Teorema faktorisasi untuk trinomial persegi. Faktorisasi trinomial kuadrat: contoh dan rumus

Memperluas polinomial untuk mendapatkan produk terkadang tampak membingungkan. Tetapi tidak begitu sulit jika Anda memahami prosesnya selangkah demi selangkah. Artikel ini merinci cara memfaktorkan trinomial persegi.

Banyak yang tidak mengerti cara memfaktorkan trinomial persegi, dan mengapa ini dilakukan. Pada awalnya mungkin tampak bahwa ini adalah latihan yang tidak berguna. Namun dalam matematika, tidak ada yang dilakukan begitu saja. Transformasi diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi dan kenyamanan perhitungan.

Polinomial berbentuk - ax² + bx + c, disebut trinomial persegi. Istilah "a" harus negatif atau positif. Dalam prakteknya, ekspresi ini disebut persamaan kuadrat. Oleh karena itu, terkadang mereka berkata lain: cara menguraikan persamaan kuadrat.

Menarik! Polinomial persegi disebut karena derajat terbesarnya - persegi. Dan trinomial - karena suku 3 komponen.

Beberapa jenis polinomial lain:

binomial linier (6x+8);
segi empat kubik (x³+4x²-2x+9).

Faktorisasi trinomial persegi

Pertama, ekspresinya sama dengan nol, maka Anda perlu mencari nilai akar x1 dan x2. Mungkin tidak ada akar, mungkin ada satu atau dua akar. Kehadiran akar ditentukan oleh diskriminan. Rumusnya harus hafal: D=b²-4ac.

Jika hasil D negatif, tidak ada akar. Jika positif, ada dua akar. Jika hasilnya nol, akarnya adalah satu. Akar juga dihitung dengan rumus.

Jika perhitungan diskriminan menghasilkan nol, Anda dapat menerapkan salah satu rumus. Dalam prakteknya, rumus tersebut hanya disingkat: -b / 2a.

Rumus untuk nilai yang berbeda diskriminan berbeda.

Jika D positif:

Jika D adalah nol:

Kalkulator online

Internet memiliki kalkulator online. Dapat digunakan untuk memfaktorkan. Beberapa sumber memberikan kesempatan untuk melihat solusi langkah demi langkah. Layanan semacam itu membantu untuk lebih memahami topik, tetapi Anda perlu mencoba memahami dengan baik.

Video yang berguna: Memfaktorkan trinomial persegi

Contoh

Kami mengundang Anda untuk melihat contoh sederhana cara memfaktorkan persamaan kuadrat.

Contoh 1

Di sini jelas ditunjukkan bahwa hasilnya adalah dua x, karena D positif. Mereka perlu diganti ke dalam formula. Jika akarnya negatif, tanda dalam rumus dibalik.

Kita tahu rumus ekspansi trinomial persegi pengali: a(x-x1)(x-x2). Kami menempatkan nilai dalam tanda kurung: (x+3)(x+2/3). Tidak ada angka sebelum istilah dalam eksponen. Artinya ada satuan, diturunkan.

Contoh 2

Contoh ini dengan jelas menunjukkan cara menyelesaikan persamaan yang memiliki satu akar.

Substitusikan nilai yang dihasilkan:

Contoh 3

Diketahui: 5x²+3x+7

Pertama, kita menghitung diskriminan, seperti pada kasus sebelumnya.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminan adalah negatif, yang berarti tidak ada akar.

Setelah menerima hasilnya, ada baiknya membuka tanda kurung dan memeriksa hasilnya. Trinomial asli akan muncul.

Solusi alternatif

Beberapa orang tidak pernah bisa berteman dengan diskriminan. Ada cara lain untuk memfaktorkan trinomial persegi. Untuk kenyamanan, metode ini ditunjukkan dalam contoh.

Diketahui: x²+3x-10

Kita tahu bahwa kita harus diakhiri dengan 2 tanda kurung: (_)(_). Ketika ekspresi terlihat seperti ini: x² + bx + c, kami menempatkan x di awal setiap braket: (x_) (x_). Dua angka yang tersisa adalah produk yang memberikan "c", yaitu -10 dalam hal ini. Untuk mengetahui angka-angka tersebut, Anda hanya bisa menggunakan metode seleksi. Angka yang diganti harus cocok dengan suku yang tersisa.

Misalnya, mengalikan angka-angka berikut menghasilkan -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Tidak.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Tidak.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Tidak.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. cocok.

Jadi, transformasi ekspresi x2+3x-10 terlihat seperti ini: (x-2)(x+5).

Penting! Anda harus berhati-hati untuk tidak membingungkan tanda-tandanya.

Dekomposisi trinomial kompleks

Jika "a" lebih besar dari satu, kesulitan dimulai. Tapi semuanya tidak sesulit kelihatannya.

Untuk memfaktorkan, pertama-tama kita harus melihat apakah mungkin untuk memfaktorkan sesuatu.

Misalnya, diberikan ekspresi: 3x²+9x-30. Di sini nomor 3 dikeluarkan dari tanda kurung:

3(x²+3x-10). Hasilnya adalah trinomial yang sudah diketahui. Jawabannya seperti ini: 3(x-2)(x+5)

Bagaimana cara menguraikan jika istilah yang dikuadratkan negatif? Dalam hal ini, angka -1 dikeluarkan dari braket. Misalnya: -x²-10x-8. Ekspresi kemudian akan terlihat seperti ini:

Skema ini sedikit berbeda dari yang sebelumnya. Hanya ada beberapa hal baru. Katakanlah ekspresi diberikan: 2x²+7x+3. Jawabannya juga ditulis dalam 2 kurung, yang harus diisi (_) (_). X ditulis di braket ke-2, dan apa yang tersisa di braket 1. Tampilannya seperti ini: (2x_)(x_). Jika tidak, skema sebelumnya diulang.

Angka 3 memberikan angka:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Kami memecahkan persamaan dengan mengganti angka-angka yang diberikan. Opsi terakhir cocok. Jadi transformasi dari ekspresi 2x²+7x+3 terlihat seperti ini: (2x+1)(x+3).

kasus lain

Tidak selalu mungkin untuk mengubah ekspresi. Dalam metode kedua, solusi persamaan tidak diperlukan. Tetapi kemungkinan mengubah istilah menjadi produk diperiksa hanya melalui diskriminan.

Ada baiknya berlatih memecahkan persamaan kuadrat sehingga tidak ada kesulitan saat menggunakan rumus.

Video yang berguna: faktorisasi trinomial

Keluaran

Anda dapat menggunakannya dengan cara apa pun. Tetapi lebih baik bekerja keduanya untuk otomatisme. Juga, mereka yang akan menghubungkan kehidupan mereka dengan matematika perlu belajar bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat dengan baik dan menguraikan polinomial menjadi faktor. Semua topik matematika berikut dibangun di atas ini.

Faktorisasi trinomial kuadrat mengacu pada tugas sekolah yang akan dihadapi semua orang cepat atau lambat. Bagaimana cara melakukannya? Apa rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi? Mari kita membahasnya langkah demi langkah dengan contoh.

Rumus umum

Faktorisasi trinomial kuadrat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Ini adalah masalah sederhana yang dapat diselesaikan dengan beberapa metode - dengan mencari diskriminan, menggunakan teorema Vieta, ada dan cara grafis solusi. Dua metode pertama dipelajari di sekolah menengah.

Rumus umumnya terlihat seperti ini:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritma eksekusi tugas

Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat, Anda perlu mengetahui teorema Wit, memiliki program untuk menyelesaikannya, dapat menemukan solusi secara grafis, atau mencari akar persamaan derajat kedua melalui rumus diskriminan. Jika trinomial kuadrat diberikan dan harus difaktorkan, algoritma tindakannya adalah sebagai berikut:

1) Samakan ekspresi asli dengan nol untuk mendapatkan persamaan.

2) Berikan istilah serupa (bila perlu).

3) Temukan akar dari sembarang cara yang diketahui. Metode grafis paling baik digunakan jika diketahui sebelumnya bahwa akar-akarnya adalah bilangan bulat dan bilangan kecil. Harus diingat bahwa jumlah akar sama dengan derajat maksimum persamaan, yaitu persamaan kuadrat memiliki dua akar.

4) Nilai pengganti x menjadi ekspresi (1).

5) Tuliskan faktorisasi trinomial persegi.

Contoh

Latihan memungkinkan Anda untuk akhirnya memahami bagaimana tugas ini dilakukan. Contoh mengilustrasikan faktorisasi trinomial persegi:

anda perlu memperluas ekspresi:

Mari gunakan algoritme kami:

1) x 2 -17x+32=0

2) istilah serupa dikurangi

3) menurut rumus Vieta, sulit untuk menemukan akar untuk contoh ini, oleh karena itu lebih baik menggunakan ekspresi untuk diskriminan:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Substitusi akar yang kita temukan dalam rumus utama untuk ekspansi:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Maka jawabannya adalah:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Mari kita periksa apakah solusi yang ditemukan oleh diskriminan sesuai dengan rumus Vieta:

14,845 . 2,155=32

Untuk akar-akar ini, teorema Vieta diterapkan, mereka ditemukan dengan benar, yang berarti bahwa faktorisasi yang kami peroleh juga benar.

Demikian pula, kami memperluas 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Dalam kasus sebelumnya, solusinya adalah non-integer, tapi bilangan asli, yang mudah ditemukan dengan kalkulator di depan Anda. Sekarang pertimbangkan lebih banyak contoh kompleks, di mana akarnya akan menjadi kompleks: faktorkan x 2 + 4x + 9. Menurut rumus Vieta, akarnya tidak dapat ditemukan, dan diskriminannya negatif. Akar akan berada di bidang kompleks.

D=-20

Berdasarkan ini, kami mendapatkan akar yang kami minati -4 + 2i * 5 1/2 dan -4-2i * 5 1/2 karena (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Kami mendapatkan ekspansi yang diinginkan dengan mengganti akar ke dalam rumus umum.

Contoh lain: Anda perlu memfaktorkan ekspresi 23x 2 -14x + 7.

Kami memiliki persamaan 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Jadi akar-akarnya adalah 14+21.166i dan 14-21.166i. Jawabannya adalah:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Mari kita beri contoh yang dapat diselesaikan tanpa bantuan diskriminan.

Biarkan perlu untuk menguraikan persamaan kuadrat x 2 -32x + 255. Jelas, itu juga dapat diselesaikan oleh diskriminan, tetapi dalam hal ini lebih cepat untuk menemukan akarnya.

x 1 = 15

x2=17

Cara x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Dunia tenggelam dalam sejumlah besar angka. Setiap perhitungan terjadi dengan bantuan mereka.

Orang belajar angka agar tidak tertipu di kemudian hari. Penting untuk mencurahkan banyak waktu untuk dididik dan menghitung anggaran Anda sendiri.

Matematika merupakan salah satu ilmu eksakta yang berperan besar dalam kehidupan. Di sekolah, anak-anak belajar angka, dan kemudian, tindakan pada mereka.

Tindakan pada angka sangat berbeda: perkalian, ekspansi, penambahan, dan lainnya. Selain rumus sederhana, tindakan yang lebih kompleks juga digunakan dalam pembelajaran matematika. Ada sejumlah besar formula yang dengannya nilai apa pun diketahui.

Di sekolah, begitu aljabar muncul, rumus-rumus penyederhanaan ditambahkan ke dalam kehidupan seorang siswa. Ada persamaan ketika ada dua angka yang tidak diketahui, tetapi temukan secara sederhana Tidak akan berhasil. Trinomial adalah senyawa dari tiga monomial, dengan bantuan metode sederhana pengurangan dan penambahan. Trinomial diselesaikan menggunakan teorema Vieta dan diskriminan.

Rumus untuk memfaktorkan trinomial kuadrat menjadi faktor

Ada dua yang benar dan solusi sederhana contoh:

diskriminatif;
teorema Vieta.

Trinomial persegi memiliki kuadrat yang tidak diketahui, serta angka tanpa kuadrat. Opsi pertama untuk menyelesaikan masalah menggunakan rumus Vieta. Ini rumus sederhana jika digit yang datang sebelum tidak diketahui akan menjadi nilai minimum.

Untuk persamaan lain, di mana bilangan tersebut berada di depan yang tidak diketahui, persamaan tersebut harus diselesaikan melalui diskriminan. Ini sudah berakhir keputusan yang sulit, tetapi diskriminan lebih sering digunakan daripada teorema Vieta.

Awalnya, untuk menemukan semua variabel persamaan, perlu menaikkan contoh ke 0. Solusi dari contoh dapat diperiksa dan mengetahui apakah angka-angkanya disesuaikan dengan benar.

diskriminatif

1. Persamaan harus disamakan dengan 0.

2. Setiap bilangan sebelum x akan disebut bilangan a, b, c. Karena tidak ada bilangan sebelum kuadrat pertama x, itu sama dengan 1.

3. Sekarang solusi persamaan dimulai melalui diskriminan:

4. Sekarang kita telah menemukan diskriminan dan menemukan dua x. Perbedaannya adalah bahwa dalam satu kasus b akan didahului oleh plus, dan dalam kasus lain dengan minus:

5. Dengan memecahkan dua angka, ternyata -2 dan -1. Substitusi ke persamaan awal:

6. Dalam contoh ini, ternyata dua pilihan yang benar. Jika kedua solusi benar, maka masing-masing solusi benar.

Persamaan yang lebih kompleks juga diselesaikan melalui diskriminan. Tetapi jika nilai diskriminan itu sendiri kurang dari 0, maka contoh tersebut salah. Diskriminan dalam pencarian selalu di bawah root, dan nilai negatif tidak bisa di root.

teorema Vieta

Ini digunakan untuk menyelesaikan masalah mudah, di mana x pertama tidak didahului oleh angka, yaitu, a=1. Jika opsi cocok, maka perhitungan dilakukan melalui teorema Vieta.

Untuk menyelesaikan setiap trinomial persamaan harus dinaikkan menjadi 0. Langkah pertama untuk diskriminan dan teorema Vieta adalah sama.

2. Sekarang ada perbedaan antara kedua metode. Teorema Vieta tidak hanya menggunakan perhitungan "kering", tetapi juga logika dan intuisi. Setiap angka memiliki huruf a, b, c sendiri-sendiri. Teorema ini menggunakan jumlah dan hasil kali dua bilangan.

Ingat! Angka b selalu ditambahkan dengan tanda yang berlawanan, dan angka c tetap tidak berubah!

Mengganti nilai data dalam contoh , kita mendapatkan:

3. Dengan menggunakan metode logika, kita substitusikan bilangan yang paling sesuai. Pertimbangkan semua solusi yang mungkin:

Angkanya adalah 1 dan 2. Jika dijumlahkan, kita mendapatkan 3, tetapi jika dikalikan, kita tidak mendapatkan 4. Tidak sesuai.
Nilai 2 dan -2. Kalau dikalikan jadi -4, tapi kalau dijumlahkan ternyata 0. Kurang cocok.
Nomor 4 dan -1. Karena perkalian mengandung nilai negatif, itu berarti salah satu angka akan bernilai minus. Cocok untuk penjumlahan dan perkalian. Pilihan yang benar.

4. Tetap hanya untuk memeriksa, meletakkan angka-angka, dan melihat apakah opsi yang dipilih benar.

5. Berkat pemeriksaan online, kami menemukan bahwa -1 tidak sesuai dengan kondisi contoh, yang berarti itu adalah solusi yang salah.

Saat menambahkan nilai negatif dalam contoh, Anda harus memasukkan nomor dalam tanda kurung.

Dalam matematika akan selalu ada tugas sederhana dan kompleks. Ilmu itu sendiri mencakup berbagai masalah, teorema dan rumus. Jika Anda memahami dan menerapkan pengetahuan dengan benar, maka setiap kesulitan dengan perhitungan akan menjadi sepele.

Matematika tidak membutuhkan hafalan yang konstan. Anda perlu belajar memahami solusi dan mempelajari beberapa rumus. Secara bertahap, menurut kesimpulan logis, adalah mungkin untuk menyelesaikan masalah serupa, persamaan. Ilmu seperti itu mungkin tampak sangat sulit pada pandangan pertama, tetapi jika seseorang terjun ke dunia angka dan tugas, maka pandangannya akan berubah secara dramatis dalam beberapa tahun terakhir. sisi yang lebih baik.

Spesialisasi teknis selalu menjadi yang paling dicari di dunia. Sekarang, di dunia teknologi modern Matematika telah menjadi atribut yang tak terpisahkan dari bidang apa pun. Anda harus selalu ingat tentang properti yang berguna matematika.

Dekomposisi trinomial dengan tanda kurung

Selain menyelesaikan dengan cara biasa, ada satu lagi - dekomposisi menjadi tanda kurung. Digunakan dengan formula Vieta.

1. Samakan persamaan dengan 0.

kapak 2 + bx+ c= 0

2. Akar persamaan tetap sama, tetapi bukannya nol, mereka sekarang menggunakan rumus ekspansi braket.

kapak 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Solusi x=-1, x=3

Faktorisasi trinomial persegi dapat berguna ketika memecahkan pertidaksamaan dari masalah C3 atau masalah dengan parameter C5. Juga, banyak masalah kata B13 akan diselesaikan lebih cepat jika Anda mengetahui teorema Vieta.

Teorema ini, tentu saja, dapat dipertimbangkan dari sudut pandang kelas 8, di mana ia pertama kali lulus. Tapi tugas kita adalah mempersiapkan ujian dengan baik dan belajar bagaimana menyelesaikan tugas ujian seefisien mungkin. Oleh karena itu, pada pembelajaran kali ini pendekatannya sedikit berbeda dengan pembelajaran di sekolah.

Rumus untuk akar persamaan menurut teorema Vieta tahu (atau setidaknya telah melihat) banyak:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

di mana `a, b` dan `c` adalah koefisien dari trinomial kuadrat `ax^2+bx+c`.

Untuk mempelajari cara menggunakan teorema dengan mudah, mari kita pahami dari mana asalnya (akan lebih mudah untuk mengingat dengan cara ini).

Misalkan persamaan `ax^2+ bx+ c = 0`. Untuk kemudahan lebih lanjut, kita membaginya dengan `a` dan mendapatkan `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Persamaan seperti itu disebut persamaan kuadrat tereduksi.

Poin pelajaran penting: setiap polinomial persegi yang memiliki akar dapat didekomposisi menjadi tanda kurung. Misalkan kita dapat direpresentasikan sebagai `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, di mana `k` dan ` l` - beberapa konstanta.

Mari kita lihat bagaimana tanda kurung terbuka:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Jadi, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ini sedikit berbeda dari interpretasi klasik Teorema Vieta- di dalamnya kita mencari akar persamaan. Saya mengusulkan untuk mencari istilah untuk ekspansi braket- jadi Anda tidak perlu mengingat minus dari rumus (artinya `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Cukup memilih dua angka seperti itu, yang jumlahnya sama dengan koefisien rata-rata, dan produknya sama dengan suku bebas.

Jika kita membutuhkan solusi untuk persamaan, maka jelas: akar `x=-k` atau `x=-l` (karena dalam kasus ini salah satu tanda kurung akan diset ke nol, yang berarti bahwa seluruh ekspresi akan sama dengan nol).

Sebagai contoh, saya akan menunjukkan algoritma, cara menguraikan polinomial persegi menjadi tanda kurung.

Contoh satu. Algoritma untuk Memfaktorkan Trinomial Persegi

Jalur yang kita miliki adalah trinomial persegi `x^2+5x+4`.

Dikurangi (koefisien dari `x^2` sama dengan satu). Dia memiliki akar. (Yang pasti, Anda dapat memperkirakan diskriminan dan memastikan bahwa itu lebih besar dari nol.)

Langkah selanjutnya (mereka perlu dipelajari dengan melakukan semua tugas pelatihan):

Buat notasi berikut: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Tinggalkan ruang kosong alih-alih titik, kami akan menambahkan angka dan tanda yang sesuai di sana.
Lihat semua opsi yang memungkinkan, bagaimana Anda dapat menguraikan angka `4` menjadi produk dua angka. Kami mendapatkan pasangan "kandidat" untuk akar persamaan: `2, 2` dan `1, 4`.
Perkirakan dari pasangan mana Anda bisa mendapatkan koefisien rata-rata. Jelas itu `1, 4`.
Tulis $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
Langkah selanjutnya adalah menempatkan tanda di depan angka yang disisipkan.
Bagaimana memahami dan mengingat selamanya tanda apa yang harus ada di depan angka dalam tanda kurung? Cobalah untuk memperluasnya (tanda kurung). Koefisien sebelum `x` hingga pangkat pertama adalah `(± 4 ± 1)` (kita belum mengetahui tanda-tandanya - kita harus memilih), dan itu harus sama dengan `5`. Jelas, akan ada dua plus di sini $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Lakukan operasi ini beberapa kali (halo, tugas pelatihan!) dan tidak akan pernah ada masalah lagi dengan ini.

Jika Anda perlu menyelesaikan persamaan `x^2+5x+4`, maka sekarang solusinya tidak sulit. Akarnya adalah `-4, -1`.

Contoh kedua. Faktorisasi suatu trinomial bujur sangkar dengan koefisien tanda yang berbeda

Mari kita selesaikan persamaan `x^2-x-2=0`. Begitu saja, diskriminannya positif.

Kami mengikuti algoritma.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
Hanya ada satu faktorisasi bilangan bulat dari 2: `2 · 1`.
Kami melewatkan intinya - tidak ada yang bisa dipilih.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Produk dari angka-angka kita adalah negatif (`-2` adalah istilah bebas), yang berarti salah satunya akan negatif dan yang lainnya positif.
Karena jumlah mereka sama dengan `-1` (koefisien `x`), maka `2` akan negatif (penjelasan intuitif - dua lebih besar dari dua angka, itu akan "menarik" lebih banyak ke arah negatif). Kami mendapatkan $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Contoh ketiga. Faktorisasi trinomial persegi

Persamaan `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Penguraian 84 menjadi faktor bilangan bulat: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Karena kita membutuhkan selisih (atau jumlah) dari angka-angka tersebut menjadi 5, maka pasangan `7, 12` dapat digunakan.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Harapan, dekomposisi trinomial persegi ini menjadi tanda kurung jernih.

Jika Anda membutuhkan solusi untuk persamaan tersebut, maka ini dia: `12, -7`.