Il grafico della funzione radice cubica. Funzione di potenza e radici - definizione, proprietà e formule

Ragazzi, continuiamo a studiare le funzioni di potere. L'argomento della lezione di oggi sarà una funzione: la radice cubica di x. Cos'è una radice cubica? Il numero y è detto radice cubica di x (radice di terzo grado) se l'uguaglianza è soddisfatta Denota:, dove x è il numero radicale, 3 è l'esponente.

Come possiamo vedere, la radice cubica può essere estratta anche da numeri negativi. Si scopre che la nostra radice esiste per tutti i numeri. La terza radice di un numero negativo è uguale a un numero negativo. Quando elevato a una potenza dispari, il segno viene mantenuto, la terza potenza è dispari. Verifichiamo l'uguaglianza: Let. Eleviamo entrambe le espressioni alla terza potenza Quindi o Nella notazione delle radici otteniamo l'identità desiderata.

Ragazzi, tracciamo ora la nostra funzione. 1) Il dominio di definizione è l'insieme dei numeri reali. 2) La funzione è dispari, poiché Next consideriamo la nostra funzione a x 0, dopodiché riflettiamo il grafico relativo all'origine. 3) La funzione aumenta a x 0. Per la nostra funzione, un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore maggiore della funzione, il che significa un aumento. 4) La funzione non è limitata dall'alto. In effetti, da qualunque cosa un largo numero possiamo calcolare la radice del terzo grado, e possiamo salire all'infinito, trovando valori sempre più grandi dell'argomento. 5) Per x 0, il valore più piccolo è 0. Questa proprietà è ovvia.

Costruiamo il nostro grafico della funzione sull'intero dominio di definizione. Ricorda che la nostra funzione è dispari. Proprietà della funzione: 1) D(y)=(-;+) 2) funzione dispari. 3) Aumenti di (-;+) 4) Illimitati. 5) Non esiste un valore minimo o massimo. 6) La funzione è continua su tutta la retta reale. 7) E (y) \u003d (-; +). 8) Convesso verso il basso di (-; 0), convesso verso l'alto di (0; +).

Esempio. Traccia la funzione e leggila. Soluzione. Costruiamo due grafici di funzioni sullo stesso piano di coordinate, tenendo conto delle nostre condizioni. In x-1 costruiamo un grafico della radice cubica, in x-1 un grafico di una funzione lineare. 1) D(y)=(-;+) 2) La funzione non è né pari né dispari. 3) Diminuisce di (-;-1), aumenta di (-1;+) 4) Illimitato dall'alto, limitato dal basso. cinque) Il massimo valore no. Valore più bassoè uguale a meno uno. 6) La funzione è continua su tutta la retta reale. 7) E(y)= (-1;+)

Invece di un'introduzione

L'uso delle moderne tecnologie (CSE) e dei sussidi didattici (tabellone multimediale) nelle lezioni aiuta l'insegnante a pianificare e condurre lezioni efficaci, a creare le condizioni affinché gli studenti possano comprendere, memorizzare e mettere in pratica le abilità.

La lezione si rivela dinamica e interessante se durante la lezione vengono combinate diverse forme di apprendimento.

Nella didattica moderna, ci sono quattro generali forme organizzative apprendimento:

mediato individualmente;
bagno turco;
gruppo;

collettivo (a coppie di composizione intercambiabile). (Dyachenko V.K. Didattica moderna. - M.: Educazione nazionale, 2005).

In una lezione tradizionale, di norma, vengono utilizzate solo le prime tre forme organizzative di istruzione sopra elencate. forma collettiva l'insegnamento (lavoro a coppie di turni) non è praticamente utilizzato dal docente. Tuttavia, questa forma organizzativa di apprendimento consente al team di addestrare ciascuno e tutti a partecipare attivamente alla formazione degli altri. La forma collettiva di educazione è la principale nella tecnologia CSR.

Uno dei metodi più comuni della tecnologia del modo collettivo di apprendimento è il metodo di "formazione reciproca".

Questa tecnica “magica” va bene in ogni materia e in ogni lezione. Lo scopo è la formazione.

La formazione è il successore dell'autocontrollo, aiuta lo studente a stabilire il suo contatto con la materia di studio, facilitando l'individuazione dei giusti passi-azioni. Attraverso la formazione all'acquisizione, consolidamento, raggruppamento, revisione, applicazione delle conoscenze, avviene lo sviluppo delle capacità cognitive umane. (Yanovitskaya E.V. Come insegnare e imparare in classe in modo che tu voglia imparare. Libro di riferimento. - San Pietroburgo: Progetti educativi, M.: Editore A.M. Kushnir, 2009.-p.14;131)

Aiuterà a ripetere rapidamente qualsiasi regola, ricordare le risposte alle domande studiate, consolidare l'abilità necessaria. Il tempo ottimale per lavorare secondo il metodo è di 5-10 minuti. Di norma, il lavoro sulle schede di formazione viene eseguito durante il conteggio orale, cioè all'inizio della lezione, ma a discrezione dell'insegnante, può essere svolto in qualsiasi fase della lezione, a seconda dei suoi obiettivi e struttura. Nella scheda di formazione possono essere presenti da 5 a 10 semplici esempi (domande, compiti). Ogni studente della classe riceve una tessera. Le carte sono diverse per tutti o diverse per tutti nella “squadra consolidata” (bambini seduti sulla stessa fila). Un distacco consolidato (gruppo) è una cooperazione temporanea di studenti formati per svolgere uno specifico compito educativo. (Yalovets T.V. La tecnologia del metodo collettivo di insegnamento nello sviluppo professionale dell'insegnante: manuale educativo e metodologico. - Novokuznetsk: Casa editrice di IPK, 2005. - P. 122)

Progetto di lezione sull'argomento “Funzione y=, sue proprietà e grafico”

Nel progetto della lezione, il cui argomento è: “ Funzione y=, sue proprietà e grafico” viene presentato l'uso della tecnica della formazione reciproca in combinazione con l'uso di sussidi didattici tradizionali e multimediali.

Argomento della lezione: “ Funzione y=, le sue proprietà e il grafico”

Obiettivi:

preparazione per il lavoro di controllo;
verificare la conoscenza di tutte le proprietà di una funzione e la capacità di tracciare grafici di funzioni e leggerne le proprietà.

Compiti: livello di materia:

livello di sovrasoggetto:

imparare ad analizzare le informazioni grafiche;
sviluppare la capacità di condurre un dialogo;
sviluppare la capacità e l'abilità di lavorare con una lavagna interattiva usando l'esempio di lavorare con i grafici.

Struttura della lezione	Volta
1. Inserimento informativo del docente (ITI)	Cinque minuti.
2. Attualizzazione delle conoscenze di base: lavoro a coppie di turni secondo la metodologia *“Formazione reciproca”*	8 min.
3. Conoscenza dell'argomento “Funzione y=, sue proprietà e grafico”: presentazione dell'insegnante	8 min.
4. Consolidamento del materiale appena studiato e già approvato sull'argomento "Funzione": utilizzando una lavagna interattiva	15 minuti.
5. Autocontrollo : sotto forma di test	7 min.
6. Riassumendo, registrando i compiti.	2 minuti.

Diamo un'occhiata più da vicino al contenuto di ogni fase.

1. Include l'input di informazioni sull'insegnante (ITI). Organizzare il tempo; esprimere l'argomento, lo scopo e il piano della lezione; mostrando un campione di lavoro a coppie secondo il metodo della formazione reciproca.

Dimostrazione di un campione di lavoro in coppia da parte degli studenti in questa fase della lezione è consigliabile ripetere l'algoritmo del lavoro della tecnica di cui abbiamo bisogno, perché. nella fase successiva della lezione, viene pianificato il lavoro dell'intero gruppo di classe. Allo stesso tempo, puoi nominare gli errori nel lavoro in base all'algoritmo (se presente), oltre a valutare il lavoro di questi studenti.

2. L'attualizzazione delle conoscenze di riferimento avviene a coppie di turni secondo il metodo della formazione reciproca.

L'algoritmo della metodologia comprende forme organizzative individuali, di coppia (coppie statiche) e collettive (composizione di coppie di turni).

Individuale: tutti coloro che ricevono la carta ne vengono a conoscenza del contenuto (legge le domande e le risposte sul retro della carta).

primo(nel ruolo di “tirocinante”) legge il compito e risponde alle domande della tessera del partner;
secondo(nel ruolo di "allenatore") - controlla la correttezza delle risposte sul retro della carta;
allo stesso modo lavorare su un'altra carta, cambiando ruolo;
segnare in un singolo foglio e cambiare le carte;
passare a una nuova coppia.

Collettivo:

nella nuova coppia lavorano come nella prima; passaggio a una nuova coppia, ecc.

Il numero di transizioni dipende dal tempo assegnato dall'insegnante questa fase lezione, dalla diligenza e velocità di comprensione di ogni studente e dai partner in collaborazione.

Dopo aver lavorato in coppia, gli studenti segnano sui fogli di registrazione, l'insegnante conduce un'analisi quantitativa e qualitativa del lavoro.

L'elenco potrebbe assomigliare a questo:

Ivanov Petya 7 classe "b".

data di	Numero di carta	Numero di errori	Con chi hai lavorato
20.12.09	№7	0	Sidorov K.
	№3	2	Petrova M.
	№2	1	Samoilova Z.

3. La conoscenza dell'argomento "La funzione y =, le sue proprietà e il grafico" viene svolta dall'insegnante sotto forma di presentazione utilizzando strumenti di apprendimento multimediali (Appendice 4). Da un lato, questa è un'opzione di visualizzazione comprensibile agli studenti moderni, dall'altro consente di risparmiare tempo nello spiegare il nuovo materiale.

4. Consolidamento del materiale appena studiato e già passato sul tema “Funzione ” organizzato in due versioni, utilizzando supporti didattici tradizionali (lavagna, libro di testo) e innovativi (lavagna interattiva).

Innanzitutto, vengono offerti diversi compiti dal libro di testo per consolidare il materiale appena studiato. Viene utilizzato il libro di testo utilizzato per l'insegnamento. Il lavoro viene svolto contemporaneamente a tutta la classe. In questo caso, uno studente svolge il compito “a” - su una tavola tradizionale; l'altro è il compito “b” sulla lavagna interattiva, il resto degli studenti annota le soluzioni degli stessi compiti in un quaderno e confronta la loro soluzione con la soluzione presentata alle lavagne. Successivamente, l'insegnante valuta il lavoro degli studenti alla lavagna.

Quindi, per consolidare più rapidamente il materiale studiato sull'argomento "Funzione", viene proposto un lavoro frontale con una lavagna interattiva, che può essere organizzato come segue:

l'attività e la pianificazione vengono visualizzate sulla lavagna interattiva;
uno studente che vuole rispondere va alla lavagna, esegue le costruzioni necessarie e dà voce alla risposta;
una nuova attività e una nuova pianificazione appaiono sulla lavagna;
Un altro studente esce per rispondere.

Pertanto, in un breve periodo di tempo, è possibile risolvere un bel po' di compiti, valutare le risposte degli studenti. Alcuni compiti di interesse (simili ai compiti del prossimo lavoro di controllo), possono essere registrati in un taccuino.

5. Nella fase di autocontrollo, agli studenti viene proposta una prova seguita da un autoesame (Appendice 3).

Letteratura

Dyachenko, VK Didattica moderna [Testo] / V.K. Dyachenko - M.: Istruzione pubblica, 2005.
Yalovets, TV La tecnologia del metodo collettivo di insegnamento nello sviluppo professionale dell'insegnante: Manuale didattico e metodologico [Testo] / T.V. Yalovets. - Novokuznetsk: casa editrice IPC, 2005.
Yanovitskaya, EV Come insegnare e imparare in classe in modo che tu voglia imparare. Libro di consultazione [Testo] / EV Yanovitskaya. - San Pietroburgo: Progetti educativi, M.: Editore A.M. Kushnir, 2009.

Lezione e presentazione sul tema: "Funzioni di potenza. Radice cubica. Proprietà della radice cubica"

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Definizione di una funzione di potenza - radice cubica

Ragazzi, continuiamo a studiare le funzioni di potere. Oggi parleremo della radice cubica della funzione x.
Cos'è una radice cubica?
Un numero y è chiamato radice cubica di x (radice di terzo grado) se $y^3=x$ è vero.
Sono indicati come $\sqrt(x)$, dove x è il numero radice, 3 è l'esponente.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Come possiamo vedere, la radice cubica può essere estratta anche da numeri negativi. Si scopre che la nostra radice esiste per tutti i numeri.
La terza radice di un numero negativo è uguale a un numero negativo. Quando elevato a una potenza dispari, il segno viene mantenuto, la terza potenza è dispari.

Verifichiamo l'uguaglianza: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Sia $\sqrt((-x))=a$ e $\sqrt(x)=b$. Alziamo entrambe le espressioni alla terza potenza. $–x=a^3$ e $x=b^3$. Quindi $a^3=-b^3$ o $a=-b$. Nella notazione delle radici si ottiene l'identità desiderata.

Proprietà delle radici cubiche

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Dimostriamo la seconda proprietà. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Abbiamo trovato che il numero $\sqrt(\frac(a)(b))$ nel cubo è uguale a $\frac(a)(b)$ e quindi è uguale a $\sqrt(\frac(a) (b))$, che doveva essere dimostrato.

Ragazzi, tracciamo il nostro grafico delle funzioni.
1) Il dominio di definizione è l'insieme dei numeri reali.
2) La funzione è dispari perché $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Quindi, considera la nostra funzione per $x≥0$, quindi rifletti il grafico relativo all'origine.
3) La funzione aumenta di $х≥0$. Per la nostra funzione, un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore maggiore della funzione, il che significa aumentare.
4) La funzione non è limitata dall'alto. Infatti da un numero arbitrariamente grande si calcola la radice del terzo grado, e si può salire all'infinito, trovando valori sempre maggiori dell'argomento.
5) Per $x≥0$, il valore più piccolo è 0. Questa proprietà è ovvia.
Costruiamo un grafico della funzione per punti per x≥0.

Costruiamo il nostro grafico della funzione sull'intero dominio di definizione. Ricorda che la nostra funzione è dispari.

Proprietà della funzione:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funzione dispari.
3) Incrementi di (-∞;+∞).
4) Illimitato.
5) Non esiste un valore minimo o massimo.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convesso verso il basso di (-∞;0), convesso verso l'alto di (0;+∞).

Esempi di funzioni di potere risolutivo

Esempi
1. Risolvi l'equazione $\sqrt(x)=x$.
Soluzione. Costruiamo due grafici sullo stesso piano di coordinate $y=\sqrt(x)$ e $y=x$.

Come puoi vedere, i nostri grafici si intersecano in tre punti.
Risposta: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Costruire un grafico della funzione. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Soluzione. Il nostro grafico è ottenuto dal grafico della funzione $y=\sqrt(x)$, spostando parallelamente due unità a destra e tre unità in basso.

3. Costruisci un grafico funzionale e leggilo. $\begin(casi)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(casi)$.
Soluzione. Costruiamo due grafici di funzioni sullo stesso piano di coordinate, tenendo conto delle nostre condizioni. Per $х≥-1$ costruiamo un grafico di una radice cubica, per $х≤-1$ un grafico di una funzione lineare.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) La funzione non è né pari né dispari.
3) Diminuisce di (-∞;-1), aumenta di (-1;+∞).
4) Illimitato dall'alto, limitato dal basso.
5) Non esiste un valore massimo. Il valore più piccolo è meno uno.
6) La funzione è continua su tutta la retta reale.
7) E(y)= (-1;+∞).

Compiti per soluzione indipendente

1. Risolvi l'equazione $\sqrt(x)=2-x$.
2. Tracciare la funzione $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Costruisci un grafico della funzione e leggilo. $\begin(casi)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(casi)$.

Vengono fornite le principali proprietà della funzione di potenza, comprese le formule e le proprietà delle radici. Vengono presentate la derivata, l'integrale, l'espansione della serie di potenze e la rappresentazione mediante numeri complessi della funzione di potenza.

Definizione

Definizione
Funzione di alimentazione con esponente pè la funzione f (x) = xp, il cui valore nel punto x è uguale al valore funzione esponenziale con base x a p.
Inoltre, f (0) = 0 p = 0 per p > 0 .

Per valori naturali dell'esponente, la funzione potenza è il prodotto di n numeri uguali a x:
.
È definito per tutto reale.

Per valori razionali positivi dell'esponente, la funzione di potenza è il prodotto di n radici di grado m dal numero x:
.
Per m dispari, è definito per ogni x reale. Per anche m , la funzione di potenza è definita per non negativo .

Per negativo , la funzione di potenza è definita dalla formula:
.
Pertanto, non è definito al punto.

Per i valori irrazionali dell'esponente p, la funzione esponenziale è determinata dalla formula:
,
dove a è un numero positivo arbitrario, non uguale a uno: .
Per , è definito per .
Per , la funzione di potenza è definita per .

Continuità. Una funzione di potenza è continua nel suo dominio di definizione.

Proprietà e formule della funzione di potenza per x ≥ 0

Qui consideriamo le proprietà della funzione di potenza per non valori negativi argomento x. Come accennato in precedenza, per alcuni valori dell'esponente p, la funzione esponenziale è definita anche per valori negativi di x. In questo caso, le sue proprietà possono essere ottenute dalle proprietà in , usando parità pari o dispari. Questi casi sono discussi e illustrati in dettaglio alla pagina "".

Una funzione di potenza, y = x p , con esponente p ha le seguenti proprietà:
(1.1) definito e continuo sul set
a ,
a ;
(1.2) ha molti significati
a ,
a ;
(1.3) aumenta rigorosamente a ,
diminuisce rigorosamente a ;
(1.4) a ;
a ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

La prova delle proprietà è data alla pagina " Funzione di potenza (prova di continuità e proprietà) »

Radici: definizione, formule, proprietà

Definizione
Radice di x alla potenza di nè il numero la cui elevazione alla potenza n dà x:
.
Qui n = 2, 3, 4, ... - numero naturale, maggiore di uno.

Si può anche dire che la radice del numero x di grado n è la radice (cioè la soluzione) dell'equazione
.
Si noti che la funzione è l'inverso della funzione.

La radice quadrata di xè una radice di grado 2: .

radice cubica dal numero xè una radice di grado 3: .

Anche laurea

Per potenze pari n = 2 m, la radice è definita per x ≥ 0 . Una formula usata di frequente è valida sia per x positivo che per negativo:
.
Per radice quadrata:
.

L'ordine in cui vengono eseguite le operazioni è importante qui, ovvero viene eseguita prima la quadratura, risultando in un numero non negativo, quindi viene estratta la radice (da un numero non negativo è possibile estrarre Radice quadrata). Se cambiassimo l'ordine: , allora per x negativo la radice sarebbe indefinita e con essa l'intera espressione sarebbe indefinita.

grado dispari

Per potenze dispari, la radice è definita per ogni x:
;
.

Proprietà e formule delle radici

La radice di x è una funzione di potenza:
.
Per x ≥ 0 valgono le seguenti formule:
;
;
, ;
.

Queste formule possono essere applicate anche per valori negativi delle variabili. È solo necessario garantire che l'espressione radicale dei poteri pari non sia negativa.

Valori privati

La radice di 0 è 0: .
La radice di 1 è 1: .
La radice quadrata di 0 è 0: .
La radice quadrata di 1 è 1: .

Esempio. Radice dalle radici

Consideriamo l'esempio della radice quadrata delle radici:
.
Converti la radice quadrata interna usando le formule sopra:
.
Ora trasformiamo la radice originale:
.
Così,
.

y = x p per diversi valori dell'esponente p .

Ecco i grafici della funzione per valori non negativi dell'argomento x. I grafici della funzione di potenza definita per valori negativi di x sono riportati nella pagina " Funzione di potenza, sue proprietà e grafici »

Funzione inversa

L'inversa di una funzione di potenza con esponente p è una funzione di potenza con esponente 1/p .

Se poi .

Derivata della funzione di potenza

Derivata dell'ennesimo ordine:
;

Derivazione di formule > > >

Integrale di una funzione di potenza

P≠- 1 ;
.

Espansione della serie di potenze

In - 1 < x < 1 avviene la seguente decomposizione:

Espressioni in termini di numeri complessi

Consideriamo una funzione di una variabile complessa z :
F (z) = zt.
Esprimiamo la variabile complessa z in termini del modulo r e dell'argomento φ (r = |z| ):
z = r e io φ .
Rappresentiamo il numero complesso t come parti reali e immaginarie:
t = p + io q .
Abbiamo:

Inoltre, teniamo conto che l'argomento φ non è definito in modo univoco:
,

Considera il caso in cui q = 0 , cioè l'esponente numero reale, t = p . Quindi
.

Se p è un numero intero, anche kp è un numero intero. Quindi, a causa della periodicità delle funzioni trigonometriche:
.
Cioè funzione esponenziale con esponente intero, per una data z, ha un solo valore ed è quindi a valore singolo.

Se p è irrazionale, allora i prodotti di kp non danno un intero per ogni k. Poiché k attraversa una serie infinita di valori k = 0, 1, 2, 3, ..., allora la funzione z p ha infiniti valori. Ogni volta che l'argomento z viene incrementato 2 pi(un giro), ci spostiamo in un nuovo ramo della funzione.

Se p è razionale, allora può essere rappresentato come:
, dove m,n sono numeri interi senza divisori comuni. Quindi
.
Primi n valori, per k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dato significati diversi kp:
.
Tuttavia, i valori successivi danno valori che differiscono dai precedenti di un numero intero. Ad esempio, per k = k 0+n noi abbiamo:
.
Funzioni trigonometriche, i cui argomenti differiscono per multipli di 2 pi, hanno valori uguali. Pertanto, con un ulteriore aumento di k, otteniamo gli stessi valori di zp di k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Quindi, la funzione esponenziale con indicatore razionale degree è multivalore e ha n valori (rami). Ogni volta che l'argomento z viene incrementato 2 pi(un giro), ci spostiamo in un nuovo ramo della funzione. Dopo n di tali turni, torniamo al primo ramo da cui è iniziato il conto alla rovescia.

In particolare, una radice di grado n ha n valori. Ad esempio, si consideri la radice n-esima di un numero positivo reale z = x. In questo caso φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Quindi, per la radice quadrata, n = 2 ,
.
Per anche k, (- 1 ) k = 1. Per k dispari, (- 1 ) k = - 1.
Cioè, la radice quadrata ha due significati: + e -.

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.