Sistem persamaan linier disebut joint jika mti. Bagaimana menemukan solusi umum dan khusus untuk sistem persamaan linear

Kami terus berurusan dengan sistem persamaan linier. Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan sistem yang memiliki solusi unik. Sistem seperti itu dapat diselesaikan dengan cara apa pun: metode substitusi("sekolah") dengan rumus Cramer, metode matriks, Metode Gauss. Namun, dua kasus lagi tersebar luas dalam praktiknya ketika:

1) sistem tidak konsisten (tidak memiliki solusi);

2) sistem memiliki banyak solusi tak terhingga.

Untuk sistem ini, metode solusi yang paling universal digunakan - Metode Gauss. Sebenarnya, cara "sekolah" juga akan mengarah pada jawaban, tetapi dalam matematika yang lebih tinggi Merupakan kebiasaan untuk menggunakan metode Gaussian untuk eliminasi berturut-turut dari yang tidak diketahui. Yang belum paham dengan algoritma metode Gauss, silahkan pelajari dulu pelajarannya Metode Gauss

Transformasi matriks dasar itu sendiri persis sama, perbedaan akan berada di akhir solusi. Pertama, pertimbangkan beberapa contoh di mana sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten).

Contoh 1

Apa yang langsung menarik perhatian Anda dalam sistem ini? Jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah variabel. Ada teorema yang mengatakan: “Jika jumlah persamaan dalam sistem kuantitas kurang variabel, maka sistem tersebut tidak konsisten atau memiliki banyak solusi tak terhingga. Dan itu tetap hanya untuk mencari tahu.

Awal dari solusinya cukup biasa - kami menulis matriks yang diperluas dari sistem dan, menggunakan transformasi dasar, kami membawanya ke bentuk bertahap:

(satu). Di langkah kiri atas, kita perlu mendapatkan (+1) atau (-1). Tidak ada angka seperti itu di kolom pertama, jadi mengatur ulang baris tidak akan berhasil. Unit harus diatur secara independen, dan ini dapat dilakukan dengan beberapa cara. Kami melakukannya. Pada baris pertama kita tambahkan baris ketiga, dikalikan dengan (-1).

(2). Sekarang kita mendapatkan dua nol di kolom pertama. Ke baris kedua, tambahkan baris pertama, dikalikan 3. Ke baris ketiga, tambahkan baris pertama, dikalikan dengan 5.

(3). Setelah transformasi selesai, selalu disarankan untuk melihat apakah mungkin untuk menyederhanakan string yang dihasilkan? Bisa. Kami membagi baris kedua dengan 2, pada saat yang sama mendapatkan yang diinginkan (-1) pada langkah kedua. Bagilah baris ketiga dengan (-3).

(4). Tambahkan baris kedua ke baris ketiga. Mungkin, semua orang memperhatikan garis buruk, yang ternyata sebagai hasil dari transformasi dasar:

. Jelas bahwa ini tidak mungkin terjadi.

Memang, kami menulis ulang matriks yang dihasilkan

kembali ke sistem persamaan linear:

Jika sebagai hasil dari transformasi dasar sebuah string berbentuk , di manaλ adalah bilangan bukan nol, maka sistem tidak konsisten (tidak memiliki solusi).

Bagaimana cara merekam akhir tugas? Anda perlu menuliskan frasa:

“Sebagai hasil dari transformasi dasar, sebuah string bentuk diperoleh, di mana λ ≠ 0 ". Jawaban: "Sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten)."

Harap dicatat bahwa dalam kasus ini tidak ada gerakan terbalik dari algoritma Gaussian, tidak ada solusi dan tidak ada yang bisa ditemukan.

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan linear

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi Lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Sekali lagi, kami mengingatkan Anda bahwa proses solusi Anda mungkin berbeda dari proses solusi kami, metode Gauss tidak menetapkan algoritme yang tidak ambigu, Anda harus menebak sendiri prosedur dan tindakannya sendiri dalam setiap kasus.

Yang lainnya fitur teknis solusi: transformasi dasar dapat dihentikan Sekaligus, segera setelah garis seperti , di mana λ ≠ 0 . Mempertimbangkan contoh bersyarat: misalkan setelah transformasi pertama kita mendapatkan matriks

Matriks ini belum direduksi menjadi bentuk bertahap, tetapi tidak diperlukan transformasi dasar lebih lanjut, karena garis bentuk telah muncul, di mana λ ≠ 0 . Harus segera dijawab bahwa sistem tidak kompatibel.

Ketika sistem persamaan linier tidak memiliki solusi, ini hampir merupakan hadiah bagi siswa, karena fakta bahwa solusi singkat diperoleh, kadang-kadang secara harfiah dalam 2-3 langkah. Tetapi segala sesuatu di dunia ini seimbang, dan masalah di mana sistem memiliki banyak solusi tak terbatas hanya akan lebih lama.

Contoh 3:

Memecahkan sistem persamaan linear

Ada 4 persamaan dan 4 yang tidak diketahui, sehingga sistem dapat memiliki solusi tunggal, atau tidak memiliki solusi, atau memiliki banyak solusi. Apa pun itu, tetapi metode Gauss bagaimanapun akan membawa kita pada jawabannya. Ini adalah keserbagunaannya.

Awal lagi standar. Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Itu saja, dan Anda takut.

(satu). Harap dicatat bahwa semua angka di kolom pertama habis dibagi 2, jadi pada langkah kiri atas kami juga puas dengan deuce. Ke baris kedua kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan (-4). Untuk baris ketiga kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan (-2). Untuk baris keempat kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan (-1).

Perhatian! Banyak yang mungkin tergoda dari baris keempat mengurangi garis pertama. Ini bisa dilakukan, tetapi itu tidak perlu, pengalaman menunjukkan bahwa kemungkinan kesalahan dalam perhitungan meningkat beberapa kali lipat. Kita tinggal menambahkan: pada baris keempat kita tambahkan baris pertama, dikalikan dengan (-1) - tepat!

(2). Tiga baris terakhir proporsional, dua di antaranya dapat dihapus. Di sini sekali lagi perlu untuk menunjukkan perhatian yang meningkat, tetapi apakah garis-garisnya benar-benar proporsional? Untuk reasuransi, tidak akan berlebihan untuk mengalikan baris kedua dengan (-1), dan membagi baris keempat dengan 2, menghasilkan tiga baris yang identik. Dan hanya setelah itu hapus dua di antaranya. Sebagai hasil dari transformasi dasar, matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap:

Saat menyelesaikan tugas di buku catatan, disarankan untuk membuat catatan yang sama dengan pensil untuk kejelasan.

Kami menulis ulang sistem persamaan yang sesuai:

Satu-satunya solusi sistem yang "biasa" tidak berbau di sini. Garis buruk di mana λ ≠ 0, juga tidak. Oleh karena itu, ini adalah kasus ketiga yang tersisa - sistem memiliki banyak solusi yang tak terhingga.

Himpunan solusi tak hingga dari sistem secara singkat ditulis dalam bentuk yang disebut solusi sistem umum.

Kami akan menemukan solusi umum dari sistem menggunakan gerakan terbalik dari metode Gauss. Untuk sistem persamaan dengan himpunan solusi tak terhingga, konsep baru muncul: "variabel dasar" dan "variabel bebas". Pertama, mari kita tentukan variabel apa yang kita miliki dasar, dan variabel apa - Gratis. Tidak perlu menjelaskan secara rinci istilah aljabar linier, cukup diingat bahwa ada: variabel dasar dan variabel bebas.

Variabel dasar selalu "duduk" secara ketat pada langkah-langkah matriks. Dalam contoh ini, variabel dasarnya adalah x 1 dan x 3 .

Variabel bebas adalah segalanya tersisa variabel yang tidak mendapatkan langkah. Dalam kasus kami, ada dua: x 2 dan x 4 - variabel bebas.

Sekarang Anda membutuhkan semuavariabel dasar cepat hanya melaluivariabel bebas. Gerakan kebalikan dari algoritma Gaussian secara tradisional bekerja dari bawah ke atas. Dari persamaan kedua sistem, kami menyatakan variabel dasar x 3:

Sekarang perhatikan persamaan pertama: . Pertama, kami mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

Tetap mengekspresikan variabel dasar x 1 melalui variabel bebas x 2 dan x 4:

Hasilnya adalah apa yang Anda butuhkan - semua variabel dasar ( x 1 dan x 3) diungkapkan hanya melalui variabel bebas ( x 2 dan x 4):

Sebenarnya, solusi umum sudah siap:

Bagaimana cara menuliskan solusi umumnya? Pertama-tama, variabel bebas ditulis ke dalam solusi umum "sendiri" dan secara ketat di tempatnya. Dalam hal ini, variabel bebas x 2 dan x 4 harus ditulis di posisi kedua dan keempat:

Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar dan jelas perlu ditulis di posisi pertama dan ketiga:

Dari solusi umum sistem, seseorang dapat menemukan banyak tak terhingga keputusan pribadi. Ini sangat sederhana. variabel bebas x 2 dan x 4 disebut demikian karena dapat diberikan nilai akhir apa pun. Nilai yang paling populer adalah nilai nol, karena ini adalah cara termudah untuk mendapatkan solusi tertentu.

Mengganti ( x 2 = 0; x 4 = 0) ke dalam solusi umum, kami mendapatkan salah satu solusi khusus:

, atau merupakan solusi tertentu yang sesuai dengan variabel bebas dengan nilai ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Yang satu adalah pasangan manis lainnya, mari kita ganti ( x 2 = 1 dan x 4 = 1) ke dalam solusi umum:

, yaitu (-1; 1; 1; 1) adalah solusi khusus lainnya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa sistem persamaan memiliki banyak solusi karena kita dapat memberikan variabel bebas setiap nilai-nilai.

Setiap solusi tertentu harus memenuhi untuk masing-masing persamaan sistem. Ini adalah dasar untuk pemeriksaan "cepat" atas kebenaran solusi. Ambil, misalnya, solusi tertentu (-1; 1; 1; 1) dan substitusikan ke sisi kiri setiap persamaan dalam sistem asli:

Semuanya harus bersatu. Dan dengan solusi khusus apa pun yang Anda dapatkan, semuanya juga harus menyatu.

Sebenarnya, verifikasi solusi tertentu terkadang menipu, mis. beberapa solusi tertentu dapat memenuhi setiap persamaan sistem, dan solusi umum itu sendiri sebenarnya ditemukan salah. Oleh karena itu, pertama-tama, verifikasi solusi umum lebih menyeluruh dan dapat diandalkan.

Bagaimana cara memeriksa solusi umum yang dihasilkan ?

Ini tidak sulit, tetapi membutuhkan transformasi yang cukup lama. Kita perlu mengambil ekspresi dasar variabel, dalam hal ini dan , dan substitusikan ke ruas kiri setiap persamaan sistem.

Ke ruas kiri persamaan pertama sistem:

Sisi kanan persamaan pertama asli dari sistem diperoleh.

Ke ruas kiri persamaan kedua sistem:

Sisi kanan persamaan kedua asli dari sistem diperoleh.

Dan selanjutnya - ke bagian kiri persamaan ketiga dan keempat dari sistem. Pemeriksaan ini lebih lama, tetapi menjamin kebenaran 100% dari solusi keseluruhan. Selain itu, dalam beberapa tugas diperlukan untuk memeriksa solusi umum.

Contoh 4:

Selesaikan sistem menggunakan metode Gauss. Temukan solusi umum dan dua solusi pribadi. Periksa solusi keseluruhan.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Omong-omong, di sini, sekali lagi, jumlah persamaan lebih kecil daripada jumlah yang tidak diketahui, yang berarti segera jelas bahwa sistem akan menjadi tidak konsisten atau memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Contoh 5:

Memecahkan sistem persamaan linear. Jika sistem memiliki banyak solusi, temukan dua solusi khusus dan periksa solusi umumnya

Keputusan: Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan bantuan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

(satu). Tambahkan baris pertama ke baris kedua. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan 2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama dikalikan 3.

(2). Pada baris ketiga kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan (-5). Ke baris keempat kita tambahkan baris kedua, dikalikan dengan (-7).

(3). Baris ketiga dan keempat sama, kami menghapus salah satunya. Inilah keindahan seperti itu:

Variabel dasar duduk di tangga, jadi mereka adalah variabel dasar.

Hanya ada satu variabel bebas, yang tidak mendapatkan langkah: .

(4). Gerakan mundur. Kami mengungkapkan variabel dasar dalam hal variabel bebas:

Dari persamaan ketiga:

Pertimbangkan persamaan kedua dan substitusikan ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

, , ,

Pertimbangkan persamaan pertama dan substitusikan ekspresi yang ditemukan dan ke dalamnya:

Jadi, solusi umum dengan satu variabel bebas x 4:

Sekali lagi, bagaimana itu terjadi? variabel bebas x 4 duduk sendirian di tempat keempat yang sah. Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar , , juga ada di tempatnya.

Mari kita segera memeriksa solusi umum.

Kami mengganti variabel dasar , , ke sisi kiri setiap persamaan sistem:

Sisi kanan persamaan yang sesuai diperoleh, dengan demikian, solusi umum yang benar ditemukan.

Sekarang dari solusi umum yang ditemukan kita mendapatkan dua solusi khusus. Semua variabel diekspresikan di sini melalui single variabel bebas x 4 . Anda tidak perlu mematahkan kepala Anda.

Biarlah x 4 = 0, maka adalah solusi khusus pertama.

Biarlah x 4 = 1, maka adalah solusi khusus lainnya.

Menjawab: Keputusan bersama: . Solusi Pribadi:

dan .

Contoh 6:

Temukan solusi umum dari sistem persamaan linier.

Kami telah memeriksa solusi umum, jawabannya dapat dipercaya. Tindakan Anda mungkin berbeda dari tindakan kami. Hal utama adalah bahwa solusi umum bertepatan. Mungkin, banyak orang memperhatikan momen yang tidak menyenangkan dalam solusi: sangat sering, selama kebalikan dari metode Gauss, kami harus mengutak-atik pecahan biasa. Dalam praktiknya, ini benar, kasus di mana tidak ada pecahan jauh lebih jarang terjadi. Bersiaplah secara mental, dan yang paling penting, secara teknis.

Mari kita membahas fitur solusi yang tidak ditemukan dalam contoh yang diselesaikan. Solusi umum dari sistem kadang-kadang dapat mencakup konstanta (atau konstanta).

Misalnya, solusi umum: . Di sini salah satu variabel dasar sama dengan angka konstan: . Tidak ada yang eksotis dalam hal ini, itu terjadi. Jelas, dalam hal ini, setiap solusi tertentu akan berisi lima di posisi pertama.

Jarang, tetapi ada sistem di mana jumlah persamaan lebih besar dari jumlah variabel. Namun, metode Gauss bekerja di bawah kondisi yang paling parah. Anda harus dengan tenang membawa matriks sistem yang diperluas ke bentuk bertahap sesuai dengan algoritma standar. Sistem seperti itu mungkin tidak konsisten, mungkin memiliki banyak solusi tak terhingga, dan, anehnya, mungkin memiliki solusi unik.

Kami ulangi dalam saran kami - untuk merasa nyaman saat menyelesaikan sistem menggunakan metode Gauss, Anda harus mengisi tangan Anda dan menyelesaikan setidaknya selusin sistem.

Solusi dan jawaban:

Contoh 2:

Keputusan:Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap.

Transformasi dasar yang dilakukan:

(1) Baris pertama dan ketiga telah ditukar.

(2) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan dengan (-6). Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan (-7).

(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan (-1).

Sebagai hasil dari transformasi dasar, string berbentuk, di mana λ ≠ 0 .Jadi sistemnya tidak konsisten.Menjawab: tidak ada solusi.

Contoh 4:

Keputusan:Mari kita tulis matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan:

(satu). Baris pertama dikalikan 2 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.

Tidak ada unit untuk langkah kedua , dan transformasi (2) ditujukan untuk memperolehnya.

(2). Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan dengan -3.

(3). Baris kedua dan ketiga ditukar (hasil -1 dipindahkan ke langkah kedua)

(4). Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan 3.

(5). Tanda dua baris pertama diubah (dikalikan -1), baris ketiga dibagi 14.

Gerakan mundur:

(satu). Di Sini adalah variabel dasar (yang ada di langkah), dan adalah variabel bebas (yang tidak mendapatkan langkah).

(2). Kami mengungkapkan variabel dasar dalam hal variabel bebas:

Dari persamaan ketiga: .

(3). Perhatikan persamaan kedua:, solusi khusus:

Menjawab: Keputusan bersama:

Bilangan kompleks

Pada bagian ini, kami akan memperkenalkan konsep bilangan kompleks, mempertimbangkan aljabar, trigonometri dan menunjukkan bentuk bilangan kompleks. Kita juga akan belajar bagaimana melakukan operasi dengan bilangan kompleks: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensial dan ekstraksi akar.

Untuk menguasai bilangan kompleks, Anda tidak memerlukan pengetahuan khusus dari kursus matematika yang lebih tinggi, dan materinya tersedia bahkan untuk anak sekolah. Cukup untuk dapat melakukan operasi aljabar dengan angka "biasa", dan mengingat trigonometri.

Pertama, mari kita mengingat Angka "biasa". Dalam matematika mereka disebut banyak bilangan asli dan ditandai dengan huruf R, atau R (tebal). Semua bilangan real duduk di garis bilangan yang sudah dikenal:

Perusahaan bilangan real sangat berwarna - ini adalah bilangan bulat, dan pecahan, dan bilangan irasional. Dalam hal ini, setiap titik dari sumbu numerik harus sesuai dengan beberapa bilangan real.

Sistem m persamaan linier dengan n tidak dikenal.
Memecahkan sistem persamaan linear adalah himpunan bilangan ( x 1 , x 2 , …, x n), dengan mensubstitusikan mana ke dalam setiap persamaan sistem, diperoleh persamaan yang benar.
di mana a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n adalah koefisien sistem;
b i , i = 1, …, m- anggota gratis;
x j , j = 1, …, n- tidak dikenal.
Sistem di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks: A X = B,

di mana ( A|B) adalah matriks utama sistem;
A— matriks diperpanjang dari sistem;
X— kolom yang tidak diketahui;
B adalah kolom anggota bebas.
Jika matriks B bukan matriks nol , maka sistem persamaan linier ini disebut tidak homogen.
Jika matriks B= , maka sistem persamaan linear ini disebut homogen. Sistem homogen selalu memiliki solusi nol (sepele): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Sistem gabungan persamaan linier adalah sistem persamaan linear yang memiliki solusi.
Sistem persamaan linier yang tidak konsisten adalah sistem persamaan linear yang tidak memiliki solusi.
Sistem persamaan linier tertentu adalah sistem persamaan linear yang memiliki solusi unik.
Sistem persamaan linier tak tentu adalah sistem persamaan linear yang memiliki banyak solusi.
Sistem dari n persamaan linier dengan n yang tidak diketahui
Jika jumlah yang tidak diketahui sama dengan jumlah persamaan, maka matriksnya persegi. Determinan matriks disebut sebagai determinan utama sistem persamaan linier dan dilambangkan dengan simbol .
Metode Cramer untuk memecahkan sistem n persamaan linier dengan n tidak dikenal.
aturan Cramer.
Jika determinan utama dari sistem persamaan linear bukan nol, maka sistem konsisten dan terdefinisi, dan solusi unik dihitung dengan rumus Cramer:
dimana i adalah determinan yang diperoleh dari determinan utama sistem dengan mengganti saya kolom th ke kolom anggota bebas. .
Sistem persamaan linear m dengan n tidak diketahui
Teorema Kronecker-Cappelli.

Agar sistem persamaan linier ini konsisten, perlu dan cukup bahwa peringkat matriks sistem sama dengan peringkat matriks yang diperluas dari sistem, peringkat(Α) = peringkat(Α|B).
Jika sebuah rang(Α) rang(Α|B), maka sistem jelas tidak memiliki solusi.
Jika peringkat(Α) = peringkat(Α|B), maka dua kasus dimungkinkan:
1) rang(Α) = n(untuk jumlah yang tidak diketahui) - solusinya unik dan dapat diperoleh dengan rumus Cramer;
2) peringkat (Α)< n ada banyak sekali solusi.
Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Mari kita buat matriks yang diperbesar ( A|B) dari sistem koefisien yang diberikan di sisi yang tidak diketahui dan sisi kanan.
Metode Gaussian atau metode eliminasi yang tidak diketahui terdiri dari pengurangan matriks yang diperbesar ( A|B) dengan bantuan transformasi dasar pada baris-barisnya menjadi bentuk diagonal (ke bentuk segitiga atas). Kembali ke sistem persamaan, semua yang tidak diketahui ditentukan.
Transformasi dasar pada string meliputi:
1) menukar dua baris;
2) mengalikan string dengan angka selain 0;
3) menambahkan string lain dikalikan dengan angka arbitrer;
4) membuang string nol.
Matriks yang diperluas yang direduksi menjadi bentuk diagonal sesuai dengan sistem linier yang setara dengan yang diberikan, yang solusinya tidak menyebabkan kesulitan. .
Sistem persamaan linear homogen.
Sistem homogen berbentuk :

itu sesuai dengan persamaan matriks A X = 0.
1) Sistem homogen selalu konsisten, karena r(A) = r(A|B), selalu ada solusi nol (0, 0, …, 0).
2) Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa r = r(A)< n , yang setara dengan = 0.
3) Jika r< n , maka = 0, maka ada yang tidak diketahui bebas c 1 , c 2 , …, c n-r, sistem memiliki solusi nontrivial, dan jumlahnya tak terhingga.
4) solusi umum X pada r< n dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
dimana solusinya X 1 , X 2 , …, X n-r membentuk sistem dasar solusi.
5) Solusi sistem fundamental dapat diperoleh dari solusi umum sistem homogen:

,
jika kita mengasumsikan nilai parameter secara berurutan menjadi (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Dekomposisi solusi umum dalam hal sistem dasar solusi adalah catatan dari solusi umum sebagai kombinasi linier dari solusi milik sistem fundamental.
Dalil. Agar sistem persamaan linier homogen memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa 0.
Jadi, jika determinannya adalah 0, maka sistem tersebut memiliki solusi unik.
Jika 0, maka sistem persamaan linear homogen memiliki banyak solusi.
Dalil. Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa r(A)< n .
Bukti:
1) r tidak bisa lebih n(peringkat matriks tidak melebihi jumlah kolom atau baris);
2) r< n , karena jika r=n, maka determinan utama sistem 0, dan, menurut rumus Cramer, ada solusi sepele yang unik x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, yang bertentangan dengan kondisi. Cara, r(A)< n .
Konsekuensi. Agar sistem homogen n persamaan linier dengan n tidak diketahui memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa = 0.

tugas layanan. Kalkulator online dirancang untuk mempelajari sistem persamaan linier. Biasanya dalam kondisi masalah diperlukan untuk menemukan solusi umum dan khusus dari sistem. Saat mempelajari sistem persamaan linier, masalah berikut diselesaikan:

apakah sistemnya kolaboratif;
jika sistem konsisten, maka pasti atau tidak terbatas (kriteria kompatibilitas sistem ditentukan oleh teorema);
jika sistem didefinisikan, lalu bagaimana menemukan solusi uniknya (metode Cramer, metode matriks terbalik atau metode Jordan-Gauss digunakan);
jika sistem tidak terbatas, lalu bagaimana menggambarkan himpunan penyelesaiannya.

Klasifikasi sistem persamaan linear

Sistem persamaan linier arbitrer memiliki bentuk:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Sistem persamaan linier tidak homogen (jumlah variabel sama dengan jumlah persamaan, m = n).
Sistem arbitrer persamaan linier tidak homogen (m > n atau m< n).

Definisi. Penyelesaian suatu sistem adalah himpunan bilangan c 1 ,c 2 ,...,c n , yang substitusinya ke dalam sistem alih-alih bilangan yang tidak diketahui yang bersesuaian mengubah setiap persamaan sistem menjadi suatu identitas.

Definisi. Dua sistem dikatakan ekivalen jika solusi yang pertama adalah solusi yang kedua dan sebaliknya.

Definisi. Sistem yang memiliki paling sedikit satu solusi disebut persendian. Sistem yang tidak memiliki solusi disebut tidak konsisten.

Definisi. Sistem dengan solusi unik disebut yakin, dan memiliki lebih dari satu solusi tidak terbatas.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Temukan barisan matriks utama dan matriks diperpanjang. Jika mereka tidak sama, maka, menurut teorema Kronecker-Capelli, sistemnya tidak konsisten, dan di sinilah penelitian berakhir.
Misalkan pangkat(A) = pangkat(B) . Kami memilih minor dasar. Dalam hal ini, semua sistem persamaan linier yang tidak diketahui dibagi menjadi dua kelas. Yang tidak diketahui, yang koefisiennya termasuk dalam minor dasar, disebut dependen, dan yang tidak diketahui, yang koefisiennya tidak termasuk dalam minor dasar, disebut bebas. Perhatikan bahwa pilihan tidak diketahui dependen dan bebas tidak selalu unik.
Kami mencoret persamaan sistem yang koefisiennya tidak termasuk dalam minor dasar, karena merupakan konsekuensi dari yang lain (menurut teorema minor dasar).
Suku-suku persamaan yang mengandung tidak diketahui bebas akan dipindahkan ke ruas kanan. Akibatnya, kami memperoleh sistem persamaan r dengan r tidak diketahui, setara dengan yang diberikan, yang determinannya berbeda dari nol.
Sistem yang dihasilkan diselesaikan dengan salah satu cara berikut: metode Cramer, metode matriks terbalik, atau metode Jordan-Gauss. Ditemukan hubungan yang menyatakan variabel terikat dalam bentuk variabel bebas.

Sistem persamaan linier m dengan n tidak diketahui disebut sistem bentuk

di mana aij dan b saya (saya=1,…,m; b=1,…,n) adalah beberapa bilangan yang diketahui, dan x 1 ,…,x n- tidak dikenal. Dalam notasi koefisien aij indeks pertama saya menunjukkan jumlah persamaan, dan yang kedua j adalah jumlah yang tidak diketahui di mana koefisien ini berdiri.

Koefisien untuk yang tidak diketahui akan ditulis dalam bentuk matriks , yang akan kita sebut matriks sistem.

Angka-angka di sisi kanan persamaan b 1 ,…,b m ditelepon anggota gratis.

Agregat n angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan dari sistem ini, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah memasukkan angka ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih yang tidak diketahui yang sesuai x 1 ,…,x n.

Tugas kita adalah menemukan solusi untuk sistem. Dalam hal ini, tiga situasi mungkin muncul:

Sistem persamaan linear yang memiliki paling sedikit satu penyelesaian disebut persendian. Jika tidak, yaitu jika sistem tidak memiliki solusi, maka itu disebut tidak cocok.

Pertimbangkan cara untuk menemukan solusi untuk sistem.

METODE MATRIKS UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Matriks memungkinkan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Biarkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui diberikan:

Perhatikan matriks sistem dan kolom matriks dari anggota yang tidak dikenal dan anggota bebas

Ayo temukan produknya

itu. sebagai hasil dari produk, kami memperoleh sisi kiri dari persamaan sistem ini. Kemudian menggunakan definisi persamaan matriks sistem ini dapat ditulis dalam bentuk

atau lebih pendek A∙X=B.

Di sini matriks A dan B diketahui, dan matriks X tidak dikenal. Dia perlu ditemukan, karena. elemen-elemennya adalah solusi dari sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.

Biarkan determinan matriks berbeda dari nol | A| 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, invers matriks A: . Sejauh A -1 A = E dan E∙X=X, maka kita peroleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = A -1 B .

Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, notasi matriks sistem juga dimungkinkan dalam kasus ketika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah yang tidak diketahui, maka matriks A tidak persegi dan oleh karena itu tidak mungkin untuk menemukan solusi untuk sistem dalam bentuk X = A -1 B.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan.

ATURAN CRAMER

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linier dengan tiga tidak diketahui:

Determinan orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien yang tidak diketahui,

ditelepon penentu sistem.

Kami menyusun tiga determinan lagi sebagai berikut: kami mengganti berturut-turut 1, 2 dan 3 kolom dalam determinan D dengan kolom istilah bebas

Kemudian kita dapat membuktikan hasil berikut.

Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem adalah 0, maka sistem yang ditinjau memiliki satu dan hanya satu solusi, dan

Bukti. Jadi, pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui. Kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar A 11 elemen 11, persamaan ke-2 - pada A21 dan ke-3 - pada 31:

Mari kita tambahkan persamaan ini:

Perhatikan masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Dengan teorema tentang perluasan determinan dalam hal elemen-elemen kolom ke-1

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa dan .

Akhirnya, mudah untuk melihatnya

Dengan demikian, kita mendapatkan persamaan: .

Karena itu, .

Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, dari mana penegasan teorema berikut.

Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem adalah 0, maka sistem tersebut memiliki solusi unik dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut memiliki himpunan solusi tak hingga atau tidak memiliki solusi, mis. tidak kompatibel.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan

METODE GAUSS

Metode yang dipertimbangkan sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem di mana jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui, dan determinan sistem harus berbeda dari nol. Metode Gaussian lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui dari persamaan sistem.

Pertimbangkan lagi sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

Kami membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari persamaan ke-2 dan ke-3 kami mengecualikan suku-suku yang mengandung x 1. Untuk melakukan ini, kita membagi persamaan kedua dengan sebuah 21 dan kalikan dengan - sebuah 11 lalu dijumlahkan dengan persamaan pertama. Demikian pula, kami membagi persamaan ketiga menjadi sebuah 31 dan kalikan dengan - sebuah 11 dan kemudian tambahkan ke yang pertama. Akibatnya, sistem asli akan berbentuk:

Sekarang, dari persamaan terakhir, kami menghilangkan istilah yang mengandung x2. Untuk melakukannya, bagi persamaan ketiga dengan , kalikan dengan dan tambahkan ke persamaan kedua. Maka kita akan memiliki sistem persamaan:

Oleh karena itu dari persamaan terakhir mudah untuk menemukan x 3, maka dari persamaan ke-2 x2 dan akhirnya dari tanggal 1 - x 1.

Saat menggunakan metode Gaussian, persamaan dapat dipertukarkan jika perlu.

Seringkali alih-alih menulis sistem baru persamaan terbatas untuk menuliskan matriks diperpanjang dari sistem:

dan kemudian membawanya ke bentuk segitiga atau diagonal menggunakan transformasi dasar.

Ke transformasi dasar matriks termasuk transformasi berikut:

permutasi baris atau kolom;
mengalikan string dengan angka bukan nol;
menambahkan ke satu baris baris lainnya.

Contoh: Memecahkan sistem persamaan menggunakan metode Gauss.

Dengan demikian, sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas.

Sistem persamaan banyak digunakan dalam industri ekonomi dalam pemodelan matematika dari berbagai proses. Misalnya, ketika memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, rute logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam bidang matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linear adalah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang perlu dicari penyelesaiannya. Barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan sejati atau membuktikan bahwa barisan itu tidak ada.

Persamaan Linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang tidak diketahui, yang nilainya harus dicari, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan.
Memecahkan persamaan dengan memplot grafiknya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya adalah solusi dari polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling sederhana adalah contoh sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, di mana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Memecahkan sistem persamaan - itu berarti menemukan nilai seperti itu (x, y) di mana sistem berubah menjadi kesetaraan sejati atau menetapkan bahwa nilai yang sesuai x dan y tidak ada.

Sepasang nilai (x, y), yang ditulis sebagai koordinat titik, disebut solusi sistem persamaan linier.

Jika sistem memiliki satu solusi umum atau tidak ada solusi, mereka disebut setara.

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol. Jika bagian kanan setelah tanda "sama dengan" memiliki nilai atau dinyatakan dengan fungsi, sistem seperti itu tidak homogen.

Jumlah variabel bisa lebih dari dua, maka kita harus berbicara tentang contoh sistem persamaan linier dengan tiga variabel atau lebih.

Dihadapkan dengan sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui, tetapi tidak demikian. Jumlah persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabel, bisa ada sejumlah besar variabel secara sewenang-wenang.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada cara analitis umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu, semua metode didasarkan pada solusi numerik. Kursus matematika sekolah menjelaskan secara rinci metode seperti permutasi, penambahan aljabar, substitusi, serta metode grafis dan matriks, solusi dengan metode Gauss.

Tugas utama dalam mengajar metode pemecahan adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritma optimal solusi untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi untuk memahami prinsip-prinsip penerapan metode tertentu.

Memecahkan contoh sistem persamaan linier kelas 7 program sekolah Menengah cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat rinci. Dalam setiap buku teks tentang matematika, bagian ini diberikan perhatian yang cukup. Solusi contoh sistem persamaan linier dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari secara lebih rinci di kursus pertama lembaga pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan metode substitusi

Tindakan metode substitusi ditujukan untuk mengekspresikan nilai dari satu variabel melalui yang kedua. Ekspresi disubstitusikan ke persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk variabel tunggal. Tindakan diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita beri contoh sistem persamaan linier kelas 7 dengan metode substitusi:

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu untuk mendapatkan satu variabel Y dalam persamaan ke-2 . Solusi dari contoh ini tidak menyebabkan kesulitan dan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir adalah memeriksa nilai yang diperoleh.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linier dengan substitusi. Persamaan bisa rumit dan ekspresi variabel dalam hal yang tidak diketahui kedua akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Ketika ada lebih dari 3 yang tidak diketahui dalam sistem, solusi substitusi juga tidak praktis.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaian menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem dengan metode penjumlahan, penjumlahan suku demi suku, dan perkalian persamaan dengan berbagai nomor. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dengan satu variabel.

Penerapan metode ini membutuhkan latihan dan pengamatan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode penjumlahan dengan jumlah variabel 3 atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar berguna jika persamaan berisi pecahan dan bilangan desimal.

Algoritma tindakan solusi:

Kalikan kedua ruas persamaan dengan beberapa angka. Hasil dari operasi aritmatika salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
Tambahkan istilah ekspresi yang dihasilkan dengan istilah dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
Substitusikan nilai yang dihasilkan ke persamaan ke-2 sistem untuk menemukan variabel yang tersisa.

Metode solusi dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem perlu menemukan solusi untuk tidak lebih dari dua persamaan, jumlah yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode ini digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan sehubungan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Contoh menunjukkan bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat diturunkan menjadi standar trinomial persegi. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Perlu dicari nilai diskriminannya dengan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah pengali polinomial. Dalam contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan lebih besar dari nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan lebih kecil dari nol, maka hanya ada satu solusi: x= -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penambahan.

Sebuah metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk sistem dengan 3 persamaan. Metode ini terdiri dari plotting grafik dari setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva akan menjadi solusi umum sistem.

Metode grafik memiliki sejumlah nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linier secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik dibangun untuk setiap baris, nilai variabel x dipilih secara acak: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai y ditemukan: 3 dan 0. Titik-titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulang untuk persamaan kedua. Titik potong garis adalah solusi dari sistem.

Dalam contoh berikut, diperlukan untuk menemukan solusi grafis untuk sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, sistem tidak memiliki solusi, karena grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang panjangnya.

Sistem dari Contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun, menjadi jelas bahwa solusi mereka berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah sistem memiliki solusi atau tidak, selalu perlu untuk membangun grafik.

Matriks dan varietasnya

Matriks digunakan untuk secara singkat menuliskan sistem persamaan linier. Matriks adalah jenis tabel khusus yang diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks dikatakan bujur sangkar jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Suatu matriks dengan satuan sepanjang salah satu diagonal dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks terbalik adalah matriks seperti itu, ketika dikalikan dengan yang asli menjadi satu unit, matriks seperti itu hanya ada untuk kuadrat asli.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, koefisien dan anggota bebas dari persamaan ditulis sebagai bilangan matriks, satu persamaan adalah satu baris matriks.

Baris matriks disebut bukan nol jika setidaknya satu elemen baris tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabel berbeda, maka perlu untuk memasukkan nol di tempat yang tidak diketahui yang hilang.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Ini berarti bahwa koefisien variabel x hanya dapat ditulis dalam satu kolom, misalnya yang pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya di kolom kedua.

Saat mengalikan matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan angka.

Opsi untuk menemukan matriks terbalik

Rumus untuk mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 adalah matriks invers dan |K| - penentu matriks. |K| tidak harus sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi.

Determinan mudah dihitung untuk matriks dua kali dua, hanya perlu mengalikan elemen secara diagonal satu sama lain. Untuk opsi "tiga per tiga", ada rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom sehingga nomor kolom dan baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan pengurangan notasi yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan jumlah besar variabel dan persamaan.

Dalam contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriks adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Solusi sistem dengan metode Gauss

Dalam matematika yang lebih tinggi, metode Gauss dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses menemukan solusi untuk sistem disebut metode solusi Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel dari sistem dengan sejumlah besar persamaan linier.

Metode Gaussian sangat mirip dengan solusi substitusi dan penambahan aljabar, tetapi lebih sistematis. Dalam kursus sekolah, solusi Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk membawa sistem ke bentuk trapesium terbalik. Dengan transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - dengan 3 dan 4 variabel, masing-masing.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah untuk kelas 7, contoh solusi Gaussian dijelaskan sebagai berikut:

Seperti dapat dilihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Solusi dari salah satu persamaan akan memungkinkan Anda untuk menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5, yang disebutkan dalam teks, menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan yang setara, maka sistem yang dihasilkan juga akan setara dengan yang asli.

Metode Gauss sulit dipahami siswa sekolah menengah atas, tetapi merupakan salah satu yang paling cara yang menarik untuk mengembangkan kecerdasan anak-anak yang terdaftar dalam program studi lanjutan di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan perhitungan pencatatan, biasanya dilakukan hal-hal berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks bersesuaian dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka Romawi menunjukkan jumlah persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menuliskan matriks yang digunakan untuk bekerja, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan terus melakukan operasi aljabar yang diperlukan hingga hasilnya tercapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu diagonalnya adalah 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat perhitungan dengan jumlah kedua sisi persamaan.

Notasi ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan mendaftar banyak hal yang tidak diketahui.

Aplikasi gratis dari metode solusi apa pun akan membutuhkan perawatan dan sejumlah pengalaman. Tidak semua metode diterapkan. Beberapa cara untuk menemukan solusi lebih disukai di bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pembelajaran.