Jednostavno rečeno, to su jednadžbe u kojima postoji barem jedna s varijablom u nazivniku.

Na primjer:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Primjer ne razlomka racionalne jednadžbe:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kako se rješavaju frakcijske racionalne jednadžbe?

Glavna stvar koju treba zapamtiti o frakcijskim racionalnim jednadžbama je da u njih trebate pisati. I nakon pronalaska korijena, svakako ih provjerite za prihvatljivost. Inače se mogu pojaviti strani korijeni, a cijelo će se rješenje smatrati netočnim.

Algoritam za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe:

Ispiši i "riješi" ODZ.

Pomnožite svaki član u jednadžbi zajedničkim nazivnikom i smanjite dobivene razlomke. Nazivnici će nestati.

Napišite jednadžbu bez otvaranja zagrada.

Riješi dobivenu jednadžbu.

Pronađene korijene provjerite ODZ-om.

Zapišite kao odgovor korijene koji su prošli test u koraku 7.

Nemojte pamtiti algoritam, 3-5 riješenih jednadžbi - i samo će se zapamtiti.

Primjer . Riješite razlomku racionalnu jednadžbu \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Odluka:

Odgovor: \(3\).

Primjer . Pronađite korijene frakcijske racionalne jednadžbe \(=0\)

Odluka:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Zapisujemo i "riješavamo" ODZ. Proširite \(x^2+7x+10\) u formulu: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Na sreću \(x_1\) i \(x_2\) smo već pronašli.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Očito, zajednički nazivnik razlomaka: \((x+2)(x+5)\). Pomnožimo cijelu jednadžbu s njom.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Smanjujemo razlomke
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Otvaranje zagrada
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dajemo iste uvjete
\(2x^2+9x-5=0\)		Pronalaženje korijena jednadžbe
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Jedan od korijena ne stane pod ODZ, pa kao odgovor zapisujemo samo drugi korijen.

Odgovor: \(\frac(1)(2)\).

Odluka frakcijske racionalne jednadžbe

Vodič za pomoć

Racionalne jednadžbe su jednadžbe u kojima su i lijeva i desna strana racionalni izrazi.

(Podsjetite se da su racionalni izrazi cijeli brojevi i frakcijski izrazi bez radikala, uključujući operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja ili dijeljenja - na primjer: 6x; (m – n)2; x/3y itd.)

Frakcijsko-racionalne jednadžbe se u pravilu svode na oblik:

Gdje P(x) i P(x) su polinomi.

Da biste riješili takve jednadžbe, pomnožite obje strane jednadžbe s Q(x), što može dovesti do stranih korijena. Stoga je pri rješavanju frakcijskih racionalnih jednadžbi potrebno provjeriti pronađene korijene.

Racionalna jednadžba naziva se cjelobrojna, ili algebarska, ako nema dijeljenje izrazom koji sadrži varijablu.

Primjeri cijele racionalne jednadžbe:

5x - 10 = 3 (10 - x)

3x
-=2x-10
4

Ako u racionalnoj jednadžbi postoji podjela izrazom koji sadrži varijablu (x), tada se jednadžba naziva razlomkom racionalnom.

Primjer frakcijske racionalne jednadžbe:

15
x + - = 5x - 17
x

Frakcijske racionalne jednadžbe obično se rješavaju na sljedeći način:

1) pronaći zajednički nazivnik razlomaka i pomnožiti oba dijela jednadžbe s njim;

2) riješiti dobivenu cijelu jednadžbu;

3) isključiti iz korijena one koji pretvaraju zajednički nazivnik razlomaka na nulu.

Primjeri rješavanja cjelobrojnih i razlomačkih racionalnih jednadžbi.

Primjer 1. Riješite cijelu jednadžbu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Odluka:

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika. Ovo je 6. Podijelite 6 s nazivnikom i rezultat pomnožite brojnikom svakog razlomka. Dobivamo jednadžbu ekvivalentnu ovoj:

3(x - 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Od lijeve i desne strane isti nazivnik, može se izostaviti. Tada imamo jednostavniju jednadžbu:

3(x - 1) + 4x = 5x.

Rješavamo ga otvaranjem zagrada i smanjenjem pojmova:

3x - 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Primjer riješen.

Primjer 2. Riješite razlomku racionalnu jednadžbu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x - 5 x x (x - 5)

Nalazimo zajednički nazivnik. Ovo je x(x - 5). Tako:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x - 5) x(x - 5) x(x - 5)

Sada se ponovno riješimo nazivnika, budući da je isti za sve izraze. Smanjujemo slične članove, izjednačavamo jednadžbu s nulom i dobivamo kvadratna jednadžba:

x 2 - 3x + x - 5 = x + 5

x 2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

x 2 - 3x - 10 = 0.

Nakon što smo riješili kvadratnu jednadžbu, nalazimo njezine korijene: -2 i 5.

Provjerimo jesu li ti brojevi korijeni izvorne jednadžbe.

Za x = –2, zajednički nazivnik x(x – 5) ne nestaje. Dakle -2 je korijen izvorne jednadžbe.

Kod x = 5, zajednički nazivnik nestaje, a dva od tri izraza gube svoje značenje. Dakle, broj 5 nije korijen izvorne jednadžbe.

Odgovor: x = -2

Više primjera

Primjer 1

x 1 = 6, x 2 \u003d - 2,2.

Odgovor: -2,2; 6.

Primjer 2

T. Kosyakova,
škola br. 80, Krasnodar

Rješenje kvadratnih i razlomačno-racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre

4. lekcija

Tema lekcije:

Svrha lekcije: formirati sposobnost rješavanja frakcijsko-racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre.

Vrsta lekcije: uvođenje novog materijala.

1. (Usmeno.) Riješite jednadžbe:

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Odluka.

Pronađite nevažeće vrijednosti a:

Odgovor. Ako je a ako a = – 19 , tada nema korijena.

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Odluka.

Pronađite nevažeće vrijednosti parametara a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Odgovor. Ako je a a = 5 a № 5 , onda x=10– a .

Primjer 3. Na kojim vrijednostima parametra b jednadžba Ima:

a) dva korijena b) jedini korijen?

Odluka.

1) Pronađite nevažeće vrijednosti parametara b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 ili b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 ili b = – 2.

2) Riješite jednadžbu x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

a)

Isključujući nevažeće vrijednosti parametara b , dobivamo da jednadžba ima dva korijena, ako b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ali ovo je nevažeća vrijednost parametra b ; ako b 2 –1=0 , tj. b=1 ili.

Odgovor: a) ako b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , zatim dva korijena; b) ako b=1 ili b=-1 , tada jedini korijen.

Samostalan rad

opcija 1

Riješite jednadžbe:

Opcija 2

Riješite jednadžbe:

Odgovori

U 1. i ako a=3 , tada nema korijena; ako b) ako ako a № 2 , tada nema korijena.

U 2. Ako je a a=2 , tada nema korijena; ako a=0 , tada nema korijena; ako
b) ako a=– 1 , tada jednadžba gubi smisao; ako onda nema korijena;
ako

Domaća zadaća.

Riješite jednadžbe:

Odgovori: a) Ako a № –2 , onda x= a ; ako a=–2 , onda nema rješenja; b) ako a № –2 , onda x=2; ako a=–2 , onda nema rješenja; c) ako a=–2 , onda x- bilo koji broj osim 3 ; ako a № –2 , onda x=2; d) ako a=–8 , tada nema korijena; ako a=2 , tada nema korijena; ako

Lekcija 5

Tema lekcije:"Rješenje frakcijsko-racionalnih jednadžbi koje sadrže parametre".

Ciljevi lekcije:

učenje rješavanja jednadžbi s nestandardnim uvjetom;
svjesno usvajanje od strane učenika algebarskih pojmova i odnosa među njima.

Vrsta lekcije: sistematizacija i generalizacija.

Provjera domaće zadaće.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

a) u odnosu na x; b) u odnosu na y.

Odluka.

a) Pronađite nevažeće vrijednosti y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– nevažeća vrijednost parametra y.

Ako je a y№ 0 , onda x=y-2; ako y=0, tada jednadžba gubi smisao.

b) Pronađite nevažeće vrijednosti parametara x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nevažeća vrijednost parametra x; y(2+x-y)=0, y=0 ili y=2+x;

y=0 ne zadovoljava uvjet y(y–x)№ 0 .

Odgovor: a) ako y=0, tada jednadžba gubi smisao; ako y№ 0 , onda x=y-2; b) ako x=0 x№ 0 , onda y=2+x .

Primjer 2. Za koje su cjelobrojne vrijednosti parametra a korijeni jednadžbe pripadaju intervalu

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Ako je a a № 0 ili a № – 1 , onda

Odgovor: 5 .

Primjer 3. Pronađite relativno x cjelovita rješenja jednadžbe

Odgovor. Ako je a y=0, tada jednadžba nema smisla; ako y=–1, onda x- bilo koji cijeli broj osim nule; ako y# 0, y# – 1, onda nema rješenja.

Primjer 4 Riješite jednadžbu s parametrima a i b .

Ako je a a№ – b , onda

Odgovor. Ako je a a= 0 ili b= 0 , tada jednadžba gubi smisao; ako a№ 0,b№ 0, a=-b , onda x- bilo koji broj osim nule; ako a№ 0,b№ 0,a№ -b zatim x=-a, x=-b .

Primjer 5. Dokažite da je za bilo koju vrijednost parametra n različitu od nule jednadžba ima jedan korijen jednak – n .

Odluka.

tj. x=-n, što je trebalo dokazati.

Domaća zadaća.

1. Pronađite cjelovita rješenja jednadžbe

2. Na kojim vrijednostima parametra c jednadžba Ima:
a) dva korijena b) jedini korijen?

3. Pronađite sve cjelobrojne korijene jednadžbe ako a O N .

4. Riješite jednadžbu 3xy - 5x + 5y = 7: a) relativno y; b) relativno x .

1. Jednadžbu zadovoljavaju bilo koje cjelobrojne jednake vrijednosti x i y osim nule.
2. a) Kada
b) na ili
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ako onda nema korijena; ako
b) ako tada nema korijena; ako

Test

opcija 1

1. Odredite vrstu jednadžbe 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 na: a) c=-3; b) c=2; u) c=4 .

2. Riješite jednadžbe: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; u)

3. Riješite jednadžbu 3x-xy-2y=1:

a) relativno x ;
b) relativno y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, znajući da parametar n uzima samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti b vrijedi jednadžba Ima:

a) dva korijena
b) jedini korijen?

Opcija 2

1. Odredite vrstu jednadžbe 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 na: a) c=-4; b) c=7; u) c=1 .

2. Riješite jednadžbe: a) y 2 +cy=0 ; b) ny2 –8y+2=0; u)

3. Riješite jednadžbu 6x-xy+2y=5:

a) relativno x ;
b) relativno y .

4. Pronađite cjelobrojne korijene jednadžbe nx 2 -22x+2n=0 , znajući da parametar n uzima samo cjelobrojne vrijednosti.

5. Za koje vrijednosti parametra a jednadžba Ima:

a) dva korijena
b) jedini korijen?

Odgovori

U 1. 1. a) Linearna jednadžba;
b) nepotpuna kvadratna jednadžba; c) kvadratna jednadžba.
2. a) Ako b=0, onda x=0; ako b#0, onda x=0, x=b;
b) ako cO (9;+Ґ ), tada nema korijena;
c) ako a=–4 , tada jednadžba gubi smisao; ako a№ –4 , onda x=- a .
3. a) Ako y=3, tada nema korijena; ako);
b) a=–3, a=1.

Dodatni zadaci

Riješite jednadžbe:

Književnost

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. O parametrima od samog početka. - Tutor, broj 2/1991, str. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Potrebni uvjeti u zadacima s parametrima. – Kvant, broj 11/1991, str. 44–49 (prikaz, stručni).
3. Dorofejev G.V., Zatakavai V.V. Rješavanje problema, koji sadrži parametre. Dio 2. - M., Perspektiva, 1990., str. 2–38 (prikaz, stručni).
4. Tynyakin S.A. Petsto četrnaest zadataka s parametrima. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Zadaci s parametrima. - M., Prosvjeta, 1986.

U ovom članku ću vam pokazati algoritmi za rješavanje sedam vrsta racionalnih jednadžbi, koji se promjenom varijabli svode na kvadratne. U većini slučajeva transformacije koje dovode do zamjene su vrlo netrivijalne i prilično je teško sami pretpostaviti o njima.

Za svaku vrstu jednadžbe objasnit ću kako napraviti promjenu varijable u njoj, a zatim ću pokazati detaljno rješenje u odgovarajućem video tutorialu.

Imate priliku sami nastaviti rješavati jednadžbe, a zatim provjerite svoje rješenje uz video tutorial.

Dakle, počnimo.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Imajte na umu da je umnožak četiri zagrade na lijevoj strani jednadžbe, a broj na desnoj strani.

1. Grupirajmo zagrade po dva tako da zbroj slobodnih članova bude isti.

2. Pomnožite ih.

3. Uvedimo promjenu varijable.

U našoj jednadžbi prvu zagradu grupiramo s trećom, a drugu s četvrtom, budući da (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

U ovom trenutku, promjena varijable postaje očita:

Dobivamo jednadžbu

Odgovor:

2 .

Jednadžba ovog tipa slična je prethodnoj s jednom razlikom: na desnoj strani jednadžbe je umnožak broja po. A rješava se na potpuno drugačiji način:

1. Grupiramo zagrade po dva tako da umnožak slobodnih pojmova bude isti.

2. Pomnožimo svaki par zagrada.

3. Iz svakog faktora vadimo x iz zagrade.

4. Podijelite obje strane jednadžbe sa .

5. Uvodimo promjenu varijable.

U ovoj jednadžbi prvu zagradu grupiramo s četvrtom, a drugu s trećom, budući da:

Imajte na umu da su u svakoj zagradi koeficijent at i slobodni član isti. Izvadimo množitelj iz svake zagrade:

Budući da x=0 nije korijen izvorne jednadžbe, dijelimo obje strane jednadžbe s . dobivamo:

Dobivamo jednadžbu:

Odgovor:

3 .

Imajte na umu da nazivnici oba razlomka sadrže kvadratni trinomi, čiji su vodeći koeficijent i slobodni član isti. Izvadimo, kao u jednadžbi druge vrste, x iz zagrade. dobivamo:

Podijelite brojnik i nazivnik svakog razlomka s x:

Sada možemo uvesti promjenu varijable:

Dobivamo jednadžbu za varijablu t:

4 .

Imajte na umu da su koeficijenti jednadžbe simetrični u odnosu na središnji. Takva se jednadžba zove povratno .

Da to riješim

1. Podijelite obje strane jednadžbe s (To možemo učiniti jer x=0 nije korijen jednadžbe.) Dobivamo:

2. Grupirajte pojmove na ovaj način:

3. U svakoj skupini izvlačimo zajednički faktor:

4. Predstavimo zamjenu:

5. Izrazimo izraz u terminima t:

Odavde

Dobivamo jednadžbu za t:

Odgovor:

5. Homogene jednadžbe.

Jednadžbe koje imaju strukturu homogene mogu se susresti pri rješavanju eksponencijalnih, logaritamskih i trigonometrijske jednadžbe, pa ga treba prepoznati.

Homogene jednadžbe imaju sljedeću strukturu:

U ovoj jednakosti A, B i C su brojevi, a isti su izrazi označeni kvadratom i krugom. To jest, na lijevoj strani homogene jednadžbe nalazi se zbroj monoma koji imaju isti stupanj (u ovom slučaju stupanj monoma je 2), a nema slobodnog člana.

Da bismo riješili homogenu jednadžbu, obje strane podijelimo sa

Pažnja! Prilikom dijeljenja desne i lijeve strane jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu, možete izgubiti korijene. Stoga je potrebno provjeriti jesu li korijeni izraza kojim dijelimo oba dijela jednadžbe korijeni izvorne jednadžbe.

Idemo prvim putem. Dobivamo jednadžbu:

Sada uvodimo zamjenu varijable:

Pojednostavite izraz i dobijete bikvadratnu jednadžbu za t:

Odgovor: ili

7 .

Ova jednadžba ima sljedeću strukturu:

Da biste ga riješili, trebate odabrati puni kvadrat na lijevoj strani jednadžbe.

Da biste odabrali cijeli kvadrat, morate dodati ili oduzeti dvostruki proizvod. Tada dobivamo kvadrat zbroja ili razlike. Ovo je ključno za uspješnu zamjenu varijable.

Počnimo s pronalaženjem dvostrukog proizvoda. To će biti ključ za zamjenu varijable. U našoj jednadžbi, dvostruki proizvod je

Sada shvatimo što nam je prikladnije - kvadrat zbroja ili razlike. Za početak, razmotrimo zbroj izraza:

Fino! ovaj izraz je točno jednak dvostrukom umnošku. Zatim, da biste dobili kvadrat zbroja u zagradama, trebate zbrojiti i oduzeti dvostruki umnožak:

Same jednadžbe s razlomcima nisu teške i vrlo zanimljive. Razmotrite vrste frakcijske jednadžbe i načine za njihovo rješavanje.

Kako riješiti jednadžbe s razlomcima - x u brojniku

Ako je dana jednadžba razlomaka, gdje je nepoznanica u brojniku, rješenje ne zahtijeva dodatne uvjete i rješava se bez dodatna gnjavaža. Opći oblik takva je jednadžba x/a + b = c, gdje je x nepoznanica, a, b i c su obični brojevi.

Nađi x: x/5 + 10 = 70.

Da biste riješili jednadžbu, morate se riješiti razlomaka. Pomnožite svaki član jednadžbe s 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x i 5 smanjimo, 10 i 70 pomnožimo sa 5 i dobijemo: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Nađi x: x/5 + x/10 = 90.

Ovaj primjer je malo kompliciranija verzija prvog. Ovdje postoje dva rješenja.

• Opcija 1: Riješite se razlomaka množenjem svih članova jednadžbe s većim nazivnikom, tj. s 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x=300.
• Opcija 2: Dodajte lijevu stranu jednadžbe. x/5 + x/10 = 90. Zajednički nazivnik je 10. Podijelimo 10 s 5, pomnožimo s x, dobivamo 2x. 10 podijeljeno s 10, pomnoženo s x, dobivamo x: 2x+x/10 = 90. Dakle, 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Često postoje frakcijske jednadžbe u kojima su x na suprotnim stranama znaka jednakosti. U takvoj situaciji potrebno je sve razlomke s x prenijeti u jednom smjeru, a brojeve u drugom.

• Nađi x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Pomakni 2x/5 udesno sa suprotnim predznakom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Smanjimo 5x/5 i dobijemo: x = 130.

Kako riješiti jednadžbu s razlomcima - x u nazivniku

Ova vrsta frakcijskih jednadžbi zahtijeva pisanje dodatnih uvjeta. Označavanje ovih uvjeta je obavezan i sastavni dio ispravna odluka. Ako ih ne pripisujete, riskirate, jer se odgovor (čak i ako je točan) možda jednostavno neće uračunati.

Opći oblik frakcijskih jednadžbi, gdje je x u nazivniku, glasi: a/x + b = c, gdje je x nepoznanica, a, b, c su obični brojevi. Imajte na umu da x ne može biti bilo koji broj. Na primjer, x ne može biti nula, jer se ne može podijeliti s 0. Ovo je ono što je dodatni uvjet, što moramo navesti. To se zove raspon prihvatljivih vrijednosti, skraćeno - ODZ.

Nađi x: 15/x + 18 = 21.

Odmah zapisujemo ODZ za x: x ≠ 0. Sada kada je ODZ naznačen, rješavamo jednadžbu pomoću standardna shema osloboditi se razlomaka. Sve članove jednadžbe množimo s x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Često postoje jednadžbe u kojima nazivnik sadrži ne samo x, već i neku drugu operaciju s njim, na primjer, zbrajanje ili oduzimanje.

Nađi x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Već znamo da nazivnik ne može biti jednak nuli, što znači x-3 ≠ 0. Prenosimo -3 na desnu stranu, a znak “-” mijenjamo u “+” i dobivamo da je x ≠ 3. ODZ je naznačeno.

Riješite jednadžbu, pomnožite sve s x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Pomaknite x udesno, brojeve ulijevo: 24 = 3x => x = 8.