: x - bet kokia reikšmė, išskyrus nulį.

Vardiklio atsikratome visus lygties narius padauginę iš x

Ir išspręskite įprastą lygtį

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Atsakymas: x = 1/3

Išspręskime lygtį sudėtingiau:

ODZ taip pat yra čia: x -2.

Išspręsdami šią lygtį, neperkelsime visko viena kryptimi ir nesuvesime trupmenų į bendrą vardiklį. Iš karto padauginame abi lygties puses iš išraiškos, kuri sumažins visus vardiklius vienu metu.

Norint sumažinti vardiklius, reikia kairę pusę padauginti iš x + 2, o dešinę – iš 2. Taigi abi lygties puses reikia padauginti iš 2 (x + 2):

Tai yra labiausiai paplitęs trupmenų dauginimas, kurį jau aptarėme aukščiau.

Rašome tą pačią lygtį, bet šiek tiek kitaip.

Kairė pusė sumažinama (x + 2), o dešinė - 2. Sumažinus gauname įprastą tiesinę lygtį:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, kuris atitinka mūsų ODZ

Atsakymas: x = 2.

Lygčių su trupmenomis sprendimas ne taip sunku, kaip gali atrodyti. Šiame straipsnyje mes tai parodėme pavyzdžiais. Jei turite kokių nors sunkumų su kaip išspręsti lygtis su trupmenomis, tada atsisakykite prenumeratos komentaruose.

Pristatymas ir pamoka tema: "Racionaliosios lygtys. Racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas ir pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 8 klasei
Vadovėlis Makarychev Yu.N. Vadovėlis Mordkovich A.G.

Įvadas į iracionaliąsias lygtis

Vaikinai, mes išmokome spręsti kvadratines lygtis. Tačiau matematika jais neapsiriboja. Šiandien mes išmoksime išspręsti racionalias lygtis. koncepcija racionaliosios lygtys labai panašus į koncepciją racionalūs numeriai. Tik be skaičių, dabar mes pristatėme kintamąjį $x$. Ir taip gauname išraišką, kurioje yra sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir didinimo iki sveikojo skaičiaus operacijos.

Tegu $r(x)$ racionali išraiška . Tokia išraiška gali būti paprastas daugianario kintamasis $x$ arba daugianario santykis (įvedama dalybos operacija, kaip ir racionaliesiems skaičiams).
Vadinama lygtis $r(x)=0$ racionalioji lygtis.
Bet kuri $p(x)=q(x)$ formos lygtis, kur $p(x)$ ir $q(x)$ yra racionalios išraiškos, taip pat bus racionalioji lygtis.

Apsvarstykite racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžius.

1 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Sprendimas.
Perkelkime visas išraiškas į kairę pusę: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jei paprastieji skaičiai būtų pavaizduoti kairėje lygties pusėje, tada dvi trupmenas surinktume į bendrą vardiklį.
Padarykime taip: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Gavome lygtį: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai trupmenos skaitiklis nulis, o vardiklis skiriasi nuo nulio. Tada atskirai prilyginkite skaitiklį nuliui ir raskite skaitiklio šaknis.
$3(x^2+2x-3)=0$ arba $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Dabar patikrinkime trupmenos vardiklį: $(x-3)*x≠0$.
Dviejų skaičių sandauga yra lygi nuliui, kai bent vienas iš šių skaičių yra lygus nuliui. Tada: $x≠0$ arba $x-3≠0$.
$x≠0$ arba $x≠3$.
Skaitiklyje ir vardiklyje gautos šaknys nesutampa. Taigi atsakydami užrašome abi skaitiklio šaknis.
Atsakymas: $x=1$ arba $x=-3$.

Jei staiga viena iš skaitiklio šaknų sutapo su vardiklio šaknimi, ji turėtų būti neįtraukta. Tokios šaknys vadinamos pašalinėmis!

Racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

1. Visos lygtyje esančios išraiškos turi būti perkeltos į kairė pusė nuo lygybės ženklo.
2. Konvertuokite šią lygties dalį į algebrinė trupmena: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Gautą skaitiklį prilyginkite nuliui, tai yra išspręskite lygtį $p(x)=0$.
4. Vardiklį prilyginkite nuliui ir išspręskite gautą lygtį. Jei vardiklio šaknys sutapo su skaitiklio šaknimis, jos turėtų būti neįtrauktos į atsakymą.

2 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Sprendimas.
Išspręsime pagal algoritmo taškus.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Skaitiklį prilyginkite nuliui: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Vardiklį prilyginkite nuliui:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ir $x=-1$.
Viena iš šaknų $x=1$ sutapo su skaitiklio šaknimi, tai atsakydami jos neužrašome.
Atsakymas: $x=-1$.

Racionaliąsias lygtis patogu spręsti kintamųjų kaitos metodu. Parodykime tai.

3 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $x^4+12x^2-64=0$.

Sprendimas.
Pristatome pakaitalą: $t=x^2$.
Tada mūsų lygtis bus tokia:
$t^2+12t-64=0$ yra įprasta kvadratinė lygtis.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 USD.
Įveskime atvirkštinį pakeitimą: $x^2=4$ arba $x^2=-16$.
Pirmosios lygties šaknys yra skaičių pora $x=±2$. Antrasis neturi šaknų.
Atsakymas: $x=±2$.

4 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Sprendimas.
Įveskime naują kintamąjį: $t=x^2+x+1$.
Tada lygtis bus tokia: $t=\frac(15)(t+2)$.
Toliau veiksime pagal algoritmą.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 USD.
4. $t≠-2$ – šaknys nesutampa.
Pristatome atvirkštinį pakeitimą.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Išspręskime kiekvieną lygtį atskirai:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne šaknys.
Ir antroji lygtis: $x^2+x-2=0$.
Įsišaknijęs duota lygtis bus skaičiai $x=-2$ ir $x=1$.
Atsakymas: $x=-2$ ir $x=1$.

5 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Sprendimas.
Pristatome pakeitimą: $t=x+\frac(1)(x)$.
Tada:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ arba $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Gavome lygtį: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Šios lygties šaknys yra pora:
$t=-3$ ir $t=2$.
Pristatykime atvirkštinį pakeitimą:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Spręsime atskirai.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Išspręskime antrąją lygtį:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Šios lygties šaknis yra skaičius $x=1$.
Atsakymas: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Savarankiško sprendimo užduotys

Išspręskite lygtis:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Pirmiau pateiktą lygtį pristatėme § 7. Pirmiausia primename, kas yra racionali išraiška. Tai yra - algebrinė išraiška, sudarytas iš skaičių ir kintamojo x, naudojant sudėjimo, atimties, daugybos, dalybos ir eksponencijos su natūraliuoju rodikliu operacijas.

Jei r(x) yra racionali išraiška, tai lygtis r(x) = 0 vadinama racionalia lygtimi.

Tačiau praktiškai patogiau naudoti šiek tiek daugiau platus aiškinimas terminas „racionalioji lygtis“: tai h(x) = q(x) formos lygtis, kur h(x) ir q(x) yra racionalios išraiškos.

Iki šiol negalėjome išspręsti jokios racionalios lygties, o tik tokią, kuri dėl įvairių transformacijų ir samprotavimų buvo sumažinta iki tiesinė lygtis. Dabar mūsų galimybės daug didesnės: galėsime išspręsti racionalią lygtį, kuri redukuojasi ne tik iki tiesinės
mu, bet ir į kvadratinę lygtį.

Prisiminkite, kaip anksčiau sprendėme racionaliąsias lygtis, ir pabandykite suformuluoti sprendimo algoritmą.

1 pavyzdys išspręsti lygtį

Sprendimas. Perrašome lygtį į formą

Šiuo atveju, kaip įprasta, naudojame faktą, kad lygybės A \u003d B ir A - B \u003d 0 išreiškia tą patį ryšį tarp A ir B. Tai leido perkelti terminą į kairę lygties pusę su priešingas ženklas.

Atlikime kairiosios lygties pusės transformacijas. Mes turime

Prisiminkite lygybės sąlygas trupmenomis nulis: jei ir tik tada, kai vienu metu tenkinami du santykiai:

1) trupmenos skaitiklis lygus nuliui (a = 0); 2) trupmenos vardiklis skiriasi nuo nulio).
Prilyginę nuliui trupmenos skaitiklį kairėje (1) lygties pusėje, gauname

Belieka patikrinti, ar įvykdyta antroji aukščiau minėta sąlyga. Santykis reiškia (1) lygtį, kad . Reikšmės x 1 = 2 ir x 2 = 0,6 tenkina nurodytus ryšius ir todėl yra (1) lygties šaknys, o kartu ir pateiktos lygties šaknys.

1) Transformuokime lygtį į formą

2) Atlikime šios lygties kairiosios pusės transformacijas:

(tuo pačiu metu pasikeitė ženklai skaitiklyje ir
trupmenomis).
Taigi, duota lygtisįgauna formą

3) Išspręskite lygtį x 2 - 6x + 8 = 0. Raskite

4) Rastos vertės patikrinkite būklę . Skaičius 4 atitinka šią sąlygą, bet skaičius 2 – ne. Taigi 4 yra pateiktos lygties šaknis, o 2 yra pašalinė šaknis.
Atsakymas: 4.

2. Racionaliųjų lygčių sprendimas įvedant naują kintamąjį

Naujo kintamojo įvedimo būdas jums pažįstamas, mes jį naudojome ne kartą. Pavyzdžiais parodykime, kaip jis naudojamas sprendžiant racionaliąsias lygtis.

3 pavyzdys Išspręskite lygtį x 4 + x 2 - 20 = 0.

Sprendimas. Pristatome naują kintamąjį y \u003d x 2. Kadangi x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, tada pateiktą lygtį galima perrašyti į formą

y 2 + y - 20 = 0.

Tai kvadratinė lygtis, kurios šaknis rasime naudodami žinomą formules; gauname y 1 = 4, y 2 = - 5.
Bet y \u003d x 2, o tai reiškia, kad problema buvo sumažinta iki dviejų lygčių sprendimo:
x2=4; x 2 \u003d -5.

Iš pirmosios lygties matome, kad antroji lygtis neturi šaknų.
Atsakymas:.
Formos ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 lygtis vadinama bikvadratine lygtimi („bi“ - du, t. y. tarsi „du kartus kvadratinė“ lygtis). Ką tik išspręsta lygtis buvo tiksliai bikvadratinė. Bet kuri bikvadratinė lygtis sprendžiama taip pat, kaip lygtis iš 3 pavyzdžio: įvedamas naujas kintamasis y \u003d x 2, gauta kvadratinė lygtis išsprendžiama kintamojo y atžvilgiu, o tada grąžinama į kintamąjį x.

4 pavyzdys išspręsti lygtį

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad čia ta pati išraiška x 2 + 3x pasitaiko du kartus. Vadinasi, prasminga įvesti naują kintamąjį y = x 2 + Zx. Tai leis mums perrašyti lygtį paprastesne ir malonesne forma (tai iš tikrųjų yra naujos įvedimo tikslas kintamasis- ir įrašyti lengviau
, ir lygties struktūra tampa aiškesnė):

O dabar mes panaudosime racionalios lygties sprendimo algoritmą.

1) Perkelkime visus lygties narius į vieną dalį:

= 0
2) Transformuokime kairę lygties pusę

Taigi, mes transformavome pateiktą lygtį į formą

3) Iš lygties - 7y 2 + 29y -4 = 0 randame (jau esame išsprendę gana daug kvadratinių lygčių, todėl tikriausiai neverta visada vadovėlyje pateikti išsamių skaičiavimų).

4) Patikrinkime rastas šaknis naudodami sąlygą 5 (y - 3) (y + 1). Abi šaknys atitinka šią sąlygą.
Taigi naujojo kintamojo y kvadratinė lygtis išspręsta:
Kadangi y \u003d x 2 + Zx, o y, kaip nustatėme, įgyja dvi reikšmes: 4 ir, - vis tiek turime išspręsti dvi lygtis: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Pirmosios lygties šaknys yra skaičiai 1 ir - 4, antrosios lygties šaknys yra skaičiai

Nagrinėjamuose pavyzdžiuose naujo kintamojo įvedimo būdas, kaip mėgsta sakyti matematikai, buvo adekvatus situacijai, tai yra, gerai ją atitiko. Kodėl? Taip, nes ta pati išraiška buvo aiškiai matoma lygties įraše kelis kartus ir buvo tikslinga šią išraišką pažymėti nauja raide. Bet taip būna ne visada, kartais naujas kintamasis „atsiranda“ tik transformacijų procese. Kaip tik tai atsitiks kitame pavyzdyje.

5 pavyzdys išspręsti lygtį
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Sprendimas. Mes turime
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Taigi pateiktą lygtį galima perrašyti kaip

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Dabar „pasirodė“ naujas kintamasis: y = x 2 – Zx.

Su jo pagalba lygtį galima perrašyti į formą y (y + 2) \u003d 24 ir tada y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Šios lygties šaknys yra skaičiai 4 ir -6.

Grįžtant prie pradinio kintamojo x gauname dvi lygtis x 2 - Zx \u003d 4 ir x 2 - Zx \u003d - 6. Iš pirmosios lygties randame x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; antroji lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: 4, - 1.

Pamokos turinys pamokos santrauka paramos rėmo pamokos pristatymo pagreitinimo metodai interaktyvios technologijos Praktika užduotys ir pratybos savikontrolės seminarai, mokymai, atvejai, užduotys namų darbai diskusija klausimai retoriniai mokinių klausimai Iliustracijos garso, vaizdo klipai ir daugialypės terpės nuotraukos, paveikslėliai grafika, lentelės, schemos humoras, anekdotai, anekdotai, komiksai, palyginimai, posakiai, kryžiažodžiai, citatos Priedai tezės straipsniai lustai smalsiems cheat sheets vadovėliai pagrindinis ir papildomas terminų žodynas kita Vadovėlių ir pamokų tobulinimasklaidų taisymas vadovėlyje pamokoje naujovių elementų atnaujinimas vadovėlyje pasenusių žinių pakeitimas naujomis Tik mokytojams tobulos pamokos kalendorinis planas metams Gairės diskusijų programos Integruotos pamokos

Susipažinkime su racionaliosiomis ir trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, pateikime jų apibrėžimą, pateiksime pavyzdžių, taip pat išanalizuokime dažniausiai pasitaikančias problemų rūšis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalioji lygtis: apibrėžimas ir pavyzdžiai

Pažintis su racionaliais posakiais prasideda 8-oje mokyklos klasėje. Šiuo metu algebros pamokose mokiniai vis dažniau pradeda atlikti užduotis su lygtimis, kurių užrašuose yra racionalių išraiškų. Atnaujinkime savo atmintį, kas tai yra.

1 apibrėžimas

racionalioji lygtis yra lygtis, kurios abiejose pusėse yra racionalių išraiškų.

Įvairiuose vadovuose galite rasti kitą formuluotę.

2 apibrėžimas

racionalioji lygtis- tai lygtis, kurios kairiosios pusės įraše yra racionali išraiška, o dešinėje - nulis.

Apibrėžimai, kuriuos pateikėme racionaliosioms lygtims, yra lygiaverčiai, nes jie reiškia tą patį. Mūsų žodžių teisingumą patvirtina tai, kad bet kokiems racionaliems posakiams P ir K lygtys P=Q ir P − Q = 0 bus lygiavertės išraiškos.

Dabar pereikime prie pavyzdžių.

1 pavyzdys

Racionalios lygtys:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionaliosiose lygtyse, kaip ir kitų tipų lygtyse, gali būti bet koks kintamųjų skaičius nuo 1 iki kelių. Norėdami pradėti, mes apsvarstysime paprasti pavyzdžiai, kurioje lygtyse bus tik vienas kintamasis. Ir tada mes pradedame palaipsniui apsunkinti užduotį.

Racionaliosios lygtys skirstomos į dvi dideles grupes: sveikąsias ir trupmenines. Pažiūrėkime, kurios lygtys bus taikomos kiekvienai grupei.

3 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus sveikasis skaičius, jei kairiosios ir dešiniosios jos dalių įraše yra visos racionalios išraiškos.

4 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus trupmeninė, jei vienoje ar abiejose jos dalyse yra trupmena.

Trupmeninės racionalios lygtys būtinai turi dalijimąsi iš kintamojo arba kintamasis yra vardiklyje. Rašant sveikųjų skaičių lygtis tokio padalijimo nėra.

2 pavyzdys

3 x + 2 = 0 ir (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0, 5 yra ištisos racionalios lygtys. Čia abi lygties dalys vaizduojamos sveikųjų skaičių išraiškomis.

1 x - 1 = x 3 ir x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 yra trupmeninės racionalios lygtys.

Visos racionalios lygtys apima tiesines ir kvadratines lygtis.

Išsamių lygčių sprendimas

Tokių lygčių sprendimas paprastai redukuojasi iki jų transformacijos į lygiavertes algebrines lygtis. Tai galima pasiekti atlikus lygiavertes lygčių transformacijas pagal šį algoritmą:

pirmiausia gauname nulį dešinėje lygties pusėje, tam reikia perkelti išraišką, esančią dešinėje lygties pusėje, į kairę ir pakeisti ženklą;
tada kairėje lygties pusėje esančią išraišką transformuojame į daugianarį standartinis vaizdas.

Turime gauti algebrinę lygtį. Ši lygtis bus lygiavertė pradinei lygčiai. Paprasti atvejai leidžia išspręsti problemą sumažinant visą lygtį į tiesinę arba kvadratinę. Bendruoju atveju išsprendžiame algebrinę laipsnio lygtį n.

3 pavyzdys

Būtina rasti visos lygties šaknis 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Sprendimas

Transformuokime pradinę išraišką, kad gautume jai lygiavertę algebrinę lygtį. Norėdami tai padaryti, dešinėje lygties pusėje esančią išraišką perkelsime į kairę ir pakeisime ženklą į priešingą. Dėl to gauname: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Dabar kairėje pusėje esančią išraišką transformuosime į standartinės formos daugianarį ir atliksime būtini veiksmai su šiuo daugianario:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Pradinės lygties sprendinį pavyko sumažinti iki sprendinio kvadratinė lygtis malonus x 2 - 5 x - 6 = 0. Šios lygties diskriminantas yra teigiamas: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tai reiškia, kad bus dvi tikrosios šaknys. Raskime juos naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 arba x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 arba x 2 = - 1

Patikrinkime lygties šaknų teisingumą, kurią radome sprendimo eigoje. Šį skaičių, kurį gavome, pakeičiame į pradinę lygtį: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 ir 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Pirmuoju atveju 63 = 63 , antrajame 0 = 0 . Šaknys x=6 ir x = – 1 iš tikrųjų yra lygties, pateiktos pavyzdinėje sąlygoje, šaknys.

Atsakymas: 6 , − 1 .

Pažiūrėkime, ką reiškia „visos lygties galia“. Mes dažnai sutinkame šį terminą tais atvejais, kai turime pavaizduoti visą lygtį algebrinės formos pavidalu. Apibrėžkime sąvoką.

5 apibrėžimas

Sveikojo skaičiaus lygties laipsnis yra laipsnis algebrinė lygtis, kuri yra lygi pradinei visai lygčiai.

Jei pažvelgsite į lygtis iš aukščiau pateikto pavyzdžio, galite nustatyti: visos šios lygties laipsnis yra antrasis.

Jeigu mūsų kursas apsiribotų antrojo laipsnio lygčių sprendimu, tai temos svarstymą būtų galima baigti čia. Tačiau viskas nėra taip paprasta. Trečiojo laipsnio lygčių sprendimas yra kupinas sunkumų. O lygtims, viršijančioms ketvirtąjį laipsnį, jis iš viso neegzistuoja bendrosios formulėsšaknys. Šiuo atžvilgiu norint išspręsti visas trečiojo, ketvirtojo ir kitų laipsnių lygtis, reikia naudoti daugybę kitų metodų ir metodų.

Dažniausiai naudojamas ištisų racionaliųjų lygčių sprendimo būdas yra pagrįstas faktorizavimo metodu. Veiksmų algoritmas šiuo atveju yra toks:

išraišką perkeliame iš dešinės pusės į kairę, kad įrašo dešinėje liktų nulis;
kairėje pusėje esančią išraišką pavaizduojame kaip veiksnių sandaugą, o tada pereiname prie kelių paprastesnių lygčių rinkinio.

4 pavyzdys

Raskite lygties (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) sprendinį.

Sprendimas

Perkeliame išraišką iš dešinės įrašo pusės į kairę pusę su priešingu ženklu: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Konvertuoti kairę pusę į standartinės formos daugianarį yra nepraktiška, nes taip bus gauta ketvirto laipsnio algebrinė lygtis: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Transformacijos paprastumas nepateisina visų sunkumų sprendžiant tokią lygtį.

Daug lengviau eiti kitu keliu: išimame bendrą faktorių x 2 – 10 x + 13 . Taip gauname formos lygtį (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Dabar gautą lygtį pakeičiame dviejų kvadratinių lygčių rinkiniu x 2 – 10 x + 13 = 0 ir x 2 − 2 x − 1 = 0 ir raskite jų šaknis per diskriminantą: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Atsakymas: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Panašiai galime naudoti ir naujo kintamojo įvedimo metodą. Šis metodas leidžia pereiti prie lygiaverčių lygčių, kurių galios yra mažesnės nei pradinėje visoje lygtyje.

5 pavyzdys

Ar lygtis turi šaknis? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

Sprendimas

Jei dabar bandysime visą racionalią lygtį redukuoti į algebrinę, gausime 4 laipsnio lygtį, kuri neturi racionalių šaknų. Todėl mums bus lengviau eiti kitu keliu: įvesti naują kintamąjį y, kuris pakeis išraišką lygtyje x 2 + 3 x.

Dabar dirbsime su visa lygtimi (y + 1) 2 + 10 = – 2 (y – 4). Dešinę lygties pusę perkeliame į kairę pusę su priešingu ženklu ir atliekame reikiamas transformacijas. Mes gauname: y 2 + 4 y + 3 = 0. Raskime kvadratinės lygties šaknis: y = −1 ir y = – 3.

Dabar atlikime atvirkštinį pakeitimą. Gauname dvi lygtis x 2 + 3 x = – 1 ir x 2 + 3 x = - 3 . Perrašykime juos į x 2 + 3 x + 1 = 0 ir x 2 + 3 x + 3 = 0. Norėdami rasti pirmosios gautos lygties šaknis, naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę: - 3 ± 5 2 . Antrosios lygties diskriminantas yra neigiamas. Tai reiškia, kad antroji lygtis neturi realių šaknų.

Atsakymas:- 3 ± 5 2

Aukštų laipsnių sveikųjų skaičių lygtys gana dažnai susiduria su problemomis. Nereikia jų bijoti. Turite būti pasirengę taikyti nestandartinį jų sprendimo būdą, įskaitant daugybę dirbtinių transformacijų.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Šios potemės svarstymą pradedame nuo p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmo, kur p(x) ir q(x) yra sveikųjų skaičių racionalios išraiškos. Kitų trupmeniškai racionalių lygčių sprendimas visada gali būti redukuojamas į nurodytos formos lygčių sprendinį.

Dažniausiai naudojamas lygčių p (x) q (x) = 0 sprendimo metodas yra pagrįstas tokiu teiginiu: skaitinė trupmena u v, kur v yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, lygus nuliui tik tais atvejais, kai trupmenos skaitiklis lygus nuliui. Vadovaudamiesi aukščiau pateikto teiginio logika, galime teigti, kad lygties p (x) q (x) = 0 sprendinį galima redukuoti iki dviejų sąlygų įvykdymo: p(x)=0 ir q(x) ≠ 0. Tuo remiantis sudaromas p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

randame visos racionalios lygties sprendinį p(x)=0;
patikriname, ar tenkinama sąlyga sprendimo metu rastoms šaknims q(x) ≠ 0.

Jei ši sąlyga įvykdoma, tada rasta šaknis.Jei ne, šaknis nėra problemos sprendimas.

6 pavyzdys

Raskite lygties 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 šaknis.

Sprendimas

Turime reikalą su trupmenine racionalia lygtimi, kurios forma yra p (x) q (x) = 0 , kurioje p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Pradėkime spręsti tiesinę lygtį 3 x - 2 = 0. Šios lygties šaknis bus x = 2 3.

Patikrinkime rastą šaknį, ar ji atitinka sąlygą 5 x 2 - 2 ≠ 0. Norėdami tai padaryti, išraiškoje pakeiskite skaitinę reikšmę. Gauname: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Sąlyga įvykdyta. Tai reiškia kad x = 2 3 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: 2 3 .

Yra dar vienas trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo variantas p (x) q (x) = 0 . Prisiminkite, kad ši lygtis yra lygiavertė visai lygčiai p(x)=0 pradinės lygties kintamojo x leistinų verčių diapazone. Tai leidžia mums naudoti šį algoritmą sprendžiant lygtis p(x) q(x) = 0:

išspręsti lygtį p(x)=0;
raskite priimtinų kintamojo x reikšmių diapazoną;
imame šaknis, esančias kintamojo x leistinų verčių srityje, kaip norimas pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknis.

7 pavyzdys

Išspręskite lygtį x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Sprendimas

Pirmiausia išspręskime kvadratinę lygtį x 2 − 2 x − 11 = 0. Norėdami apskaičiuoti jo šaknis, naudojame lyginio antrojo koeficiento šaknies formulę. Mes gauname D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 ir x = 1 ± 2 3 .

Dabar galime rasti pradinės lygties x ODV. Tai visi skaičiai, kuriems x 2 + 3 x ≠ 0. Tai tas pats kaip x (x + 3) ≠ 0, iš kur x ≠ 0, x ≠ − 3 .

Dabar patikrinkime, ar šaknys x = 1 ± 2 3, gautos pirmajame sprendimo etape, yra priimtinų kintamojo x verčių diapazone. Mes matome, kas ateina. Tai reiškia, kad pradinė trupmeninė racionalioji lygtis turi dvi šaknis x = 1 ± 2 3 .

Atsakymas: x = 1 ± 2 3

Aprašytas antrasis sprendimo būdas lengviau nei pirmasis tais atvejais, kai lengva rasti kintamojo x leistinų reikšmių plotą ir lygties šaknis p(x)=0 neracionalus. Pavyzdžiui, 7 ± 4 26 9 . Šaknys gali būti racionalios, bet su dideliu skaitikliu arba vardikliu. Pavyzdžiui, 127 1101 ir − 31 59 . Taip sutaupoma laiko būklei patikrinti. q(x) ≠ 0: pagal ODZ daug lengviau pašalinti netelpančias šaknis.

Kai lygties šaknys p(x)=0 yra sveikieji skaičiai, sprendžiant p (x) q (x) = 0 formos lygtis, tikslingiau naudoti pirmąjį iš aprašytų algoritmų. Greitesnis visos lygties šaknų radimas p(x)=0, tada patikrinkite, ar tenkinama sąlyga q(x) ≠ 0, ir nerasti ODZ, o tada išspręsti lygtį p(x)=0 apie šį ODZ. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais paprastai lengviau patikrinti, nei rasti ODZ.

8 pavyzdys

Raskite lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 šaknis = 0.

Sprendimas

Pradedame nuo visos lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ir surasti jo šaknis. Norėdami tai padaryti, taikome lygčių sprendimo metodą faktorizavimu. Pasirodo, pradinė lygtis yra lygi keturių lygčių rinkiniui 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, iš kurių trys yra tiesinės ir vienas kvadratinis. Mes randame šaknis: iš pirmosios lygties x = 1 2, nuo antrojo x=6, nuo trečio - x \u003d 7, x \u003d - 2, iš ketvirto - x = – 1.

Patikrinkime gautas šaknis. Šiuo atveju mums sunku nustatyti ODZ, nes tam turėsime išspręsti penktojo laipsnio algebrinę lygtį. Bus lengviau patikrinti sąlygą, pagal kurią trupmenos vardiklis, esantis kairėje lygties pusėje, neturėtų išnykti.

Savo ruožtu reiškinyje vietoj kintamojo x pakeiskite šaknis x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 ir apskaičiuokite jo vertę:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Atliktas patikrinimas leidžia nustatyti, kad pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys yra 1 2 , 6 ir − 2 .

Atsakymas: 1 2 , 6 , - 2

9 pavyzdys

Raskite trupmeninės racionalios lygties 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 šaknis.

Sprendimas

Pradėkime nuo lygties (5 x 2 – 7 x – 1) (x – 2) = 0. Raskime jo šaknis. Mums lengviau šią lygtį pavaizduoti kaip kvadratinių ir tiesinių lygčių derinį 5 x 2 – 7 x – 1 = 0 ir x − 2 = 0.

Norėdami rasti šaknis, naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę. Iš pirmosios lygties gauname dvi šaknis x = 7 ± 69 10, o iš antrosios x=2.

Pakeisti šaknų reikšmę į pradinę lygtį, kad patikrintume sąlygas, mums bus gana sunku. Bus lengviau nustatyti kintamojo x LPV. Šiuo atveju kintamojo x DPV yra visi skaičiai, išskyrus tuos, kurių sąlyga yra įvykdyta x 2 + 5 x - 14 = 0. Gauname: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Dabar patikrinkime, ar rastos šaknys priklauso priimtinų x kintamojo verčių diapazonui.

Šaknys x = 7 ± 69 10 - priklauso, todėl jos yra pradinės lygties šaknys ir x=2- nepriklauso, todėl tai yra pašalinė šaknis.

Atsakymas: x = 7 ± 69 10 .

Atskirai panagrinėkime atvejus, kai p (x) q (x) = 0 formos trupmeninės racionalios lygties skaitiklyje yra skaičius. Tokiais atvejais, jei skaitiklyje yra ne nulis, o kitas skaičius, lygtis neturės šaknų. Jei šis skaičius lygus nuliui, tada lygties šaknis bus bet koks skaičius iš ODZ.

10 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Sprendimas

Ši lygtis neturės šaknų, nes trupmenos skaitiklyje iš kairės lygties pusės yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio. Tai reiškia, kad bet kurioms x reikšmėms problemos sąlygoje nurodytos trupmenos reikšmė nebus lygi nuliui.

Atsakymas: jokių šaknų.

11 pavyzdys

Išspręskite lygtį 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Sprendimas

Kadangi trupmenos skaitiklis yra nulis, lygties sprendimas bus bet kokia x reikšmė iš ODZ kintamojo x.

Dabar apibrėžkime ODZ. Jame bus visos x reikšmės, kurioms x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Lygčių sprendiniai x 4 + 5 x 3 = 0 yra 0 ir − 5 , nes ši lygtis yra lygiavertė lygčiai x 3 (x + 5) = 0, o ji savo ruožtu yra lygi dviejų lygčių aibei x 3 = 0 ir x + 5 = 0 kur šios šaknys matomos. Darome išvadą, kad norimas priimtinų verčių diapazonas yra bet koks x , išskyrus x=0 ir x = -5.

Pasirodo, trupmeninėje racionaliojoje lygtyje 0 x 4 + 5 x 3 = 0 yra begalinis skaičius sprendinių, kurie yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį ir -5.

Atsakymas: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Dabar pakalbėkime apie savavališkos formos trupmenines racionaliąsias lygtis ir jų sprendimo būdus. Jie gali būti parašyti kaip r(x) = s(x), kur r(x) ir s(x) yra racionalios išraiškos ir bent viena iš jų yra trupmeninė. Tokių lygčių sprendinys redukuojamas į p (x) q (x) = 0 formos lygčių sprendinį.

Jau žinome, kad lygiavertę lygtį galime gauti perkeldami išraišką iš dešinės lygties pusės į kairę pusę su priešingu ženklu. Tai reiškia, kad lygtis r(x) = s(x) yra lygiavertis lygčiai r (x) − s (x) = 0. Taip pat jau aptarėme, kaip racionalią išraišką paversti racionalia trupmena. Dėl to lygtį galime lengvai transformuoti r (x) − s (x) = 0į savo identišką formos p (x) q (x) racionaliąją trupmeną.

Taigi mes pereiname nuo pradinės trupmeninės racionalios lygties r(x) = s(x)į p (x) q (x) = 0 formos lygtį, kurią jau išmokome išspręsti.

Reikėtų pažymėti, kad atliekant perėjimus iš r (x) − s (x) = 0į p (x) q (x) = 0 ir tada į p(x)=0 galime neatsižvelgti į kintamojo x galiojančių reikšmių diapazono išplėtimą.

Tai gana realu, kad pradinė lygtis r(x) = s(x) ir lygtis p(x)=0 dėl transformacijų jie nustos būti lygiaverčiai. Tada lygties sprendimas p(x)=0 gali suteikti mums šaknų, kurios bus svetimos r(x) = s(x). Šiuo atžvilgiu kiekvienu atveju būtina atlikti patikrinimą bet kuriuo iš aukščiau aprašytų metodų.

Kad jums būtų lengviau studijuoti temą, mes apibendriname visą informaciją į algoritmą, skirtą išspręsti trupmeninę racionalią formos lygtį r(x) = s(x):

perkeliame išraišką iš dešinės pusės su priešingu ženklu, o dešinėje gauname nulį;
pradinę išraišką paverčiame racionalia trupmena p (x) q (x), nuosekliai atlikdami veiksmus su trupmenomis ir daugianariais;
išspręsti lygtį p(x)=0;
pašalines šaknis atskleidžiame patikrindami jų priklausymą ODZ arba pakeisdami į pradinę lygtį.

Vizualiai veiksmų grandinė atrodys taip:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → iškritimo r o n d e r o o n s

12 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį x x + 1 = 1 x + 1 .

Sprendimas

Pereikime prie lygties x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Kairėje lygties pusėje esančią trupmeninę racionaliąją išraišką transformuokime į formą p (x) q (x) .

Norėdami tai padaryti, turime sumažinti racionaliąsias trupmenas iki bendro vardiklio ir supaprastinti išraišką:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = – 2 x – 1 x (x + 1)

Norėdami rasti lygties šaknis - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, turime išspręsti lygtį − 2 x − 1 = 0. Mes gauname vieną šaknį x = - 1 2.

Mums belieka atlikti patikrinimą bet kuriuo iš būdų. Apsvarstykime juos abu.

Pakeiskite gautą reikšmę į pradinę lygtį. Gauname - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Priėjome teisingą skaitinę lygybę − 1 = − 1 . Tai reiškia kad x = − 1 2 yra pradinės lygties šaknis.

Dabar patikrinsime per ODZ. Apibrėžkime priimtinų kintamojo x reikšmių diapazoną. Tai bus visa skaičių rinkinys, išskyrus −1 ir 0 (kai x = −1 ir x = 0, trupmenų vardikliai išnyksta). Šaknis, kurį gavome x = − 1 2 priklauso ODZ. Tai reiškia, kad tai yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: − 1 2 .

13 pavyzdys

Raskite lygties x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x šaknis.

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmenine racionalia lygtimi. Todėl veiksime pagal algoritmą.

Perkelkime išraišką iš dešinės pusės į kairę pusę su priešingu ženklu: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Atlikime reikiamas transformacijas: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Prieiname prie lygties x=0. Šios lygties šaknis lygi nuliui.

Patikrinkime, ar ši šaknis yra svetima pradinei lygčiai. Pakeiskite reikšmę pradinėje lygtyje: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kaip matote, gauta lygtis neturi prasmės. Tai reiškia, kad 0 yra pašalinė šaknis, o pradinė trupmeninė racionali lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: jokių šaknų.

Jei į algoritmą neįtraukėme kitų lygiaverčių transformacijų, tai visiškai nereiškia, kad jų negalima naudoti. Algoritmas yra universalus, tačiau jis skirtas padėti, o ne riboti.

14 pavyzdys

Išspręskite lygtį 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Sprendimas

Lengviausias būdas yra išspręsti pateiktą trupmeninę racionaliąją lygtį pagal algoritmą. Tačiau yra ir kitas būdas. Pasvarstykime.

Atimkite iš dešinės ir kairės dalių 7, gausime: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Iš to galime daryti išvadą, kad kairiosios pusės vardiklio išraiška turi būti lygi skaičiaus iš dešinės pusės atvirkštiniam skaičiui, tai yra, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Iš abiejų dalių atimkite 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Pagal analogiją 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, iš kur 1 5 - x 2 \u003d 1 3 ir toliau 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Patikrinkime, kad išsiaiškintume, ar rastos šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Atsakymas: x = ± 2

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šiame straipsnyje aš jums parodysiu septynių tipų racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmai, kurios pakeitus kintamuosius sumažinamos iki kvadratinių. Daugeliu atvejų transformacijos, lemiančios pakeitimą, yra labai nereikšmingos, ir gana sunku apie jas atspėti savarankiškai.

Kiekvienam lygties tipui paaiškinsiu, kaip joje pakeisti kintamąjį, o tada atitinkamoje vaizdo įrašo pamokoje parodysiu išsamų sprendimą.

Jūs turite galimybę toliau spręsti lygtis patys, o tada patikrinti savo sprendimą naudodamiesi vaizdo pamoka.

Taigi, pradėkime.

1 . (x-1) (x-7) (x-4) (x+2) = 40

Atkreipkite dėmesį, kad keturių skliaustų sandauga yra kairėje lygties pusėje, o skaičius yra dešinėje.

1. Sugrupuokime skliaustus po du, kad laisvųjų terminų suma būtų vienoda.

2. Padauginkite juos.

3. Įveskime kintamojo kaitą.

Savo lygtyje pirmąjį skliaustą sugrupuojame su trečiuoju, o antrąjį su ketvirtuoju, nes (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Šiuo metu kintamojo pokytis tampa akivaizdus:

Gauname lygtį

Atsakymas:

2 .

Šio tipo lygtis yra panaši į ankstesnę su vienu skirtumu: dešinėje lygties pusėje yra skaičiaus sandauga pagal. Ir tai išspręsta visiškai kitaip:

1. Sugrupuojame skliaustus po du, kad laisvųjų terminų sandauga būtų vienoda.

2. Kiekvieną skliaustų porą padauginame.

3. Iš kiekvieno faktoriaus išimame x iš skliausto.

4. Padalinkite abi lygties puses iš .

5. Įvedame kintamojo kaitą.

Šioje lygtyje pirmąjį skliaustą sugrupuojame su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, nes:

Atkreipkite dėmesį, kad kiekviename skliaustelyje koeficientas at ir laisvasis terminas yra vienodi. Išimkime daugiklį iš kiekvieno skliausto:

Kadangi x=0 nėra pradinės lygties šaknis, abi lygties puses padalijame iš . Mes gauname:

Gauname lygtį:

Atsakymas:

3 .

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų trupmenų vardikliuose yra kvadratiniai trinariai, kurio pirmaujantis koeficientas ir laisvasis narys yra vienodi. Iš skliausto išimame x, kaip ir antrojo tipo lygtyje. Mes gauname:

Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalykite iš x:

Dabar galime pakeisti kintamąjį:

Gauname kintamojo t lygtį:

4 .

Atkreipkite dėmesį, kad lygties koeficientai yra simetriški centrinės atžvilgiu. Tokia lygtis vadinama grąžinamas .

Norėdami tai išspręsti

1. Padalinkite abi lygties puses iš (Tai galime padaryti, nes x=0 nėra lygties šaknis.) Gauname:

2. Grupuokite terminus taip:

3. Kiekvienoje grupėje išimame bendrą veiksnį:

4. Įveskime pakaitalą:

5. Išreikškime išraišką t terminais:

Iš čia

Gauname t lygtį:

Atsakymas:

5. Homogeninės lygtys.

Su homogeninės struktūros lygtimis galima susidurti sprendžiant eksponentinę, logaritminę ir trigonometrines lygtis, todėl jį reikia atpažinti.

Homogeninės lygtys turi tokią struktūrą:

Šioje lygybėje A, B ir C yra skaičiai, o tos pačios išraiškos žymimos kvadratu ir apskritimu. Tai reiškia, kad kairėje homogeninės lygties pusėje yra vienodo laipsnio monomijų suma (šiuo atveju monomijų laipsnis yra 2), o laisvo termino nėra.

Norėdami išspręsti vienalytę lygtį, padalijame abi puses iš

Dėmesio! Dalijant dešinę ir kairę lygties puses iš išraiškos, kurioje yra nežinomasis, galite prarasti šaknis. Todėl reikia patikrinti, ar išraiškos, kuria dalijame abi lygties dalis, šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Eikime pirmu keliu. Gauname lygtį:

Dabar pristatome kintamąjį pakaitalą:

Supaprastinkite išraišką ir gaukite t bikvadratinę lygtį:

Atsakymas: arba

7 .

Ši lygtis turi tokią struktūrą:

Norėdami tai išspręsti, turite pasirinkti visą kvadratą kairėje lygties pusėje.

Norėdami pasirinkti visą kvadratą, turite pridėti arba atimti dvigubą sandaugą. Tada gauname sumos arba skirtumo kvadratą. Tai labai svarbu sėkmingam kintamojo pakeitimui.

Pradėkime nuo dvigubo produkto paieškos. Tai bus raktas, norint pakeisti kintamąjį. Mūsų lygtyje dvigubas produktas yra