Lezione "Periodicità delle funzioni y=sinx, y=cosx". Studio di una funzione per la periodicità

>> Periodicità delle funzioni y = sin x, y = cos x

§ 11. Periodicità delle funzioni y \u003d sin x, y \u003d cos x

Nei paragrafi precedenti abbiamo utilizzato sette proprietà funzioni: dominio, pari o dispari, monotono, limitato, maggiore e valore più piccolo, continuità, portata della funzione. Abbiamo usato queste proprietà sia per costruire il grafico della funzione (come era, ad esempio, nel § 9), sia per leggere il grafico costruito (come era, ad esempio, nel § 10). Ora è arrivato momento di buon auspicio introdurre un'altra (ottava) proprietà delle funzioni, che è perfettamente visibile su quanto sopra costruito grafici funzioni y \u003d sin x (vedi Fig. 37), y \u003d cos x (vedi Fig. 41).

Definizione. Una funzione si dice periodica se esiste un numero T diverso da zero tale che per ogni x degli insiemi, il doppio uguaglianza:

Il numero T che soddisfa condizione specificata, è chiamato periodo della funzione y \u003d f (x).
Ne consegue che, poiché per ogni x, le uguaglianze sono vere:

quindi le funzioni y \u003d sin x, y \u003d cos x sono periodiche e il numero 2 P funge da periodo di entrambe le funzioni.
La periodicità di una funzione è l'ottava proprietà promessa delle funzioni.

Ora guarda il grafico della funzione y \u003d sin x (Fig. 37). Per costruire una sinusoide, è sufficiente costruire una delle sue onde (su un segmento e quindi spostare quest'onda lungo l'asse x di Di conseguenza, usando un'onda, costruiremo l'intero grafico.

Diamo un'occhiata dallo stesso punto di vista al grafico della funzione y \u003d cos x (Fig. 41). Vediamo che anche qui, per tracciare un grafico, è sufficiente tracciare prima un'onda (ad esempio, sul segmento

E poi spostalo lungo l'asse x di
Riassumendo, traiamo la seguente conclusione.

Se la funzione y \u003d f (x) ha un periodo T, quindi per tracciare il grafico della funzione, devi prima tracciare un ramo (onda, parte) del grafico su qualsiasi intervallo di lunghezza T (il più delle volte, prendono un intervallo con estremità in punti e quindi spostare questo ramo lungo l'asse x a destra e sinistra a T, 2T, ZT, ecc.
Una funzione periodica ha infiniti periodi: se T è un periodo, allora 2T è un periodo e 3T è un periodo e -T è un periodo; in generale, un periodo è un numero qualsiasi della forma KT, dove k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Di solito, se possibile, cercano di individuare il periodo positivo più piccolo, viene chiamato periodo principale.
Quindi, qualsiasi numero della forma 2pc, dove k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, è il periodo delle funzioni y \u003d sinn x, y \u003d cos x; 2p è il periodo principale di entrambe le funzioni.

Esempio. Trova il periodo principale di una funzione:

un) Sia T il periodo principale della funzione y \u003d sin x. Mettiamo

Affinché il numero T sia il periodo della funzione, l'identità Ho deve valere, poiché noi stiamo parlando trovando il periodo principale, otteniamo
b) Sia T il periodo principale della funzione y = cos 0,5x. Sia f(x)=cos 0,5x. Quindi f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).

Affinché il numero T sia il periodo della funzione, l'identità cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x deve essere soddisfatta.

Quindi, 0,5t = 2pp. Ma, poiché stiamo parlando di trovare il periodo principale, otteniamo 0,5 T = 2 l, T = 4 l.

La generalizzazione dei risultati ottenuti nell'esempio è la seguente affermazione: il periodo principale della funzione

AG Algebra di Mordkovich Grado 10

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Centrato in un punto UN.
α è un angolo espresso in radianti.

Definizione
Senoè una funzione trigonometrica che dipende dall'angolo α tra l'ipotenusa e la gamba triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza della gamba opposta |BC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Coseno (cos α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Designazioni accettate

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Grafico della funzione seno, y = sin x

Grafico della funzione coseno, y = cos x

Proprietà di seno e coseno

Periodicità

Funzioni y= peccato x e y= cos x periodico con un punto 2 pi.

Parità

La funzione seno è dispari. La funzione coseno è pari.

Dominio di definizione e valori, extrema, aumento, diminuzione

Le funzioni seno e coseno sono continue nel loro dominio di definizione, cioè per ogni x (vedi la prova di continuità). Le loro proprietà principali sono presentate nella tabella (n - intero).

	y= peccato x	y= cos x
Ambito e continuità	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Intervallo di valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ascendente
Discendente
Massimi, y= 1
Minimo, y = - 1
Zero, y= 0
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	y= 0	y= 1

Formule di base

Somma di seno e coseno al quadrato

Formule seno e coseno per somma e differenza

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Formule per il prodotto di seni e coseni

Formule di somma e differenza

Espressione da seno a coseno

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Espressione del coseno attraverso il seno

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Espressione in termini di tangente

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Per , abbiamo:
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In :
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Tabella di seni e coseni, tangenti e cotangenti

Questa tabella mostra i valori di seno e coseno per alcuni valori dell'argomento.

Espressioni attraverso variabili complesse

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formula di Eulero

Espressioni in termini di funzioni iperboliche

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;

Derivati

; . Derivazione di formule > > >

Derivati ​​dell'ennesimo ordine:
{ -∞ < x < +∞ }

Secante, cosecante

Funzioni inverse

Funzioni inverse a seno e coseno sono rispettivamente l'arcoseno e l'arcocoseno.

Arcseno, arcsino

Arcoseno, arccos

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

Un numero T tale che per ogni x F(x + T) = F(x). Questo numero T è chiamato periodo della funzione.

Potrebbero esserci diversi periodi. Ad esempio, la funzione F = const assume lo stesso valore per qualsiasi valore dell'argomento, e quindi qualsiasi numero può essere considerato il suo periodo.

Di solito interessa il più piccolo zero periodo di funzione. Per brevità, si chiama semplicemente punto.

Un classico esempio di funzioni periodiche è trigonometrico: seno, coseno e tangente. Il loro periodo è lo stesso e uguale a 2π, cioè sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) e così via. Tuttavia, ovviamente, funzioni trigonometriche- non gli unici periodici.

Per quanto riguarda il semplice Funzioni base l'unico modo per stabilirne la periodicità o non periodicità è il calcolo. Ma per funzioni complesse, ce ne sono già diverse regole semplici.

Se F(x) è con periodo T, e per esso è definita una derivata, allora anche questa derivata f(x) = F′(x) è una funzione periodica con periodo T. Dopo tutto, il valore della derivata al il punto x è uguale alla tangente della tangente del grafico della sua antiderivata in questo punto all'asse x, e poiché si ripete periodicamente, deve ripetersi. Ad esempio, la derivata di funzioni del peccato(x) è uguale a cos(x) ed è periodico. Prendendo la derivata di cos(x) si ottiene -sin(x). La periodicità rimane invariata.

Tuttavia, non è sempre vero il contrario. Pertanto, la funzione f(x) = const è periodica, ma la sua antiderivata F(x) = const*x + C non lo è.

Se F(x) è una funzione periodica con periodo T, allora G(x) = a*F(kx + b), dove a, b e k sono costanti e k non è uguale a zero - anche una funzione periodica, e il suo periodo è uguale a T/k. Ad esempio sin(2x) è una funzione periodica e il suo periodo è π. Visivamente, questo può essere rappresentato come segue: moltiplicando x per un numero, si comprimono le funzioni orizzontalmente esattamente tante volte

Se F1(x) e F2(x) sono funzioni periodiche e i loro periodi sono rispettivamente uguali a T1 e T2, allora anche la somma di queste funzioni può essere periodica. Tuttavia, il suo periodo non sarà una semplice somma dei periodi T1 e T2. Se il risultato della divisione T1/T2 è numero razionale, allora la somma delle funzioni è periodica e il suo periodo è uguale al minimo comune multiplo (LCM) dei periodi T1 e T2. Ad esempio, se il periodo della prima funzione è 12 e il periodo della seconda è 15, il periodo della loro somma sarà LCM (12, 15) = 60.

Visivamente, questo può essere rappresentato come segue: le funzioni hanno diverse "larghezze dei gradini", ma se il rapporto tra le loro larghezze è razionale, prima o (più precisamente, attraverso l'LCM dei gradini), torneranno ad essere uguali e la loro somma inizierà un nuovo periodo.

Tuttavia, se il rapporto tra periodi , la funzione totale non sarà affatto periodica. Ad esempio, sia F1(x) = x mod 2 (il resto di x diviso per 2) e F2(x) = sin(x). T1 qui sarà uguale a 2 e T2 è uguale a 2π. Il rapporto periodo è π - numero irrazionale. Pertanto, la funzione sin(x) + x mod 2 non è periodica.

Fonti:

• Teoria delle funzioni

Molti funzioni matematiche hanno una caratteristica che ne facilita la costruzione: lo è periodicità, ovvero la ripetibilità del grafico sulla griglia di coordinate ad intervalli regolari.

Istruzione

Le funzioni periodiche più note della matematica sono la sinusoide e l'onda coseno. Queste funzioni hanno un periodo ondulatorio e di base pari a 2P. Anche un caso speciale di una funzione periodica è f(x)=const. Qualsiasi numero è adatto per la posizione x, questa funzione non ha un periodo principale, poiché è una linea retta.

In generale, una funzione è periodica se esiste un intero N che è zero e soddisfa la regola f(x)=f(x+N), garantendo così la ripetibilità. Il periodo della funzione è numero più piccolo N, ma non zero. Cioè, ad esempio, la funzione sin x è uguale alla funzione sin (x + 2PN), dove N \u003d ± 1, ± 2, ecc.

A volte una funzione può avere un moltiplicatore (ad esempio sin 2x), che aumenterà o diminuirà il periodo della funzione. Per trovare il periodo