Esempi di minimo comune multiplo di tre numeri. Trovare il minimo comune multiplo: metodi, esempi per trovare l'LCM

Per capire come calcolare l'LCM, dovresti prima determinare il significato del termine "multiplo".

Un multiplo di A è un numero naturale divisibile per A senza resto, quindi 15, 20, 25 e così via possono essere considerati multipli di 5.

Può esserci un numero limitato di divisori di un determinato numero, ma esistono un numero infinito di multipli.

Un multiplo comune di numeri naturali è un numero divisibile per essi senza resto.

Come trovare il minimo comune multiplo di numeri

Il minimo comune multiplo (LCM) di numeri (due, tre o più) è il più piccolo numero naturale che è equamente divisibile per tutti questi numeri.

Per trovare il NOC, puoi utilizzare diversi metodi.

Per i numeri piccoli, è conveniente scrivere in una riga tutti i multipli di questi numeri fino a trovarne uno comune. I multipli sono indicati nel verbale con la lettera maiuscola K.

Ad esempio, multipli di 4 possono essere scritti in questo modo:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Quindi, puoi vedere che il minimo comune multiplo dei numeri 4 e 6 è il numero 24. Questa voce viene eseguita come segue:

LCM(4, 6) = 24

Se i numeri sono grandi, trova il multiplo comune di tre o più numeri, quindi è meglio usare un altro modo per calcolare l'LCM.

Per completare il compito, è necessario scomporre i numeri proposti in fattori primi.

Per prima cosa devi scrivere l'espansione del numero più grande in una riga e, al di sotto, il resto.

Nell'espansione di ciascun numero, potrebbe esserci un numero diverso di fattori.

Ad esempio, fattoriamo i numeri 50 e 20 in fattori primi.

Nella scomposizione del numero più piccolo si devono sottolineare i fattori che sono assenti nella scomposizione del primo numero più grande, e poi sommarli ad esso. Nell'esempio presentato, manca un due.

Ora possiamo calcolare il minimo comune multiplo di 20 e 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Pertanto, il prodotto dei fattori primi del numero maggiore e dei fattori del secondo numero, che non sono inclusi nella scomposizione del numero maggiore, sarà il minimo comune multiplo.

Per trovare l'LCM di tre o più numeri, tutti devono essere scomposti in fattori primi, come nel caso precedente.

Ad esempio, puoi trovare il minimo comune multiplo dei numeri 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Quindi, solo due due dalla scomposizione di sedici (uno è nella scomposizione di ventiquattro) non sono entrati nella fattorizzazione di un numero maggiore.

Pertanto, devono essere aggiunti alla scomposizione di un numero maggiore.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Ci sono casi speciali di determinazione del minimo comune multiplo. Quindi, se uno dei numeri può essere diviso senza resto per un altro, il più grande di questi numeri sarà il minimo comune multiplo.

Ad esempio, i NOC di dodici e ventiquattro sarebbero ventiquattro.

Se è necessario trovare il minimo comune multiplo di numeri coprimi che non hanno gli stessi divisori, il loro LCM sarà uguale al loro prodotto.

Ad esempio, LCM(10, 11) = 110.

Considera tre modi per trovare il minimo comune multiplo.

Trovare per Factoring

Il primo modo è trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri dati in fattori primi.

Supponiamo di dover trovare l'LCM dei numeri: 99, 30 e 28. Per fare ciò, scomponiamo ciascuno di questi numeri in fattori primi:

Perché il numero desiderato sia divisibile per 99, 30 e 28, è necessario e sufficiente che includa tutti i fattori primi di questi divisori. Per fare ciò, dobbiamo prendere tutti i fattori primi di questi numeri alla massima potenza che si verifica e moltiplicarli insieme:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Quindi LCM (99, 30, 28) = 13.860. Nessun altro numero inferiore a 13.860 è equamente divisibile per 99, 30 o 28.

Per trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri, devi scomporli in fattori primi, quindi prendere ogni fattore primo con l'esponente più grande che si verifica e moltiplicare questi fattori insieme.

Poiché i numeri coprimi non hanno fattori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri. Ad esempio, tre numeri: 20, 49 e 33 sono coprimi. Ecco perché

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Lo stesso dovrebbe essere fatto quando si cerca il minimo comune multiplo di vari numeri primi. Ad esempio, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Trovare per selezione

Il secondo modo è trovare il multiplo minimo comune adattandolo.

Esempio 1. Quando il più grande dei numeri dati è divisibile per altri numeri dati, l'LCM di questi numeri è uguale al maggiore di essi. Ad esempio, dati quattro numeri: 60, 30, 10 e 6. Ognuno di essi è divisibile per 60, quindi:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Negli altri casi, per trovare il minimo comune multiplo, si usa la seguente procedura:

Determina il numero più grande dai numeri dati.
Successivamente, troviamo numeri che sono multipli del numero più grande, moltiplicandolo per numeri naturali in ordine crescente e controllando se i numeri dati rimanenti sono divisibili per il prodotto risultante.

Esempio 2. Dati tre numeri 24, 3 e 18. Determina il più grande di essi: questo è il numero 24. Quindi, trova i numeri che sono multipli di 24, controllando se ciascuno di essi è divisibile per 18 e per 3:

24 1 = 24 è divisibile per 3 ma non divisibile per 18.

24 2 = 48 - divisibile per 3 ma non divisibile per 18.

24 3 \u003d 72 - divisibile per 3 e 18.

Quindi LCM(24, 3, 18) = 72.

Ricerca per ricerca sequenziale LCM

Il terzo modo è trovare il minimo comune multiplo trovando successivamente l'LCM.

L'LCM di due numeri dati è uguale al prodotto di questi numeri diviso per il loro massimo comune divisore.

Esempio 1. Trova l'LCM di due numeri dati: 12 e 8. Determina il loro massimo comune divisore: MCD (12, 8) = 4. Moltiplica questi numeri:

Dividiamo il prodotto nel loro GCD:

Quindi LCM(12, 8) = 24.

Per trovare l'LCM di tre o più numeri, viene utilizzata la seguente procedura:

Innanzitutto, viene trovato l'LCM di due qualsiasi dei numeri indicati.
Quindi, l'LCM del minimo comune multiplo trovato e il terzo numero dato.
Quindi, l'LCM del multiplo minimo comune risultante e il quarto numero, e così via.
Quindi la ricerca LCM continua finché ci sono numeri.

Esempio 2. Troviamo la LCM di tre numeri dati: 12, 8 e 9. Abbiamo già trovato la LCM dei numeri 12 e 8 nell'esempio precedente (questo è il numero 24). Resta da trovare il minimo comune multiplo di 24 e il terzo numero dato - 9. Determinare il loro massimo comune divisore: gcd (24, 9) = 3. Moltiplicare LCM per il numero 9:

Dividiamo il prodotto nel loro GCD:

Quindi LCM(12, 8, 9) = 72.

Considera la soluzione del seguente problema. Il passo del ragazzo è di 75 cm e il passo della ragazza è di 60 cm È necessario trovare la distanza più piccola alla quale entrambi faranno un numero intero di passi.

Soluzione. L'intero percorso che percorreranno i ragazzi deve essere divisibile per 60 e 70 senza resto, poiché ciascuno deve compiere un numero intero di passi. In altre parole, la risposta deve essere un multiplo di 75 e 60.

Per prima cosa, scriveremo tutti i multipli, per il numero 75. Otteniamo:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ora scriviamo i numeri che saranno un multiplo di 60. Otteniamo:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ora troviamo i numeri che si trovano in entrambe le righe.

I multipli comuni di numeri saranno numeri, 300, 600, ecc.

Il più piccolo di essi è il numero 300. In questo caso verrà chiamato il minimo comune multiplo dei numeri 75 e 60.

Tornando alla condizione del problema, la distanza minima alla quale i ragazzi fanno un numero intero di passi sarà di 300 cm, il ragazzo andrà in questo modo in 4 passi e la ragazza dovrà fare 5 passi.

Trovare il minimo comune multiplo

Il minimo comune multiplo di due numeri naturali aeb è il più piccolo numero naturale che è un multiplo di entrambi aeb.

Per trovare il minimo comune multiplo di due numeri, non è necessario annotare tutti i multipli di questi numeri in una riga.

È possibile utilizzare il metodo seguente.

Come trovare il minimo comune multiplo

Innanzitutto, devi scomporre questi numeri in fattori primi.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Ora scriviamo tutti i fattori che sono nell'espansione del primo numero (2,2,3,5) e aggiungiamo ad esso tutti i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero (5).

Di conseguenza, otteniamo una serie di numeri primi: 2,2,3,5,5. Il prodotto di questi numeri sarà il fattore meno comune per questi numeri. 2*2*3*5*5 = 300.

Schema generale per trovare il minimo comune multiplo

1. Scomponi i numeri in fattori primi.
2. Annota i fattori primi che fanno parte di uno di essi.
3. Aggiungi a questi fattori tutti quelli che sono nella scomposizione del resto, ma non in quello selezionato.
4. Trova il prodotto di tutti i fattori scritti.

Questo metodo è universale. Può essere usato per trovare il minimo comune multiplo di qualsiasi numero di numeri naturali.

Definizione. Viene chiamato il numero naturale più grande per il quale i numeri aeb sono divisibili senza resto massimo comun divisore (MCD) questi numeri.

Troviamo il massimo comun divisore dei numeri 24 e 35.
I divisori di 24 saranno i numeri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 e i divisori di 35 saranno i numeri 1, 5, 7, 35.
Vediamo che i numeri 24 e 35 hanno un solo divisore comune: il numero 1. Tali numeri sono chiamati coprimi.

Definizione. I numeri naturali sono chiamati coprimi se il loro massimo comun divisore (gcd) è 1.

Massimo comun divisore (GCD) può essere trovato senza scrivere tutti i divisori dei numeri dati.

Fattorizzazione dei numeri 48 e 36, otteniamo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Dai fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri, cancelliamo quelli che non sono inclusi nell'espansione del secondo numero (cioè due due).
Rimangono i fattori 2 * 2 * 3. Il loro prodotto è 12. Questo numero è il massimo comun divisore dei numeri 48 e 36. Si trova anche il massimo comun divisore di tre o più numeri.

Trovare massimo comun divisore

2) dai fattori inclusi nell'espansione di uno di questi numeri, barrare quelli che non sono inclusi nell'espansione di altri numeri;
3) trova il prodotto dei restanti fattori.

Se tutti i numeri dati sono divisibili per uno di essi, allora questo numero lo è massimo comun divisore numeri dati.
Ad esempio, il massimo comune divisore di 15, 45, 75 e 180 è 15, poiché divide tutti gli altri numeri: 45, 75 e 180.

Minimo comune multiplo (LCM)

Definizione. Minimo comune multiplo (LCM) i numeri naturali aeb sono il numero naturale più piccolo che è un multiplo di a e b. Il minimo comune multiplo (LCM) dei numeri 75 e 60 può essere trovato senza scrivere multipli di questi numeri in una riga. Per fare ciò, scomponiamo 75 e 60 in semplici fattori: 75 \u003d 3 * 5 * 5 e 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Scriviamo i fattori inclusi nell'espansione del primo di questi numeri e ad essi aggiungiamo i fattori mancanti 2 e 2 dall'espansione del secondo numero (ovvero combiniamo i fattori).
Otteniamo cinque fattori 2 * 2 * 3 * 5 * 5, il cui prodotto è 300. Questo numero è il multiplo meno comune dei numeri 75 e 60.

Trova anche il minimo comune multiplo di tre o più numeri.

a trova il minimo comune multiplo più numeri naturali, hai bisogno di:
1) scomporli in fattori primi;
2) scrivi i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri;
3) sommare ad essi i fattori mancanti dalle espansioni dei numeri rimanenti;
4) trovare il prodotto dei fattori risultanti.

Nota che se uno di questi numeri è divisibile per tutti gli altri numeri, allora questo numero è il multiplo meno comune di questi numeri.
Ad esempio, il minimo comune multiplo di 12, 15, 20 e 60 sarebbe 60, poiché è divisibile per tutti i numeri dati.

Pitagora (VI sec. aC) ei suoi allievi studiarono la questione della divisibilità dei numeri. Un numero uguale alla somma di tutti i suoi divisori (senza il numero stesso), hanno chiamato il numero perfetto. Ad esempio, i numeri 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sono perfetti. I successivi numeri perfetti sono 496, 8128, 33.550.336 I pitagorici conoscevano solo i primi tre numeri perfetti. Il quarto - 8128 - divenne noto nel I secolo. n. e. Il quinto - 33 550 336 - è stato trovato nel XV secolo. Nel 1983 erano già noti 27 numeri perfetti. Ma fino ad ora, gli scienziati non sanno se esistono numeri perfetti dispari, se esiste il numero perfetto più grande.
L'interesse degli antichi matematici per i numeri primi è dovuto al fatto che qualsiasi numero è primo o può essere rappresentato come un prodotto di numeri primi, cioè i numeri primi sono come mattoni da cui sono costruiti il resto dei numeri naturali.
Probabilmente hai notato che i numeri primi nella serie dei numeri naturali si verificano in modo non uniforme: in alcune parti della serie ce ne sono di più, in altre meno. Ma più ci muoviamo lungo la serie numerica, più rari sono i numeri primi. Sorge la domanda: esiste l'ultimo (più grande) numero primo? L'antico matematico greco Euclide (3° secolo aC), nel suo libro "Principi", che per duemila anni fu il principale libro di testo di matematica, dimostrò che ci sono infiniti numeri primi, cioè dietro ogni numero primo c'è un numero pari numero primo maggiore.
Per trovare i numeri primi, un altro matematico greco dello stesso tempo, Eratostene, escogitò un tale metodo. Ha annotato tutti i numeri da 1 a un numero, quindi ha barrato l'unità, che non è né un numero primo né composto, quindi ha barrato per uno tutti i numeri dopo 2 (numeri multipli di 2, cioè 4, 6, 8, ecc.). Il primo numero rimanente dopo il 2 era 3. Poi, dopo il due, tutti i numeri dopo il 3 venivano cancellati (numeri multipli di 3, cioè 6, 9, 12, ecc.). alla fine, solo i numeri primi sono rimasti non barrati.

Agli studenti vengono assegnati molti compiti di matematica. Tra questi, molto spesso ci sono compiti con la seguente formulazione: ci sono due valori. Come trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri? È necessario essere in grado di svolgere tali compiti, poiché le competenze acquisite vengono utilizzate per lavorare con frazioni con denominatori diversi. Nell'articolo analizzeremo come trovare l'LCM e i concetti di base.

Prima di trovare la risposta alla domanda su come trovare l'LCM, è necessario definire il termine multiplo. Molto spesso, la formulazione di questo concetto è la seguente: un multiplo di un certo valore A è un numero naturale che sarà divisibile per A senza resto, quindi, per 4, 8, 12, 16, 20 e così via, fino a il limite necessario.

In questo caso, il numero di divisori per un valore particolare può essere limitato e ci sono infiniti multipli. C'è anche lo stesso valore per i valori naturali. Questo è un indicatore diviso per loro senza resto. Dopo aver affrontato il concetto del valore più piccolo per determinati indicatori, passiamo a come trovarlo.

Trovare il C.N.O

Il minimo multiplo di due o più esponenti è il più piccolo numero naturale interamente divisibile per tutti i numeri dati.

Ci sono diversi modi per trovare un tale valore. Consideriamo i seguenti metodi:

Se i numeri sono piccoli, scrivi nella riga tutti divisibili per esso. Continua a farlo finché non trovi qualcosa in comune tra loro. Nel record, sono indicati dalla lettera K. Ad esempio, per 4 e 3, il multiplo più piccolo è 12.
Se questi sono grandi o devi trovare un multiplo per 3 o più valori, allora dovresti usare una tecnica diversa qui, che comporta la scomposizione dei numeri in fattori primi. Per prima cosa, disponi il più grande degli indicati, quindi tutto il resto. Ognuno di essi ha il proprio numero di moltiplicatori. Ad esempio, scomponiamo 20 (2*2*5) e 50 (5*5*2). Per i più piccoli, sottolinea i fattori e aggiungi i più grandi. Il risultato sarà 100, che sarà il minimo comune multiplo dei numeri sopra indicati.
Trovando 3 numeri (16, 24 e 36) i principi sono gli stessi degli altri due. Espandiamo ciascuno di essi: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Solo due due dall'espansione del numero 16 non sono stati inclusi nella scomposizione del maggiore, li aggiungiamo e otteniamo 144, che è il risultato più piccolo per i valori numerici precedentemente indicati.

Ora sappiamo qual è la tecnica generale per trovare il valore più piccolo per due, tre o più valori. Tuttavia, ci sono anche metodi privati, aiutando a cercare i NOC, se i precedenti non aiutano.

Come trovare GCD e NOC.

Modi privati di trovare

Come con qualsiasi sezione matematica, ci sono casi speciali di ricerca di LCM che aiutano in situazioni specifiche:

se uno dei numeri è divisibile per gli altri senza resto, allora il multiplo più basso di questi numeri è uguale ad esso (NOC 60 e 15 è uguale a 15);
I numeri di coprime non hanno divisori primi comuni. Il loro valore minimo è uguale al prodotto di questi numeri. Quindi, per i numeri 7 e 8, questo sarà 56;
la stessa regola vale per altri casi, anche speciali, che si possono leggere nella letteratura specializzata. Ciò dovrebbe includere anche casi di scomposizione di numeri compositi, che sono oggetto di articoli separati e persino tesi di dottorato.

I casi speciali sono meno comuni degli esempi standard. Ma grazie a loro, puoi imparare a lavorare con frazioni di vari gradi di complessità. Ciò è particolarmente vero per le frazioni., dove ci sono diversi denominatori.

Qualche esempio

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi, grazie ai quali puoi comprendere il principio di trovare il multiplo più piccolo:

Troviamo LCM (35; 40). Disponiamo prima 35 = 5*7, poi 40 = 5*8. Aggiungiamo 8 al numero più piccolo e otteniamo NOC 280.
CNO (45; 54). Disponiamo ciascuno di essi: 45 = 3*3*5 e 54 = 3*3*6. Aggiungiamo il numero 6 a 45. Otteniamo il NOC pari a 270.
Bene, l'ultimo esempio. Ci sono 5 e 4. Non ci sono multipli semplici per loro, quindi il minimo comune multiplo in questo caso sarà il loro prodotto, pari a 20.

Grazie agli esempi, puoi capire come si trova il NOC, quali sono le sfumature e qual è il significato di tali manipolazioni.

Trovare il NOC è molto più facile di quanto potrebbe sembrare a prima vista. Per questo, vengono utilizzate sia una semplice espansione che la moltiplicazione di valori semplici tra loro.. La capacità di lavorare con questa sezione della matematica aiuta nell'ulteriore studio di argomenti matematici, in particolare frazioni di vari gradi di complessità.

Non dimenticare di risolvere periodicamente esempi con metodi diversi, questo sviluppa l'apparato logico e ti consente di ricordare numerosi termini. Impara i metodi per trovare un tale indicatore e sarai in grado di lavorare bene con il resto delle sezioni matematiche. Buon apprendimento della matematica!