Integral dan aplikasi praktisnya. Aplikasi kursus integral

Topik penelitian

Penerapan kalkulus integral dalam perencanaan pengeluaran keluarga

Relevansi masalah

Semakin dalam sosial dan bidang ekonomi ketika menghitung derajat ketimpangan dalam distribusi pendapatan, digunakan matematika, yaitu kalkulus integral. mempelajari penggunaan praktis kita dapatkan integralnya:

Bagaimana integral dan menghitung luas menggunakan integral membantu dalam mengalokasikan biaya material?

Bagaimana integral akan membantu dalam menghemat uang untuk liburan.

Target

rencanakan pengeluaran keluarga menggunakan perhitungan integral

tugas

Mengeksplorasi arti geometris integral.
Pertimbangkan metode integrasi dalam bidang kehidupan sosial dan ekonomi.
Buat perkiraan biaya material keluarga saat memperbaiki apartemen menggunakan integral.
Hitung volume konsumsi energi keluarga selama setahun, dengan mempertimbangkan perhitungan integral.
Hitung jumlah setoran tabungan di Sberbank untuk liburan.

Hipotesa

kalkulus integral membantu dalam perhitungan ekonomis ketika merencanakan pendapatan dan pengeluaran keluarga.

Tahapan penelitian

Kami mempelajari makna geometris integral dan metode integrasi dalam bidang kehidupan sosial dan ekonomi.
Kami menghitung biaya material yang diperlukan untuk perbaikan apartemen menggunakan integral.
Kami menghitung volume konsumsi listrik di apartemen dan biaya listrik untuk keluarga selama setahun.
Kami mempertimbangkan salah satu opsi untuk mengumpulkan pendapatan keluarga melalui deposito di Sberbank menggunakan integral.

Objek studi

kalkulus integral dalam bidang kehidupan sosial dan ekonomi.

Metode

Analisis literatur dengan topik "Aplikasi praktis dari kalkulus integral"
Kajian tentang metode integrasi dalam menyelesaikan masalah pada perhitungan luas dan volume bangun-bangun dengan menggunakan integral.
Analisis pengeluaran dan pendapatan keluarga menggunakan perhitungan integral.

Proses kerja

Tinjauan Pustaka dengan topik "Aplikasi praktis kalkulus integral"
Memecahkan sistem masalah untuk menghitung luas dan volume gambar menggunakan integral.
Perhitungan pengeluaran dan pendapatan keluarga menggunakan perhitungan integral: renovasi kamar, volume listrik, setoran di Sberbank untuk liburan.

Hasil kami

Bagaimana integral dan menghitung volume dengan bantuan integral membantu dalam memprediksi volume konsumsi listrik?

temuan

Perhitungan ekonomi dana yang diperlukan untuk perbaikan apartemen dapat dilakukan lebih cepat dan lebih akurat dengan menggunakan perhitungan integral.

Lebih mudah dan cepat untuk menghitung konsumsi listrik keluarga dengan menggunakan perhitungan integral dan Microsoft Office Excel, yang berarti memprediksi biaya listrik keluarga selama setahun.

Keuntungan dari simpanan di Sberbank dapat dihitung menggunakan perhitungan integral, yang berarti merencanakan liburan keluarga.

Daftar sumber daya

Edisi cetak:

Buku pelajaran. Aljabar dan analisis awal kelas 10-11. A.G. Mordkovich. Mnemosin. L: 2007
Buku pelajaran. Aljabar dan analisis awal kelas 10-11. A. Pencerahan Kolmogorov. L: 2007
Matematika untuk sosiolog dan ekonom. Akhtyamov A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 hal.
Perhitungan integral Buku referensi Matematika Tinggi M.Ya.Vygodsky, Pencerahan, 2000

Ivanov Sergey, siswa gr.14-EOP-33D

Karya tersebut dapat digunakan dalam pelajaran generalisasi tentang topik "Turunan", "Integral".

Unduh:

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun untuk Anda sendiri ( Akun) Google dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

GBPOU KNT mereka. B.I. Kornilova Riset pada topik: "Penggunaan turunan dan integral dalam fisika, matematika, dan teknik elektro." mahasiswa gr. 2014-eop-33d Ivanov Sergey.

1. Sejarah kemunculan turunan. Pada akhir abad ke-17, ilmuwan besar Inggris Isaac Newton membuktikan bahwa Jalan dan kecepatan saling berhubungan dengan rumus: V (t) \u003d S '(t) dan hubungan semacam itu ada antara karakteristik kuantitatif yang paling beragam proses yang sedang dipelajari: fisika, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , momentum P = mV = mx ' , kinetik E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), kimia, biologi, dan teknik. Penemuan Newton ini merupakan titik balik dalam sejarah ilmu alam.

1. Sejarah kemunculan turunan. Kehormatan menemukan hukum dasar analisis matematis bersama dengan Newton milik matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz. Leibniz sampai pada hukum ini dengan memecahkan masalah menggambar garis singgung ke kurva sewenang-wenang, mis. merumuskan arti geometris turunan, bahwa nilai turunan pada titik kontak adalah lereng tangen atau tg sudut kemiringan garis singgung dengan arah positif sumbu O X. Istilah turunan dan sebutan modern y’ ,f’ diperkenalkan oleh J. Lagrange pada tahun 1797.

2. Sejarah kemunculan integral. Konsep kalkulus integral dan integral muncul dari kebutuhan untuk menghitung luas (kuadrat) dari setiap angka dan volume (kubatur) dari benda sewenang-wenang. Prasejarah kalkulus integral kembali ke zaman kuno. Metode pertama yang diketahui untuk menghitung integral adalah metode untuk mempelajari luas atau volume angka lengkung - metode kelelahan Eudoxus (Eudoxus dari Cnidus (c. 408 SM - c. 355 SM) - matematikawan Yunani kuno, mekanik dan astronom), yang diusulkan sekitar 370 SM. e. Inti dari metode ini adalah sebagai berikut: gambar, area atau volume yang dicoba ditemukan, dibagi menjadi bagian-bagian yang tidak terbatas, yang area atau volumenya sudah diketahui.

"The Exhaustion Method" Misalkan kita perlu menghitung volume lemon yang memiliki bentuk tidak beraturan, dan karena itu terapkan apa saja rumus yang diketahui volume tidak mungkin. Menggunakan penimbangan, juga sulit untuk menemukan volumenya, karena kepadatan lemon di bagian yang berbeda Ini berbeda. Mari kita lanjutkan sebagai berikut. Potong lemon menjadi irisan tipis. Setiap irisan kira-kira dapat dianggap sebagai silinder, jari-jari alas, yang dapat diukur. Volume silinder seperti itu dapat dengan mudah dihitung dari rumus selesai. Menambahkan volume silinder kecil, kami mendapatkan nilai perkiraan volume seluruh lemon. Perkiraannya akan semakin akurat, semakin tipis bagian lemon yang bisa kita potong.

2. Sejarah kemunculan integral. Mengikuti Eudoxus, metode "kelelahan" dan variannya untuk menghitung volume dan luas digunakan oleh ilmuwan kuno Archimedes. Berhasil mengembangkan ide-ide para pendahulunya, ia menentukan keliling, luas lingkaran, volume dan permukaan bola. Dia menunjukkan bahwa penentuan volume bola, ellipsoid, hiperboloid, dan paraboloid revolusi direduksi untuk menentukan volume silinder.

Dasar teori persamaan diferensial adalah kalkulus diferensial yang dibuat oleh Leibniz dan Newton. Istilah "persamaan diferensial" itu sendiri diusulkan pada tahun 1676 oleh Leibniz. 3. Sejarah munculnya persamaan diferensial. Awalnya, persamaan diferensial muncul dari masalah mekanika, di mana diperlukan untuk menentukan koordinat benda, kecepatan dan percepatannya, yang dianggap sebagai fungsi waktu di bawah berbagai pengaruh. Beberapa masalah geometri yang dipertimbangkan pada waktu itu juga mengarah pada persamaan diferensial.

3. Sejarah munculnya persamaan diferensial. Dari sejumlah besar karya abad ke-17 tentang persamaan diferensial, karya Euler (1707-1783) dan Lagrange (1736-1813) menonjol. Dalam karya-karya ini, teori osilasi kecil pertama kali dikembangkan, dan, akibatnya, teori sistem linier persamaan diferensial; sepanjang jalan, konsep dasar aljabar linier muncul ( nilai eigen dan vektor dalam kasus n-dimensi). Mengikuti Newton, Laplace dan Lagrange, dan kemudian Gauss (1777-1855), juga mengembangkan metode teori gangguan.

4. Penerapan turunan dan integral dalam matematika: Dalam matematika, turunan banyak digunakan dalam menyelesaikan banyak masalah, persamaan, pertidaksamaan, serta dalam proses mempelajari suatu fungsi. Contoh: Algoritma untuk mempelajari suatu fungsi untuk suatu ekstrem: 1)O.O.F. 2) y ′=f (x), f (x)=0 dan selesaikan persamaannya. 3)O.O.F. memecahnya menjadi interval. 4) Kami menentukan tanda turunan pada setiap interval. Jika f (x)>0 , maka fungsi tersebut meningkat. Jika f′(x)

4. Penerapan turunan dan integral dalam matematika: Integral (integral tentu) digunakan dalam matematika (geometri) untuk mencari luas trapesium lengkung. Contoh: Algoritma untuk mencari luas bangun datar menggunakan integral tertentu: 1) Kami membuat grafik dari fungsi yang ditunjukkan. 2) Tunjukkan gambar yang dibatasi oleh garis-garis ini. 3) Temukan batas-batas integrasi, tuliskan integral tertentu dan hitunglah.

5. Penerapan turunan dan integral dalam fisika. Dalam fisika, turunan digunakan terutama untuk memecahkan masalah, misalnya: menemukan kecepatan atau percepatan benda apa pun. Contoh: 1) Hukum pergerakan suatu titik sepanjang garis lurus diberikan oleh rumus s(t)= 10t^2 , di mana t adalah waktu (dalam detik), s(t) adalah simpangan titik di waktu t (dalam meter) dari posisi awal. Tentukan kecepatan dan percepatan pada waktu t jika: t=1,5 s. 2) Titik material bergerak lurus menurut hukum x(t)= 2+20t+5t2. Tentukan kecepatan dan percepatan pada waktu t=2s (x adalah koordinat titik dalam meter, t adalah waktu dalam detik).

Kuantitas fisik Nilai rata-rata Nilai sesaat Kecepatan Percepatan Kecepatan sudut Kekuatan saat ini Daya

5. Penerapan turunan dan integral dalam fisika. Integral juga digunakan dalam masalah seperti menemukan kecepatan atau jarak. Benda bergerak dengan kecepatan v(t) = t + 2 (m/s). Temukan jalan yang akan ditempuh tubuh dalam 2 detik setelah awal gerakan. Contoh:

6. Penerapan turunan dan integral dalam teknik elektro. Derivatif juga telah menemukan aplikasi dalam teknik listrik. dalam rantai arus listrik muatan listrik berubah dari waktu ke waktu sesuai dengan hukum q = q (t). Arus I adalah turunan dari muatan q terhadap waktu. I=q (t) Contoh: 1) Muatan yang mengalir melalui konduktor berubah menurut hukum q=sin(2t-10) Temukan kuat arus pada waktu t=5 detik. Integral dalam teknik elektro dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah invers, yaitu menemukan muatan listrik mengetahui kekuatan arus, dll. 2) Muatan listrik yang mengalir melalui konduktor, mulai dari saat t \u003d 0, diberikan oleh rumus q (t) \u003d 3t2 + t + 2. Temukan kekuatan arus pada waktu t \u003d 3 s. Integral dalam teknik elektro dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah invers, yaitu menemukan muatan listrik mengetahui kekuatan arus, dll.

Konsep integral dapat diterapkan secara luas dalam kehidupan. Integral digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Tugas utama yang dihitung menggunakan integral adalah tugas untuk:

1. Menemukan volume tubuh

2. Menemukan pusat massa tubuh.

Mari kita pertimbangkan masing-masing secara lebih rinci. Di sini dan di bawah, untuk menyatakan integral tertentu dari beberapa fungsi f(x), dengan batas integrasi dari a ke b, kita akan menggunakan notasi berikut a b f(x).

Menemukan volume tubuh

Perhatikan gambar berikut. Misalkan ada suatu benda yang volumenya sama dengan V. Ada juga garis lurus sehingga jika kita mengambil bidang tertentu yang tegak lurus terhadap garis lurus ini, luas penampang S benda ini oleh bidang ini akan diketahui.

Setiap bidang tersebut akan tegak lurus terhadap sumbu x, dan karena itu akan berpotongan di beberapa titik x. Artinya, setiap titik x dari segmen akan diberi nomor S (x) - luas penampang tubuh, bidang yang melewati titik ini.

Ternyata beberapa fungsi S(x) akan diberikan pada segmen tersebut. Jika fungsi ini kontinu pada segmen ini, maka rumus berikut akan berlaku:

V = a b S(x)dx.

Bukti pernyataan ini berada di luar cakupan kurikulum sekolah.

Menghitung pusat massa suatu benda

Pusat massa paling sering digunakan dalam fisika. Misalnya, ada tubuh yang bergerak dengan kecepatan berapa pun. Tetapi tidak nyaman untuk mempertimbangkan benda besar, dan karena itu dalam fisika benda ini dianggap sebagai pergerakan suatu titik, dengan asumsi bahwa titik ini memiliki massa yang sama dengan seluruh tubuh.

Dan tugas menghitung pusat massa tubuh adalah yang utama dalam hal ini. Karena benda itu besar, dan titik mana yang harus diambil sebagai pusat massa? Mungkin yang di tengah tubuh? Atau mungkin titik terdekat ke ujung tombak? Di sinilah integrasi masuk.

Dua aturan berikut digunakan untuk menemukan pusat massa:

1. Koordinat x' dari pusat massa beberapa sistem titik material A1, A2,A3, … An dengan massa m1, m2, m3, … mn, masing-masing, terletak pada garis lurus di titik-titik dengan koordinat x1, x2, x3, … xn ditemukan dengan rumus berikut:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Saat menghitung koordinat pusat massa, bagian mana pun dari gambar yang dipertimbangkan dapat diganti dengan: poin materi, sambil menempatkannya di pusat massa bagian gambar yang terpisah ini, dan mengambil massa yang sama dengan massa bagian gambar ini.

Misalnya, jika massa densitas p(x) didistribusikan sepanjang batang - segmen sumbu Ox, di mana p(x) adalah fungsi kontinu, maka koordinat pusat massa x' akan sama dengan.

Bayangkan bahwa kita memiliki semacam fungsi ketergantungan sesuatu pada sesuatu.

Misalnya, ini adalah bagaimana Anda dapat secara kasar mewakili kecepatan pekerjaan saya tergantung pada waktu hari pada grafik:

Saya mengukur kecepatan dalam baris kode per menit, dalam kehidupan nyata Saya seorang pemrogram komputer.

Jumlah pekerjaan adalah tingkat pekerjaan dikalikan dengan waktu. Artinya, jika saya menulis 3 baris per menit, maka saya mendapatkan 180 per jam.Jika kita memiliki jadwal seperti itu, Anda dapat mengetahui berapa banyak pekerjaan yang saya lakukan dalam sehari: ini adalah area di bawah jadwal. Tapi bagaimana cara menghitungnya?

Mari bagi grafik menjadi kolom dengan lebar yang sama, setiap jam. Dan kita akan membuat tinggi kolom ini sama dengan kecepatan kerja di tengah jam ini.

Luas setiap kolom satu per satu mudah dihitung, Anda perlu mengalikan lebarnya dengan tingginya. Ternyata luas setiap kolom kira-kira berapa banyak pekerjaan yang saya lakukan untuk setiap jam. Dan jika Anda meringkas semua kolom, Anda mendapatkan perkiraan pekerjaan saya untuk hari itu.

Masalahnya adalah hasilnya akan menjadi perkiraan, tetapi kita perlu angka pasti. Mari kita pecahkan grafik menjadi beberapa kolom selama setengah jam:

Gambar menunjukkan bahwa ini sudah jauh lebih dekat dengan apa yang kita cari.

Jadi Anda dapat mengurangi segmen pada grafik hingga tak terhingga, dan setiap kali kita akan semakin dekat ke area di bawah grafik. Dan ketika lebar kolom cenderung nol, maka jumlah luasnya akan cenderung ke luas di bawah grafik. Ini disebut integral dan dilambangkan sebagai berikut:

Dalam rumus ini, f(x) berarti fungsi yang bergantung pada nilai x, dan huruf a dan b adalah ruas yang ingin dicari integralnya.

Mengapa ini dibutuhkan?

Para ilmuwan mencoba untuk mengungkapkan semua fenomena fisik dalam bentuk rumus matematika. Setelah kita memiliki rumus, maka kita dapat menggunakannya untuk menghitung apa saja. Dan integral adalah salah satu alat utama untuk bekerja dengan fungsi.

Misalnya, jika kita memiliki rumus lingkaran, kita dapat menggunakan integral untuk menghitung luasnya. Jika kita memiliki rumus bola, maka kita dapat menghitung volumenya. Dengan bantuan integrasi, energi, pekerjaan, tekanan, massa, muatan listrik, dan banyak kuantitas lainnya ditemukan.

Tidak, mengapa saya membutuhkannya?

Ya, tidak ada - begitu saja, karena penasaran. Faktanya, integral termasuk genap dalam kurikulum sekolah, tetapi tidak banyak orang di sekitar yang ingat apa itu.

Dengan mengklik tombol "Unduh arsip", Anda akan mengunduh file yang Anda butuhkan secara gratis.
Sebelum mengunduh file ini, ingatlah esai, kontrol, makalah yang bagus, tesis, artikel, dan dokumen lain yang tidak diklaim di komputer Anda. Ini adalah pekerjaan Anda, itu harus berpartisipasi dalam pengembangan masyarakat dan bermanfaat bagi orang-orang. Temukan karya-karya ini dan kirimkan ke basis pengetahuan.
Kami dan semua mahasiswa, mahasiswa pascasarjana, ilmuwan muda yang menggunakan basis pengetahuan dalam studi dan pekerjaan mereka akan sangat berterima kasih kepada Anda.

Untuk mengunduh arsip dengan dokumen, masukkan nomor lima digit di bidang di bawah ini dan klik tombol "Unduh arsip"

Dokumen serupa

Berkenalan dengan sejarah konsep integral. Distribusi kalkulus integral, penemuan rumus Newton-Leibniz. simbol jumlah; perluasan dari konsep penjumlahan. Deskripsi kebutuhan untuk mengungkapkan semua fenomena fisik dalam bentuk rumus matematika.

presentasi, ditambahkan 26 01/2015

Ide kalkulus integral dalam karya matematikawan kuno. Fitur metode kelelahan. Sejarah penemuan rumus volume torus Kepler. Pembuktian teori prinsip kalkulus integral (prinsip Cavalieri). Konsep integral tertentu.

presentasi, ditambahkan 07/05/2016

Sejarah kalkulus integral. Pengertian dan sifat integral rangkap. Interpretasi geometrisnya, perhitungan dalam koordinat Cartesian dan kutub, pengurangannya menjadi berulang. Aplikasi di bidang ekonomi dan geometri untuk menghitung volume dan luas.

makalah, ditambahkan 16/10/2013

Definisi integral lengkung atas koordinat, sifat-sifat utamanya dan perhitungannya. Kondisi independensi integral lengkung dari jalur integrasi. Menghitung luas bangun datar menggunakan integral ganda. Menggunakan rumus Green.

tes, ditambahkan 23/02/2011

Syarat adanya integral tertentu. Penerapan kalkulus integral. Kalkulus integral dalam geometri. Aplikasi mekanik integral tertentu. Kalkulus integral dalam biologi. Kalkulus integral dalam ekonomi.

makalah, ditambahkan 21/01/2008

Sejarah kalkulus integral dan diferensial. Aplikasi integral tertentu untuk penyelesaian beberapa masalah mekanika dan fisika. Momen dan pusat massa kurva bidang, teorema Gulden. persamaan diferensial. Contoh pemecahan masalah di MatLab.

abstrak, ditambahkan 09/07/2009

Konsep integral Stieltjes. Istilah umum keberadaan integral Stieltjes, kelas kasus keberadaannya, dan perjalanan ke batas di bawah tandanya. Mengurangi integral Stieltjes ke integral Riemann. Aplikasi dalam teori probabilitas dan mekanika kuantum.

tesis, ditambahkan 20/07/2009