Qual è la derivata di una frazione. Come trovare la derivata di una frazione

È assolutamente impossibile risolvere problemi fisici o esempi in matematica senza la conoscenza della derivata e dei metodi per calcolarla. Il derivato è uno dei concetti più importanti analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare l'articolo di oggi a questo argomento fondamentale. Cos'è un derivato, qual è il suo fisico e significato geometrico come calcolare la derivata di una funzione? Tutte queste domande possono essere combinate in una: come capire la derivata?

Significato geometrico e fisico della derivata

Lascia che ci sia una funzione f(x) , dato in un certo intervallo (a,b) . I punti x e x0 appartengono a questo intervallo. Quando x cambia, la funzione stessa cambia. Cambio di argomento - differenza dei suoi valori x-x0 . Questa differenza è scritta come delta x ed è chiamato incremento argomento. La modifica o l'incremento di una funzione è la differenza tra i valori della funzione in due punti. Definizione derivata:

La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione in un dato punto e l'incremento dell'argomento quando quest'ultimo tende a zero.

Altrimenti si può scrivere così:

Che senso ha trovare un tale limite? Ma quale:

la derivata di una funzione in un punto è uguale alla tangente dell'angolo tra l'asse OX e la tangente al grafico della funzione in un dato punto.

significato fisico derivato: la derivata temporale del percorso è uguale alla velocità del moto rettilineo.

Infatti, fin dai tempi della scuola, tutti sanno che la velocità è un percorso privato. x=f(t) E tempo t . velocità media per un certo periodo di tempo:

Per scoprire la velocità di movimento alla volta t0 devi calcolare il limite:

Regola uno: eliminare la costante

La costante può essere estratta dal segno della derivata. Inoltre, deve essere fatto. Quando risolvi esempi in matematica, prendi come regola: se puoi semplificare l'espressione, assicurati di semplificare .

Esempio. Calcoliamo la derivata:

Regola due: derivata della somma delle funzioni

La derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. Lo stesso vale per la derivata della differenza di funzioni.

Non daremo una dimostrazione di questo teorema, ma considereremo un esempio pratico.

Trova la derivata di una funzione:

Regola tre: la derivata del prodotto di funzioni

La derivata del prodotto di due funzioni differenziabili si calcola con la formula:

Esempio: trova la derivata di una funzione:

Decisione:

Qui è importante parlare del calcolo delle derivate di funzioni complesse. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio per la derivata dell'argomento intermedio rispetto alla variabile indipendente.

Nell'esempio sopra, incontriamo l'espressione:

In questo caso, l'argomento intermedio è 8x alla quinta potenza. Per calcolare la derivata di tale espressione, consideriamo prima la derivata della funzione esterna rispetto all'argomento intermedio, quindi moltiplichiamo per la derivata dell'argomento intermedio stesso rispetto alla variabile indipendente.

Regola quattro: La derivata del quoziente di due funzioni

Formula per determinare la derivata di un quoziente di due funzioni:

Abbiamo provato a parlare da zero di derivati ​​per manichini. Questo argomento non è così semplice come sembra, quindi attenzione: negli esempi ci sono spesso delle insidie, quindi fai attenzione quando calcoli le derivate.

Per qualsiasi domanda su questo e altri argomenti, puoi contattare il servizio studenti. In breve tempo, ti aiuteremo a risolvere i controlli più difficili e ad affrontare i compiti, anche se non ti sei mai occupato del calcolo delle derivate prima.

Definizione. Sia definita la funzione \(y = f(x) \) in un intervallo contenente il punto \(x_0 \) all'interno. Incrementiamo \(\Delta x \) all'argomento in modo da non lasciare questo intervallo. Trova l'incremento corrispondente della funzione \(\Delta y \) (passando dal punto \(x_0 \) al punto \(x_0 + \Delta x \)) e componi la relazione \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Se c'è un limite di questa relazione in \(\Delta x \rightarrow 0 \), allora viene chiamato il limite specificato funzione derivata\(y=f(x) \) nel punto \(x_0 \) e denota \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Il simbolo y è spesso usato per denotare la derivata. Nota che y" = f(x) lo è nuova caratteristica, ma naturalmente associata alla funzione y = f(x) definita in tutti i punti x in cui esiste il limite di cui sopra. Questa funzione si chiama così: derivata della funzione y \u003d f (x).

Il significato geometrico della derivataè costituito da quanto segue. Se una tangente che non è parallela all'asse y può essere disegnata sul grafico della funzione y \u003d f (x) in un punto con l'ascissa x \u003d a, allora f (a) esprime la pendenza della tangente:
\(k = f"(a)\)

Poiché \(k = tg(a) \), l'uguaglianza \(f"(a) = tg(a) \) è vera.

E ora interpretiamo la definizione della derivata in termini di uguaglianze approssimate. Lascia che la funzione \(y = f(x) \) abbia una derivata in un punto particolare \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ciò significa che vicino al punto x, l'uguaglianza approssimativa \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approssimativamente f"(x) \), ovvero \(\Delta y \approssimativamente f"(x) \cdot \Delta\). Il significato significativo dell'uguaglianza approssimativa ottenuta è il seguente: l'incremento della funzione è “quasi proporzionale” all'incremento dell'argomento, e il coefficiente di proporzionalità è il valore della derivata in dato punto X. Ad esempio, per la funzione \(y = x^2 \) è valida l'uguaglianza approssimativa \(\Delta y \approssimativamente 2x \cdot \Delta x \). Se analizziamo attentamente la definizione della derivata, scopriremo che contiene un algoritmo per trovarla.

Formuliamolo.

Come trovare la derivata della funzione y \u003d f (x) ?

1. Correggi il valore \(x \), trova \(f(x) \)
2. Incrementa \(x \) argomento \(\Delta x \), sposta in un nuovo punto \(x+ \Delta x \), trova \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trova la funzione incremento: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Componi la relazione \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcola $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Questo limite è la derivata della funzione in x.

Se la funzione y = f(x) ha una derivata nel punto x, allora si dice derivabile nel punto x. Viene chiamata la procedura per trovare la derivata della funzione y \u003d f (x). differenziazione funzioni y = f(x).

Discutiamo la seguente domanda: come sono correlate la continuità e la differenziabilità di una funzione in un punto?

Sia la funzione y = f(x) derivabile nel punto x. Quindi si può tracciare una tangente al grafico della funzione nel punto M (x; f (x)) e, ricordiamo, la pendenza della tangente è uguale a f "(x). Un tale grafico non può "rompersi" in il punto M, cioè la funzione deve essere continua in x.

Era un ragionamento "sulle dita". Presentiamo un argomento più rigoroso. Se la funzione y = f(x) è derivabile nel punto x, allora l'uguaglianza approssimativa \(\Delta y \approssimativamente f"(x) \cdot \Delta x \) vale zero, quindi \(\Delta y \ ) tenderà anche a zero, e questa è la condizione per la continuità della funzione in un punto.

Così, se una funzione è derivabile in un punto x, allora è anche continua in quel punto.

Non è vero il contrario. Ad esempio: funzione y = |x| è continua ovunque, in particolare nel punto x = 0, ma la tangente al grafico della funzione nel “punto di giunzione” (0; 0) non esiste. Se a un certo punto è impossibile tracciare una tangente al grafico della funzione, allora non c'è alcuna derivata a questo punto.

Un altro esempio. La funzione \(y=\sqrt(x) \) è continua sull'intera retta dei numeri, incluso nel punto x = 0. E la tangente al grafico della funzione esiste in qualsiasi punto, incluso nel punto x = 0 Ma a questo punto la tangente coincide con l'asse y, cioè è perpendicolare all'asse delle ascisse, la sua equazione ha la forma x \u003d 0. Non c'è pendenza per una tale retta, il che significa che \ ( f "(0) \) non esiste neanche

Quindi, abbiamo fatto conoscenza con una nuova proprietà di una funzione: la differenziabilità. Come si può sapere se una funzione è differenziabile dal grafico di una funzione?

La risposta è effettivamente data sopra. Se a un certo punto è possibile tracciare una tangente al grafico di una funzione che non è perpendicolare all'asse x, a questo punto la funzione è derivabile. Se a un certo punto la tangente al grafico della funzione non esiste o è perpendicolare all'asse x, allora a questo punto la funzione non è derivabile.

Regole di differenziazione

Viene chiamata l'operazione di ricerca della derivata differenziazione. Quando si esegue questa operazione, è spesso necessario lavorare con quozienti, somme, prodotti di funzioni, nonché con "funzioni di funzioni", ovvero funzioni complesse. Sulla base della definizione della derivata, possiamo derivare regole di differenziazione che facilitano questo lavoro. Se C è un numero costante e f=f(x), g=g(x) sono alcune funzioni differenziabili, allora sono vere le seguenti regole di differenziazione:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivata funzione composta:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cpunto g"_x $$

Tabella delle derivate di alcune funzioni

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\testo(arco) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\testo(arco) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Calcolo derivatiè una delle operazioni più importanti nel calcolo differenziale. Di seguito è riportata una tabella per la ricerca di derivati funzioni semplici. Per regole di differenziazione più complesse, vedere altre lezioni:

• Tabella delle derivate di funzioni esponenziali e logaritmiche

Utilizzare le formule fornite come valori di riferimento. Aiuteranno a risolvere equazioni differenziali e problemi. Nell'immagine, nella tabella delle derivate di funzioni semplici, c'è un "cheat sheet" dei casi principali per trovare la derivata in una forma comprensibile per l'uso, accanto ad essa ci sono le spiegazioni per ciascun caso.

Derivati ​​di funzioni semplici

1. Derivata di un numero zero
с´ = 0
Esempio:
5' = 0

Spiegazione:
La derivata mostra la velocità con cui il valore della funzione cambia quando cambia l'argomento. Poiché il numero non cambia in alcun modo in nessuna condizione, la velocità della sua variazione è sempre zero.

2. Derivata di una variabile uguale a uno
x' = 1

Spiegazione:
Ad ogni incremento dell'argomento (x) di uno, il valore della funzione (risultato del calcolo) aumenta della stessa quantità. Pertanto, il tasso di variazione del valore della funzione y = x è esattamente uguale al tasso di variazione del valore dell'argomento.

3. La derivata di una variabile e di un fattore è uguale a questo fattore
сx' = с
Esempio:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Spiegazione:
In questo caso, ogni volta che la funzione argomento ( X) il suo valore (y) aumenta insieme a una volta. Pertanto, la velocità di variazione del valore della funzione rispetto alla velocità di variazione dell'argomento è esattamente uguale al valore insieme a.

Donde ne consegue
(cx + b)" = c
cioè il differenziale della funzione lineare y=kx+b è uguale a coefficiente angolare pendenza della retta (k).

4. Derivata modulo di una variabileè uguale al quoziente di questa variabile al suo modulo
|x|"= x / |x| a condizione che x ≠ 0
Spiegazione:
Poiché la derivata della variabile (vedi formula 2) è uguale a uno, la derivata del modulo differisce solo per il fatto che il valore della velocità di variazione della funzione cambia in senso opposto quando si attraversa il punto di origine (prova a disegnare un grafico della funzione y = |x| e guarda tu stesso. Questo è esattamente il valore e restituisce l'espressione x / |x| Quando x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - uno. Cioè, a valori negativi variabile x ad ogni aumento della modifica dell'argomento, il valore della funzione diminuisce esattamente dello stesso valore, e per quelli positivi, al contrario, aumenta, ma esattamente dello stesso valore.

5. Derivata di potenza di una variabileè uguale al prodotto del numero di questa potenza e della variabile nella potenza, ridotto di uno
(x c)"= cx c-1, a condizione che x c ​​e cx c-1 siano definiti e c ≠ 0
Esempio:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Per memorizzare la formula:
Prendi l'esponente della variabile "down" come moltiplicatore, quindi diminuisci l'esponente stesso di uno. Ad esempio, per x 2 - due era davanti a x, e quindi la potenza ridotta (2-1=1) ci ha dato 2x. La stessa cosa è successa per x 3: abbassiamo la tripla, la riduciamo di uno e invece di un cubo abbiamo un quadrato, cioè 3x 2 . Un po' "non scientifico", ma molto facile da ricordare.

6.Derivata di frazione 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Esempio:
Poiché una frazione può essere rappresentata come elevante a una potenza negativa
(1/x)" = (x -1)" , quindi puoi applicare la formula della regola 5 della tabella delle derivate
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivata di frazione con una variabile di grado arbitrario al denominatore
(1/x c)" = - c / x c+1
Esempio:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. derivata della radice(derivata della variabile under radice quadrata)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Esempio:
(√x)" = (x 1/2)" in modo da poter applicare la formula della regola 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivata di una variabile sotto una radice di grado arbitrario
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)