Quella che viene chiamata frazione. Frazioni comuni
Il numeratore e denominatore di una frazione. Tipi di frazioni. Continuiamo con le frazioni. Innanzitutto, un piccolo avvertimento: noi, considerando le frazioni e gli esempi corrispondenti con esse, per ora lavoreremo solo con la sua rappresentazione numerica. Ci sono anche frazioni espressioni letterali(con e senza numeri).Tuttavia, tutti i "principi" e le regole si applicano anche a loro, ma in futuro parleremo di tali espressioni separatamente. Consiglio di visitare e studiare (ricordare) passo dopo passo il tema delle frazioni.
La cosa più importante è capire, ricordare e rendersi conto che una FRAZIONE è un NUMERO!!!
Frazione comuneè un numero della forma:
Il numero che si trova "sopra" (in questo caso m) è chiamato numeratore, il numero che si trova sotto (numero n) è chiamato denominatore. Coloro che hanno appena toccato l'argomento spesso si confondono: qual è il nome.
Ecco un trucco per te, come ricordare per sempre: dov'è il numeratore e dov'è il denominatore. Questa tecnica è associata all'associazione verbale-figurativa. Immagina un barattolo di acqua torbida. È noto che quando l'acqua si deposita, l'acqua pulita rimane in cima e la torbidità (sporcizia) si deposita, ricorda:
CHISSS acqua di fusione SOPRA (versatore CHISSS in alto)
fango ZZZNNN th water BOTTOM (ZZZNN Amenator sotto)
Quindi, non appena diventa necessario ricordare dove si trova il numeratore e dove si trova il denominatore, hanno immediatamente presentato visivamente un barattolo di acqua stabilizzata, in cui Acqua pura, e sotto acqua sporca. Ci sono altri trucchi da ricordare, se ti aiutano, allora bene.
Esempi di frazioni ordinarie:
Cosa significa la linea orizzontale tra i numeri? Questo non è altro che un segno di divisione. Si scopre che una frazione può essere considerata un esempio con l'azione di divisione. Questa azione viene semplicemente registrata in questo modulo. Cioè, il numero in alto (numeratore) è diviso per il numero in basso (denominatore):
Inoltre, esiste un'altra forma di registrazione: una frazione può essere scritta in questo modo (attraverso una barra):
1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 e così via...
Possiamo scrivere le frazioni di cui sopra come segue:
Il risultato della divisione, come sapete, è il numero.
Chiarito - FRAZIONE QUESTO NUMERO !!!
Come hai già notato, in una frazione ordinaria, il numeratore può essere inferiore al denominatore, può essere maggiore del denominatore e può essere uguale ad esso. Qui ce ne sono molti punti importanti, che sono comprensibili intuitivamente, senza fronzoli teorici. Per esempio:
1. Le frazioni 1 e 3 possono essere scritte come 0,5 e 0,01. Andiamo un po' avanti: queste sono frazioni decimali, ne parleremo un po' più in basso.
2. Le frazioni 4 e 6 danno come risultato un numero intero 45:9=5, 11:1 = 11.
3. Di conseguenza, la frazione 5 fornisce un'unità 155:155 = 1.
Quali conclusioni si suggeriscono? Il seguente:
1. Il numeratore, diviso per il denominatore, può dare un numero finito. Potrebbe non funzionare, dividere per una colonna 7 per 13 o 17 per 11 - assolutamente no! Puoi dividere all'infinito, ma di questo parleremo anche un po' più in basso.
2. Una frazione può risultare in un numero intero. Pertanto, possiamo rappresentare qualsiasi intero come una frazione, o meglio una serie infinita di frazioni, guarda, tutte queste frazioni sono uguali a 2:
Di più! Possiamo sempre scrivere qualsiasi numero intero come frazione: questo numero stesso è nel numeratore, uno nel denominatore:
3. Possiamo sempre rappresentare un'unità come una frazione con qualsiasi denominatore:
*I punti indicati sono estremamente importanti per lavorare con le frazioni nei calcoli e nelle conversioni.
Tipi di frazioni.
E ora sulla divisione teorica delle frazioni ordinarie. Sono divisi in giusto e sbagliato.
Una frazione il cui numeratore è minore del denominatore si dice frazione propria. Esempi:
Una frazione il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore è chiamata frazione impropria. Esempi:
frazione mista(numero misto).
Una frazione mista è una frazione scritta come un numero intero e una frazione propria ed è intesa come la somma di questo numero e della sua parte frazionaria. Esempi:
Una frazione mista può sempre essere rappresentata come frazione impropria e viceversa. Andiamo oltre!
Decimali.
Li abbiamo già toccati sopra, questi sono gli esempi (1) e (3), ora in modo più dettagliato. Ecco alcuni esempi di decimali: 0,3 0,89 0,001 5,345.
Una frazione il cui denominatore è una potenza di 10, come 10, 100, 1000 e così via, è chiamata decimale. Non è difficile scrivere le prime tre frazioni indicate come frazioni ordinarie:
La quarta è una frazione mista (numero misto):
Una frazione decimale ha la seguente notazione - coniniziava la parte intera, quindi il separatore della parte intera e frazionaria era un punto o una virgola e quindi la parte frazionaria, il numero di cifre della parte frazionaria è strettamente determinato dalla dimensione della parte frazionaria: se sono decimi, la parte frazionaria è scritta come una cifra; se millesimi - tre; decimillesimi - quattro, ecc.
Queste frazioni sono finite e infinite.
Esempi decimali finali: 0,234; 0,87; 34.00005; 5.765.
Gli esempi sono infiniti. Ad esempio, il numero Pi è una frazione decimale infinita, tuttavia - 0,3333333333333…... 0,16666666666…. e altri. Anche il risultato dell'estrazione della radice dai numeri 3, 5, 7, ecc. sarà una frazione infinita
La parte frazionaria può essere ciclica (c'è un ciclo in essa), i due esempi sopra sono esattamente gli stessi, più esempi:
0.123123123123…... ciclo 123
0.781781781718…... ciclo 781
0.0250102501…. ciclo 02501
Possono essere scritti come 0, (123) 0, (781) 0, (02501).
Il numero Pi non è una frazione ciclica, come, ad esempio, la radice di tre.
Di seguito negli esempi, suoneranno parole come "girare" la frazione - questo significa che il numeratore e il denominatore sono scambiati. In effetti, una tale frazione ha un nome: la frazione reciproca. Esempi di frazioni reciproche:
Piccolo riassunto! Le frazioni sono:
Ordinario (corretto e scorretto).
Decimali (finiti e infiniti).
Misto (numeri misti).
È tutto!
Cordiali saluti, Alessandro.
Il numeratore e ciò per cui è diviso è il denominatore.
Per scrivere una frazione, scrivi prima il suo numeratore, quindi traccia una linea orizzontale sotto questo numero e scrivi il denominatore sotto la linea. La linea orizzontale che separa numeratore e denominatore è chiamata barra frazionaria. A volte è raffigurato come un obliquo "/" o "∕". In questo caso, il numeratore viene scritto a sinistra della linea e il denominatore a destra. Quindi, ad esempio, la frazione "due terzi" sarà scritta come 2/3. Per chiarezza, il numeratore è solitamente scritto in cima alla riga e il denominatore in basso, cioè invece di 2/3, puoi trovare: ⅔.
Per calcolare il prodotto delle frazioni, moltiplica prima il numeratore di uno frazioni ad un altro numeratore. Scrivi il risultato al numeratore del nuovo frazioni. Quindi moltiplica anche i denominatori. Specificare il valore finale nel nuovo frazioni. Ad esempio, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Per dividere una frazione per un'altra, moltiplica prima il numeratore della prima per il denominatore della seconda. Fai lo stesso con la seconda frazione (divisore). Oppure, prima di eseguire tutti i passaggi, prima “capovolgi” il divisore, se ti è più comodo: il denominatore dovrebbe essere al posto del numeratore. Quindi moltiplica il denominatore del dividendo per il nuovo denominatore del divisore e moltiplica i numeratori. Ad esempio, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
Fonti:
- Compiti di base per le frazioni
I numeri frazionari ti permettono di esprimerti forma diversa valore esatto le quantità. Puoi fare lo stesso con le frazioni. operazioni matematiche, come con gli interi: sottrazione, addizione, moltiplicazione e divisione. Per imparare a decidere frazioni, è necessario ricordare alcune loro caratteristiche. Dipendono dal tipo frazioni, la presenza di una parte intera, un denominatore comune. Alcuni operazioni aritmetiche dopo l'esecuzione, richiedono la riduzione della parte frazionaria del risultato.
Avrai bisogno
- - calcolatrice
Istruzione
Osserva attentamente i numeri. Se sono presenti decimali e irregolari tra le frazioni, a volte è più conveniente eseguire prima le azioni con decimali, quindi convertirle nella forma sbagliata. Puoi tradurre frazioni in questa forma inizialmente, scrivendo il valore dopo la virgola decimale al numeratore e mettendo 10 al denominatore. Se necessario, riduci la frazione dividendo i numeri sopra e sotto per un divisore. Le frazioni in cui risalta l'intera parte portano alla forma errata moltiplicandola per il denominatore e sommando il numeratore al risultato. Valori dati diventerà il nuovo numeratore frazioni. Estrarre l'intera parte da quella inizialmente errata frazioni, dividi il numeratore per il denominatore. Scrivi l'intero risultato da frazioni. E il resto della divisione diventa il nuovo numeratore, il denominatore frazioni pur non cambiando. Per le frazioni con parte intera, è possibile eseguire azioni separatamente, prima per la parte intera e poi per le parti frazionarie. Ad esempio, la somma di 1 2/3 e 2 ¾ può essere calcolata:
- Conversione delle frazioni nella forma sbagliata:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Somma separata delle parti intere e frazionarie dei termini:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Per con frazioni. Fai lo stesso per i denominatori. Quando ne dividi uno frazioni scrivi una frazione sull'altra e poi moltiplica il suo numeratore per il denominatore del secondo. Allo stesso tempo, il denominatore del primo frazioni moltiplicato di conseguenza per il numeratore del secondo. Allo stesso tempo, una sorta di capovolgimento del secondo frazioni(divisore). La frazione finale sarà dai risultati della moltiplicazione dei numeratori e denominatori di entrambe le frazioni. Facile da imparare frazioni, scritto nella condizione sotto forma di "quattro piani" frazioni. Se ne separa due frazioni, riscrivili con un delimitatore ":" e continua con la divisione normale.
Per ottenere il risultato finale, riduci la frazione risultante dividendo numeratore e denominatore per un numero intero, in questo caso il più grande possibile. In questo caso, devono esserci numeri interi sopra e sotto la riga.
Nota
Non fare aritmetica con frazioni che hanno denominatori diversi. Scegli un numero tale che quando il numeratore e il denominatore di ciascuna frazione vengono moltiplicati per esso, di conseguenza, i denominatori di entrambe le frazioni siano uguali.
Quando si scrivono numeri frazionari, il dividendo viene scritto sopra la riga. Questa quantità viene chiamata numeratore di una frazione. Sotto la linea è scritto il divisore, o denominatore, della frazione. Ad esempio, un chilogrammo e mezzo di riso sotto forma di frazione sarà scritto come segue: 1 ½ kg di riso. Se il denominatore di una frazione è 10, si parla di frazione decimale. In questo caso il numeratore (dividendo) è scritto a destra della parte intera separato da una virgola: 1,5 kg di riso. Per comodità di calcolo, una tale frazione può sempre essere scritta nella forma sbagliata: 1 2/10 kg di patate. Per semplificare, puoi ridurre i valori del numeratore e del denominatore dividendoli per un unico numero intero. A questo esempioè possibile dividere per 2. Il risultato sarà 1 1/5 kg di patate. Assicurati che i numeri con cui farai aritmetica siano nella stessa forma.
Azioni di un'unità ed è rappresentato come \frac(a)(b).
Numeratore di frazione (a)- il numero sopra la riga della frazione e indicante il numero di azioni in cui è stata suddivisa l'unità.
Denominatore di frazione (b)- il numero sotto la riga della frazione e indicante quante azioni è stata divisa l'unità.
Nascondi spettacolo
Proprietà di base di una frazione
Se ad=bc , allora due frazioni \frac(a)(b) e \frac(c)(d) sono considerati uguali. Ad esempio, le frazioni saranno uguali \frac35 e \frac(9)(15), poiché 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) e \frac(24)(14), poiché 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .
Dalla definizione dell'uguaglianza delle frazioni segue che le frazioni saranno uguali \frac(a)(b) e \frac(am)(bm), poiché a(bm)=b(am) è un chiaro esempio dell'uso delle proprietà associative e commutative della moltiplicazione numeri naturali In azione.
Si intende \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- Somiglia a questo proprietà di base di una frazione.
In altre parole, otteniamo una frazione uguale a quella data moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore della frazione originale per lo stesso numero naturale.
Riduzione della frazioneè il processo di sostituzione di una frazione, in cui la nuova frazione è uguale all'originale, ma con numeratore e denominatore più piccoli.
È consuetudine ridurre le frazioni in base alla proprietà principale di una frazione.
Per esempio, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(il numeratore e il denominatore sono divisibili per il numero 3); la frazione risultante può essere nuovamente ridotta dividendo per 5, cioè \frac(15)(20)=\frac 34.
frazione irriducibileè una frazione della forma \frac 34, dove numeratore e denominatore sono numeri relativamente primi. Lo scopo principale della riduzione della frazione è rendere la frazione irriducibile.
Portare le frazioni a un denominatore comune
Prendiamo come esempio due frazioni: \frac(2)(3) e \frac(5)(8) con denominatori diversi 3 e 8 . Per portare queste frazioni a un denominatore comune e moltiplicare prima il numeratore e il denominatore della frazione \frac(2)(3) entro le 8. Otteniamo il seguente risultato: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Quindi moltiplica il numeratore e il denominatore della frazione \frac(5)(8) per 3. Otteniamo come risultato: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Quindi, le frazioni originali sono ridotte a un denominatore comune 24.
Operazioni aritmetiche su frazioni ordinarie
Aggiunta di frazioni ordinarie
a) Quando stessi denominatori Il numeratore della prima frazione viene aggiunto al numeratore della seconda frazione, lasciando lo stesso denominatore. Come si vede nell'esempio:
\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);
b) Quando denominatori diversi le frazioni vengono prima ridotte a un denominatore comune, quindi si sommano i numeratori secondo la regola a):
\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).
Sottrazione di frazioni ordinarie
a) Con gli stessi denominatori sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione, lasciando uguale il denominatore:
\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);
b) Se i denominatori delle frazioni sono diversi, le frazioni vengono prima ridotte a un denominatore comune, quindi ripetere i passaggi di cui al paragrafo a).
Moltiplicazione delle frazioni ordinarie
La moltiplicazione delle frazioni obbedisce alla seguente regola:
\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),
cioè moltiplicare separatamente numeratori e denominatori.
Per esempio:
\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).
Divisione delle frazioni ordinarie
Le frazioni sono suddivise nel modo seguente:
\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),
quella è una frazione \frac(a)(b) moltiplicato per una frazione \frac(d)(c).
Esempio: \frac(7)(2): \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).
Numeri reciproci
Se ab=1 , allora il numero b è numero inverso per il numero a.
Esempio: per il numero 9 è il contrario \frac(1)(9), come 9 \cdot \frac(1)(9)=1, per il numero 5 - \frac(1)(5), come 5 \cdot \frac(1)(5)=1.
Decimali
Decimaleè una frazione propria il cui denominatore è 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .
Per esempio: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.
Allo stesso modo, vengono scritti numeri errati con denominatore 10 ^ n o numeri misti.
Per esempio: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.
Sotto forma di frazione decimale, viene rappresentata qualsiasi frazione ordinaria con denominatore divisore di una certa potenza del numero 10.
Esempio: 5 è un divisore di 100 quindi la frazione \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.
Operazioni aritmetiche sulle frazioni decimali
Aggiunta di decimali
Per aggiungere due frazioni decimali, devi disporle in modo che le stesse cifre e una virgola sotto una virgola appaiano l'una sotto l'altra, quindi aggiungere le frazioni come numeri ordinari.
Sottrazione di decimali
Funziona allo stesso modo dell'addizione.
Moltiplicazione decimale
Quando si moltiplica numeri decimali basta moltiplicare numeri dati, senza prestare attenzione alle virgole (come numeri naturali), e nella risposta ricevuta, la virgola a destra separa tante cifre quante sono dopo la virgola in entrambi i fattori in totale.
Facciamo la moltiplicazione di 2,7 per 1,3. Abbiamo 27 \cdot 13=351 . Separiamo due cifre da destra con una virgola (il primo e il secondo numero hanno una cifra dopo la virgola; 1+1=2). Di conseguenza, otteniamo 2.7 \cdot 1.3=3.51 .
Se il risultato è un numero di cifre inferiore a quello necessario per separare con una virgola, gli zeri mancanti vengono scritti davanti, ad esempio:
Per moltiplicare per 10, 100, 1000, è necessario spostare la virgola decimale di 1, 2, 3 cifre a destra in frazione decimale (se necessario, un certo numero zeri).
Ad esempio: 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 .
Divisione decimale
La divisione di una frazione decimale per un numero naturale viene eseguita allo stesso modo della divisione di un numero naturale per un numero naturale. Una virgola in private viene inserita dopo che la divisione della parte intera è stata completata.
Se la parte intera del dividendo è minore del divisore, la risposta è zero numeri interi, ad esempio:
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Considera di dividere un decimale per un decimale. Diciamo che dobbiamo dividere 2,576 per 1,12. Innanzitutto moltiplichiamo il dividendo e il divisore della frazione per 100, ovvero spostiamo la virgola a destra nel dividendo e nel divisore per tanti caratteri quanti sono nel divisore dopo la virgola (in questo esempio , Due). Quindi devi dividere la frazione 257,6 per il numero naturale 112, cioè il problema si riduce al caso già considerato:
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Succede che la frazione decimale finale non si ottiene sempre dividendo un numero per un altro. Il risultato è un decimale infinito. In questi casi, vai alle frazioni ordinarie.
2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).
Questo articolo riguarda frazioni comuni. Qui faremo conoscenza con il concetto di frazione di un tutto, che ci porterà alla definizione di frazione ordinaria. Successivamente, ci soffermeremo sulla notazione accettata per le frazioni ordinarie e forniremo esempi di frazioni, diciamo sul numeratore e denominatore di una frazione. Successivamente, daremo le definizioni di frazioni corrette e errate, positive e negative e considereremo anche la posizione dei numeri frazionari sul raggio delle coordinate. In conclusione, elenchiamo le azioni principali con le frazioni.
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Azioni del tutto
Per prima cosa introduciamo concetto di condivisione.
Assumiamo di avere un oggetto composto da più parti assolutamente identiche (cioè uguali). Per chiarezza, puoi immaginare, ad esempio, una mela tagliata in più parti uguali, o un'arancia, composta da più fette uguali. Ognuna di queste parti uguali che compongono l'intero oggetto è chiamata parte del tutto o semplicemente condivisioni.
Si noti che le condivisioni sono diverse. Spieghiamo questo. Diciamo che abbiamo due mele. Tagliamo la prima mela in due parti uguali e la seconda in 6 parti uguali. È chiaro che la quota della prima mela sarà diversa dalla quota della seconda mela.
A seconda del numero di condivisioni che compongono l'intero oggetto, queste condivisioni hanno i propri nomi. Analizziamo condividere i nomi. Se l'oggetto è composto da due parti, ognuna di esse è chiamata una seconda parte dell'intero oggetto; se l'oggetto è composto da tre parti, allora ognuna di esse è chiamata una terza parte, e così via.
Un secondo battito ha un nome speciale - metà. Un terzo è chiamato Terzo, e una quadrupla - trimestre.
Per brevità, quanto segue denominazioni di condivisione. Una seconda quota è designata come o 1/2, una terza quota - come o 1/3; una quarta condivisione - mi piace o 1/4 e così via. Si noti che la notazione con una barra orizzontale viene utilizzata più spesso. Per consolidare il materiale, facciamo un altro esempio: la voce denota centosessantasettesimo del tutto.
Il concetto di quota si estende naturalmente dagli oggetti alle grandezze. Ad esempio, una delle misure di lunghezza è il metro. Per misurare lunghezze inferiori a un metro, è possibile utilizzare frazioni di metro. Quindi puoi usare, ad esempio, mezzo metro o un decimo o millesimo di metro. Le quote di altre quantità vengono applicate in modo simile.
Frazioni comuni, definizione ed esempi di frazioni
Per descrivere il numero di condivisioni vengono utilizzati frazioni comuni. Facciamo un esempio che ci permetterà di avvicinarci alla definizione delle frazioni ordinarie.
Lascia che un'arancia sia composta da 12 parti. Ciascuna quota in questo caso rappresenta un dodicesimo di un'arancia intera, ovvero . Indichiamo due battute come , tre battute come e così via, 12 battute come . Ognuna di queste voci è chiamata frazione ordinaria.
Ora diamo un generale definizione di frazioni comuni.
La definizione sonora di frazioni ordinarie ci permette di portare esempi di frazioni comuni: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Ed ecco i record 
non si adattano alla definizione espressa di frazioni ordinarie, cioè non sono frazioni ordinarie.
Numeratore e denominatore
Per comodità, in frazioni ordinarie distinguiamo numeratore e denominatore.
Definizione.
Numeratore la frazione ordinaria (m / n) è un numero naturale m.
Definizione.
Denominatore la frazione ordinaria (m/n) è un numero naturale n.
Quindi, il numeratore si trova sopra la barra della frazione (a sinistra della barra) e il denominatore è sotto la barra della frazione (a destra della barra). Ad esempio, prendiamo una frazione ordinaria 17/29, il numeratore di questa frazione è il numero 17 e il denominatore è il numero 29.
Resta da discutere il significato contenuto nel numeratore e denominatore di una frazione ordinaria. Il denominatore della frazione mostra di quante azioni è composto un elemento, il numeratore, a sua volta, indica il numero di tali azioni. Ad esempio, il denominatore 5 della frazione 12/5 significa che un elemento è composto da cinque parti e il numeratore 12 significa che vengono prese 12 di queste parti.
Numero naturale come frazione con denominatore 1
Il denominatore di una frazione comune può essere uguale a uno. In questo caso, possiamo presumere che l'oggetto sia indivisibile, in altre parole, è qualcosa di intero. Il numeratore di tale frazione indica quanti elementi interi vengono presi. Pertanto, una frazione ordinaria della forma m/1 ha il significato di un numero naturale m. Questo è il modo in cui abbiamo sostanziato l'uguaglianza m/1=m .
Riscriviamo l'ultima uguaglianza in questo modo: m=m/1 . Questa uguaglianza ci permette di rappresentare qualsiasi numero naturale m come frazione ordinaria. Ad esempio, il numero 4 è la frazione 4/1 e il numero 103498 è la frazione 103498/1.
Così, qualsiasi numero naturale m può essere rappresentato come una frazione ordinaria con denominatore 1 come m/1 e qualsiasi frazione ordinaria della forma m/1 può essere sostituita da un numero naturale m.
Barra di frazione come segno di divisione
La rappresentazione dell'oggetto originale sotto forma di n azioni non è altro che una divisione in n parti uguali. Dopo che l'elemento è stato diviso in n condivisioni, possiamo dividerlo equamente tra n persone: ciascuna riceverà una quota.
Se inizialmente abbiamo m oggetti identici, ognuno dei quali è diviso in n parti, allora possiamo dividere equamente questi m oggetti tra n persone, assegnando a ciascuna persona una quota da ciascuno degli m oggetti. In questo caso, ogni persona avrà m azioni 1/n, e m azioni 1/n darà una frazione ordinaria m/n. Pertanto, la frazione comune m/n può essere utilizzata per rappresentare la divisione di m elementi tra n persone.
Quindi abbiamo una connessione esplicita tra le frazioni ordinarie e la divisione (vedi l'idea generale della divisione dei numeri naturali). Questa relazione è espressa come segue: La barra di una frazione può essere intesa come un segno di divisione, cioè m/n=m:n.
Con l'aiuto di una frazione ordinaria, puoi scrivere il risultato della divisione di due numeri naturali per i quali la divisione non viene eseguita per un intero. Ad esempio, il risultato della divisione di 5 mele per 8 persone può essere scritto come 5/8, ovvero ciascuna otterrà cinque ottavi di mela: 5:8=5/8.
Frazioni ordinarie uguali e disuguali, confronto di frazioni
Un'azione abbastanza naturale è confronto di frazioni comuni, perché è chiaro che 1/12 di un'arancia è diverso da 5/12 e 1/6 di una mela è uguale all'altro 1/6 di questa mela.
Come risultato del confronto di due frazioni ordinarie, si ottiene uno dei risultati: le frazioni sono uguali o non uguali. Nel primo caso abbiamo uguali frazioni comuni, e nel secondo frazioni comuni disuguali. Diamo una definizione di frazioni ordinarie uguali e disuguali.
Definizione.
pari, se l'uguaglianza a d=b c è vera.
Definizione.
Due frazioni comuni a/b e c/d non uguale, se l'uguaglianza a d=b c non è soddisfatta.
Ecco alcuni esempi di frazioni uguali. Ad esempio, la frazione comune 1/2 è uguale alla frazione 2/4, poiché 1 4=2 2 (se necessario, vedere le regole e gli esempi di moltiplicazione dei numeri naturali). Per chiarezza, puoi immaginare due mele identiche, la prima è tagliata a metà e la seconda in 4 parti. È ovvio che due quarti di mela sono 1/2 quota. Altri esempi di frazioni comuni uguali sono le frazioni 4/7 e 36/63 e la coppia di frazioni 81/50 e 1620/1000.
E le frazioni ordinarie 4/13 e 5/14 non sono uguali, poiché 4 14=56, e 13 5=65, cioè 4 14≠13 5. Un altro esempio di frazioni comuni disuguali sono le frazioni 17/7 e 6/4.
Se, confrontando due frazioni ordinarie, risulta che non sono uguali, potrebbe essere necessario scoprire quale di queste frazioni ordinarie più piccola un altro, e quale di più. Per scoprirlo, viene utilizzata la regola per confrontare le frazioni ordinarie, la cui essenza è portare le frazioni confrontate a un denominatore comune e quindi confrontare i numeratori. Informazioni dettagliate su questo argomento sono raccolte nell'articolo Confronto delle frazioni: regole, esempi, soluzioni.
Numeri frazionari
Ogni frazione è un record numero frazionario. Cioè, una frazione è solo un "guscio" di un numero frazionario, il suo aspetto, e l'intero carico semantico è contenuto esattamente in un numero frazionario. Tuttavia, per brevità e comodità, il concetto di frazione e numero frazionario sono combinati e chiamati semplicemente frazione. Qui è opportuno parafrasare il noto proverbio: diciamo una frazione - intendiamo numero frazionario, diciamo un numero frazionario - intendiamo una frazione.
Frazioni sulla trave di coordinate
Tutti i numeri frazionari corrispondenti alle frazioni ordinarie hanno il loro luogo unico su , cioè c'è una corrispondenza biunivoca tra frazioni e punti del raggio delle coordinate.
Per arrivare al punto corrispondente alla frazione m / n sul raggio delle coordinate, è necessario posticipare m segmenti dall'origine in direzione positiva, la cui lunghezza è 1 / n frazione del segmento unitario. Tali segmenti possono essere ottenuti dividendo un singolo segmento in n parti uguali, cosa che si può sempre fare utilizzando compasso e righello.
Per esempio, mostriamo il punto M sul raggio delle coordinate, corrispondente alla frazione 14/10. La lunghezza del segmento con le estremità nel punto O e il punto ad esso più vicino, contrassegnato da un trattino, è 1/10 del segmento unitario. Il punto con la coordinata 14/10 viene rimosso dall'origine di 14 di questi segmenti.
Frazioni uguali corrispondono allo stesso numero frazionario, cioè frazioni uguali sono le coordinate dello stesso punto sul raggio di coordinate. Ad esempio, un punto corrisponde alle coordinate 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 sul raggio delle coordinate, poiché tutte le frazioni scritte sono uguali (si trova a una distanza di metà del segmento unitario, posticipato da l'origine in direzione positiva).
Su un raggio di coordinate orizzontale e diretto a destra, il punto la cui coordinata è una frazione grande si trova a destra del punto la cui coordinata è una frazione più piccola. Allo stesso modo, il punto con la coordinata più piccola si trova a sinistra del punto con la coordinata più grande.
Frazioni proprie e improprie, definizioni, esempi
Tra le frazioni ordinarie, ci sono frazioni proprie e improprie. Questa divisione ha fondamentalmente un confronto tra numeratore e denominatore.
Diamo una definizione di frazioni ordinarie proprie e improprie.
Definizione.
Frazione correttaè una frazione ordinaria il cui numeratore è minore del denominatore, cioè se m Definizione.
Frazione impropriaè una frazione ordinaria in cui il numeratore è maggiore o uguale al denominatore, cioè se m≥n, allora la frazione ordinaria è impropria. Ecco alcuni esempi di frazioni proprie: 1/4 , , 32 765/909 003 . Infatti, in ciascuna delle frazioni ordinarie scritte, il numeratore è minore del denominatore (se necessario, vedere l'articolo confronto dei numeri naturali), quindi sono corrette per definizione. E qui ci sono esempi di frazioni improprie: 9/9, 23/4,. Infatti il numeratore della prima delle frazioni ordinarie scritte è uguale al denominatore, e nelle restanti frazioni il numeratore è maggiore del denominatore. Esistono anche definizioni di frazioni proprie e improprie basate sul confronto delle frazioni con una. Definizione. corretta se è minore di uno. Definizione. Viene chiamata la frazione comune sbagliato, se è uguale a uno o maggiore di 1 . Quindi la frazione ordinaria 7/11 è corretta, poiché 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 e 27/27=1. Pensiamo a come le frazioni ordinarie con un numeratore maggiore o uguale al denominatore meritino un tale nome: "sbagliato". Prendiamo come esempio la frazione impropria 9/9. Questa frazione significa che vengono prese nove parti di un oggetto, che consiste di nove parti. Cioè, dalle nove azioni disponibili, possiamo comporre un intero argomento. Cioè, la frazione impropria 9/9 dà essenzialmente un oggetto intero, cioè 9/9=1. In generale, le frazioni improprie con numeratore uguale al denominatore denotano un intero oggetto e tale frazione può essere sostituita da un numero naturale 1. Consideriamo ora le frazioni improprie 7/3 e 12/4. È abbastanza ovvio che da questi sette terzi possiamo fare due oggetti interi (un oggetto intero è 3 parti, quindi per comporre due oggetti interi abbiamo bisogno di 3 + 3 = 6 parti) e ci sarà ancora un terzo parti. Cioè, la frazione impropria 7/3 significa essenzialmente 2 articoli e anche 1/3 della quota di tale articolo. E da dodici quarti possiamo fare tre oggetti interi (tre oggetti con quattro parti ciascuno). Cioè, la frazione 12/4 significa essenzialmente 3 oggetti interi. Gli esempi considerati portano alla seguente conclusione: le frazioni improprie possono essere sostituite sia da numeri naturali, quando il numeratore è diviso interamente per il denominatore (ad esempio, 9/9=1 e 12/4=3), sia dalla somma di un numero naturale e una frazione propria, quando il numeratore non è equamente divisibile per il denominatore (ad esempio, 7/3=2+1/3 ). Forse questo è esattamente ciò che le frazioni improprie meritano un tale nome: "sbagliato". Di particolare interesse è la rappresentazione di una frazione impropria come somma di un numero naturale e di una frazione propria (7/3=2+1/3). Questo processo è chiamato estrazione di una parte intera da una frazione impropria e merita una considerazione separata e più attenta. Vale anche la pena notare che esiste una relazione molto stretta tra frazioni improprie e numeri misti. Ad ogni frazione ordinaria corrisponde un numero frazionario positivo (vedi articolo numeri positivi e negativi). Cioè, le frazioni ordinarie lo sono frazioni positive. Ad esempio, le frazioni ordinarie 1/5, 56/18, 35/144 sono frazioni positive. Quando è necessario sottolineare la positività di una frazione, davanti ad essa viene posizionato un segno più, ad esempio +3/4, +72/34. Se metti un segno meno davanti a una frazione ordinaria, questa voce corrisponderà a un numero frazionario negativo. In questo caso si può parlare frazioni negative. Ecco alcuni esempi di frazioni negative: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Le frazioni positive e negative m/n e −m/n sono numeri opposti. Ad esempio, le frazioni 5/7 e −5/7 sono frazioni opposte. Le frazioni positive, come i numeri positivi in generale, denotano un aumento, un reddito, una variazione di un valore verso l'alto, ecc. Le frazioni negative corrispondono a spese, debiti, una variazione di qualsiasi valore in direzione di diminuzione. Ad esempio, una frazione negativa -3/4 può essere interpretata come un debito il cui valore è 3/4. Sull'orizzontale e verso destra le frazioni negative si trovano a sinistra del punto di riferimento. I punti della linea di coordinate le cui coordinate sono la frazione positiva m/n e la frazione negativa −m/n si trovano alla stessa distanza dall'origine, ma ai lati opposti del punto O . Qui vale la pena citare le frazioni della forma 0/n. Queste frazioni sono uguali al numero zero, ovvero 0/n=0 . Le frazioni positive, le frazioni negative e le frazioni 0/n si combinano per formare numeri razionali. Un'azione con le frazioni ordinarie - frazioni di confronto - l'abbiamo già considerata sopra. Vengono definite altre quattro aritmetiche operazioni con le frazioni- addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di frazioni. Soffermiamoci su ciascuno di essi. L'essenza generale delle azioni con frazioni è simile all'essenza delle azioni corrispondenti con numeri naturali. Tracciamo un'analogia. Moltiplicazione delle frazioni può essere considerata come un'azione in cui si trova una frazione da una frazione. Per chiarire, facciamo un esempio. Supponiamo di avere 1/6 di mela e di averne bisogno per 2/3. La parte di cui abbiamo bisogno è il risultato della moltiplicazione delle frazioni 1/6 e 2/3. Il risultato della moltiplicazione di due frazioni ordinarie è una frazione ordinaria (che in un caso particolare è uguale a un numero naturale). Inoltre, si consiglia di studiare le informazioni dell'articolo sulla moltiplicazione delle frazioni: regole, esempi e soluzioni. Bibliografia. Una parte di un'unità o più sue parti è chiamata frazione semplice o ordinaria. Il numero di parti uguali in cui è divisa l'unità è chiamato denominatore e il numero di parti prese è chiamato numeratore. La frazione si scrive: In questo caso a è il numeratore, b è il denominatore. Se il numeratore è minore del denominatore, la frazione è minore di 1 ed è detta frazione propria. Se il numeratore è maggiore del denominatore, la frazione è maggiore di 1, quindi la frazione è chiamata frazione impropria. Se numeratore e denominatore di una frazione sono uguali, la frazione è uguale. 1. Se il numeratore può essere diviso per il denominatore, allora questa frazione è uguale al quoziente di divisione: Se la divisione viene eseguita con un resto, questa frazione impropria può essere rappresentata da un numero misto, ad esempio: Allora 9 è un quoziente incompleto (la parte intera del numero misto), Per convertire un numero misto in una frazione, moltiplica la parte intera del numero misto per il denominatore e aggiungi il numeratore della parte frazionaria. Il risultato ottenuto sarà il numeratore di una frazione ordinaria e il denominatore rimarrà lo stesso. Espansione della frazione. Il valore di una frazione non cambia se il suo numeratore e denominatore vengono moltiplicati per lo stesso numero diverso da zero. Riduzione della frazione. Il valore di una frazione non cambia se numeratore e denominatore sono divisi per lo stesso numero diverso da zero. Confronto frazioni. Di due frazioni con lo stesso numeratore, quella maggiore è quella con denominatore minore: Di due frazioni con lo stesso denominatore, quella con il numeratore più grande è maggiore: Per confrontare frazioni che hanno numeratori e denominatori diversi, è necessario espanderle, ovvero portarle a un denominatore comune. Consideriamo, ad esempio, le seguenti frazioni: Addizione e sottrazione di frazioni. Se i denominatori delle frazioni sono gli stessi, per sommare le frazioni è necessario sommare i loro numeratori e per sottrarre le frazioni è necessario sottrarre i loro numeratori. La somma o differenza risultante sarà il numeratore del risultato, mentre il denominatore rimarrà lo stesso. Se i denominatori delle frazioni sono diversi, devi prima ridurre le frazioni a un denominatore comune. Quando si aggiungono numeri misti, le loro parti intere e frazionarie vengono aggiunte separatamente. Quando si sottraggono numeri misti, è necessario prima convertirli nella forma di frazioni improprie, quindi sottrarre l'uno dall'altro e quindi riportare il risultato, se necessario, nella forma di un numero misto. Moltiplicazione delle frazioni. Per moltiplicare le frazioni, devi moltiplicare separatamente i loro numeratori e denominatori e dividere il primo prodotto per il secondo. Divisione delle frazioni. Per dividere un numero per una frazione, devi moltiplicare quel numero per il suo reciproco. Decimaleè il risultato della divisione uno per dieci, cento, mille, ecc. parti. Innanzitutto, viene scritta la parte intera del numero, quindi il punto decimale viene posizionato a destra. La prima cifra dopo la virgola indica il numero di decimi, la seconda - il numero di centesimi, la terza - il numero di millesimi, ecc. I numeri dopo la virgola sono chiamati cifre decimali. Per esempio: Proprietà: Un decimale periodico contiene un gruppo di cifre ripetuto all'infinito chiamato punto: 0,321321321321…=0,(321) L'aggiunta e la sottrazione di decimali viene eseguita allo stesso modo dell'aggiunta e sottrazione di numeri interi, è sufficiente scrivere le cifre decimali corrispondenti una sotto l'altra. La moltiplicazione delle frazioni decimali viene eseguita in più fasi: Per esempio: La somma dei numeri delle cifre decimali nei fattori è: 2+1=3. Ora devi contare 3 cifre dalla fine del numero risultante e inserire un punto decimale: 0,675. Divisione dei decimali. Dividere un decimale per un intero: se il dividendo è minore del divisore, allora devi scrivere zero nella parte intera del quoziente e inserire un punto decimale dopo di esso. Quindi, senza tenere conto del punto decimale del dividendo, aggiungi la cifra successiva della parte frazionaria alla sua parte intera e confronta nuovamente la parte intera risultante del dividendo con il divisore. Se il nuovo numero è ancora minore del divisore, l'operazione deve essere ripetuta. Questo processo viene ripetuto fino a quando il dividendo risultante è maggiore del divisore. Dopodiché, la divisione viene eseguita come per gli interi. Se il dividendo è maggiore o uguale al divisore, prima dividiamo la sua parte intera, scriviamo il risultato della divisione nel quoziente e mettiamo un punto decimale. Dopodiché, la divisione continua, come nel caso degli interi. Dividendo una frazione decimale in un'altra: in primo luogo, i punti decimali nel dividendo e nel divisore vengono trasferiti per il numero di cifre decimali nel divisore, ovvero rendiamo il divisore un intero e vengono eseguite le azioni sopra descritte. Per convertire una frazione decimale in una ordinaria, è necessario prendere come numeratore il numero dopo la virgola decimale e prendere come denominatore la k-esima potenza di dieci (k è il numero di cifre decimali). La parte intera diversa da zero è conservata nella frazione comune; la parte intera zero viene omessa. Per convertire una frazione ordinaria in decimale, è necessario dividere il numeratore per il denominatore secondo le regole di divisione. Una percentuale è un centesimo di unità, ad esempio: 5% significa 0,05. Un rapporto è il quoziente della divisione di un numero per un altro. La proporzione è l'uguaglianza di due rapporti. Per esempio: La proprietà principale della proporzione: il prodotto dei membri estremi della proporzione è uguale al prodotto dei suoi membri medi, cioè 5x30 = 6x25. Due grandezze mutuamente dipendenti si dicono proporzionali se il rapporto tra le loro grandezze rimane invariato (coefficiente di proporzionalità). Vengono così rivelate le seguenti operazioni aritmetiche. L'insieme dei numeri razionali include numeri positivi e negativi (interi e frazionari) e zero. Una definizione più precisa di numeri razionali, adottata in matematica, è la seguente: un numero si dice razionale se può essere rappresentato come una frazione ordinaria irriducibile della forma:, dove aeb sono interi. Per un numero negativo, il valore assoluto (modulo) è un numero positivo ottenuto cambiando il suo segno da "-" a "+"; per un numero positivo e zero, il numero stesso. Per designare il modulo di un numero vengono utilizzate due rette, all'interno delle quali viene scritto questo numero, ad esempio: |–5|=5. Sia dato il modulo di un numero Un monomio è il prodotto di due o più fattori, ciascuno dei quali è un numero, o una lettera, o la potenza di una lettera: 3 x a x b. Il coefficiente è spesso chiamato solo un fattore numerico. I monomi si dicono simili se sono uguali o differiscono solo per coefficienti. Il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le sue lettere. Se ce ne sono di simili nella somma dei monomi, la somma può essere ridotta a una forma più semplice: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Questa operazione è chiamata coercizione di termini simili o parentesi. Un polinomio è una somma algebrica di monomi. Il grado di un polinomio è il più grande dei gradi dei monomi inclusi nel polinomio dato. Esistono le seguenti formule per la moltiplicazione abbreviata: Metodi di factoring: Una frazione algebrica è un'espressione della forma , dove A e B possono essere un numero, un monomio, un polinomio. Se due espressioni (numerica e alfabetica) sono collegate dal segno "=", allora si dice che formino uguaglianza. Qualsiasi vera uguaglianza, valida per tutti i valori numerici ammissibili delle lettere in essa incluse, è chiamata identità. Un'equazione è un'uguaglianza letterale valida per determinati valori delle lettere in essa contenute. Queste lettere sono chiamate incognite (variabili) e i loro valori, in corrispondenza dei quali l'equazione data diventa un'identità, sono chiamati radici dell'equazione. Risolvere un'equazione significa trovare tutte le sue radici. Due o più equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse radici. Principali tipi di equazioni algebriche: L'equazione lineare ha ax + b = 0: Equazione xn = a, n N: Trasformazioni identiche di base: sostituzione di un'espressione con un'altra, identicamente uguale ad essa; trasferimento dei termini dell'equazione da una parte all'altra con segni opposti; moltiplicazione o divisione di entrambe le parti dell'equazione per la stessa espressione (numero) diversa da zero. Un'equazione lineare con un'incognita è un'equazione della forma: ax+b=0, dove a e b sono numeri noti e x è un valore sconosciuto. I sistemi di due equazioni lineari con due incognite hanno la forma: Dove a, b, c, d, e, f sono dati numeri; x, y sono sconosciuti. Numeri a, b, c, d - coefficienti per incognite; e, f - membri liberi. La soluzione a questo sistema di equazioni può essere trovata con due metodi principali: il metodo di sostituzione: da un'equazione esprimiamo una delle incognite attraverso i coefficienti e l'altra incognita, quindi la sostituiamo nella seconda equazione, risolvendo l'ultima equazione , troviamo prima un'incognita, quindi sostituiamo il valore trovato nella prima equazione e troviamo la seconda incognita; metodo per sommare o sottrarre un'equazione da un'altra. Operazioni con radici: La radice aritmetica dell'ennesimo grado di un numero non negativo a è un numero non negativo la cui n-esima potenza è uguale ad a. La radice algebrica dell'ennesimo grado da un dato numero è l'insieme di tutte le radici da questo numero. I numeri irrazionali, a differenza di quelli razionali, non possono essere rappresentati come una frazione irriducibile ordinaria della forma m/n, dove m e n sono interi. Questi sono numeri di un nuovo tipo che possono essere calcolati con qualsiasi precisione, ma non possono essere sostituiti da un numero razionale. Possono apparire come risultato di misurazioni geometriche, ad esempio: il rapporto tra la lunghezza della diagonale di un quadrato e la lunghezza del suo lato è uguale. Un'equazione quadratica è un'equazione algebrica di secondo grado ax2+bx+c=0, dove a, b, c sono dati coefficienti numerici o alfabetici, x è un'incognita. Se dividiamo tutti i termini di questa equazione per a, come risultato otteniamo x2+px+q=0 - l'equazione ridotta p=b/a, q=c/a. Le sue radici si trovano dalla formula: Se b2-4ac>0 allora ci sono due radici distinte, b2-4ac=0 allora ce ne sono due radice uguale; b2-4ac Equazioni contenenti moduli Principali tipi di equazioni contenenti moduli: Frazioni positive e negative
Azioni con frazioni
1 - resto (numeratore della parte frazionaria),
5 è il denominatore.Azioni con frazioni
Per esempio:
Per esempio: 
Proprietà decimali
Operazioni con decimali
Per esempio:
Per esempio: 
Per esempio:
Proprietà di valore assoluto
, per cui valgono le proprietà: 
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, dove f(x), g(x), fk(x), gk(x) sono funzioni date.
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