Դաս «y=sinx, y=cosx ֆունկցիաների պարբերականությունը»։ Ֆունկցիայի ուսումնասիրություն պարբերականության համար

>> Ֆունկցիաների պարբերականությունը y = sin x, y = cos x

§ 11. y \u003d sin x, y \u003d cos x ֆունկցիաների պարբերականությունը

Նախորդ պարբերություններում մենք օգտագործել ենք յոթ հատկություն գործառույթներըտիրույթ, զույգ կամ կենտ, միապաղաղ, սահմանափակ, ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը, շարունակականություն, ֆունկցիայի տիրույթ։ Մենք օգտագործել ենք այս հատկությունները կամ ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար (ինչպես, օրինակ, § 9-ում), կամ կառուցված գրաֆիկը կարդալու համար (ինչպես, օրինակ, § 10-ում): Հիմա եկել է բարենպաստ պահներկայացնել ֆունկցիաների ևս մեկ (ութերորդ) հատկություն, որը հիանալի տեսանելի է վերը նշվածի վրա գծապատկերներֆունկցիաները y \u003d sin x (տես Նկար 37), y \u003d cos x (տես նկ. 41):

Սահմանում.Ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե գոյություն ունի ոչ զրոյական T թիվ այնպես, որ բազմություններից որևէ x-ի համար կրկնակի հավասարություն:

T թիվը, որը բավարարում է նշված պայման, կոչվում է y \u003d f (x) ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։
Հետևում է, որ ցանկացած x-ի համար հավասարումները ճշմարիտ են.

ապա y \u003d sin x, y \u003d cos x ֆունկցիաները պարբերական են, իսկ 2 թիվը Պծառայում է որպես երկու գործառույթների ժամանակաշրջան:
Ֆունկցիայի պարբերականությունը ֆունկցիաների խոստացված ութերորդ հատկությունն է։

Այժմ նայեք y \u003d sin x ֆունկցիայի գրաֆիկին (Նկար 37): Սինուսոիդ կառուցելու համար բավական է կառուցել նրա ալիքներից մեկը (հատվածի վրա և այնուհետև տեղափոխել այս ալիքը x առանցքի երկայնքով: Արդյունքում, օգտագործելով մեկ ալիք, մենք կկառուցենք ամբողջ գրաֆիկը:

Նույն տեսանկյունից նայենք y \u003d cos x ֆունկցիայի գրաֆիկին (նկ. 41): Մենք տեսնում ենք, որ այստեղ նույնպես գրաֆիկ գծելու համար բավական է նախ գծել մեկ ալիք (օրինակ՝ հատվածի վրա.

Այնուհետև տեղափոխեք այն x առանցքի երկայնքով
Ամփոփելով՝ անում ենք հետևյալ եզրակացությունը.

Եթե ​​y \u003d f (x) ֆունկցիան ունի T կետ, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու համար նախ պետք է գծագրել գրաֆիկի ճյուղը (ալիքը, մասը) T երկարության ցանկացած միջակայքի վրա (առավել հաճախ դրանք վերցնում են): կետերում ծայրերով ընդմիջում, այնուհետև այս ճյուղը x առանցքի երկայնքով տեղափոխեք աջ և ձախ դեպի T, 2T, ZT և այլն:
Պարբերական ֆունկցիան ունի անսահման շատ պարբերաշրջաններ. եթե T-ն ժամանակաշրջան է, ապա 2T-ը ժամանակաշրջան է, իսկ 3T-ը ժամանակաշրջան է, իսկ -T-ն ժամանակաշրջան է. Ընդհանրապես, ժամանակաշրջանը KT ձևի ցանկացած թիվ է, որտեղ k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Սովորաբար, հնարավորության դեպքում, նրանք փորձում են առանձնացնել ամենափոքր դրական շրջանը, այն կոչվում է հիմնական ժամանակաշրջան:
Այսպիսով, 2pc ձևի ցանկացած թիվ, որտեղ k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, y \u003d sinn x, y \u003d cos x ֆունկցիաների ժամանակահատվածն է; 2p-ը երկու ֆունկցիաների հիմնական ժամանակաշրջանն է:

Օրինակ.Գտեք ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը.

ա)Թող T լինի y \u003d sin x ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը: դնենք

Որպեսզի T թիվը լինի ֆունկցիայի ժամանակաշրջան, Ho նույնականությունը պետք է պահպանվի, քանի որ մենք խոսում ենքհիմնական ժամանակաշրջանը գտնելիս մենք ստանում ենք
բ)Թող T լինի y = cos 0,5x ֆունկցիայի հիմնական պարբերությունը: Թող f(x)=cos 0,5x: Այնուհետև f (x + T) \u003d cos 0.5 (x + T) \u003d cos (0.5x + 0.5 T):

Որպեսզի T թիվը լինի ֆունկցիայի ժամանակաշրջան, պետք է բավարարվի cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x նույնականացումը:

Այսպիսով, 0.5t = 2pp. Բայց, քանի որ մենք խոսում ենք հիմնական ժամանակաշրջանը գտնելու մասին, մենք ստանում ենք 0,5T = 2 լ, T = 4լ:

Օրինակում ստացված արդյունքների ընդհանրացումը հետևյալ պնդումն է՝ ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանը

Ա.Գ. Մորդկովիչ հանրահաշիվ 10 դասարան

Դասի բովանդակությունը դասի ամփոփումաջակցություն շրջանակային դասի ներկայացման արագացուցիչ մեթոդներ ինտերակտիվ տեխնոլոգիաներ Պրակտիկա առաջադրանքներ և վարժություններ ինքնաքննության սեմինարներ, թրեյնինգներ, դեպքեր, որոնումներ տնային առաջադրանքների քննարկման հարցեր հռետորական հարցեր ուսանողներից Նկարազարդումներ աուդիո, տեսահոլովակներ և մուլտիմեդիանկարներ, նկարներ գրաֆիկա, աղյուսակներ, սխեմաներ հումոր, անեկդոտներ, կատակներ, կոմիքսներ, առակներ, ասացվածքներ, խաչբառեր, մեջբերումներ Հավելումներ վերացականներհոդվածներ չիպսեր հետաքրքրասեր խաբեբա թերթիկների համար դասագրքեր հիմնական և լրացուցիչ տերմինների բառարան այլ Դասագրքերի և դասերի կատարելագործումուղղել դասագրքի սխալներըԴասագրքի նորարարության տարրերի թարմացում դասագրքում՝ հնացած գիտելիքները նորերով փոխարինելով Միայն ուսուցիչների համար կատարյալ դասեր օրացուցային պլանմեկ տարով ուղեցույցներքննարկման ծրագրեր Ինտեգրված դասեր

Կենտրոնացած մի կետում Ա.
α ռադիաններով արտահայտված անկյուն է։

Սահմանում
Սինուսեռանկյունաչափական ֆունկցիա է, որը կախված է հիպոթենուսի և ոտքի միջև α անկյունից ուղղանկյուն եռանկյուն, հավասար է հակառակ ոտքի երկարության |մ.թ.ա.| հիպոթենուսի երկարությանը |AC|.

Կոսինուս (cos α)եռանկյունաչափական ֆունկցիա է՝ կախված ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյունից, հավասար է հարակից ոտքի երկարության |AB| հիպոթենուսի երկարությանը |AC|.

Ընդունված նշանակումներ

;
;
.

;
;
.

Սինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = sin x

Կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ, y = cos x

Սինուսի և կոսինուսի հատկությունները

Պարբերականություն

y= ֆունկցիաներ մեղք xև y= cos xպարբերական՝ ժամանակաշրջանով 2 պ.

Պարիտետ

Սինուսի ֆունկցիան կենտ է: Կոսինուսի ֆունկցիան հավասար է:

Սահմանման և արժեքների տիրույթ, ծայրահեղություն, աճ, նվազում

Սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները շարունակական են իրենց սահմանման տիրույթում, այսինքն՝ բոլոր x-ի համար (տե՛ս շարունակականության ապացույցը)։ Նրանց հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում (n - ամբողջ թիվ):

	y= մեղք x	y= cos x
Շրջանակ և շարունակականություն	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Արժեքների տիրույթ	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Աճող
Նվազող
Առավելագույնները, y= 1
Նվազագույնը, y = - 1
Զրոներ, y= 0
y առանցքի հետ հատման կետերը, x = 0	y= 0	y= 1

Հիմնական բանաձևեր

Քառակուսի սինուսների և կոսինուսների գումարը

Գումարի և տարբերության սինուսների և կոսինուսների բանաձևերը

;
;

Սինուսների և կոսինուսների արտադրյալի բանաձևեր

Գումարի և տարբերության բանաձևեր

Սինուսի արտահայտություն կոսինուսի միջոցով

;
;
;
.

Կոսինուսի արտահայտությունը սինուսի միջոցով

;
;
;
.

Արտահայտություն շոշափողով

; .

Համար, մենք ունենք.
; .

ժամը՝
; .

Սինուսների և կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների աղյուսակ

Այս աղյուսակը ցույց է տալիս սինուսների և կոսինուսների արժեքները փաստարկի որոշ արժեքների համար:

Արտահայտություններ բարդ փոփոխականների միջոցով

;

Էյլերի բանաձեւ

Արտահայտություններ հիպերբոլիկ ֆունկցիաների առումով

;
;

Ածանցյալներ

; . Բանաձևերի ածանցում > > >

n-րդ կարգի ածանցյալներ.
{ -∞ < x < +∞ }

Սեկանտ, կոսեկանտ

Հակադարձ գործառույթներ

Հակադարձ գործառույթներդեպի սինուս և կոսինուս համապատասխանաբար արկսինն ու արկկոսինն են:

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.

T այնպիսի թիվ, որ ցանկացած x-ի համար F(x + T) = F(x): Այս T թիվը կոչվում է ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։

Կարող են լինել մի քանի ժամանակահատվածներ: Օրինակ, F = const ֆունկցիան ընդունում է նույն արժեքը փաստարկի ցանկացած արժեքի համար, և, հետևաբար, ցանկացած թիվ կարելի է համարել դրա ժամանակաշրջան:

Սովորաբար հետաքրքրված է ամենափոքրով զրոֆունկցիոնալ ժամանակահատվածը: Հակիրճության համար այն պարզապես կոչվում է ժամանակաշրջան:

Պարբերական ֆունկցիաների դասական օրինակ է եռանկյունաչափությունը՝ սինուս, կոսինուս և շոշափող: Նրանց ժամանակաշրջանը նույնն է և հավասար է 2π-ի, այսինքն՝ sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) և այլն։ Այնուամենայնիվ, իհարկե, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ- ոչ միակ պարբերականները։

Ինչ վերաբերում է պարզին հիմնական գործառույթներըդրանց պարբերականությունը կամ ոչ պարբերականությունը հաստատելու միակ ճանապարհը հաշվարկն է։ Բայց բարդ գործառույթների համար արդեն կան մի քանիսը պարզ կանոններ.

Եթե ​​F(x)-ը T պարբերաշրջանով է, և դրա համար սահմանված է ածանցյալ, ապա այս ածանցյալը f(x) = F′(x) նույնպես պարբերական ֆունկցիա է T պարբերությամբ: Ի վերջո, ածանցյալի արժեքը նշված է. x կետը հավասար է իր հակաածանցյալի գրաֆիկի շոշափողին այս կետում x առանցքի վրա, և քանի որ այն պարբերաբար կրկնվում է, այն պետք է կրկնվի: Օրինակ՝ -ի ածանցյալը մեղքի գործառույթները(x)-ը հավասար է cos(x-ին), և այն պարբերական է: Cos(x)-ի ածանցյալը վերցնելով՝ ստանում ենք -sin(x): Պարբերականությունը մնում է անփոփոխ։

Այնուամենայնիվ, հակառակը միշտ չէ, որ ճիշտ է: Այսպիսով, f(x) = const ֆունկցիան պարբերական է, բայց դրա հակաածանցյալը F(x) = const*x + C՝ ոչ։

Եթե ​​F(x)-ը T պարբերակով պարբերական ֆունկցիա է, ապա G(x) = a*F(kx + b), որտեղ a, b և k հաստատուններ են, իսկ k-ը հավասար չէ զրոյի, դա նաև պարբերական ֆունկցիա է, իսկ դրա ժամանակաշրջանը Տ/կ է։ Օրինակ sin(2x) պարբերական ֆունկցիա է, և դրա պարբերությունը π է: Տեսողականորեն սա կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ. x-ը բազմապատկելով ինչ-որ թվով, դուք մի տեսակ սեղմում եք ֆունկցիաները հորիզոնական՝ ճիշտ նույնքան անգամ։

Եթե ​​F1(x) և F2(x) պարբերական ֆունկցիաներ են, և դրանց պարբերությունները համապատասխանաբար հավասար են T1-ին և T2-ին, ապա այդ ֆունկցիաների գումարը կարող է լինել նաև պարբերական։ Այնուամենայնիվ, դրա ժամանակաշրջանը չի լինի T1 և T2 ժամանակաշրջանների պարզ գումարը: Եթե ​​T1/T2 բաժանման արդյունքն է ռացիոնալ թիվ, ապա ֆունկցիաների գումարը պարբերական է, և դրա պարբերությունը հավասար է T1 և T2 պարբերությունների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին (LCM): Օրինակ, եթե առաջին ֆունկցիայի պարբերությունը 12 է, իսկ երկրորդինը՝ 15, ապա դրանց գումարի պարբերությունը կլինի LCM (12, 15) = 60։

Տեսողականորեն սա կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. ֆունկցիաները գալիս են տարբեր «քայլերի լայնություններով», բայց եթե դրանց լայնությունների հարաբերակցությունը ռացիոնալ է, ապա ավելի շուտ կամ (ավելի ճիշտ՝ քայլերի LCM-ի միջոցով), դրանք նորից հավասար կլինեն, և դրանց գումարը կսկսի նոր շրջան։

Այնուամենայնիվ, եթե ժամանակաշրջանների հարաբերակցությունը, ապա ընդհանուր ֆունկցիան ընդհանրապես պարբերական չի լինի: Օրինակ, թող F1(x) = x mod 2 (x-ի մնացորդը բաժանված է 2-ի) և F2(x) = sin(x): T1-ն այստեղ հավասար կլինի 2-ի, իսկ T2-ը հավասար է 2π-ի: Ժամանակահատվածի հարաբերակցությունը π - իռացիոնալ թիվ. Հետևաբար, sin(x) + x mod 2 ֆունկցիան պարբերական չէ։

Աղբյուրներ:

• Ֆունկցիայի տեսություն

Շատերը մաթեմատիկական ֆունկցիաներունեն մեկ առանձնահատկություն, որը հեշտացնում է դրանց կառուցումը, դա է պարբերականությունը, այսինքն՝ կոորդինատային ցանցի վրա գրաֆիկի կրկնելիությունը կանոնավոր ընդմիջումներով։

Հրահանգ

Մաթեմատիկայի ամենահայտնի պարբերական ֆունկցիաներն են սինուսոիդը և կոսինուսային ալիքը։ Այս ֆունկցիաները ունեն ալիքանման և հիմնական ժամանակաշրջան, որը հավասար է 2P: Պարբերական ֆունկցիայի հատուկ դեպք է նաև f(x)=const: Ցանկացած թիվ հարմար է x դիրքի համար, այս ֆունկցիան չունի հիմնական կետ, քանի որ այն ուղիղ գիծ է։

Ընդհանուր առմամբ, ֆունկցիան պարբերական է, եթե կա N ամբողջ թիվ, որը զրոյական չէ և բավարարում է f(x)=f(x+N) կանոնը՝ այդպիսով ապահովելով կրկնելիությունը։ Գործառույթի ժամկետն է ամենափոքր թիվը N, բայց ոչ զրո: Այսինքն, օրինակ, sin x ֆունկցիան հավասար է sin (x + 2PN) ֆունկցիային, որտեղ N \u003d ± 1, ± 2 և այլն:

Երբեմն ֆունկցիան կարող է ունենալ բազմապատկիչ (օրինակ՝ sin 2x), որը կավելացնի կամ կնվազի ֆունկցիայի ժամկետը։ Ժամանակահատվածը գտնելու համար