Soluzione di grafici quadrati. Come calcolare il minimo o il massimo mediante operazioni matematiche

Tutti sanno cos'è una parabola. Ma come usarlo correttamente, con competenza nel risolvere vari problemi pratici, lo capiremo di seguito.

Innanzitutto, indichiamo i concetti di base che l'algebra e la geometria danno a questo termine. Considera tutto tipi possibili questo grafico.

Impariamo tutte le caratteristiche principali di questa funzione. Comprendiamo le basi della costruzione di una curva (geometria). Impariamo come trovare i primi, altri valori di base del grafico di questo tipo.

Scopriremo: come viene costruita correttamente la curva richiesta secondo l'equazione, a cosa devi prestare attenzione. Vediamo il principale uso pratico questo valore unico nella vita umana.

Cos'è una parabola e che aspetto ha

Algebra: questo termine si riferisce a un grafico funzione quadratica.

Geometria: questa è una curva del secondo ordine che ha una serie di caratteristiche specifiche:

Equazione della parabola canonica

La figura mostra un sistema di coordinate rettangolare (XOY), un estremo, la direzione della funzione disegnando rami lungo l'asse delle ascisse.

L'equazione canonica è:

y 2 \u003d 2 * p * x,

dove il coefficiente p è il parametro focale della parabola (AF).

In algebra si scrive diversamente:

y = a x 2 + b x + c (modello riconoscibile: y = x 2).

Proprietà e grafico di una funzione quadratica

La funzione ha un asse di simmetria e un centro (estremo). Il dominio di definizione è tutti i valori dell'asse x.

L'intervallo di valori della funzione - (-∞, M) o (M, +∞) dipende dalla direzione dei rami della curva. Il parametro M qui indica il valore della funzione in cima alla riga.

Come determinare dove sono diretti i rami di una parabola

Per trovare la direzione di questo tipo di curva da un'espressione, è necessario specificare il segno davanti al primo parametro espressione algebrica. Se a ˃ 0, allora sono diretti verso l'alto. Altrimenti, giù.

Come trovare il vertice di una parabola usando la formula

Trovare l'estremo è il passo principale per risolvere molti problemi pratici. Certo, puoi aprire speciale calcolatrici online ma è meglio essere in grado di farlo da soli.

Come definirlo? C'è una formula speciale. Quando b non è uguale a 0, dobbiamo cercare le coordinate di questo punto.

Formule per trovare il top:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Esempio.

Esiste una funzione y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Troviamo i vertici di questa funzione.

Per una tale linea:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Otteniamo le coordinate del vertice (-2, -41).

Spostamento della parabola

Il caso classico è quando in una funzione quadratica y = a x 2 + b x + c, il secondo e il terzo parametro sono 0 e = 1 - il vertice è nel punto (0; 0).

Il movimento lungo l'asse delle ascisse o delle ordinate è dovuto a una modifica dei parametri b e c, rispettivamente. Lo spostamento della linea sul piano verrà eseguito esattamente del numero di unità, che è uguale al valore del parametro.

Esempio.

Abbiamo: b = 2, c = 3.

Ciò significa che la vista classica della curva si sposterà di 2 segmenti unitari lungo l'asse delle ascisse e di 3 lungo l'asse delle ordinate.

Come costruire una parabola usando un'equazione di secondo grado

È importante che gli scolari imparino a disegnare correttamente una parabola secondo i parametri indicati.

Analizzando espressioni ed equazioni, puoi vedere quanto segue:

Il punto di intersezione della retta desiderata con il vettore delle ordinate avrà un valore pari a c.
Tutti i punti del grafico (lungo l'asse x) saranno simmetrici rispetto all'estremo principale della funzione.

Inoltre, le intersezioni con OX si possono trovare conoscendo il discriminante (D) di tale funzione:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Per fare ciò, è necessario equiparare l'espressione a zero.

La presenza di radici di parabola dipende dal risultato:

D ˃ 0, quindi x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, quindi x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, allora non ci sono punti di intersezione con il vettore OX.

Otteniamo l'algoritmo per costruire una parabola:

determinare la direzione dei rami;
trova le coordinate del vertice;
trova l'intersezione con l'asse y;
trova l'intersezione con l'asse x.

Esempio 1

Data una funzione y \u003d x 2 - 5 * x + 4. È necessario costruire una parabola. Agiamo secondo l'algoritmo:

a \u003d 1, quindi, i rami sono diretti verso l'alto;
coordinate estreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
si interseca con l'asse y al valore y = 4;
trova il discriminante: D = 25 - 16 = 9;
in cerca di radici

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (dieci).

Esempio 2

Per la funzione y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, devi costruire una parabola. Agiamo secondo l'algoritmo di cui sopra:

a \u003d 3, quindi, i rami sono diretti verso l'alto;
coordinate estreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
con l'asse y si intersecherà al valore y \u003d -1;
trova il discriminante: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Quindi le radici:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Dai punti ottenuti, puoi costruire una parabola.

Direttrice, eccentricità, fuoco di una parabola

Sulla base dell'equazione canonica, il fuoco F ha coordinate (p/2, 0).

La retta AB è una direttrice (una specie di corda di parabola di una certa lunghezza). La sua equazione è x = -p/2.

Eccentricità (costante) = 1.

Conclusione

Abbiamo considerato l'argomento in cui studiano gli studenti Scuola superiore. Ora sai, guardando la funzione quadratica di una parabola, come trovarne il vertice, in quale direzione saranno diretti i rami, se c'è un offset lungo gli assi e, avendo un algoritmo di costruzione, puoi tracciarne il grafico.