Quella che viene chiamata radice quadrata. Come trovare manualmente la radice quadrata di un numero

La matematica è nata quando una persona ha preso coscienza di se stessa e ha iniziato a posizionarsi come unità autonoma del mondo. La voglia di misurare, confrontare, calcolare ciò che ti circonda è ciò che sta alla base di una delle scienze fondamentali dei nostri giorni. All'inizio si trattava di particelle di matematica elementare, che consentivano di collegare i numeri con le loro espressioni fisiche, in seguito le conclusioni iniziarono a essere presentate solo in teoria (a causa della loro astrattezza), ma dopo un po', come disse uno scienziato, " la matematica ha raggiunto il tetto della complessità quando tutti i numeri." Il concetto di "radice quadrata" è apparso in un momento in cui poteva essere facilmente supportato da dati empirici, andando oltre il piano dei calcoli.

Come tutto cominciò

La prima menzione della radice, che su questo momento indicato come √, è stato registrato negli scritti dei matematici babilonesi, che hanno gettato le basi per l'aritmetica moderna. Certo, assomigliavano un po' alla forma attuale: gli scienziati di quegli anni usavano per la prima volta compresse ingombranti. Ma nel secondo millennio aC. e. hanno escogitato una formula di calcolo approssimativa che mostrava come prendere la radice quadrata. La foto sotto mostra una pietra su cui gli scienziati babilonesi hanno scolpito il processo di output √2, e si è rivelata così corretta che la discrepanza nella risposta è stata trovata solo nel decimo decimale.

Inoltre si usava la radice se era necessario trovare il lato di un triangolo, a patto che si conoscessero gli altri due. Ebbene, quando si risolvono equazioni quadratiche, non c'è scampo dall'estrazione della radice.

Insieme alle opere babilonesi, l'argomento dell'articolo è stato studiato anche nell'opera cinese "Matematica in nove libri", e gli antichi greci sono giunti alla conclusione che qualsiasi numero da cui la radice non viene estratta senza resto dà un risultato irrazionale .

L'origine di questo termine è associata alla rappresentazione araba del numero: gli antichi scienziati credevano che il quadrato di un numero arbitrario crescesse dalla radice, come una pianta. In latino, questa parola suona come radix (si può tracciare uno schema: tutto ciò che ha un carico semantico "radice" è consonante, sia esso ravanello o sciatica).

Gli scienziati delle generazioni successive raccolsero questa idea, designandola come Rx. Ad esempio, nel XV secolo, per indicare che la radice quadrata è tratta da un numero arbitrario a, scrivevano R 2 a. Abituale aspetto moderno"tick" √ apparve solo nel XVII secolo grazie a René Descartes.

I nostri giorni

Matematicamente, la radice quadrata di y è il numero z il cui quadrato è y. In altre parole, z 2 =y equivale a √y=z. Tuttavia, questa definizione è rilevante solo per la radice aritmetica, poiché implica un valore non negativo dell'espressione. In altre parole, √y=z, dove z è maggiore o uguale a 0.

In generale, il che è valido per determinare una radice algebrica, il valore di un'espressione può essere positivo o negativo. Quindi, per il fatto che z 2 =y e (-z) 2 =y, abbiamo: √y=±z o √y=|z|.

A causa del fatto che l'amore per la matematica è aumentato solo con lo sviluppo della scienza, ci sono varie manifestazioni di affetto per essa, non espresse in calcoli asciutti. Ad esempio, oltre a eventi interessanti come il giorno del Pi, si celebrano anche le feste della radice quadrata. Si celebrano nove volte in cento anni, e sono determinati secondo il seguente principio: i numeri che indicano il giorno e il mese in ordine devono essere la radice quadrata dell'anno. Sì, dentro la prossima volta Questa festa sarà celebrata il 4 aprile 2016.

Proprietà della radice quadrata sul campo R

Quasi tutte le espressioni matematiche hanno una base geometrica, questo destino non è passato e √y, che è definito come il lato di un quadrato di area y.

Come trovare la radice di un numero?

Esistono diversi algoritmi di calcolo. Il più semplice, ma allo stesso tempo piuttosto ingombrante, è il solito calcolo aritmetico, che è il seguente:

1) dal numero di cui abbiamo bisogno la radice, i numeri dispari vengono sottratti a turno - fino a quando il resto dell'output è inferiore a quello sottratto o pari zero. Il numero di mosse alla fine diventerà il numero desiderato. Ad esempio, il calcolo radice quadrata su 25:

Il numero dispari successivo è 11, il resto è: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Per questi casi, esiste un'espansione in serie di Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , dove n assume valori da 0 a

+∞ e |y|≤1.

Rappresentazione grafica della funzione z=√y

Si consideri una funzione elementare z=√y sul campo dei numeri reali R, dove y è maggiore o uguale a zero. Il suo grafico si presenta così:

La curva cresce dall'origine e incrocia necessariamente il punto (1; 1).

Proprietà della funzione z=√y sul campo dei numeri reali R

1. Il dominio di definizione della funzione considerata è l'intervallo da zero a più infinito (zero è compreso).

2. L'intervallo di valori della funzione considerata è l'intervallo da zero a più infinito (lo zero è nuovamente incluso).

3. La funzione assume il valore minimo (0) solo nel punto (0; 0). Non esiste un valore massimo.

4. La funzione z=√y non è né pari né dispari.

5. La funzione z=√y non è periodica.

6. C'è un solo punto di intersezione del grafico della funzione z=√y con gli assi delle coordinate: (0; 0).

7. Il punto di intersezione del grafico della funzione z=√y è anche lo zero di questa funzione.

8. La funzione z=√y è in continua crescita.

9. La funzione z=√y assume solo valori positivi, quindi il suo grafico occupa il primo angolo di coordinate.

Opzioni per visualizzare la funzione z=√y

In matematica, per facilitare il calcolo di espressioni complesse, viene talvolta utilizzata la forma di scrittura della radice quadrata: √y=y 1/2. Questa opzione è conveniente, ad esempio, per elevare una funzione a potenza: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Questo metodo è anche una buona rappresentazione per la differenziazione con integrazione, poiché grazie ad esso la radice quadrata è rappresentata da una normale funzione di potenza.

E in programmazione, la sostituzione del simbolo √ è la combinazione di lettere sqrt.

Vale la pena notare che in quest'area la radice quadrata è molto richiesta, in quanto fa parte della maggior parte delle formule geometriche necessarie per i calcoli. L'algoritmo di conteggio stesso è piuttosto complicato e si basa sulla ricorsione (una funzione che chiama se stessa).

La radice quadrata nel campo complesso C

In generale, è stato l'argomento di questo articolo che ha stimolato la scoperta del campo dei numeri complessi C, poiché i matematici erano ossessionati dalla questione di ottenere una radice di grado pari da un numero negativo. Così mi è apparsa l'unità immaginaria, che è caratterizzata da una proprietà molto interessante: il suo quadrato è -1. Grazie a ciò, le equazioni quadratiche e con un discriminante negativo hanno ottenuto una soluzione. In C, per la radice quadrata, sono rilevanti le stesse proprietà di R, l'unica cosa è che le restrizioni sull'espressione radice vengono rimosse.

La superficie di un lotto di terreno quadrato è di 81 dm². Trova la sua parte. Supponiamo che la lunghezza del lato del quadrato sia X decimetri. Quindi l'area della trama è X² decimetri quadrati. Poiché, a seconda della condizione, questa superficie è di 81 dm², quindi X² = 81. La lunghezza del lato di un quadrato è un numero positivo. Un numero positivo il cui quadrato è 81 è il numero 9. Quando si risolve il problema, è stato necessario trovare il numero x, il cui quadrato è 81, ovvero risolvere l'equazione X² = 81. Questa equazione ha due radici: X 1 = 9 e X 2 \u003d - 9, da 9² \u003d 81 e (- 9)² \u003d 81. Entrambi i numeri 9 e - 9 sono chiamati radici quadrate del numero 81.

Nota che una delle radici quadrate X= 9 è un numero positivo. Si chiama radice quadrata aritmetica di 81 ed è indicata con √81, quindi √81 = 9.

Radice quadrata aritmetica di un numero unè un numero non negativo il cui quadrato è uguale a un.

Ad esempio, i numeri 6 e - 6 sono le radici quadrate del numero 36. In questo caso, il numero 6 è la radice quadrata aritmetica di 36, poiché 6 è un numero non negativo e 6² \u003d 36. Il numero - 6 non lo è radice aritmetica.

Radice quadrata aritmetica di un numero un denotato come segue: √ un.

Il segno è chiamato segno aritmetico della radice quadrata; unè chiamata espressione radice. Espressione √ un leggere in questo modo: la radice quadrata aritmetica di un numero un. Ad esempio, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Nei casi in cui è chiaro che si tratta di una radice aritmetica, si dice brevemente: "la radice quadrata di un«.

L'atto di trovare la radice quadrata di un numero si chiama prendere la radice quadrata. Questa azione è l'inverso della quadratura.

Qualsiasi numero può essere quadrato, ma le radici quadrate non possono essere ricavate da nessun numero. Ad esempio, è impossibile estrarre la radice quadrata del numero - 4. Se esistesse una tale radice, indicandola con la lettera X, otterremmo l'uguaglianza sbagliata x² \u003d - 4, poiché c'è un numero non negativo a sinistra e un numero negativo a destra.

Espressione √ un ha senso solo quando un ≥ 0. La definizione di radice quadrata si può scrivere sinteticamente come: √ un ≥ 0, (√un)² = un. Uguaglianza (√ un)² = un valido per un ≥ 0. Quindi, per assicurarsi che la radice quadrata di un numero non negativo unè uguale a b, cioè che √ un =b, è necessario verificare che siano soddisfatte le due condizioni seguenti: b ≥ 0, b² = un.

La radice quadrata di una frazione

Calcoliamo. Nota che √25 = 5, √36 = 6 e controlla se l'uguaglianza vale.

Perché e , allora l'uguaglianza è vera. Così, .

Teorema: Se una un≥ 0 e b> 0, ovvero la radice della frazione uguale alla radice dal numeratore diviso per la radice del denominatore. È necessario dimostrare che: e .

Dal √ un≥0 e √ b> 0, quindi .

Per la proprietà di elevare una frazione a potenza e di determinare la radice quadrata il teorema è dimostrato. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Calcola , secondo il teorema dimostrato .

Secondo esempio: dimostralo , Se un ≤ 0, b < 0. .

Un altro esempio: Calcola .

.

Trasformazione radice quadrata

Estrarre il moltiplicatore da sotto il segno della radice. Sia data un'espressione. Se una un≥ 0 e b≥ 0, quindi per il teorema sulla radice del prodotto, possiamo scrivere:

Tale trasformazione è chiamata scomposizione del segno radice. Considera un esempio;

Calcola a X= 2. Sostituzione diretta X= 2 nell'espressione radicale porta a calcoli complicati. Questi calcoli possono essere semplificati se prima rimuoviamo i fattori da sotto il segno della radice: . Sostituendo ora x = 2, otteniamo:.

Quindi, quando si estrae il fattore da sotto il segno della radice, l'espressione radicale è rappresentata come un prodotto in cui uno o più fattori sono i quadrati di numeri non negativi. Viene quindi applicato il teorema del prodotto radice e viene presa la radice di ciascun fattore. Consideriamo un esempio: Semplificando l'espressione A = √8 + √18 - 4√2 togliendo i fattori da sotto il segno della radice nei primi due termini, otteniamo:. Sottolineiamo che l'uguaglianza valido solo quando un≥ 0 e b≥ 0. se un < 0, то .

L'esponenziazione implica che un dato numero deve essere moltiplicato per se stesso un certo numero di volte. Ad esempio, aumentare il numero 2 alla quinta potenza sarebbe simile a questo:

Il numero che deve essere moltiplicato per se stesso è chiamato base del grado e il numero di moltiplicazioni è il suo esponente. Elevare a potenza corrisponde a due azioni opposte: trovare l'esponente e trovare la base.

estrazione della radice

Trovare la base di un esponente si chiama estrazione della radice. Ciò significa che devi trovare il numero che deve essere elevato alla potenza di n per ottenere quello dato.

Ad esempio, è necessario estrarre la 4a radice del numero 16, cioè per determinare, devi moltiplicare per se stesso 4 volte per ottenere alla fine 16. Questo numero è 2.

Tale operazione aritmetica si scrive usando un segno speciale - il radicale: √, sopra il quale l'esponente è indicato a sinistra.

radice aritmetica

Se l'esponente è numero pari, allora la radice può essere due numeri con lo stesso modulo, ma con - positivo e negativo. Quindi, nell'esempio fornito possono essere i numeri 2 e -2.

L'espressione deve essere univoca, ad es. avere un risultato. Per questo è stato introdotto il concetto di radice aritmetica, che può essere solo un numero positivo. Una radice aritmetica non può essere minore di zero.

Pertanto, nell'esempio discusso sopra, solo il numero 2 sarà la radice aritmetica e la seconda risposta - -2 - è esclusa per definizione.

Radice quadrata

Per alcuni gradi che vengono utilizzati più spesso di altri, esistono nomi speciali originariamente associati alla geometria. Riguarda sull'elevazione al secondo e terzo potere.

Alla seconda potenza, la lunghezza del lato del quadrato quando devi calcolarne l'area. Se devi trovare il volume di un cubo, la lunghezza del suo bordo viene aumentata alla terza potenza. Pertanto, è chiamato quadrato del numero e il terzo è chiamato cubo.

Di conseguenza, la radice del secondo grado è chiamata quadrato e la radice del terzo grado è chiamata cubica. La radice quadrata è l'unica delle radici che non ha un esponente sopra il radicale quando scritta:

Quindi, la radice quadrata aritmetica di un dato numero è un numero positivo che deve essere elevato alla seconda potenza per ottenere il numero dato.

È ora di smontare metodi di estrazione delle radici. Si basano sulle proprietà delle radici, in particolare sull'uguaglianza, che vale per qualsiasi numero b non negativo.

Di seguito considereremo a nostra volta i principali metodi di estrazione delle radici.

Iniziamo con il caso più semplice: estrarre le radici dai numeri naturali usando una tabella di quadrati, una tabella di cubi, ecc.

Se le tabelle dei quadrati, dei cubi, ecc. non è a portata di mano, è logico utilizzare il metodo di estrazione della radice, che prevede la scomposizione del numero radice in fattori semplici.

Separatamente, vale la pena soffermarsi, cosa possibile per radici con esponenti dispari.

Infine, considera un metodo che ti permetta di trovare in sequenza le cifre del valore della radice.

Iniziamo.

Utilizzando un tavolo di quadrati, un tavolo di cubi, ecc.

Nel massimo casi semplici tabelle di quadrati, cubi, ecc. consentono di estrarre radici. Cosa sono queste tabelle?

La tabella dei quadrati di numeri interi da 0 a 99 inclusi (mostrata sotto) è composta da due zone. La prima zona della tabella si trova su uno sfondo grigio, utilizza la selezione determinata stringa e una colonna specifica permette di creare un numero da 0 a 99 . Ad esempio, selezioniamo una riga di 8 decine e una colonna di 3 unità, con questo abbiamo corretto il numero 83. La seconda zona occupa il resto del tavolo. Ciascuna delle sue celle si trova all'intersezione di una determinata riga e di una determinata colonna e contiene il quadrato del numero corrispondente da 0 a 99 . All'intersezione della nostra riga scelta di 8 decine e la colonna 3 di uno, c'è una cella con il numero 6889, che è il quadrato del numero 83.

Le tabelle dei cubi, le tabelle delle quarte potenze dei numeri da 0 a 99 e così via sono simili alla tabella dei quadrati, solo che contengono cubi, quarte potenze, ecc. nella seconda zona. numeri corrispondenti.

Tabelle di quadrati, cubi, quarte potenze, ecc. ti permettono di estrarre radici quadrate, radici cubiche, quarta radice, ecc. rispettivamente dai numeri in queste tabelle. Spieghiamo il principio della loro applicazione nell'estrazione delle radici.

Diciamo che dobbiamo estrarre la radice dell'ennesimo grado dal numero a, mentre il numero a è contenuto nella tabella degli n° gradi. Secondo questa tabella, troviamo il numero b tale che a=b n . Quindi , quindi, il numero b sarà la radice desiderata dell'ennesimo grado.

Ad esempio, mostriamo come viene estratta la radice cubica di 19683 utilizzando la tabella dei cubi. Troviamo il numero 19 683 nella tabella dei cubi, da esso troviamo che questo numero è un cubo del numero 27, quindi, .

È chiaro che le tabelle di n-esimo grado sono molto convenienti quando si estraggono le radici. Tuttavia, spesso non sono a portata di mano e la loro compilazione richiede un certo lasso di tempo. Inoltre, spesso è necessario estrarre radici da numeri che non sono contenuti nelle tabelle corrispondenti. In questi casi bisogna ricorrere ad altri metodi per estrarre le radici.

Scomposizione del numero radice in fattori primi

Basta strada conveniente, che permette di estrarre la radice da un numero naturale (se, ovviamente, la radice viene estratta) è la scomposizione del numero radice in fattori primi. Il suo l'essenza è la seguente: dopo è abbastanza facile rappresentarlo come un grado con l'indicatore desiderato, che consente di ottenere il valore della radice. Spieghiamo questo punto.

Sia estratta la radice dell'ennesimo grado da un numero naturale a, e il suo valore sia uguale a b. In questo caso, l'uguaglianza a=b n è vera. Numero b come qualsiasi numero naturale può essere rappresentato come un prodotto di tutti i suoi fattori primi p 1 , p 2 , ..., p m nella forma p 1 p 2 ... p m , e il numero radice a in questo caso è rappresentato come (p 1 p 2 ... p m) n. Poiché la scomposizione del numero in fattori primi è unica, la scomposizione del numero radice a in fattori primi sarà simile a (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , il che rende possibile calcolare il valore della radice come .

Si noti che se la fattorizzazione del numero radice a non può essere rappresentato nella forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , allora la radice dell'ennesimo grado da tale numero a non viene estratta completamente.

Affrontiamo questo quando risolviamo degli esempi.

Esempio.

Prendi la radice quadrata di 144 .

Soluzione.

Se passiamo alla tabella dei quadrati data nel paragrafo precedente, si vede chiaramente che 144=12 2 , da cui si evince che la radice quadrata di 144 è 12 .

Ma alla luce di questo punto, ci interessa come si estrae la radice scomponendo la radice 144 in fattori primi. Diamo un'occhiata a questa soluzione.

Decomponiamo 144 a fattori primi:

Cioè, 144=2 2 2 2 3 3 . In base alla scomposizione risultante si possono effettuare le seguenti trasformazioni: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Di conseguenza, .

Utilizzando le proprietà del grado e le proprietà delle radici, la soluzione potrebbe essere formulata in modo leggermente diverso: .

Risposta:

Per consolidare il materiale, considera le soluzioni di altri due esempi.

Esempio.

Calcola il valore della radice.

Soluzione.

La fattorizzazione prima del numero radice 243 è 243=3 5 . In questo modo, .

Risposta:

Esempio.

Il valore della radice è un intero?

Soluzione.

Per rispondere a questa domanda, scomponiamo il numero radice in fattori primi e vediamo se può essere rappresentato come un cubo di un intero.

Abbiamo 285 768=2 3 3 6 7 2 . La scomposizione risultante non è rappresentata come un cubo di un intero, poiché il grado del fattore primo 7 non è un multiplo di tre. Pertanto, la radice cubica di 285.768 non viene presa completamente.

Risposta:

No.

Estrazione di radici da numeri frazionari

È ora di capire come viene estratta la radice numero frazionario. Scriviamo la radice frazionaria come p/q . Secondo la proprietà della radice del quoziente, vale la seguente uguaglianza. Da questa uguaglianza segue regola della radice di frazione: La radice di una frazione è uguale al quoziente della divisione della radice del numeratore per la radice del denominatore.

Diamo un'occhiata a un esempio di estrazione di una radice da una frazione.

Esempio.

Qual è la radice quadrata di frazione comune 25/169 .

Soluzione.

Secondo la tabella dei quadrati, troviamo che la radice quadrata del numeratore della frazione originale è 5 e la radice quadrata del denominatore è 13. Quindi . Questo completa l'estrazione della radice da una frazione ordinaria 25/169.

Risposta:

La radice di una frazione decimale o di un numero misto viene estratta dopo aver sostituito i numeri radice con frazioni ordinarie.

Esempio.

Prendi la radice cubica del decimale 474.552.

Soluzione.

Rappresentiamo il decimale originale come una frazione comune: 474.552=474552/1000 . Quindi . Resta da estrarre le radici cubiche che si trovano nel numeratore e nel denominatore della frazione risultante. Perché 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 e 1 000=10 3 , quindi e . Resta solo da completare i calcoli .

Risposta:

.

Estrazione della radice di un numero negativo

Separatamente, vale la pena soffermarsi sull'estrazione delle radici da numeri negativi. Studiando le radici, abbiamo detto che quando l'esponente della radice è un numero dispari, allora un numero negativo può trovarsi sotto il segno della radice. Abbiamo dato a tali notazioni il seguente significato: per un numero negativo −a e un esponente dispari della radice 2 n−1, abbiamo . Questa uguaglianza dà regola per estrarre le radici dispari dai numeri negativi: per estrarre la radice da un numero negativo, è necessario estrarre la radice dal numero positivo opposto e mettere un segno meno davanti al risultato.

Consideriamo una soluzione di esempio.

Esempio.

Trova il valore della radice.

Soluzione.

Trasformiamo l'espressione originale in modo che sotto il segno della radice appaia un numero positivo: . Ora sostituiamo il numero misto con una frazione ordinaria: . Applichiamo la regola dell'estrazione della radice da una frazione ordinaria: . Resta da calcolare le radici nel numeratore e denominatore della frazione risultante: .

Ecco un riassunto della soluzione: .

Risposta:

.

Trovare il valore della radice a bit

Nel caso generale, sotto la radice c'è un numero che, usando le tecniche discusse sopra, non può essere rappresentato come l'ennesima potenza di qualsiasi numero. Ma allo stesso tempo è necessario conoscere il valore di una determinata radice, almeno fino a un certo segno. In questo caso, per estrarre la radice, è possibile utilizzare un algoritmo che consente di ottenere costantemente un numero sufficiente di valori ​​delle cifre del numero desiderato.

Sul primo passo questo algoritmoè necessario scoprire qual è il bit più significativo del valore della radice. Per fare ciò, i numeri 0, 10, 100, ... vengono successivamente elevati alla potenza n fino ad ottenere un numero eccedente la radice. Quindi il numero che abbiamo elevato alla potenza di n nel passaggio precedente indicherà l'ordine alto corrispondente.

Ad esempio, considera questo passaggio dell'algoritmo quando estrai la radice quadrata di cinque. Prendiamo i numeri 0, 10, 100, ... e li alziamo fino a ottenere un numero maggiore di 5 . Abbiamo 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , il che significa che la cifra più significativa sarà la cifra delle unità. Il valore di questo bit, così come quelli inferiori, sarà trovato nei passaggi successivi dell'algoritmo di estrazione della radice.

Tutti i passaggi successivi dell'algoritmo sono finalizzati al successivo affinamento del valore della radice per il fatto che si trovano i valori delle cifre successive del valore desiderato della radice, partendo dal più alto e passando al più basso . Ad esempio, il valore della radice nel primo passaggio è 2 , nel secondo - 2.2 , nel terzo - 2.23 e così via 2.236067977 ... . Descriviamo come si trovano i valori dei bit.

La ricerca delle cifre viene eseguita enumerandole valori possibili 0, 1, 2, ..., 9 . In questo caso si calcolano in parallelo le ennesima potenza dei numeri corrispondenti e si confrontano con il numero radice. Se a un certo punto il valore del grado supera il numero radicale, viene considerato trovato il valore della cifra corrispondente al valore precedente e viene eseguita la transizione al passaggio successivo dell'algoritmo di estrazione della radice, se ciò non accade, allora il valore di questa cifra è 9 .

Spieghiamo tutti questi punti usando lo stesso esempio di estrazione della radice quadrata di cinque.

Innanzitutto, trova il valore della cifra delle unità. Itereremo sui valori 0, 1, 2, …, 9, calcolando rispettivamente 0 2 , 1 2 , …, 9 2 fino a ottenere un valore maggiore del numero radicale 5 . Tutti questi calcoli sono convenientemente presentati sotto forma di tabella:

Quindi il valore della cifra delle unità è 2 (perché 2 2<5 , а 2 3 >5). Passiamo alla ricerca del valore del decimo posto. In questo caso, quadrare i numeri 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, confrontando i valori ottenuti con il numero radice 5:

Dal 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , allora il valore del decimo posto è 2 . Puoi procedere alla ricerca del valore dei centesimi di posto:

Così trovato valore successivo radice di cinque, è uguale a 2,23. E così puoi continuare a trovare valori ulteriormente: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Per consolidare il materiale, analizzeremo l'estrazione della radice con una precisione di centesimi utilizzando l'algoritmo considerato.

Innanzitutto, definiamo la cifra senior. Per fare questo, cubiamo i numeri 0, 10, 100, ecc. finché non otteniamo un numero maggiore di 2.151.186 . Abbiamo 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , quindi la cifra più significativa è la cifra delle decine.

Definiamo il suo valore.

Dal 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151.186 , quindi il valore della cifra delle decine è 1 . Passiamo alle unità.

Pertanto, il valore di un posto è 2 . Passiamo al dieci.

Poiché anche 12.9 3 è inferiore al numero radicale 2 151.186 , il valore del decimo posto è 9 . Resta da eseguire l'ultimo passaggio dell'algoritmo, ci darà il valore della radice con la precisione richiesta.

A questo punto il valore della radice si trova fino ai centesimi: .

In conclusione di questo articolo, vorrei dire che ci sono molti altri modi per estrarre le radici. Ma per la maggior parte delle attività, quelle che abbiamo studiato sopra sono sufficienti.

Bibliografia.

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