Persamaan kuadrat memecahkan dan solusi. persamaan kuadrat

Melanjutkan topik “Menyelesaikan Persamaan”, materi dalam artikel ini akan memperkenalkan Anda pada persamaan kuadrat.

Mari kita pertimbangkan semuanya secara rinci: esensi dan notasi persamaan kuadrat, mengatur istilah yang menyertainya, menganalisis skema untuk menyelesaikan persamaan yang tidak lengkap dan lengkap, berkenalan dengan rumus akar dan diskriminan, membangun hubungan antara akar dan koefisien, dan Tentu saja kami akan memberikan solusi visual dari contoh-contoh praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Persamaan kuadrat, jenisnya

Definisi 1

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang ditulis sebagai a x 2 + b x + c = 0, di mana x– variabel, a , b dan c adalah beberapa angka, sedangkan sebuah tidak nol.

Seringkali, persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena sebenarnya persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar derajat kedua.

Mari kita beri contoh untuk menggambarkan definisi yang diberikan: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, dst. adalah persamaan kuadrat.

Definisi 2

Bilangan a , b dan c adalah koefisien persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, sedangkan koefisien sebuah disebut yang pertama, atau senior, atau koefisien di x 2, b - koefisien kedua, atau koefisien di x, sebuah c disebut anggota bebas.

Misalnya, dalam persamaan kuadrat 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 koefisien tertinggi adalah 6 , koefisien kedua adalah − 2 , dan suku bebasnya sama dengan − 11 . Mari kita perhatikan fakta bahwa ketika koefisien b dan/atau c negatif, maka bentuk singkatan yang digunakan 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, tapi tidak 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Mari kita juga memperjelas aspek ini: jika koefisien sebuah dan/atau b setara 1 atau − 1 , maka mereka mungkin tidak mengambil bagian eksplisit dalam menulis persamaan kuadrat, yang dijelaskan oleh kekhasan penulisan koefisien numerik yang ditunjukkan. Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 y + 7 = 0 koefisien senior adalah 1 dan koefisien kedua adalah − 1 .

Persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi

Menurut nilai koefisien pertama, persamaan kuadrat dibagi menjadi berkurang dan tidak berkurang.

Definisi 3

Persamaan kuadrat tereduksi adalah persamaan kuadrat di mana koefisien terkemuka adalah 1 . Untuk nilai lain dari koefisien terkemuka, persamaan kuadrat tidak direduksi.

Berikut adalah beberapa contoh: persamaan kuadrat x 2 4 · x + 3 = 0 , x 2 x 4 5 = 0 dikurangi, di mana masing-masing koefisien utamanya adalah 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- persamaan kuadrat yang tidak direduksi, di mana koefisien pertama berbeda dari 1 .

Setiap persamaan kuadrat yang tidak tereduksi dapat diubah menjadi persamaan tereduksi dengan membagi kedua bagiannya dengan koefisien pertama (transformasi ekuivalen). Persamaan yang ditransformasi akan memiliki akar yang sama dengan persamaan tak tereduksi yang diberikan atau juga tidak memiliki akar sama sekali.

Pertimbangan contoh spesifik akan memungkinkan kita untuk dengan jelas menunjukkan transisi dari persamaan kuadrat yang tidak direduksi ke persamaan yang dikurangi.

Contoh 1

Diketahui persamaan 6 x 2 + 18 x 7 = 0 . Hal ini diperlukan untuk mengubah persamaan asli ke dalam bentuk tereduksi.

Keputusan

Menurut skema di atas, kami membagi kedua bagian persamaan asli dengan koefisien utama 6 . Kemudian kita mendapatkan: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, dan ini sama dengan: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 7: 3 = 0 dan selanjutnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x 7: 6 = 0 . Dari sini: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Dengan demikian, persamaan yang setara dengan yang diberikan diperoleh.

Menjawab: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Mari kita beralih ke definisi persamaan kuadrat. Di dalamnya, kami menentukan bahwa sebuah 0. Kondisi serupa diperlukan untuk persamaan a x 2 + b x + c = 0 persis persegi, karena a = 0 itu pada dasarnya berubah menjadi persamaan linier bx + c = 0.

Dalam kasus di mana koefisien b dan c sama dengan nol (yang mungkin, baik secara individu maupun bersama-sama), persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, di mana setidaknya salah satu koefisien b dan c(atau keduanya) adalah nol.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan kuadrat di mana semua koefisien numerik tidak sama dengan nol.

Mari kita bahas mengapa jenis persamaan kuadrat diberi nama yang persis seperti itu.

Untuk b = 0, persamaan kuadrat berbentuk a x 2 + 0 x + c = 0, yang sama dengan a x 2 + c = 0. Pada c = 0 persamaan kuadrat ditulis sebagai a x 2 + b x + 0 = 0, yang setara a x 2 + b x = 0. Pada b = 0 dan c = 0 persamaan akan berbentuk ax2 = 0. Persamaan yang kita peroleh berbeda dari persamaan kuadrat penuh karena ruas kirinya tidak mengandung salah satu suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya sekaligus. Sebenarnya, fakta ini memberi nama untuk jenis persamaan ini - tidak lengkap.

Misalnya, x 2 + 3 x + 4 = 0 dan 7 x 2 2 x + 1, 3 = 0 adalah persamaan kuadrat lengkap; x 2 \u003d 0, 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , x 2 6 x = 0 adalah persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Definisi yang diberikan di atas memungkinkan untuk membedakan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap berikut ini:

• ax2 = 0, koefisien sesuai dengan persamaan tersebut b = 0 dan c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 untuk b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 untuk c = 0 .

Pertimbangkan berturut-turut solusi dari setiap jenis persamaan kuadrat tidak lengkap.

Solusi persamaan a x 2 \u003d 0

Seperti yang telah disebutkan di atas, persamaan seperti itu sesuai dengan koefisien b dan c, sama dengan nol. persamaan ax2 = 0 dapat diubah menjadi persamaan ekuivalen x2 = 0, yang kita peroleh dengan membagi kedua ruas persamaan awal dengan bilangan sebuah, tidak sama dengan nol. Fakta yang jelas adalah bahwa akar persamaan x2 = 0 adalah nol karena 0 2 = 0 . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dijelaskan oleh sifat-sifat derajat: untuk bilangan apa pun p , tidak sama dengan nol, pertidaksamaan benar p2 > 0, yang berarti bahwa ketika p 0 persamaan p2 = 0 tidak akan pernah tercapai.

Definisi 5

Jadi, untuk persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 = 0, ada akar unik x=0.

Contoh 2

Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan kuadrat yang tidak lengkap 3 x 2 = 0. Ini setara dengan persamaan x2 = 0, satu-satunya akarnya adalah x=0, maka persamaan asli memiliki akar tunggal - nol.

Solusinya diringkas sebagai berikut:

3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusi persamaan a x 2 + c \u003d 0

Baris berikutnya adalah solusi persamaan kuadrat tidak lengkap, di mana b \u003d 0, c 0, yaitu, persamaan bentuk a x 2 + c = 0. Mari kita ubah persamaan ini dengan memindahkan suku dari satu sisi persamaan ke sisi yang lain, mengubah tanda ke sisi yang berlawanan dan membagi kedua sisi persamaan dengan angka yang tidak sama dengan nol:

• menderita c ke sisi kanan, yang memberikan persamaan ax2 = c;
• bagi kedua ruas persamaan dengan sebuah, kita dapatkan sebagai hasilnya x = - c a .

Transformasi kami setara, masing-masing, persamaan yang dihasilkan juga setara dengan yang asli, dan fakta ini memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang akar persamaan. Dari apa nilai-nilainya? sebuah dan c tergantung pada nilai ekspresi - c a: dapat memiliki tanda minus (misalnya, jika a = 1 dan c = 2, maka - c a = - 2 1 = - 2) atau tanda tambah (misalnya, jika a = -2 dan c=6, maka - c a = - 6 - 2 = 3); itu tidak sama dengan nol karena c 0. Mari kita membahas lebih detail tentang situasi ketika - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kasus ketika - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p persamaan p 2 = - c a tidak mungkin benar.

Semuanya berbeda ketika - c a > 0: ingat akar kuadrat, dan akan menjadi jelas bahwa akar persamaan x 2 \u003d - c a akan menjadi angka - c a, karena - c a 2 \u003d - c a. Mudah dipahami bahwa bilangan - - c a - juga merupakan akar dari persamaan x 2 = - c a: memang, - - c a 2 = - c a .

Persamaan tidak akan memiliki akar lain. Kita dapat mendemonstrasikan ini dengan menggunakan metode yang berlawanan. Pertama, mari kita atur notasi akar yang ditemukan di atas sebagai x 1 dan x 1. Mari kita asumsikan bahwa persamaan x 2 = - c a juga memiliki akar x2, yang berbeda dengan akarnya x 1 dan x 1. Kita tahu bahwa dengan mensubstitusi ke dalam persamaan, bukan x akarnya, kami mengubah persamaan menjadi kesetaraan numerik yang adil.

Untuk x 1 dan x 1 tulis: x 1 2 = - c a , dan untuk x2- x 2 2 \u003d - c a. Berdasarkan sifat persamaan numerik, kita kurangi satu persamaan sejati dari suku lain dengan suku, yang akan memberi kita: x 1 2 x 2 2 = 0. Gunakan sifat-sifat operasi bilangan untuk menulis ulang persamaan terakhir sebagai (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Diketahui hasil kali dua bilangan adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satu bilangan adalah nol. Dari apa yang telah dikatakan, berikut ini x1 x2 = 0 dan/atau x1 + x2 = 0, yang sama x2 = x1 dan/atau x 2 = x 1. Kontradiksi yang jelas muncul, karena pada awalnya disepakati bahwa akar persamaan x2 berbeda dari x 1 dan x 1. Jadi, kami telah membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar selain x = - c a dan x = - - c a .

Kami merangkum semua argumen di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + c = 0 setara dengan persamaan x 2 = - c a , yang:

• tidak akan memiliki akar di - c a< 0 ;
• akan memiliki dua akar x = - c a dan x = - - c a ketika - c a > 0 .

Mari kita berikan contoh penyelesaian persamaan a x 2 + c = 0.

Contoh 3

Diberikan persamaan kuadrat 9 x 2 + 7 = 0 . Solusinya perlu dicari.

Keputusan

Kami mentransfer istilah bebas ke sisi kanan persamaan, maka persamaan akan mengambil bentuk 9 x 2 \u003d - 7.
Kami membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai pada x 2 = - 7 9 . Di sebelah kanan kita melihat angka dengan tanda minus, yang berarti: persamaan yang diberikan tidak memiliki akar. Maka persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 + 7 = 0 tidak akan memiliki akar.

Menjawab: persamaan 9 x 2 + 7 = 0 tidak memiliki akar.

Contoh 4

Hal ini diperlukan untuk memecahkan persamaan x2 + 36 = 0.

Keputusan

Mari kita pindahkan 36 ke sisi kanan: x 2 = 36.
Mari kita bagi kedua bagian menjadi − 1 , kita mendapatkan x2 = 36. Di sisi kanan adalah angka positif, dari mana kita dapat menyimpulkan bahwa x = 36 atau x = - 36 .
Kami mengekstrak akarnya dan menulis hasil akhirnya: persamaan kuadrat yang tidak lengkap x2 + 36 = 0 memiliki dua akar x=6 atau x = -6.

Menjawab: x=6 atau x = -6.

Solusi persamaan a x 2 +b x=0

Mari kita menganalisis jenis ketiga persamaan kuadrat tidak lengkap, ketika c = 0. Untuk mencari solusi persamaan kuadrat yang tidak lengkap a x 2 + b x = 0, kami menggunakan metode faktorisasi. Mari kita faktorkan polinomial, yang ada di sisi kiri persamaan, dengan mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung x. Langkah ini akan memungkinkan untuk mengubah persamaan kuadrat tidak lengkap asli menjadi setara x (a x + b) = 0. Dan persamaan ini, pada gilirannya, setara dengan himpunan persamaan x=0 dan ax + b = 0. persamaan ax + b = 0 linier, dan akarnya: x = b a.

Definisi 7

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + b x = 0 akan memiliki dua akar x=0 dan x = b a.

Mari kita gabungkan materi dengan sebuah contoh.

Contoh 5

Solusi dari persamaan 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Keputusan

Mari kita keluarkan x di luar kurung dan dapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Persamaan ini setara dengan persamaan x=0 dan 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Secara singkat, kami menulis solusi persamaan sebagai berikut:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 atau x = 3 3 7

Menjawab: x = 0, x = 3 3 7 .

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menemukan solusi persamaan kuadrat, ada rumus akar:

Definisi 8

x = - b ± D 2 a, dimana D = b 2 4 a c adalah yang disebut diskriminan dari persamaan kuadrat.

Menulis x \u003d - b ± D 2 a pada dasarnya berarti bahwa x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Akan berguna untuk memahami bagaimana rumus yang ditunjukkan diturunkan dan bagaimana menerapkannya.

Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat

Misalkan kita dihadapkan dengan tugas memecahkan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0. Mari kita lakukan sejumlah transformasi ekuivalen:

• bagi kedua ruas persamaan dengan bilangan sebuah, berbeda dari nol, kami memperoleh persamaan kuadrat tereduksi: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• pilih kotak penuh di sisi kiri persamaan yang dihasilkan:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Setelah ini, persamaan akan berbentuk: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• sekarang dimungkinkan untuk memindahkan dua suku terakhir ke ruas kanan, mengubah tanda menjadi kebalikannya, setelah itu kita mendapatkan: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• akhirnya, kami mengubah ekspresi yang tertulis di sisi kanan persamaan terakhir:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Jadi, kita sampai pada persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , yang ekivalen dengan persamaan awal a x 2 + b x + c = 0.

Kami membahas solusi persamaan tersebut di paragraf sebelumnya (solusi persamaan kuadrat tidak lengkap). Pengalaman yang telah diperoleh memungkinkan untuk menarik kesimpulan mengenai akar-akar persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• untuk b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, persamaannya berbentuk x + b 2 · a 2 = 0, maka x + b 2 · a = 0.

Dari sini, satu-satunya akar x = - b 2 · a jelas;

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, yang benar adalah: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , yang merupakan sama dengan x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , yaitu. persamaan memiliki dua akar.

Dimungkinkan untuk menyimpulkan bahwa ada atau tidaknya akar-akar persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (dan karenanya persamaan aslinya) bergantung pada tanda dari ekspresi b 2 - 4 a c 4 · a 2 tertulis di sisi kanan. Dan tanda dari ungkapan ini diberikan oleh tanda pembilangnya, (penyebutnya 4 a 2 akan selalu positif), yaitu, tanda dari ekspresi b 2 4 a c. Ekspresi ini b 2 4 a c nama diberikan - diskriminan dari persamaan kuadrat dan huruf D didefinisikan sebagai penunjukannya. Di sini Anda dapat menuliskan esensi diskriminan - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka menyimpulkan apakah persamaan kuadrat akan memiliki akar nyata, dan, jika demikian, berapa banyak akar - satu atau dua.

Mari kembali ke persamaan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Mari kita tulis ulang dengan menggunakan notasi diskriminan: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Mari kita rekap kesimpulannya:

Definisi 9

• pada D< 0 persamaan tidak memiliki akar real;
• pada D=0 persamaan memiliki akar tunggal x = - b 2 · a ;
• pada D > 0 persamaan memiliki dua akar: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 atau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Berdasarkan sifat-sifat radikal, akar-akar ini dapat ditulis sebagai: x \u003d - b 2 a + D 2 a atau - b 2 a - D 2 a. Dan ketika kita membuka modul dan mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Jadi, hasil penalaran kita adalah turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminan D dihitung dengan rumus D = b 2 4 a c.

Rumus ini memungkinkan, ketika diskriminan lebih besar dari nol, untuk menentukan kedua akar real. Ketika diskriminan adalah nol, menerapkan kedua rumus akan memberikan akar yang sama sebagai satu-satunya solusi untuk persamaan kuadrat. Dalam kasus ketika diskriminan negatif, mencoba menggunakan rumus akar kuadrat, kita akan dihadapkan pada kebutuhan untuk mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif, yang akan membawa kita melampaui bilangan real. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak akan memiliki akar real, tetapi sepasang akar konjugat kompleks dimungkinkan, ditentukan oleh rumus akar yang sama yang kita peroleh.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Dimungkinkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan segera menggunakan rumus akar, tetapi pada dasarnya ini dilakukan ketika diperlukan untuk menemukan akar kompleks.

Dalam sebagian besar kasus, pencarian biasanya tidak dimaksudkan untuk kompleks, tetapi untuk akar real dari persamaan kuadrat. Maka optimal, sebelum menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, tentukan dulu diskriminannya dan pastikan tidak negatif (jika tidak kita akan menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar real), dan kemudian lanjutkan untuk menghitung nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Definisi 10

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, diperlukan:

• sesuai dengan rumus D = b 2 4 a c cari nilai diskriminannya;
• di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• untuk D = 0 temukan satu-satunya akar persamaan dengan rumus x = - b 2 · a ;
• untuk D > 0, tentukan dua akar real persamaan kuadrat dengan rumus x = - b ± D 2 · a.

Perhatikan bahwa ketika diskriminan adalah nol, Anda dapat menggunakan rumus x = - b ± D 2 · a , itu akan memberikan hasil yang sama dengan rumus x = - b 2 · a .

Pertimbangkan contoh.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Kami menyajikan solusi dari contoh untuk berbagai nilai diskriminan.

Contoh 6

Hal ini diperlukan untuk menemukan akar persamaan x 2 + 2 x - 6 = 0.

Keputusan

Kami menulis koefisien numerik dari persamaan kuadrat: a \u003d 1, b \u003d 2 dan c = 6. Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme, mis. Mari kita mulai menghitung diskriminan, yang dengannya kita substitusikan koefisien a , b dan c ke dalam rumus diskriminan: D = b 2 4 a c = 2 2 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Jadi, kita mendapatkan D > 0, yang berarti bahwa persamaan asli akan memiliki dua akar real.
Untuk menemukannya, kami menggunakan rumus akar x \u003d - b ± D 2 · a dan, dengan mengganti nilai yang sesuai, kami mendapatkan: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Kami menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan dengan mengeluarkan faktor dari tanda akar, diikuti dengan pengurangan pecahan:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 atau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 atau x = - 1 - 7

Menjawab: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Contoh 7

Persamaan kuadrat harus diselesaikan 4 x 2 + 28 x 49 = 0.

Keputusan

Mari kita tentukan diskriminannya: D = 28 2 4 (− 4) (− 49) = 784 784 = 0. Dengan nilai diskriminan ini, persamaan asli hanya akan memiliki satu akar, ditentukan oleh rumus x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Menjawab: x = 3, 5.

Contoh 8

Hal ini diperlukan untuk memecahkan persamaan 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Keputusan

Koefisien numerik dari persamaan ini adalah: a = 5 , b = 6 dan c = 2 . Kami menggunakan nilai-nilai ini untuk menemukan diskriminan: D = b 2 4 · a · c = 6 2 4 · 5 · 2 = 36 40 = 4 . Diskriminan yang dihitung adalah negatif, sehingga persamaan kuadrat asli tidak memiliki akar real.

Dalam kasus ketika tugasnya adalah untuk menunjukkan akar kompleks, kami menerapkan rumus akar dengan melakukan operasi dengan bilangan kompleks:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 atau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i atau x = - 3 5 - 1 5 i .

Menjawab: tidak ada akar nyata; akar kompleksnya adalah: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Dalam kurikulum sekolah, sebagai standar, tidak ada persyaratan untuk mencari akar kompleks, oleh karena itu, jika diskriminan didefinisikan sebagai negatif selama penyelesaian, jawabannya segera dicatat bahwa tidak ada akar nyata.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus akar x = - b ± D 2 a (D = b 2 4 a c) memungkinkan untuk memperoleh rumus lain, lebih ringkas, memungkinkan Anda menemukan solusi untuk persamaan kuadrat dengan koefisien genap di x (atau dengan koefisien dari bentuk 2 a n, misalnya, 2 3 atau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana rumus ini diturunkan.

Misalkan kita dihadapkan pada tugas mencari solusi persamaan kuadrat a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Kami bertindak sesuai dengan algoritma: kami menentukan diskriminan D = (2 n) 2 4 a c = 4 n 2 4 a c = 4 (n 2 a c) , dan kemudian menggunakan rumus akar:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c.

Biarkan ekspresi n 2 a c dilambangkan sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Maka rumus untuk akar persamaan kuadrat yang dipertimbangkan dengan koefisien kedua 2 n akan berbentuk:

x \u003d - n ± D 1 a, di mana D 1 \u003d n 2 - a c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa D = 4 · D 1 , atau D 1 = D 4 . Dengan kata lain, D1 adalah seperempat dari diskriminan. Jelas, tanda D 1 sama dengan tanda D, yang berarti bahwa tanda D 1 juga dapat berfungsi sebagai indikator ada tidaknya akar persamaan kuadrat.

Definisi 11

Jadi, untuk menemukan solusi persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, perlu:

• cari D 1 = n 2 a c ;
• di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• untuk D 1 = 0, tentukan satu-satunya akar persamaan dengan rumus x = - n a ;
• untuk D 1 > 0, tentukan dua akar real menggunakan rumus x = - n ± D 1 a.

Contoh 9

Persamaan kuadrat harus diselesaikan 5 · x 2 6 · x 32 = 0.

Keputusan

Koefisien kedua dari persamaan yang diberikan dapat direpresentasikan sebagai 2 · (− 3) . Kemudian kita tulis ulang persamaan kuadrat yang diberikan menjadi 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x 32 = 0 , di mana a = 5 , n = 3 dan c = 32 .

Mari kita hitung bagian keempat dari diskriminan: D 1 = n 2 a c = (− 3) 2 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Nilai yang dihasilkan adalah positif, yang berarti persamaan tersebut memiliki dua akar real. Kami mendefinisikannya dengan rumus akar yang sesuai:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 atau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 atau x = - 2

Perhitungan dapat dilakukan dengan menggunakan rumus biasa untuk akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini solusinya akan lebih rumit.

Menjawab: x = 3 1 5 atau x = - 2 .

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang dimungkinkan untuk mengoptimalkan bentuk persamaan asli, yang akan menyederhanakan proses penghitungan akar.

Misalnya, persamaan kuadrat 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jelas lebih nyaman untuk diselesaikan daripada 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Lebih sering, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua bagiannya dengan angka tertentu. Misalnya, di atas kami menunjukkan representasi sederhana dari persamaan 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, diperoleh dengan membagi kedua bagiannya dengan 100.

Transformasi seperti itu dimungkinkan ketika koefisien persamaan kuadrat bukan bilangan prima yang relatif. Kemudian, biasanya, kedua bagian persamaan dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari nilai absolut koefisiennya.

Sebagai contoh, kita menggunakan persamaan kuadrat 12 x 2 42 x + 48 = 0. Mari kita tentukan gcd dari nilai absolut koefisiennya: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Mari kita bagi kedua bagian persamaan kuadrat asli dengan 6 dan dapatkan persamaan kuadrat yang setara 2 · x 2 7 · x + 8 = 0 .

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan kuadrat, koefisien pecahan biasanya dihilangkan. Dalam hal ini, kalikan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut koefisiennya. Misalnya, jika setiap bagian dari persamaan kuadrat 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 dikalikan dengan KPK (6, 3, 1) \u003d 6, maka akan ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Akhirnya, kami mencatat bahwa hampir selalu menghilangkan minus pada koefisien pertama persamaan kuadrat, mengubah tanda setiap suku persamaan, yang dicapai dengan mengalikan (atau membagi) kedua bagian dengan 1. Misalnya, dari persamaan kuadrat - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, Anda dapat beralih ke versi yang disederhanakan 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Hubungan antara akar dan koefisien

Rumus yang sudah diketahui untuk akar persamaan kuadrat x = - b ± D 2 · a menyatakan akar persamaan dalam bentuk koefisien numeriknya. Berdasarkan rumus ini, kami memiliki kesempatan untuk mengatur ketergantungan lain antara akar dan koefisien.

Yang paling terkenal dan dapat diterapkan adalah rumus teorema Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a dan x 2 \u003d c a.

Khususnya, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, jumlah akar-akarnya adalah koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas. Misalnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 · x 2 7 · x + 22 \u003d 0, dimungkinkan untuk segera menentukan bahwa jumlah akarnya adalah 7 3, dan hasil kali akarnya adalah 22 3.

Anda juga dapat menemukan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat dapat dinyatakan dalam koefisien:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Kami terus mempelajari topik solusi persamaan". Kita sudah berkenalan dengan persamaan linear dan sekarang kita akan berkenalan dengan persamaan kuadrat.

Pertama, kita akan membahas apa itu persamaan kuadrat, bagaimana persamaan itu ditulis dalam bentuk umum, dan memberikan definisi terkait. Setelah itu, dengan menggunakan contoh, kami akan menganalisis secara rinci bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan. Selanjutnya, mari kita beralih ke penyelesaian persamaan lengkap, mendapatkan rumus untuk akar-akarnya, berkenalan dengan diskriminan persamaan kuadrat, dan mempertimbangkan solusi untuk contoh-contoh tipikal. Akhirnya, kami menelusuri hubungan antara akar dan koefisien.

Navigasi halaman.

Apa itu persamaan kuadrat? Tipe mereka

Pertama, Anda perlu memahami dengan jelas apa persamaan kuadrat itu. Oleh karena itu, masuk akal untuk mulai membicarakan persamaan kuadrat dengan definisi persamaan kuadrat, serta definisi yang terkait dengannya. Setelah itu, Anda dapat mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadrat: dikurangi dan tidak dikurangi, serta persamaan lengkap dan tidak lengkap.

Pengertian dan contoh persamaan kuadrat

Definisi.

Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk a x 2 + b x + c = 0, di mana x adalah variabel, a , b dan c adalah beberapa angka, dan a berbeda dari nol.

Katakanlah segera bahwa persamaan kuadrat sering disebut persamaan derajat kedua. Karena persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar tingkat dua.

Definisi yang terdengar memungkinkan kita untuk memberikan contoh persamaan kuadrat. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, dst. adalah persamaan kuadrat.

Definisi.

angka a , b dan c disebut koefisien persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, dan koefisien a disebut koefisien pertama, atau senior, atau pada x 2, b adalah koefisien kedua, atau koefisien pada x, dan c adalah anggota bebas.

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat dalam bentuk 5 x 2 2 x−3=0, di sini koefisien utamanya adalah 5, koefisien kedua adalah 2, dan suku bebasnya adalah 3. Perhatikan bahwa ketika koefisien b dan/atau c negatif, seperti dalam contoh yang baru saja diberikan, bentuk singkat dari persamaan kuadrat dari bentuk 5 x 2 2 x−3=0 digunakan, bukan 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Perlu dicatat bahwa ketika koefisien a dan / atau b sama dengan 1 atau 1, maka mereka biasanya tidak secara eksplisit hadir dalam notasi persamaan kuadrat, yang disebabkan oleh kekhasan notasi tersebut . Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 y+3=0, koefisien utama adalah satu, dan koefisien di y adalah 1.

Persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi

Bergantung pada nilai koefisien utama, persamaan kuadrat tereduksi dan non-reduksi dibedakan. Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Persamaan kuadrat di mana koefisien utama adalah 1 disebut persamaan kuadrat tereduksi. Jika tidak, persamaan kuadratnya adalah tidak dikurangi.

Menurut definisi ini, persamaan kuadrat x 2 3 x+1=0 , x 2 x−2/3=0, dst. - dikurangi, di masing-masing dari mereka koefisien pertama sama dengan satu. Dan 5 x 2 x−1=0 , dst. - persamaan kuadrat yang tidak direduksi, koefisien utamanya berbeda dari 1 .

Dari persamaan kuadrat yang tidak tereduksi, dengan membagi kedua bagiannya dengan koefisien utama, Anda dapat beralih ke yang tereduksi. Tindakan ini merupakan transformasi ekuivalen, yaitu persamaan kuadrat tereduksi yang diperoleh dengan cara ini memiliki akar yang sama dengan persamaan kuadrat non-reduksi asli, atau, seperti itu, tidak memiliki akar.

Mari kita ambil contoh bagaimana transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan tereduksi dilakukan.

Contoh.

Dari persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, lanjutkan ke persamaan kuadrat tereduksi yang sesuai.

Keputusan.

Cukup bagi kita untuk melakukan pembagian kedua bagian persamaan asli dengan koefisien terkemuka 3, itu bukan nol, sehingga kita dapat melakukan tindakan ini. Kami memiliki (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , yang sama dengan (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , dan seterusnya (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , dari mana . Jadi kami mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi, yang setara dengan yang asli.

Menjawab:

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Ada kondisi a≠0 dalam definisi persamaan kuadrat. Kondisi ini diperlukan agar persamaan a x 2 +b x+c=0 benar-benar kuadrat, karena dengan a=0 sebenarnya menjadi persamaan linier berbentuk b x+c=0 .

Adapun koefisien b dan c, mereka bisa sama dengan nol, baik secara terpisah maupun bersama-sama. Dalam kasus ini, persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0 disebut tidak lengkap, jika setidaknya salah satu dari koefisien b , c sama dengan nol.

Pada gilirannya

Definisi.

Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan di mana semua koefisien berbeda dari nol.

Nama-nama ini tidak diberikan secara kebetulan. Ini akan menjadi jelas dari diskusi berikut.

Jika koefisien b sama dengan nol, maka persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +0 x+c=0 , dan setara dengan persamaan a x 2 +c=0 . Jika c=0 , yaitu, persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +b x+0=0 , maka dapat ditulis ulang menjadi a x 2 +b x=0 . Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapatkan persamaan kuadrat a·x 2 =0. Persamaan yang dihasilkan berbeda dari persamaan kuadrat penuh karena ruas kirinya tidak mengandung suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya. Karenanya namanya - persamaan kuadrat tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan 2 x 2 5 x+0,2=0 adalah contoh persamaan kuadrat lengkap, dan x 2 =0, 2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , x 2 5 x=0 adalah persamaan kuadrat yang tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat yang tidak lengkap

Ini mengikuti dari informasi paragraf sebelumnya bahwa ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:

• a x 2 =0 , koefisien b=0 dan c=0 sesuai dengan itu;
• a x 2 +c=0 saat b=0 ;
• dan a x 2 +b x=0 saat c=0 .

Mari kita menganalisis secara berurutan bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap dari masing-masing jenis ini diselesaikan.

a x 2 \u003d 0

Mari kita mulai dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap di mana koefisien b dan c sama dengan nol, yaitu dengan persamaan berbentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 ekuivalen dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh dari asal dengan membagi kedua bagiannya dengan bilangan bukan nol a. Jelas, akar persamaan x 2 \u003d 0 adalah nol, karena 0 2 \u003d 0. Persamaan ini tidak memiliki akar-akar lain, yang dijelaskan, memang, untuk sembarang bilangan tak nol p, ketidaksamaan p 2 >0 terjadi, yang menyiratkan bahwa untuk p≠0, persamaan p 2 =0 tidak pernah tercapai.

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 \u003d 0 memiliki akar tunggal x \u003d 0.

Sebagai contoh, kami memberikan solusi dari persamaan kuadrat tidak lengkap 4·x 2 =0. Ini setara dengan persamaan x 2 \u003d 0, satu-satunya akarnya adalah x \u003d 0, oleh karena itu, persamaan asli memiliki satu akar nol.

Solusi singkat dalam hal ini dapat dikeluarkan sebagai berikut:
4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 + c = 0

Sekarang perhatikan bagaimana persamaan kuadrat yang tidak lengkap diselesaikan, di mana koefisien b sama dengan nol, dan c≠0, yaitu, persamaan berbentuk a x 2 +c=0. Kita tahu bahwa pemindahan suku dari satu sisi persamaan ke sisi lain yang berlawanan tanda, serta pembagian kedua sisi persamaan dengan bilangan bukan nol, menghasilkan persamaan yang setara. Oleh karena itu, transformasi ekivalen berikut dari persamaan kuadrat tak lengkap a x 2 +c=0 dapat dilakukan:

• pindahkan c ke ruas kanan, yang memberikan persamaan a x 2 = c,
• dan membagi kedua bagiannya dengan a , kita dapatkan .

Persamaan yang dihasilkan memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan tentang akarnya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ekspresi bisa negatif (misalnya, jika a=1 dan c=2 , maka ) atau positif, (misalnya, jika a=−2 dan c=6 , maka ), tidak sama dengan nol , karena dengan syarat c≠0 . Kami akan menganalisis kasus dan .

Jika , maka persamaan tidak memiliki akar. Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa kuadrat dari bilangan apa pun adalah bilangan non-negatif. Dari sini dapat disimpulkan bahwa ketika , maka untuk sembarang bilangan p persamaan tidak mungkin benar.

Jika , maka situasi dengan akar persamaan berbeda. Dalam hal ini, jika kita mengingat tentang, maka akar persamaan segera menjadi jelas, itu adalah bilangan, sejak. Mudah ditebak bahwa bilangan tersebut juga merupakan akar dari persamaan , memang, . Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dapat ditunjukkan, misalnya, dengan kontradiksi. Ayo lakukan.

Mari kita nyatakan akar persamaan yang hanya disuarakan sebagai x 1 dan x 1 . Misalkan persamaan memiliki akar lain x 2 yang berbeda dari akar yang ditunjukkan x 1 dan x 1 . Diketahui bahwa substitusi ke dalam persamaan alih-alih x dari akar-akarnya mengubah persamaan menjadi persamaan numerik sejati. Untuk x 1 dan x 1 kita miliki , dan untuk x 2 kita miliki . Sifat-sifat persamaan numerik memungkinkan kita untuk melakukan pengurangan suku demi suku dari persamaan numerik yang sebenarnya, jadi mengurangkan bagian persamaan yang sesuai menghasilkan x 1 2 x 2 2 =0. Sifat-sifat operasi dengan angka memungkinkan kita untuk menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai (x 1 x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Kita tahu bahwa hasil kali dua bilangan sama dengan nol jika dan hanya jika paling sedikit salah satunya sama dengan nol. Oleh karena itu, dari persamaan yang diperoleh diperoleh bahwa x 1 x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0 , yang sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 = x 1 . Jadi kita sampai pada kontradiksi, karena pada awalnya kita mengatakan bahwa akar persamaan x 2 berbeda dengan x 1 dan x 1 . Ini membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar selain dan .

Mari kita rangkum informasi dalam paragraf ini. Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +c=0 setara dengan persamaan , yang

• tidak memiliki akar jika ,
• memiliki dua akar dan jika .

Perhatikan contoh penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap dalam bentuk a·x 2 +c=0 .

Mari kita mulai dengan persamaan kuadrat 9 x 2 +7=0 . Setelah memindahkan suku bebas ke ruas kanan persamaan, akan berbentuk 9·x 2 =−7. Membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai di . Karena bilangan negatif diperoleh di ruas kanan, persamaan ini tidak memiliki akar, oleh karena itu, persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 +7=0 tidak memiliki akar.

Mari selesaikan satu lagi persamaan kuadrat tidak lengkap x 2 +9=0. Kami mentransfer sembilan ke sisi kanan: -x 2 \u003d -9. Sekarang kita bagi kedua bagian dengan 1, kita mendapatkan x 2 =9. Sisi kanan berisi angka positif, dari mana kita menyimpulkan bahwa atau . Setelah kita menuliskan jawaban akhir: persamaan kuadrat tidak lengkap x 2 +9=0 memiliki dua akar x=3 atau x=−3.

a x 2 + b x = 0

Masih berurusan dengan solusi dari jenis terakhir persamaan kuadrat tidak lengkap untuk c=0 . Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk a x 2 +b x=0 memungkinkan Anda untuk memecahkan metode faktorisasi. Jelas, kita dapat, terletak di sisi kiri persamaan, yang cukup untuk mengambil faktor persekutuan x dari tanda kurung. Hal ini memungkinkan kita untuk berpindah dari persamaan kuadrat tidak lengkap asli ke persamaan ekuivalen dengan bentuk x·(a·x+b)=0 . Dan persamaan ini setara dengan himpunan dua persamaan x=0 dan a x+b=0 , yang terakhir adalah linier dan memiliki akar x=−b/a .

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 +b x=0 memiliki dua akar x=0 dan x=−b/a.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis solusi dari contoh spesifik.

Contoh.

Memecahkan persamaan.

Keputusan.

Kami mengambil x dari tanda kurung, ini memberikan persamaan. Ini setara dengan dua persamaan x=0 dan . Kami memecahkan persamaan linier yang dihasilkan: , dan setelah membagi bilangan campuran dengan pecahan biasa, kami menemukan . Oleh karena itu, akar-akar persamaan awal adalah x=0 dan .

Setelah mendapatkan latihan yang diperlukan, solusi persamaan tersebut dapat ditulis secara singkat:

Menjawab:

x=0 , .

Diskriminan, rumus akar-akar persamaan kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, ada rumus akar. Ayo tuliskan rumus akar persamaan kuadrat: , di mana D=b 2 4 a c- disebut diskriminan persamaan kuadrat. Notasi tersebut pada dasarnya berarti .

Sangat berguna untuk mengetahui bagaimana rumus akar diperoleh, dan bagaimana penerapannya dalam mencari akar persamaan kuadrat. Mari kita tangani ini.

Turunan dari rumus akar-akar persamaan kuadrat

Mari kita selesaikan persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0 . Mari kita lakukan beberapa transformasi yang setara:

• Kita dapat membagi kedua bagian persamaan ini dengan angka bukan nol a, sebagai hasilnya kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi.
• Sekarang pilih kotak penuh di sebelah kirinya: . Setelah itu, persamaan akan berbentuk .
• Pada tahap ini, dimungkinkan untuk melakukan pemindahan dua suku terakhir ke ruas kanan dengan tanda yang berlawanan, kita miliki .
• Dan mari kita juga mengubah ekspresi di sisi kanan: .

Hasilnya, kita sampai pada persamaan , yang ekuivalen dengan persamaan kuadrat awal a·x 2 +b·x+c=0 .

Kami telah memecahkan persamaan serupa dalam bentuk di paragraf sebelumnya ketika kami menganalisis. Hal ini memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut mengenai akar persamaan:

• jika , maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi nyata;
• jika , maka persamaan memiliki bentuk , Oleh karena itu, , dari mana akar satu-satunya terlihat;
• jika , maka atau , yang sama dengan atau , yaitu, persamaan memiliki dua akar.

Jadi, ada atau tidaknya akar-akar persamaan, dan dengan demikian persamaan kuadrat aslinya, bergantung pada tanda ekspresi di ruas kanan. Pada gilirannya, tanda dari ekspresi ini ditentukan oleh tanda pembilangnya, karena penyebutnya 4 a 2 selalu positif, yaitu, tanda dari ekspresi b 2 4 a c . Ungkapan ini b 2 4 a c disebut diskriminan persamaan kuadrat dan ditandai dengan huruf D. Dari sini, esensi diskriminan jelas - dengan nilai dan tandanya, disimpulkan apakah persamaan kuadrat memiliki akar nyata, dan jika demikian, berapa nomornya - satu atau dua.

Kami kembali ke persamaan , menulis ulang menggunakan notasi diskriminan: . Dan kami menyimpulkan:

• jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jika D=0, maka persamaan ini memiliki akar tunggal;
• akhirnya, jika D>0, maka persamaan memiliki dua akar atau , yang dapat ditulis ulang dalam bentuk atau , dan setelah memperluas dan mengurangi pecahan ke penyebut yang sama, kita mendapatkan .

Jadi kami menurunkan rumus untuk akar persamaan kuadrat, mereka terlihat seperti , di mana diskriminan D dihitung dengan rumus D=b 2 4 a c .

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminan positif, Anda dapat menghitung kedua akar real dari persamaan kuadrat. Ketika diskriminan sama dengan nol, kedua rumus memberikan nilai akar yang sama yang sesuai dengan satu-satunya solusi persamaan kuadrat. Dan dengan diskriminan negatif, ketika mencoba menggunakan rumus untuk akar persamaan kuadrat, kita dihadapkan dengan mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif, yang membawa kita keluar dari cakupan kurikulum sekolah. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real, tetapi memiliki pasangan konjugasi kompleks akar, yang dapat ditemukan menggunakan rumus akar yang sama yang kita peroleh.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Dalam praktiknya, saat memecahkan persamaan kuadrat, Anda dapat langsung menggunakan rumus akar, yang dapat digunakan untuk menghitung nilainya. Tapi ini lebih tentang menemukan akar yang kompleks.

Namun, dalam kursus aljabar sekolah, kita biasanya tidak berbicara tentang kompleks, tetapi tentang akar nyata dari persamaan kuadrat. Dalam hal ini, disarankan untuk mencari diskriminan terlebih dahulu sebelum menggunakan rumus akar-akar persamaan kuadrat, pastikan tidak negatif (jika tidak, kita dapat menyimpulkan bahwa persamaan tidak memiliki akar real), dan setelah itu menghitung nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan kita untuk menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, Anda perlu:

• menggunakan rumus diskriminan D=b 2 4 a c hitung nilainya;
• menyimpulkan bahwa persamaan kuadrat tidak memiliki akar real jika diskriminan negatif;
• hitung satu-satunya akar persamaan menggunakan rumus jika D=0 ;
• temukan dua akar real dari persamaan kuadrat menggunakan rumus akar jika diskriminannya positif.

Di sini kami hanya mencatat bahwa jika diskriminan sama dengan nol, rumus juga dapat digunakan, itu akan memberikan nilai yang sama dengan .

Anda dapat melanjutkan ke contoh penerapan algoritme untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Contoh penyelesaian persamaan kuadrat

Pertimbangkan solusi dari tiga persamaan kuadrat dengan diskriminan positif, negatif, dan nol. Setelah berurusan dengan solusi mereka, dengan analogi dimungkinkan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lainnya. Ayo mulai.

Contoh.

Temukan akar-akar persamaan x 2 +2 x−6=0 .

Keputusan.

Dalam hal ini, kita memiliki koefisien persamaan kuadrat berikut: a=1 , b=2 dan c=−6 . Menurut algoritme, Anda harus terlebih dahulu menghitung diskriminan, untuk ini kami mengganti a, b dan c yang ditunjukkan ke dalam rumus diskriminan, kami memiliki D=b 2 4 a c=2 2 4 1 (−6)=4+24=28. Karena 28>0, yaitu diskriminan lebih besar dari nol, persamaan kuadrat memiliki dua akar real. Mari kita temukan dengan rumus akar , kita dapatkan , di sini kita dapat menyederhanakan ekspresi yang diperoleh dengan melakukan memfaktorkan tanda akarnya diikuti dengan pengurangan pecahan:

Menjawab:

Mari kita beralih ke contoh tipikal berikutnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 4 x 2 +28 x−49=0 .

Keputusan.

Kita mulai dengan mencari diskriminan: D=28 2 4 (−4) (−49)=784−784=0. Oleh karena itu, persamaan kuadrat ini memiliki akar tunggal, yang kita temukan sebagai , yaitu,

Menjawab:

x=3.5 .

Tetap mempertimbangkan solusi persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5 y 2 +6 y+2=0 .

Keputusan.

Berikut adalah koefisien persamaan kuadrat: a=5 , b=6 dan c=2 . Mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus diskriminan, kita dapatkan D=b 2 4 a c=6 2 4 5 2=36−40=−4. Diskriminan adalah negatif, oleh karena itu, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real.

Jika Anda perlu menentukan akar kompleks, maka kami menggunakan rumus terkenal untuk akar persamaan kuadrat, dan lakukan operasi bilangan kompleks:

Menjawab:

tidak ada akar real, akar kompleksnya adalah: .

Sekali lagi, kita perhatikan bahwa jika diskriminan persamaan kuadrat adalah negatif, maka sekolah biasanya segera menuliskan jawabannya, di mana mereka menunjukkan bahwa tidak ada akar real, dan mereka tidak menemukan akar kompleks.

Rumus akar untuk koefisien kedua genap

Rumus untuk akar persamaan kuadrat , di mana D=b 2 4 a c memungkinkan Anda mendapatkan rumus yang lebih ringkas yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien genap di x (atau hanya dengan koefisien yang terlihat seperti 2 n , misalnya, atau 14 ln5=2 7 ln5 ). Mari kita bawa dia keluar.

Katakanlah kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat berbentuk a x 2 +2 n x + c=0 . Mari kita cari akarnya menggunakan rumus yang kita kenal. Untuk melakukan ini, kami menghitung diskriminan D=(2 n) 2 4 a c=4 n 2 4 a c=4 (n 2 a c), dan kemudian kami menggunakan rumus akar:

Nyatakan ekspresi n 2 a c sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan D "). Kemudian rumus untuk akar persamaan kuadrat yang dipertimbangkan dengan koefisien kedua 2 n berbentuk , dimana D 1 =n 2 a c .

Sangat mudah untuk melihat bahwa D=4·D 1 , atau D 1 =D/4 . Dengan kata lain, D 1 adalah bagian keempat dari diskriminan. Jelas bahwa tanda D 1 sama dengan tanda D . Artinya, tanda D 1 juga merupakan indikator ada tidaknya akar-akar persamaan kuadrat.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, Anda perlu

• Hitung D 1 =n 2 a·c ;
• Jika D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jika D 1 =0, maka hitung satu-satunya akar persamaan dengan menggunakan rumus;
• Jika D 1 >0, maka cari dua akar real menggunakan rumus.

Pertimbangkan solusi dari contoh menggunakan rumus akar yang diperoleh dalam paragraf ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadrat 5 x 2 6 x−32=0 .

Keputusan.

Koefisien kedua dari persamaan ini dapat direpresentasikan sebagai 2·(−3) . Artinya, Anda dapat menulis ulang persamaan kuadrat asli dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , di sini a=5 , n=−3 dan c=−32 , dan hitung bagian keempat dari pembeda: D 1 =n 2 a c=(−3) 2 5 (−32)=9+160=169. Karena nilainya positif, persamaan memiliki dua akar real. Kami menemukannya menggunakan rumus akar yang sesuai:

Perhatikan bahwa mungkin untuk menggunakan rumus biasa untuk akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini, lebih banyak pekerjaan komputasi harus dilakukan.

Menjawab:

Penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat

Terkadang, sebelum memulai perhitungan akar persamaan kuadrat menggunakan rumus, tidak ada salahnya untuk mengajukan pertanyaan: "Apakah bentuk persamaan ini dapat disederhanakan"? Setuju bahwa dalam hal perhitungan akan lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 11 x 2 4 x 6=0 daripada 1100 x 2 400 x−600=0 .

Biasanya, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dicapai dengan mengalikan atau membagi kedua ruasnya dengan suatu bilangan. Misalnya, pada paragraf sebelumnya, kita berhasil mencapai penyederhanaan persamaan 1100 x 2 400 x 600=0 dengan membagi kedua ruas dengan 100 .

Transformasi serupa dilakukan dengan persamaan kuadrat, yang koefisiennya tidak . Dalam hal ini, kedua bagian persamaan biasanya dibagi dengan nilai absolut dari koefisiennya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 12 x 2 42 x+48=0. nilai mutlak koefisiennya: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Membagi kedua bagian persamaan kuadrat asli dengan 6 , kita sampai pada persamaan kuadrat yang setara 2 x 2 7 x+8=0 .

Dan perkalian kedua bagian persamaan kuadrat biasanya dilakukan untuk menghilangkan koefisien pecahan. Dalam hal ini, perkalian dilakukan pada penyebut koefisiennya. Misalnya, jika kedua bagian persamaan kuadrat dikalikan dengan KPK(6, 3, 1)=6 , maka akan menjadi bentuk yang lebih sederhana x 2 +4 x−18=0 .

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mencatat bahwa hampir selalu menyingkirkan minus pada koefisien tertinggi dari persamaan kuadrat dengan mengubah tanda semua suku, yang sesuai dengan mengalikan (atau membagi) kedua bagian dengan 1. Misalnya, biasanya dari persamaan kuadrat 2·x 2 3·x+7=0 pergi ke solusi 2·x 2 +3·x−7=0 .

Hubungan antara akar dan koefisien persamaan kuadrat

Rumus untuk akar-akar persamaan kuadrat menyatakan akar-akar persamaan dalam bentuk koefisiennya. Berdasarkan rumus akar, Anda bisa mendapatkan hubungan lain antara akar dan koefisien.

Rumus yang paling terkenal dan dapat diterapkan dari teorema Vieta bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya adalah suku bebas. Misalnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 x 2 7 x+22=0, kita dapat langsung mengatakan bahwa jumlah akar-akarnya adalah 7/3, dan hasil kali akar-akarnya adalah 22/3.

Dengan menggunakan rumus yang sudah ditulis, Anda bisa mendapatkan sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien persamaan kuadrat. Misalnya, Anda dapat menyatakan jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat dalam hal koefisiennya: .

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

”, yaitu persamaan derajat pertama. Dalam pelajaran ini, kita akan mengeksplorasi apa itu persamaan kuadrat dan bagaimana menyelesaikannya.

Apa itu persamaan kuadrat?

Penting!

Derajat suatu persamaan ditentukan oleh derajat tertinggi yang tidak diketahui berdiri.

Jika tingkat maksimum yang tidak diketahui berdiri adalah "2", maka Anda memiliki persamaan kuadrat.

Contoh persamaan kuadrat

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 8 = 0

Penting! Bentuk umum persamaan kuadrat terlihat seperti ini:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" dan "c" - angka yang diberikan.

• "a" - koefisien pertama atau senior;
• "b" - koefisien kedua;
• "c" adalah anggota gratis.

Untuk menemukan "a", "b" dan "c" Anda perlu membandingkan persamaan Anda dengan bentuk umum persamaan kuadrat "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Mari berlatih menentukan koefisien "a", "b" dan "c" dalam persamaan kuadrat.

5x2 - 14x + 17 = 0 7x 2 13x + 8 = 0 x 2 + x +

persamaan	Kemungkinan
a=5 b = 14 c = 17
a = 7 b = 13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = 8

Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat

Tidak seperti persamaan linier, persamaan khusus digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. rumus mencari akar.

Ingat!

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda perlu:

• bawa persamaan kuadrat ke bentuk umum "ax 2 + bx + c \u003d 0". Artinya, hanya "0" yang harus tetap berada di sisi kanan;
• gunakan rumus akar :

Mari kita gunakan contoh untuk mengetahui cara menerapkan rumus untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Mari selesaikan persamaan kuadrat.

X 2 - 3x - 4 = 0

Persamaan "x 2 - 3x - 4 = 0" telah direduksi menjadi bentuk umum "ax 2 + bx + c = 0" dan tidak memerlukan penyederhanaan tambahan. Untuk mengatasinya, kita hanya perlu menerapkan rumus mencari akar persamaan kuadrat.

Mari kita tentukan koefisien "a", "b" dan "c" untuk persamaan ini.

x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =

Dengan bantuannya, persamaan kuadrat apa pun diselesaikan.

Dalam rumus "x 1; 2 \u003d" ekspresi root sering diganti
"b 2 4ac" ke huruf "D" dan disebut diskriminan. Konsep diskriminan dibahas secara lebih rinci dalam pelajaran "Apa itu diskriminan".

Perhatikan contoh lain dari persamaan kuadrat.

x 2 + 9 + x = 7x

Dalam bentuk ini, agak sulit untuk menentukan koefisien "a", "b", dan "c". Pertama-tama mari kita bawa persamaan ke bentuk umum "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 6x + 9 = 0

Sekarang Anda dapat menggunakan rumus untuk akarnya.

X 1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x=

6

2

x=3
Jawabannya: x = 3

Ada kalanya tidak ada akar dalam persamaan kuadrat. Situasi ini terjadi ketika angka negatif muncul dalam rumus di bawah akar.

Hanya. Menurut rumus dan aturan sederhana yang jelas. Pada tahap pertama

perlu untuk membawa persamaan yang diberikan ke bentuk standar, yaitu. ke tampilan:

Jika persamaan sudah diberikan kepada Anda dalam bentuk ini, Anda tidak perlu melakukan tahap pertama. Yang penting benar

tentukan semua koefisien sebuah, b dan c.

Rumus untuk mencari akar persamaan kuadrat.

Ekspresi di bawah tanda akar disebut pembeda . Seperti yang Anda lihat, untuk menemukan x, kita

menggunakan hanya a, b dan c. Itu. peluang dari persamaan kuadrat. Cukup masukkan dengan hati-hati

nilai-nilai a, b dan c ke dalam rumus ini dan menghitung. Ganti dengan milik mereka tanda-tanda!

Misalnya, dalam persamaan:

sebuah =1; b = 3; c = -4.

Ganti nilainya dan tulis:

Contoh hampir terpecahkan:

Ini adalah jawabannya.

Kesalahan yang paling umum adalah kebingungan dengan tanda-tanda nilai a, b dan dengan. Sebaliknya, dengan substitusi

nilai negatif ke dalam rumus untuk menghitung akar. Di sini rumus terperinci menyimpan

dengan angka-angka tertentu. Jika ada masalah dengan perhitungan, lakukanlah!

Misalkan kita perlu memecahkan contoh berikut:

Di Sini sebuah = -6; b = -5; c = -1

Kami melukis semuanya dengan detail, hati-hati, tanpa melewatkan apa pun dengan semua tanda dan tanda kurung:

Seringkali persamaan kuadrat terlihat sedikit berbeda. Misalnya, seperti ini:

Sekarang perhatikan teknik praktis yang secara dramatis mengurangi jumlah kesalahan.

Resepsi pertama. Jangan malas dulu menyelesaikan persamaan kuadrat membawanya ke bentuk standar.

Apa artinya ini?

Misalkan, setelah transformasi apa pun, Anda mendapatkan persamaan berikut:

Jangan buru-buru menulis rumus akarnya! Anda hampir pasti akan mencampuradukkan peluang a, b dan c.

Bangun contoh dengan benar. Pertama, x kuadrat, lalu tanpa kuadrat, lalu anggota bebas. Seperti ini:

Singkirkan minusnya. Bagaimana? Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Dan sekarang Anda dapat dengan aman menuliskan rumus untuk akar, menghitung diskriminan dan menyelesaikan contoh.

Putuskan sendiri. Anda harus berakhir dengan akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akar Anda! Oleh teorema Vieta.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang diberikan, mis. jika koefisien

x2+bx+c=0,

kemudianx 1 x 2 = c

x1 +x2 =−b

Untuk persamaan kuadrat lengkap di mana a≠1:

x 2 +bx+c=0,

membagi seluruh persamaan dengan sebuah:

→ →

di mana x 1 dan x 2 - akar persamaan.

Penerimaan ketiga. Jika persamaan Anda memiliki koefisien pecahan, singkirkan pecahan! Berkembang biak

persamaan untuk penyebut yang sama.

Kesimpulan. Tip Praktis:

1. Sebelum menyelesaikan, kita bawa persamaan kuadrat ke bentuk standar, bangunlah Baik.

2. Jika ada koefisien negatif di depan x dalam bujur sangkar, kita hilangkan dengan mengalikan semuanya

persamaan untuk -1.

3. Jika koefisiennya pecahan, kita hilangkan pecahan dengan mengalikan seluruh persamaan dengan yang sesuai

faktor.

4. Jika x kuadrat murni, koefisiennya sama dengan satu, solusinya dapat dengan mudah diperiksa dengan

Dengan cara yang lebih sederhana. Untuk melakukan ini, keluarkan z dari tanda kurung. Anda mendapatkan: z(az + b) = 0. Faktor dapat ditulis: z=0 dan az + b = 0, karena keduanya dapat menghasilkan nol. Dalam notasi az + b = 0, kita pindahkan yang kedua ke kanan dengan tanda yang berbeda. Dari sini kita mendapatkan z1 = 0 dan z2 = -b/а. Ini adalah akar dari aslinya.

Jika ada persamaan tidak lengkap dalam bentuk az² + c \u003d 0, dalam hal ini persamaan tersebut ditemukan hanya dengan memindahkan suku bebas ke ruas kanan persamaan. Juga mengubah tandanya. Anda mendapatkan catatan az² \u003d -s. Nyatakan z² = -c/a. Ambil akarnya dan tuliskan dua solusi - nilai positif dan negatif dari akar kuadrat.

catatan

Jika ada koefisien pecahan dalam persamaan, kalikan seluruh persamaan dengan faktor yang sesuai untuk menghilangkan pecahan.

Mengetahui bagaimana memecahkan persamaan kuadrat diperlukan untuk anak sekolah dan siswa, kadang-kadang dapat membantu orang dewasa dalam kehidupan sehari-hari. Ada beberapa metode keputusan khusus.

Memecahkan persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat berbentuk a*x^2+b*x+c=0. Koefisien x adalah variabel yang diinginkan, a, b, c - koefisien numerik. Ingat bahwa tanda "+" dapat berubah menjadi tanda "-".

Untuk menyelesaikan persamaan ini, Anda harus menggunakan teorema Vieta atau mencari diskriminannya. Cara yang paling umum adalah mencari diskriminan, karena untuk beberapa nilai a, b, c tidak mungkin menggunakan teorema Vieta.

Untuk mencari diskriminan (D), Anda harus menulis rumus D=b^2 - 4*a*c. Nilai D bisa lebih besar dari, kurang dari atau sama dengan nol. Jika D lebih besar atau lebih kecil dari nol, maka akan ada dua akar, jika D = 0, maka hanya satu akar yang tersisa, lebih tepatnya, kita dapat mengatakan bahwa D dalam hal ini memiliki dua akar yang setara. Substitusikan koefisien a, b, c yang diketahui ke dalam rumus dan hitung nilainya.

Setelah Anda menemukan diskriminan, untuk mencari x, gunakan rumus: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a di mana sqrt adalah fungsi untuk mengambil akar kuadrat dari bilangan yang diberikan. Setelah menghitung ekspresi ini, Anda akan menemukan dua akar persamaan Anda, setelah itu persamaan dianggap terpecahkan.

Jika D lebih kecil dari nol, maka ia masih memiliki akar. Di sekolah, bagian ini praktis tidak dipelajari. Mahasiswa universitas harus menyadari bahwa angka negatif muncul di bawah akar. Kami menghilangkannya dengan memisahkan bagian imajiner, yaitu, -1 di bawah akar selalu sama dengan elemen imajiner "i", yang dikalikan dengan akar dengan bilangan positif yang sama. Misalnya, jika D=kuadrat(-20), setelah transformasi, diperoleh D=kuadrat(20)*i. Setelah transformasi ini, solusi persamaan direduksi menjadi temuan akar yang sama, seperti dijelaskan di atas.

Teorema Vieta terdiri dari pemilihan nilai x(1) dan x(2). Dua persamaan identik digunakan: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Selain itu, titik yang sangat penting adalah tanda di depan koefisien b, ingatlah bahwa tanda ini berlawanan dengan yang ada dalam persamaan. Pada pandangan pertama, tampaknya menghitung x(1) dan x(2) sangat sederhana, tetapi ketika menyelesaikannya, Anda akan menemukan fakta bahwa angka-angka tersebut harus dipilih dengan tepat.

Elemen untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

Menurut aturan matematika, beberapa dapat difaktorkan: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, jika Anda berhasil mengubah persamaan kuadrat ini dengan cara ini menggunakan rumus matematika, silakan tuliskan jawabannya. x(1) dan x(2) akan sama dengan koefisien yang berdekatan dalam tanda kurung, tetapi dengan tanda yang berlawanan.

Juga, jangan lupa tentang persamaan kuadrat yang tidak lengkap. Anda mungkin kehilangan beberapa istilah, jika demikian, maka semua koefisiennya sama dengan nol. Jika x^2 atau x didahului oleh nol, maka koefisien a dan b sama dengan 1.