Նրա հատկությունների հակադարձ ֆունկցիայի և գրաֆիկի որոշումը: Փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներ

Թող $X$ և $Y$ բազմությունները ներառվեն իրական թվերի բազմության մեջ։ Ներկայացնենք շրջելի ֆունկցիայի հայեցակարգը:

Սահմանում 1

$f:X\to Y$ ֆունկցիան, որը քարտեզագրում է $X$ բազմությունը $Y$ բազմության մեջ, կոչվում է շրջելի, եթե $x_1,x_2\ X$-ում որևէ տարրի համար հետևում է այն փաստին, որ $x_1\ne x_2$. $f(x_1)\ne f(x_2)$:

Այժմ մենք կարող ենք ներկայացնել հակադարձ ֆունկցիա հասկացությունը:

Սահմանում 2

Թող $f:X\to Y$ ֆունկցիան, որը քարտեզագրում է $X$ բազմությունը $Y$ բազմության մեջ, լինի հակադարձելի: Այնուհետև $f^(-1):Y\to X$ ֆունկցիան քարտեզագրում է $Y$ բազմությունը $X$ բազմության մեջ և սահմանվում $f^(-1)\left(y\right)=x$ պայմանով: կոչվում է հակադարձ $f( x)$-ի համար:

Ձևակերպենք թեորեմը.

Թեորեմ 1

Թող $y=f(x)$ ֆունկցիան սահմանվի՝ միապաղաղ աճող (նվազող) և շարունակական $X$ ինչ-որ միջակայքում։ Այնուհետև այս ֆունկցիայի $Y$ արժեքների համապատասխան միջակայքում այն ​​ունի հակադարձ ֆունկցիա, որը նույնպես միապաղաղ աճող (նվազող) և շարունակական է $Y$ միջակայքում:

Այժմ ուղղակիորեն ներկայացնենք փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների հայեցակարգը:

Սահմանում 3

Սահմանում 2-ի շրջանակներում $f(x)$ և $f^(-1)\left(y\right)$ ֆունկցիաները կոչվում են փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներ։

Փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների հատկությունները

Թող $y=f(x)$ և $x=g(y)$ ֆունկցիաները լինեն փոխադարձ հակադարձ, ապա

$y=f(g\ձախ(y\աջ))$ և $x=g(f(x))$

$y=f(x)$ ֆունկցիայի տիրույթը հավասար է $\ x=g(y)$ ֆունկցիայի արժեքի տիրույթին։ Իսկ $x=g(y)$ ֆունկցիայի տիրույթը հավասար է $\ y=f(x)$ ֆունկցիայի արժեքի տիրույթին։

$y=f(x)$ և $x=g(y)$ ֆունկցիաների գրաֆիկները սիմետրիկ են $y=x$ ուղիղ գծի նկատմամբ։

Եթե ​​ֆունկցիաներից մեկը մեծանում է (նվազում), ապա մյուս ֆունկցիան նույնպես մեծանում է (նվազում է):

Գտնելով հակադարձ ֆունկցիան

$y=f(x)$ հավասարումը $x$ փոփոխականի նկատմամբ լուծված է։

Ստացված արմատներից հայտնաբերվում են նրանք, որոնք պատկանում են $X$ միջակայքին։

Գտնված $x$-ը վերագրվում է $y$ թվին:

Օրինակ 1

Գտեք հակադարձ ֆունկցիան $y=x^2$ ֆունկցիայի համար $X=[-1,0]$ միջակայքում

Քանի որ այս ֆունկցիան նվազող և շարունակական է $X$ միջակայքում, ապա $Y=$ ինտերվալի վրա, որը նույնպես նվազում է և շարունակական այս միջակայքում (թեորեմ 1):

Հաշվարկել $x$:

\ \

Ընտրեք համապատասխան $x$:

Պատասխան.հակադարձ ֆունկցիա $y=-\sqrt(x)$:

Հակադարձ ֆունկցիաներ գտնելու խնդիրներ

Այս մասում մենք դիտարկում ենք հակադարձ ֆունկցիաներ որոշ տարրական ֆունկցիաների համար: Առաջադրանքները կլուծվեն վերը նշված սխեմայի համաձայն:

Օրինակ 2

Գտե՛ք $y=x+4$ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան

Գտեք $x$ $y=x+4$ հավասարումից:

Օրինակ 3

Գտե՛ք $y=x^3$ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան

Որոշում.

Քանի որ ֆունկցիան աճող և շարունակական է սահմանման ողջ տիրույթում, հետևաբար, ըստ Թեորեմ 1-ի, այն ունի հակադարձ շարունակական և աճող ֆունկցիա իր վրա:

Գտեք $x$ $y=x^3$ հավասարումից:

$x$-ի համապատասխան արժեքներ գտնելը

Արժեքը մեր դեպքում հարմար է (քանի որ շրջանակը բոլոր թվերն են)

Փոփոխականները վերասահմանելով՝ մենք ստանում ենք, որ հակադարձ ֆունկցիան ունի ձև

Օրինակ 4

Գտե՛ք $y=cosx$ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան $$ միջակայքում

Որոշում.

Դիտարկենք $y=cosx$ ֆունկցիան $X=\left$ բազմության վրա: Այն շարունակական է և նվազում է $X$ բազմության վրա և քարտեզագրում է $X=\left$ բազմությունը $Y=[-1,1]$ բազմության վրա, հետևաբար, հակադարձ շարունակական միատոն ֆունկցիայի առկայության թեորեմով, $y=cosx$ ֆունկցիան $ Y$ բազմության մեջ կա հակադարձ ֆունկցիա, որը նույնպես շարունակական է և մեծանում է $Y=[-1,1]$ բազմության մեջ և քարտեզագրում է $[-1,1]$ բազմությունը։ դեպի $\left$ հավաքածու:

Գտեք $x$ $y=cosx$ հավասարումից:

$x$-ի համապատասխան արժեքներ գտնելը

Փոփոխականները վերասահմանելով՝ մենք ստանում ենք, որ հակադարձ ֆունկցիան ունի ձև

Օրինակ 5

Գտեք $y=tgx$ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ միջակայքում:

Որոշում.

Դիտարկենք $y=tgx$ ֆունկցիան $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ բազմության վրա: Այն շարունակական է և աճում է $X$ բազմության վրա և քարտեզագրում է $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ բազմությունը $Y բազմության վրա: =R$, հետևաբար, հակադարձ շարունակական միատոն ֆունկցիայի գոյության թեորեմով $y=tgx$ ֆունկցիան $Y$ բազմության մեջ ունի հակադարձ ֆունկցիա, որը նույնպես շարունակական է և մեծանում է $Y=R բազմության մեջ։ $ և քարտեզագրում է $R$ հավաքածուն $\left(- \frac(\pi)(2),\frac(\pi)(2)\right)$ բազմության վրա

Գտեք $x$ $y=tgx$ հավասարումից:

$x$-ի համապատասխան արժեքներ գտնելը

Փոփոխականները վերասահմանելով՝ մենք ստանում ենք, որ հակադարձ ֆունկցիան ունի ձև

Ի՞նչ է հակադարձ ֆունկցիան: Ինչպե՞ս գտնել տվյալ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան:

Սահմանում.

Թող y=f(x) ֆունկցիան սահմանվի D բազմության վրա, իսկ E-ը՝ նրա արժեքների բազմությունը։ Հակադարձ գործառույթը նկատմամբ y=f(x) ֆունկցիան x=g(y) ֆունկցիա է, որը սահմանված է E բազմության վրա և յուրաքանչյուր y∈E-ին վերագրում է այնպիսի արժեք x∈D, որ f(x)=y։

Այսպիսով, y=f(x) ֆունկցիայի տիրույթը հակադարձ ֆունկցիայի տիրույթն է, իսկ y=f(x) ֆունկցիայի տիրույթը։

Տրված y=f(x) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան գտնելու համար պետք է :

1) Ֆունկցիայի բանաձեւում y-ի փոխարեն փոխարինել x, x-ի փոխարեն - y.

2) Ստացված հավասարությունից y արտահայտեք x-ով.

Գտե՛ք y=2x-6 ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան։

y=2x-6 և y=0.5x+3 ֆունկցիաները փոխադարձ հակադարձ են։

Ուղիղ և հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները սիմետրիկ են y=x ուղիղ գծի նկատմամբ(I և III կոորդինատային քառորդների կիսադիրներ):

y=2x-6 և y=0.5x+3 - . Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկն է. Ուղիղ գիծ գծելու համար մենք վերցնում ենք երկու կետ.



Հնարավոր է եզակիորեն արտահայտել y-ը x-ով, երբ x=f(y) հավասարումն ունի եզակի լուծում: Դա կարելի է անել, եթե y=f(x) ֆունկցիան վերցնում է իր արժեքներից յուրաքանչյուրը իր սահմանման տիրույթի մեկ կետում (այդպիսի ֆունկցիան կոչվում է. շրջելի).

Թեորեմ (անհրաժեշտ և բավարար պայման ֆունկցիայի շրջելի լինելու համար)

Եթե ​​y=f(x) ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական թվային միջակայքում, ապա ֆունկցիան շրջելի լինելու համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ f(x)-ը լինի խիստ միատոն։

Ավելին, եթե y=f(x)-ը մեծանում է միջակայքում, ապա դրան հակադարձ ֆունկցիան նույնպես մեծանում է այս միջակայքում; եթե y=f(x) նվազում է, ապա հակադարձ ֆունկցիան նույնպես նվազում է։

Եթե ​​հետադարձելիության պայմանը բավարարված չէ ամբողջ սահմանման տիրույթում, կարելի է առանձնացնել մի ինտերվալ, որտեղ ֆունկցիան միայն մեծանում է կամ միայն նվազում է, և այդ միջակայքում գտնել տրվածին հակադարձ ֆունկցիա:

Դասական օրինակն է. Միջեւ

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - կենտ ֆունկցիա, գրաֆիկը սիմետրիկ է O կետի նկատմամբ (0; 0):

աղեղ x = 0 x = 0:

arcsin x > 0 at x є (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x-ը մեծանում է ցանկացած x є-ի համար [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Աղեղային կոսինուս

Կոսինուսի ֆունկցիան նվազում է հատվածի վրա և ընդունում է բոլոր արժեքները -1-ից մինչև 1: Հետևաբար, ցանկացած թվի համար, որը |a|1 է, cosx=a հավասարման մեջ կա մեկ արմատ հատվածի վրա: Այս թիվը կոչվում է a թվի արկկոսին և նշանակվում է arcos a:

Սահմանում . a թվի աղեղային կոսինուսը, որտեղ -1 a 1, մի թիվ է այն հատվածից, որի կոսինուսը հավասար է a-ի:

Հատկություններ.

1. E(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

   arccos x = 0 x = 1-ում

   arccos x > 0 ժամը x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x-ը նվազում է ցանկացած x є-ի համար [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - նվազում:

Arctangent

Շոշափող ֆունկցիան մեծանում է հատվածի վրա.
, հետևաբար, ըստ արմատի թեորեմի, tgx \u003d a հավասարումը, որտեղ a-ն ցանկացած իրական թիվ է, ունի եզակի արմատ x միջակայքում -: Այս արմատը կոչվում է a թվի աղեղային շոշափող և նշանակվում է arctga-ով։

Սահմանում. Թվի աղեղային շոշափող աՌ այս թիվը կոչվում է x , որի շոշափողը ա.

Հատկություններ.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - ֆունկցիան կենտ է, գրաֆիկը սիմետրիկ է O կետի նկատմամբ (0; 0):

arctg x = 0 x = 0-ում

Ֆունկցիան մեծանում է ցանկացած x є R-ի համար

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Աղեղային շոշափող

Կոտանգենտ ֆունկցիան (0;) միջակայքում նվազում է և վերցնում է բոլոր արժեքները R-ից: Հետևաբար, ցանկացած a թվի համար (0;) միջակայքում կա ctg x \u003d a հավասարման մեկ արմատ: Այս a թիվը կոչվում է a թվի աղեղային շոշափող և նշանակվում է arcctg a-ով:

Սահմանում. A թվի աղեղային շոշափողը, որտեղ a R, այդպիսի թիվ է (0;) միջակայքից: , որի կոտանգենսը ա.

Հատկություններ.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:

arcctg x = 0- գոյություն չունի.

Գործառույթ y = arcctg xնվազում է ցանկացածի համար х є Ռ

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Ֆունկցիան շարունակական է ցանկացած x є R-ի համար։

2.3 Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող արտահայտությունների ինքնության փոխակերպումներ

Օրինակ 1. Պարզեցրեք արտահայտությունը.

ա)
որտեղ

Որոշում. դնենք
. Հետո
և
Գտնել
, օգտագործում ենք կապը
Մենք ստանում ենք
Բայց . Այս հատվածում կոսինուսը ընդունում է միայն դրական արժեքներ: Այսպիսով,
, այսինքն
որտեղ
.

բ)

Որոշում.

մեջ)

Որոշում. դնենք
. Հետո
և
Եկեք նախ գտնենք, որի համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը
, որտեղ
Քանի որ կոսինուսը այս միջակայքում ընդունում է միայն դրական արժեքներ, ուրեմն
.

Դասի նպատակները.

Ուսումնական:

• ծրագրային նյութին համապատասխան նոր թեմայի վերաբերյալ գիտելիքներ ձևավորել.
• ուսումնասիրել ֆունկցիայի անշրջելիության հատկությունը և սովորեցնել, թե ինչպես գտնել տվյալ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան.

Զարգացող:

• զարգացնել ինքնատիրապետման հմտություններ, առարկայական խոսք;
• տիրապետել հակադարձ ֆունկցիայի հայեցակարգին և սովորել հակադարձ ֆունկցիա գտնելու մեթոդները.

Կրթական՝ ձևավորել հաղորդակցական իրավասություն։

Սարքավորումներ:համակարգիչ, պրոյեկտոր, էկրան, SMART Board ինտերակտիվ գրատախտակ, թերթիկ (անկախ աշխատանք) խմբային աշխատանքի համար։

Դասերի ժամանակ.

1. Կազմակերպչական պահ.

Թիրախ – ուսանողներին դասարանում աշխատանքի համար պատրաստելը.

Բացակայության սահմանում,

Ուսանողների վերաբերմունքը աշխատանքին, ուշադրության կազմակերպումը;

Հաղորդագրություն դասի թեմայի և նպատակի մասին:

2. Սովորողների հիմնական գիտելիքների թարմացում.ճակատային հարցում.

Թիրախ - հաստատել ուսումնասիրված տեսական նյութի ճիշտությունն ու տեղեկացվածությունը, լուսաբանված նյութի կրկնությունը.<Приложение 1 >

Ուսանողների համար նախատեսված ինտերակտիվ գրատախտակի վրա ցուցադրվում է ֆունկցիայի գրաֆիկը: Ուսուցիչը ձևակերպում է առաջադրանք՝ դիտարկել ֆունկցիայի գրաֆիկը և թվարկել ֆունկցիայի ուսումնասիրված հատկությունները։ Ուսանողները թվարկում են ֆունկցիայի հատկությունները` ըստ հետազոտության ձևավորման: Ուսուցիչը ֆունկցիայի գրաֆիկի աջ կողմում ինտերակտիվ գրատախտակի վրա նշում է անվանված հատկությունները:

Ֆունկցիոնալ հատկություններ.

Ուսումնառության ավարտին ուսուցիչը հայտնում է, որ այսօր դասին կծանոթանան ֆունկցիայի ևս մեկ հատկության՝ հետադարձելիության հետ։ Նոր նյութի բովանդակալից ուսումնասիրության համար ուսուցիչը երեխաներին հրավիրում է ծանոթանալ հիմնական հարցերին, որոնց աշակերտները պետք է պատասխանեն դասի վերջում: Հարցերը գրված են սովորական գրատախտակի վրա, և յուրաքանչյուր ուսանող ունի թերթիկ (բաժանվում է դասից առաջ)

1. Ի՞նչ է շրջելի ֆունկցիան:
2. Արդյո՞ք յուրաքանչյուր գործառույթ շրջելի է:
3. Ո՞րն է հակադարձ տրված ֆունկցիան:
4. Ինչպե՞ս են կապված ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը և արժեքների բազմությունը և դրա հակադարձ գործառույթը:
5. Եթե ​​ֆունկցիան տրված է վերլուծական եղանակով, ինչպե՞ս եք սահմանում հակադարձ ֆունկցիան բանաձևով:
6. Եթե ​​ֆունկցիան տրված է գրաֆիկորեն, ինչպե՞ս գծագրել դրա հակադարձ ֆունկցիան:

3. Նոր նյութի բացատրություն.

Թիրախ - ծրագրային նյութին համապատասխան նոր թեմայի վերաբերյալ գիտելիքներ ձևավորել. ուսումնասիրել ֆունկցիայի անշրջելիության հատկությունը և սովորեցնել, թե ինչպես գտնել տվյալ ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան. զարգացնել առարկան:

Ուսուցիչը կատարում է նյութի ներկայացում պարբերության նյութին համապատասխան: Ինտերակտիվ գրատախտակի վրա ուսուցիչը համեմատում է երկու ֆունկցիաների գրաֆիկները, որոնց սահմանման տիրույթները և արժեքների բազմությունը նույնն են, բայց ֆունկցիաներից մեկը միապաղաղ է, իսկ մյուսը՝ ոչ՝ դրանով իսկ ուսանողներին բերելով շրջելի ֆունկցիա հասկացության տակ։ .

Այնուհետև ուսուցիչը ձևակերպում է շրջելի ֆունկցիայի սահմանումը և ինտերակտիվ գրատախտակի վրա անցկացնում է հակադարձ ֆունկցիայի թեորեմի ապացույց՝ օգտագործելով միապաղաղ ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Սահմանում 1. կանչվում է y=f(x), x X ֆունկցիան շրջելի, եթե այն վերցնում է իր արժեքներից որևէ մեկը X բազմության միայն մեկ կետում:

Թեորեմ. Եթե y=f(x) ֆունկցիան X բազմության վրա միատոն է, ապա այն շրջելի է:

Ապացույց:

1. Թող գործառույթը y=f(x)ավելանում է Xթող գնա x 1 ≠ x 2- հավաքածուի երկու միավոր X.
2. Հստակության համար թող x 1< x 2.
   Հետո ինչից x 1< x 2հետևում է դրան f (x 1) < f (x 2).
3. Այսպիսով, արգումենտի տարբեր արժեքները համապատասխանում են ֆունկցիայի տարբեր արժեքներին, այսինքն. ֆունկցիան շրջելի է։

(Թեորեմի ապացուցման ժամանակ ուսուցիչը մարկերով կատարում է գծագրի վրա անհրաժեշտ բոլոր բացատրությունները)

Նախքան հակադարձ ֆունկցիայի սահմանումը ձևակերպելը, ուսուցիչը խնդրում է ուսանողներին որոշել, թե առաջարկվող ֆունկցիաներից որն է շրջելի: Ինտերակտիվ գրատախտակը ցույց է տալիս ֆունկցիաների գրաֆիկները և գրված են մի քանի վերլուծականորեն սահմանված ֆունկցիաներ.

Բ)

է) y = 2x + 5

Դ) y = -x 2 + 7

Ուսուցիչը ներկայացնում է հակադարձ ֆունկցիայի սահմանումը:

Սահմանում 2. Թույլ տվեք շրջելի ֆունկցիա y=f(x)սահմանված է հավաքածուի վրա Xև E(f)=Y. Եկեք համապատասխանենք յուրաքանչյուրին y-ից Յապա միակ իմաստը X, որը f(x)=y.Այնուհետև մենք ստանում ենք գործառույթ, որը սահմանված է Յ, ա Xֆունկցիայի միջակայքն է

Այս ֆունկցիան նշվում է x=f -1 (y)և կոչվում է ֆունկցիայի հակադարձ y=f(x).

Ուսանողներին առաջարկվում է եզրակացություն անել սահմանման տիրույթի և հակադարձ ֆունկցիաների արժեքների բազմության միջև կապի մասին:

Հարցը, թե ինչպես գտնել տրվածի հակադարձ ֆունկցիան, ուսուցիչը ներգրավեց երկու աշակերտի: Նախօրեին երեխաները ուսուցչից առաջադրանք են ստացել ինքնուրույն վերլուծել հակադարձ ֆունկցիան գտնելու վերլուծական և գրաֆիկական մեթոդները։ Ուսուցիչը հանդես է եկել որպես խորհրդատու՝ աշակերտներին դասին նախապատրաստելիս:

Հաղորդագրություն առաջին ուսանողից.

Նշում. ֆունկցիայի միապաղաղությունն է բավարարհակադարձ ֆունկցիայի գոյության պայման. Բայց այն չէանհրաժեշտ պայման.

Աշակերտը բերեց տարբեր իրավիճակների օրինակներ, երբ ֆունկցիան միապաղաղ է, այլ շրջելի, երբ ֆունկցիան միապաղաղ է և անշրջելի, երբ ֆունկցիան միապաղաղ է և շրջելի։

Այնուհետև ուսանողը ծանոթացնում է վերլուծական եղանակով տրված հակադարձ ֆունկցիան գտնելու մեթոդին:

Գտնել ալգորիթմ

1. Համոզվեք, որ ֆունկցիան միապաղաղ է:
2. Արտահայտե՛ք x-ը y-ով:
3. Վերանվանել փոփոխականները: x \u003d f -1 (y) փոխարեն գրում են y \u003d f -1 (x)

Այնուհետև լուծում է երկու օրինակ՝ գտնելու տրվածի հակադարձ ֆունկցիան։

Օրինակ 1:Ցույց տվեք, որ y=5x-3 ֆունկցիայի համար կա հակադարձ ֆունկցիա և գտե՛ք դրա վերլուծական արտահայտությունը:

Որոշում. Գծային y=5x-3 ֆունկցիան սահմանվում է R-ի վրա, մեծանում է R-ի վրա, և դրա միջակայքը R է: Այսպիսով, հակադարձ ֆունկցիան գոյություն ունի R-ի վրա: Նրա վերլուծական արտահայտությունը գտնելու համար լուծում ենք y=5x-3 հավասարումը: x; մենք ստանում ենք Սա ցանկալի հակադարձ ֆունկցիան է: Այն սահմանվում և մեծանում է Ռ.

Օրինակ 2:Ցույց տվեք, որ կա y=x 2, x≤0 ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիա և գտե՛ք դրա վերլուծական արտահայտությունը:

Ֆունկցիան շարունակական է, իր սահմանման տիրույթում միատոն, հետևաբար՝ անշրջելի։ Վերլուծելով ֆունկցիայի սահմանման տիրույթները և արժեքների բազմությունը՝ համապատասխան եզրակացություն է արվում հակադարձ ֆունկցիայի վերլուծական արտահայտության մասին։

Երկրորդ ուսանողը ներկայացնում է ներկայացում գրաֆիկականինչպես գտնել հակադարձ ֆունկցիան: Իր բացատրության ընթացքում սովորողն օգտագործում է ինտերակտիվ գրատախտակի հնարավորությունները։

y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը ստանալու համար y=f(x) ֆունկցիայի հակադարձ y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը պետք է սիմետրիկ ձևափոխել ուղիղ գծի նկատմամբ. y=x.

Ինտերակտիվ գրատախտակի վրա բացատրության ժամանակ կատարվում է հետևյալ առաջադրանքը.

Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկ և դրա հակադարձ ֆունկցիայի գրաֆիկը նույն կոորդինատային համակարգում: Գրի՛ր հակադարձ ֆունկցիայի վերլուծական արտահայտությունը:

4. Նոր նյութի առաջնային ամրացում.

Թիրախ - հաստատել ուսումնասիրված նյութի ըմբռնման ճիշտությունն ու տեղեկացվածությունը, բացահայտել նյութի առաջնային ըմբռնման բացերը, շտկել դրանք.

Աշակերտները բաժանվում են զույգերի. Նրանց տրվում են առաջադրանքներով թերթիկներ, որոնցում նրանք աշխատում են զույգերով: Աշխատանքն ավարտելու ժամանակը սահմանափակ է (5-7 րոպե): Մեկ զույգ սովորող աշխատում է համակարգչով, պրոյեկտորն այս անգամ անջատված է, և մնացած երեխաները չեն կարողանում տեսնել, թե ինչպես են աշակերտները աշխատում համակարգչով:

Ժամանակի վերջում (ենթադրվում է, որ սովորողների մեծ մասն ավարտել է աշխատանքը) ինտերակտիվ գրատախտակը (պրոյեկտորը նորից միանում է) ցույց է տալիս ուսանողների աշխատանքը, որտեղ թեստի ժամանակ պարզվում է, որ առաջադրանքը կատարվել է ք. զույգ. Անհրաժեշտության դեպքում ուսուցիչը կատարում է ուղղիչ, բացատրական աշխատանք:

Անկախ աշխատանք զույգերով<Հավելված 2 >

5. Դասի արդյունքը.Դասախոսությունից առաջ տրված հարցերի վերաբերյալ։ Դասի գնահատականների հայտարարություն.

Տնային աշխատանք §10. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(բ) 10.12(բ)

Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-րդ դասարան 2 մասով ուսումնական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ) / Ա.Գ. Մորդկովիչ, Լ.Օ. Դենիշչևա, Տ.Ա.Կորեշկովա և այլք; խմբ. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007 թ

Փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներ.

Թող ֆունկցիան լինի խիստ միատոն (աճող կամ նվազող) և շարունակական սահմանման տիրույթում, այս ֆունկցիայի տիրույթում, ապա միջակայքում սահմանվում է շարունակական խիստ միատոն ֆունկցիա՝ մի շարք արժեքներով, որը. հակադարձ է .

Այլ կերպ ասած, իմաստ ունի խոսել որոշակի ընդմիջումով ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիայի մասին, եթե այս ինտերվալում կա՛մ մեծանում, կա՛մ նվազում է:

Գործառույթներ զ և է կոչվում են փոխադարձ:

Ինչու՞ ընդհանրապես հաշվի առնել հակադարձ ֆունկցիաների հայեցակարգը:

Դա պայմանավորված է հավասարումների լուծման խնդրով։ Լուծումները պարզապես գրված են հակադարձ ֆունկցիաներով:

Հաշվի առեք հակադարձ ֆունկցիաներ գտնելու մի քանի օրինակ .

Սկսենք գծային փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներից։

Գտե՛ք հակադարձ ֆունկցիան:

Այս ֆունկցիան գծային է, նրա գրաֆիկը ուղիղ գիծ է։ Հետևաբար, ֆունկցիան միատոն է սահմանման ողջ տիրույթում: Հետևաբար, մենք կփնտրենք դրա հակադարձ գործառույթը սահմանման ողջ տիրույթում:

.

Էքսպրես x միջոցով y (այլ կերպ ասած, լուծեք հավասարումը x ).

- սա հակադարձ ֆունկցիան է, ճշմարտությունն այստեղ է y փաստարկ է, և x այս փաստարկի գործառույթն է: Նշումների մեջ սովորությունները չխախտելու համար (սա սկզբունքային նշանակություն չունի), տառերը վերադասավորելով x և y , կգրի .

Այսպիսով, և փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներ են:

Եկեք փոխադարձ հակադարձ գծային ֆունկցիաների գրաֆիկական նկարազարդում տանք:

Ակնհայտ է, որ գրաֆիկները սիմետրիկ են ուղիղ գծի նկատմամբ: (առաջին և երրորդ քառորդների բիսեկտորներ): Սա փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների հատկություններից մեկն է, որը կքննարկվի ստորև:

Գտեք հակադարձ ֆունկցիան:

Այս ֆունկցիան քառակուսի է, գրաֆիկը պարաբոլա է՝ գագաթնակետով մի կետում:

.

Ֆունկցիան աճում է, և նվազում է որպես . Սա նշանակում է, որ կարելի է որոնել հակադարձ ֆունկցիա տվյալ մեկի համար երկու ինտերվալներից մեկում:

Այսպիսով, և, փոխանակելով x և y, մենք ստանում ենք հակադարձ ֆունկցիա տվյալ միջակայքում.

Գտեք հակադարձ ֆունկցիան:

Այս ֆունկցիան խորանարդ է, գրաֆիկը խորանարդ պարաբոլա է՝ մի կետում գագաթով:

.

Ֆունկցիան մեծանում է ժամը. Սա նշանակում է, որ հնարավոր է որոնել հակադարձ ֆունկցիա տվյալի համար սահմանման ողջ տիրույթում:

, և x-ը և y-ը փոխանակելով՝ ստանում ենք հակադարձ ֆունկցիա:

Եկեք սա ցույց տանք գրաֆիկի վրա:

Թվարկենք փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների հատկությունները և.

և.

Առաջին հատկությունից երևում է, որ ֆունկցիայի շրջանակը համընկնում է ֆունկցիայի շրջանակի հետ և հակառակը։

Փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները սիմետրիկ են ուղիղ գծի նկատմամբ:

Եթե ​​ավելանում է, ուրեմն ավելանում է, եթե նվազում է, ուրեմն նվազում է։

Տրված ֆունկցիայի համար գտե՛ք հակադարձ ֆունկցիան.

Տրված ֆունկցիայի համար գտե՛ք հակադարձը և գծե՛ք տրված և հակադարձ ֆունկցիաները. Պարզեք, արդյոք տվյալ ֆունկցիայի համար հակադարձ ֆունկցիա կա: Եթե ​​այո, ապա վերլուծական կերպով սահմանե՛ք հակադարձ ֆունկցիան, գծե՛ք տրված և հակադարձ ֆունկցիաները. Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը և տիրույթը ֆունկցիային հակառակ, եթե.

1. Գտե՛ք փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի միջակայքը և, եթե տրված են դրանց միջակայքերը.

Ֆունկցիաները փոխադարձ հակադարձ են, եթե՝

1. Գտի՛ր տրվածի հակադարձ ֆունկցիան: Նույն կոորդինատային համակարգի վրա գծեք այս փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները.

   Արդյո՞ք այս ֆունկցիան հակադարձում է ինքն իրեն. Սահմանե՛ք տրվածին հակադարձ ֆունկցիա և գծե՛ք դրա գրաֆիկը.