Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխակերպման աղյուսակ. Եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերը

Եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի ճյուղերից է, որի ուսումնասիրությունը կենտրոնանում է անկյունների և նրանց միջև փոխհարաբերությունների վրա։ Գիտության հիմքերը դրվում են դպրոցական տարիներին, երբ ներկայացվում են անկյունային ֆունկցիաների սահմանումները։ Հետագայում ստացված բազան օգտագործվում է աստղագիտության, գործիքավորման, ճարտարապետության և գիտելիքի այլ ոլորտների զարգացման մեջ: Ինչպես ցանկացած ճշգրիտ գիտություն, եռանկյունաչափությունը ամբողջական չէ առանց բանաձևերի: Գործնական օգտագործումգտել են կրկնակի արգումենտ սահմանելու արտահայտություններ: Օրինակ, դիմելով համապատասխան հավասարմանը, կարելի է հեշտությամբ պարզել կրկնակի անկյունսինուս.

Եռանկյունաչափական արտահայտություն հաշվարկի համար

Արտահայտությունը պարզապես գրվում և հիշվում է. կրկնակի անկյան սինուսը հաշվարկվում է որպես մեկ փաստարկի սինուսի և կոսինուսի կրկնակի արտադրյալ:

Այս բանաձևը ստացվել է անկյունների գումարի սինուսի արտահայտությունից ( Ք 1 + Ք 2 ) :

մեղք ( Ք 1 + Ք 2) = մեղք Ք 1* կոս Ք 1+ մեղք Ք 2 * cos Ք 2 .

Ենթադրելով, որ տրված անկյուններըիրար հավասար, բանաձևը գրված է սովորական ձևով.

Դուք կարող եք արտահայտություն օգտագործել ֆունկցիայի փաստարկի ցանկացած արժեքի համար: Դրանից սինուսի կրկնակի անկյունը հաշվարկելը բավականին պարզ է, ստորև բերված օրինակները կօգնեն ստուգել դա:

Օգտագործման օրինակ

Ահա ստացված բանաձևի կիրառման մի քանի նկարազարդումներ: Թող պահանջվի հաշվարկել 60 աստիճանի հավասար անկյան սինուսի եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը։ Համապատասխան մեկ անկյունը կլինի 30 աստիճան: Քանի որ 30 աստիճանի անկյան սինուսը և կոսինուսը հայտնի են, սինուսի կրկնակի անկյունը կլինի sin 60 = 2 * sin 30 * cos 30:

Բանաձևն օգտագործվում է ոչ միայն «ձեռքով» հաշվարկելու համար, դուք կարող եք նաև արժեքներ գտնել՝ օգտագործելով մաթեմատիկական փաթեթները կամ MS Excel աղյուսակները:

Չնայած եռանկյունաչափական ինքնության պարզությանը, այն դժվարություններ է առաջացնում դպրոցի շրջանավարտների համար: Սա հենց այն է, ինչի վրա հույսը դնում են USE առաջադրանքների մշակողները՝ առաջարկելով թեստեր՝ հիմնական բանաձևերը ստուգելու համար: Եզրակացություն - սինուսի կրկնակի անկյունը հաշվարկելու բանաձևը պետք է անգիր իմանալ:

Ամենահաճախ տրվող հարցերը

Հնարավո՞ր է փաստաթղթի վրա կնիք անել ըստ ներկայացված նմուշի: Պատասխանել Այո, հնարավոր է։ Ուղարկեք սկանավորված պատճեն կամ լուսանկար մեր էլ. հասցեին լավ որակև մենք կկատարենք անհրաժեշտ կրկնօրինակը:

Վճարման ի՞նչ տեսակներ եք ընդունում: Պատասխանել Փաստաթղթի համար կարող եք վճարել սուրհանդակի կողմից ստանալու պահին՝ լրացման ճշգրտությունը և դիպլոմի որակը ստուգելուց հետո։ Դա կարելի է անել նաև փոստային ընկերությունների գրասենյակում, որոնք առաջարկում են կանխիկ առաքման ծառայություններ:
Փաստաթղթերի առաքման և վճարման բոլոր պայմանները նկարագրված են «Վճարում և առաքում» բաժնում: Մենք պատրաստ ենք լսել նաև ձեր առաջարկները փաստաթղթի առաքման և վճարման պայմանների վերաբերյալ:

Կարո՞ղ եմ վստահ լինել, որ պատվեր կատարելուց հետո դու չես անհետանա իմ փողի հետ: Պատասխանել Մենք բավականին երկար փորձ ունենք դիպլոմների արտադրության ոլորտում։ Մենք ունենք մի քանի կայքեր, որոնք անընդհատ թարմացվում են։ Մեր մասնագետները աշխատում են երկրի տարբեր ծայրերում՝ օրական պատրաստելով ավելի քան 10 փաստաթուղթ։ Տարիների ընթացքում մեր փաստաթղթերը շատերին օգնել են լուծել զբաղվածության խնդիրները կամ տեղափոխվել ավելին բարձր վարձատրվող աշխատանք. Մենք վստահություն և ճանաչում ենք վաստակել մեր հաճախորդների շրջանում, ուստի բացարձակապես որևէ պատճառ չկա, որ մենք դա անենք: Ընդ որում, դա ֆիզիկապես անհնար է անել. պատվերի համար վճարում ես այն ձեռքիդ տակ ստանալու պահին, չկա կանխավճար։

Կարո՞ղ եմ ցանկացած համալսարանի դիպլոմ պատվիրել: Պատասխանել Ընդհանուր առմամբ՝ այո։ Մենք այս ոլորտում աշխատում ենք գրեթե 12 տարի։ Այս ընթացքում ձևավորվել է հանրապետության և արտերկրի գրեթե բոլոր բուհերի կողմից տրված փաստաթղթերի գրեթե ամբողջական բազա։ տարբեր տարիներթողարկումը. Ձեզ անհրաժեշտ է միայն ընտրել համալսարան, մասնագիտություն, փաստաթուղթ և լրացնել պատվերի ձևաթուղթը:

Ի՞նչ պետք է անեմ, եթե փաստաթղթում հայտնաբերեմ տառասխալներ և սխալներ: Պատասխանել Մեր սուրհանդակային կամ փոստային ընկերությունից փաստաթուղթ ստանալիս խորհուրդ ենք տալիս ուշադիր ստուգել բոլոր մանրամասները: Տառասխալ, սխալ կամ անճշտություն հայտնաբերելու դեպքում դուք իրավունք ունեք չվերցնել դիպլոմը, և հայտնաբերված թերությունները պետք է անձամբ նշեք առաքիչին կամ հասցեում. գրելընամակ ուղարկելով էլ.
Հնարավորինս շուտ մենք կուղղենք փաստաթուղթը և նորից կուղարկենք նշված հասցեով: Իհարկե, առաքումը կվճարի մեր ընկերությունը։
Նման թյուրիմացություններից խուսափելու համար, նախքան բնօրինակ ձևը լրացնելը, մենք հաճախորդի փոստին ուղարկում ենք ապագա փաստաթղթի դասավորությունը ստուգման և հաստատման համար: վերջնական տարբերակը. Սուրհանդակով կամ փոստով փաստաթուղթ ուղարկելուց առաջ մենք նաև անում ենք լրացուցիչ լուսանկարև տեսանյութ (ներառյալ ուլտրամանուշակագույն լույսի ներքո), որպեսզի տեսողական պատկերացում ունենաք, թե ինչ եք ստանում վերջում:

Ի՞նչ պետք է անեք ձեր ընկերությունից դիպլոմ պատվիրելու համար: Պատասխանել Փաստաթուղթ (վկայական, դիպլոմ, գիտական ​​վկայական և այլն) պատվիրելու համար դուք պետք է լրացնեք առցանց պատվերի ձևը մեր կայքում կամ տրամադրեք ձեր էլ. փոստը, որպեսզի մենք ձեզ ուղարկենք հարցաթերթիկ, որը դուք պետք է լրացնեք և ուղարկեք: վերադառնալ մեզ:
Եթե ​​չգիտեք, թե ինչ նշել պատվերի ձևի/հարցաշարի որևէ դաշտում, թողեք դրանք դատարկ: Ուստի մենք հեռախոսով կճշտենք բոլոր բացակայող տեղեկությունները։

Վերջին ակնարկներ

Վալենտին.

Դուք փրկեցիք մեր որդուն աշխատանքից ազատվելուց։ Բանն այն է, որ ուսումը թողնելուց հետո որդին գնացել է բանակ։ Իսկ երբ վերադարձավ, չցանկացավ վերականգնվել։ Աշխատել է առանց դիպլոմի։ Բայց վերջերս նրանք սկսեցին աշխատանքից հեռացնել բոլորին, ովքեր չունեն «կեղեւ. Հետևաբար, մենք որոշեցինք կապվել ձեզ հետ և չզղջացինք: Հիմա նա հանգիստ աշխատում է և ոչնչից չի վախենում։ Շնորհակալություն!

Կրկնակի անկյան բանաձևերը օգտագործվում են 2 α արժեք ունեցող անկյան սինուսները, կոսինուսները, տանգենսները, կոտանգենսները արտահայտելու համար՝ օգտագործելով α անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները։ Այս հոդվածը կներկայացնի բոլոր կրկնակի անկյունային բանաձևերը ապացույցներով: Կդիտարկվեն բանաձևերի կիրառման օրինակներ: Վերջնական մասում կցուցադրվեն եռակի, քառակի անկյունների բանաձևերը։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Կրկնակի անկյունային բանաձևերի ցանկ

Կրկնակի անկյան բանաձևերը փոխարկելու համար հիշեք, որ եռանկյունաչափության անկյունները ունեն n α ձևաչափ, որտեղ n-ը բնական թիվ, արտահայտության արժեքը գրվում է առանց փակագծերի։ Այսպիսով, sin n α համարվում է նույն նշանակությունը, ինչ մեղքը (n α) . sin n α նշումով մենք ունենք նմանատիպ նշում (sin α) n . Գրառման օգտագործումը կիրառելի է բոլորի համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ n-ի լիազորություններով։

Հետևյալը կրկնակի անկյունային բանաձևերն են.

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Նկատի ունեցեք, որ այս sin և cos բանաձևերը կիրառելի են α անկյան ցանկացած արժեքի դեպքում: Կրկնակի անկյան շոշափողի բանաձևը վավեր է α-ի ցանկացած արժեքի համար, որտեղ t g 2 α իմաստ ունի, այսինքն՝ α ≠ π 4 + π 2 · z, z ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Կրկնակի անկյան կոտանգենսը գոյություն ունի ցանկացած α-ի համար, որտեղ c t g 2 α սահմանվում է α ≠ π 2 · z-ի վրա:

Կրկնակի անկյան կոսինուսն ունի կրկնակի անկյան եռակի նշում: Դրանք բոլորը կիրառելի են։

Կրկնակի անկյան բանաձևերի ապացույց

Բանաձևերի ապացույցը ծագում է ավելացման բանաձևերից։ Մենք կիրառում ենք գումարի սինուսի բանաձևերը.

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β և cos գումարի կոսինուս (α + β) = cos α cos β - sin α sin β: Ենթադրենք, որ β = α , ապա մենք ստանում ենք դա

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α եւ cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α.

Այսպիսով, ապացուցված են sin 2 α \u003d 2 sin α cos α և cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α երկակի անկյան սինուսի և կոսինուսի բանաձևերը:

Հանգիստ cos բանաձեւեր 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α և cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 հանգեցնում են cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α ձևին, երբ 1-ը փոխարինում ենք գումարով քառակուսիները ըստ հիմնական նույնականության sin 2 α + cos 2 α = 1 . Մենք ստանում ենք, որ մեղքը 2 α + cos 2 α = 1: Այսպիսով, 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α և 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - մեղք 2 α:

Շոշափողի և կոտանգենսի կրկնակի անկյան բանաձևերն ապացուցելու համար կիրառում ենք t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α և c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α հավասարությունները։ Փոխակերպումից հետո մենք ստանում ենք, որ t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α և c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Արտահայտությունը բաժանեք cos 2 α-ի, որտեղ cos 2 α ≠ 0 α-ի ցանկացած արժեքի հետ, երբ սահմանված է t g α: Մեկ այլ արտահայտություն բաժանեք sin 2 α-ի, որտեղ sin 2 α ≠ 0 α-ի ցանկացած արժեքի հետ, երբ c tg 2 α իմաստ ունի: Շոշափողի և կոտանգենսի կրկնակի անկյան բանաձևն ապացուցելու համար մենք փոխարինում ենք և ստանում.

- Անկասկած, եռանկյունաչափության առաջադրանքներ կլինեն: Եռանկյունաչափությունը հաճախ դուր չի գալիս, քանի որ ստիպված է լինում լցնել սինուսներով, կոսինուսներով, շոշափողներով և կոտանգենսներով լի հսկայական քանակությամբ բարդ բանաձևեր: Կայքն արդեն մեկ անգամ խորհուրդ է տվել, թե ինչպես հիշել մոռացված բանաձևը՝ օգտագործելով Euler և Peel բանաձևերի օրինակը։

Եվ այս հոդվածում մենք կփորձենք ցույց տալ, որ բավական է ամուր իմանալ ամենապարզներից միայն հինգը եռանկյունաչափական բանաձևեր, իսկ մնացածի մասին՝ ընդհանուր պատկերացում կազմելու և դրանք ցուցադրելու համար։ Դա նման է ԴՆԹ-ին. պատրաստի կենդանի էակի ամբողջական գծագրերը չեն պահվում մոլեկուլում: Այն պարունակում է, ավելի շուտ, առկա ամինաթթուներից այն հավաքելու հրահանգներ: Այդպես է եռանկյունաչափության մեջ՝ իմանալով որոշները ընդհանուր սկզբունքներ, մենք կստանանք բոլոր անհրաժեշտ բանաձևերը դրանց մի փոքր հավաքածուից, որոնք պետք է հիշել:

Մենք հիմնվելու ենք հետևյալ բանաձևերի վրա.

Գումարների սինուսի և կոսինուսի բանաձևերից, իմանալով, որ կոսինուսի ֆունկցիան զույգ է, իսկ սինուսի ֆունկցիան՝ կենտ՝ b-ին փոխարինելով -b, մենք ստանում ենք տարբերությունների բանաձևեր.

1. Տարբերության սինուս: մեղք(ա-բ) = մեղքաcos(-բ)+cosամեղք(-բ) = մեղքաcosբ-cosամեղքբ
2. կոսինուսի տարբերություն: cos(ա-բ) = cosաcos(-բ)-մեղքամեղք(-բ) = cosաcosբ+մեղքամեղքբ

Նույն բանաձևերի մեջ դնելով a \u003d b, մենք ստանում ենք կրկնակի անկյունների սինուսի և կոսինուսի բանաձևերը.

1. Կրկնակի անկյան սինուս: մեղք2 ա = մեղք(ա + ա) = մեղքաcosա+cosամեղքա = 2մեղքաcosա
2. Կրկնակի անկյան կոսինուս: cos2 ա = cos(ա + ա) = cosաcosա-մեղքամեղքա = cos2 ա-մեղք2 ա

Մյուս բազմաթիվ անկյունների բանաձևերը ստացվում են նույն կերպ.

1. Եռակի անկյան սինուս: մեղք3 ա = մեղք(2a+a) = մեղք2 աcosա+cos2 ամեղքա = (2մեղքաcosա)cosա+(cos2 ա-մեղք2 ա)մեղքա = 2մեղքաcos2 ա+մեղքաcos2 ա-մեղք 3 ա = 3 մեղքաcos2 ա-մեղք 3 ա = 3 մեղքա(1-մեղք2 ա)-մեղք 3 ա = 3 մեղքա-4մեղք 3 ա
2. Եռակի անկյան կոսինուս: cos3 ա = cos(2a+a) = cos2 աcosա-մեղք2 ամեղքա = (cos2 ա-մեղք2 ա)cosա-(2մեղքաcosա)մեղքա = cos 3ա- մեղք2 աcosա-2մեղք2 աcosա = cos 3ա-3 մեղք2 աcosա = cos 3 a-3(1- cos2 ա)cosա = 4cos 3ա-3 cosա

Նախքան առաջ անցնելը, եկեք դիտարկենք մեկ խնդիր.
Տրված է՝ անկյունը սուր է:
Գտե՛ք նրա կոսինուսը, եթե
Մեկ ուսանողի կողմից տրված լուծում.
Որովհետեւ , ապա մեղքա= 3, ա cosա = 4.
(Մաթեմատիկական հումորից)

Այսպիսով, շոշափողի սահմանումը կապում է այս ֆունկցիան և՛ սինուսի, և՛ կոսինուսի հետ: Բայց դուք կարող եք ստանալ մի բանաձեւ, որը տալիս է շոշափողի կապը միայն կոսինուսի հետ։ Այն բխելու համար մենք վերցնում ենք հիմնականը եռանկյունաչափական ինքնություն: մեղք 2 ա+cos 2 ա= 1 և բաժանիր այն cos 2 ա. Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, այս խնդրի լուծումը կլինի.

(Քանի որ անկյունը սուր է, արմատը հանելիս վերցվում է + նշանը)

Գումարի շոշափողի բանաձևը ևս մեկ բանաձև է, որը դժվար է հիշել: Եկեք թողարկենք այն այսպես.

անմիջապես ելք և

Կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևից կարող եք ստանալ սինուսի և կոսինուսի բանաձևերը կես անկյան համար: Դա անելու համար կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևի ձախ կողմում.
cos2 ա = cos 2 ա-մեղք 2 ա
մենք ավելացնում ենք միավոր, իսկ աջում՝ եռանկյունաչափական միավոր, այսինքն. սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը:
cos2 ա+1 = cos2 ա-մեղք2 ա+cos2 ա+մեղք2 ա
2cos 2 ա = cos2 ա+1
արտահայտելով cosամիջոցով cos2 աև կատարելով փոփոխականների փոփոխություն՝ մենք ստանում ենք.

Նշանը վերցվում է կախված քառանկյունից։

Նմանապես, հավասարության ձախ կողմից հանելով մեկը, իսկ աջից սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը, ստանում ենք.
cos2 ա-1 = cos2 ա-մեղք2 ա-cos2 ա-մեղք2 ա
2մեղք 2 ա = 1-cos2 ա

Եվ վերջապես, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը արտադրյալի վերածելու համար օգտագործում ենք հետևյալ հնարքը. Ենթադրենք, որ մենք պետք է սինուսների գումարը ներկայացնենք որպես արտադրյալ մեղքա+մեղքբ. Ներկայացնենք x և y փոփոխականներն այնպես, որ a = x+y, b+x-y: Հետո
մեղքա+մեղքբ = մեղք(x+y)+ մեղք(x-y) = մեղք x cos y+ cos x մեղք y+ մեղք x cos y- cos x մեղք y=2 մեղք x cos y. Այժմ արտահայտենք x-ը և y-ը a-ով և b-ով:

Քանի որ a = x+y, b = x-y, ապա . Այսպիսով

Դուք կարող եք անմիջապես դուրս գալ

1. Բաժանման բանաձև սինուսի և կոսինուսի արտադրանքմեջ գումարը: մեղքաcosբ = 0.5(մեղք(ա+բ)+մեղք(ա-բ))

Մենք խորհուրդ ենք տալիս կիրառել և ստանալ բանաձևեր սինուսների տարբերության և կոսինուսների գումարն ու տարբերությունը արտադրյալի վերածելու, ինչպես նաև սինուսների և կոսինուսների արտադրյալները գումարի բաժանելու համար: Կատարելով այս վարժությունները՝ դուք մանրակրկիտ կտիրապետեք եռանկյունաչափական բանաձևեր ստանալու հմտությանը և չեք կորչի նույնիսկ ամենադժվար հսկողության, օլիմպիադայի կամ թեստավորման ժամանակ: