Teorem faktorizacije za kvadratni trinom. Faktorizacija kvadratnih trinoma: primjeri i formule

Proširivanje polinoma za dobivanje proizvoda ponekad izgleda zbunjujuće. Ali to nije tako teško ako razumijete proces korak po korak. Članak opisuje kako razložiti kvadratni trinom na faktore.

Mnogi ne razumiju kako razložiti kvadratni trinom na faktore i zašto se to radi. U početku se može činiti da je ovo beskorisna vježba. Ali u matematici se ništa ne radi tek tako. Transformacija je neophodna za pojednostavljenje izraza i pogodnost izračuna.

Polinom koji ima oblik - ax² + bx + c, naziva se kvadratni trinom. Izraz "a" mora biti negativan ili pozitivan. U praksi se ovaj izraz naziva kvadratna jednadžba. Stoga ponekad kažu drugačije: kako razgraditi kvadratna jednadžba.

Zanimljiv! Kvadratni polinom naziva se zbog svog najvećeg stupnja – kvadrat. I trinom - zbog 3 sastavnih članova.

Neke druge vrste polinoma:

linearni binom (6x+8);
kubični četverokut (x³+4x²-2x+9).

Faktorizacija kvadratnog trinoma

Prvo, izraz je jednak nuli, zatim morate pronaći vrijednosti korijena x1 i x2. Možda nema korijena, može biti jedan ili dva korijena. Prisutnost korijena određuje diskriminant. Njegova formula se mora znati napamet: D=b²-4ac.

Ako je rezultat D negativan, nema korijena. Ako je pozitivan, postoje dva korijena. Ako je rezultat nula, korijen je jedan. Korijeni se također izračunavaju po formuli.

Ako izračun diskriminanta rezultira nulom, možete primijeniti bilo koju od formula. U praksi se formula jednostavno skraćuje: -b / 2a.

Formule za različite vrijednosti diskriminantne su različite.

Ako je D pozitivan:

Ako je D nula:

Online kalkulatori

Internet ima online kalkulator. Može se koristiti za faktorizaciju. Neki resursi pružaju priliku da se rješenje vidi korak po korak. Takve usluge pomažu u boljem razumijevanju teme, ali morate pokušati dobro razumjeti.

Korisni video: Faktoriranje kvadratnog trinoma

Primjeri

Pozivamo Vas da pogledate jednostavni primjeri kako faktorizirati kvadratnu jednadžbu.

Primjer 1

Ovdje je jasno prikazano da će rezultat biti dva x, jer je D pozitivan. Treba ih zamijeniti u formuli. Ako su korijeni negativni, predznak u formuli je obrnut.

Znamo formulu ekspanzije kvadratni trinom množitelji: a(x-x1)(x-x2). Vrijednosti stavljamo u zagrade: (x+3)(x+2/3). Nema broja ispred člana u eksponentu. To znači da postoji jedinica, ona je spuštena.

Primjer 2

Ovaj primjer jasno pokazuje kako riješiti jednadžbu koja ima jedan korijen.

Zamijenite rezultirajuću vrijednost:

Primjer 3

Dano: 5x²+3x+7

Prvo izračunavamo diskriminant, kao u prethodnim slučajevima.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant je negativan, što znači da nema korijena.

Nakon primitka rezultata, vrijedi otvoriti zagrade i provjeriti rezultat. Trebao bi se pojaviti izvorni trinom.

Alternativno rješenje

Neki ljudi se nikada nisu uspjeli sprijateljiti s diskriminantom. Postoji još jedan način faktorizacije kvadratnog trinoma. Radi praktičnosti, metoda je prikazana u primjeru.

Zadano: x²+3x-10

Znamo da bismo trebali završiti s 2 zagrade: (_)(_). Kada izraz izgleda ovako: x² + bx + c, stavljamo x na početak svake zagrade: (x_) (x_). Preostala dva broja su umnožak koji daje "c", tj. -10 u ovom slučaju. Da biste saznali koji su to brojevi, možete koristiti samo metodu odabira. Zamijenjeni brojevi moraju odgovarati preostalom pojmu.

Na primjer, množenjem sljedećih brojeva dobiva se -10:

-1, 10;
-10, 1;
-5, 2;
-2, 5.

(x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ne.
(x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ne.
(x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ne.
(x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Odgovara.

Dakle, transformacija izraza x2+3x-10 izgleda ovako: (x-2)(x+5).

Važno! Trebate paziti da ne pobrkate znakove.

Dekompozicija kompleksnog trinoma

Ako je "a" veće od jedan, počinju poteškoće. Ali nije sve tako teško kao što se čini.

Da bi se faktoriziralo, prvo se mora vidjeti je li moguće nešto faktorizirati.

Na primjer, s obzirom na izraz: 3x²+9x-30. Ovdje je broj 3 izvučen iz zagrada:

3(x²+3x-10). Rezultat je već poznati trinom. Odgovor izgleda ovako: 3(x-2)(x+5)

Kako rastaviti ako je izraz na kvadrat negativan? U ovom slučaju, broj -1 se vadi iz zagrade. Na primjer: -x²-10x-8. Izraz će tada izgledati ovako:

Shema se malo razlikuje od prethodne. Postoji samo nekoliko novih stvari. Recimo da je zadan izraz: 2x²+7x+3. Odgovor je također napisan u 2 zagrade, koje je potrebno popuniti (_) (_). U 2. zagradi je napisano X, a u 1. ono što je ostalo. To izgleda ovako: (2x_)(x_). Inače, prethodna shema se ponavlja.

Broj 3 daje brojeve:

-1, -3;
-3, -1;
3, 1;
1, 3.

Jednadžbe rješavamo zamjenom zadanih brojeva. Posljednja opcija odgovara. Dakle, transformacija izraza 2x²+7x+3 izgleda ovako: (2x+1)(x+3).

Ostali slučajevi

Nije uvijek moguće transformirati izraz. U drugoj metodi rješenje jednadžbe nije potrebno. Ali mogućnost pretvaranja pojmova u proizvod provjerava se samo preko diskriminanta.

Vrijedno je vježbati rješavanje kvadratnih jednadžbi tako da nema poteškoća pri korištenju formula.

Korisni video: faktorizacija trinoma

Izlaz

Možete ga koristiti na bilo koji način. Ali bolje je raditi oboje do automatizma. Također, oni koji će svoj život povezati s matematikom moraju naučiti kako dobro rješavati kvadratne jednadžbe i razlagati polinome na faktore. Na tome su izgrađene sve sljedeće matematičke teme.

Faktorizacija kvadratnih trinoma odnosi se na školski zadaci s kojima će se svi prije ili kasnije suočiti. Kako to učiniti? Koja je formula za faktoriranje kvadratnog trinoma? Idemo kroz to korak po korak s primjerima.

Opća formula

Faktorizacija kvadratnih trinoma provodi se rješavanjem kvadratne jednadžbe. Ovo je jednostavan problem koji se može riješiti na nekoliko metoda - pronalaženjem diskriminanta, korištenjem Vietinog teorema, postoji i grafički način rješenja. Prve dvije metode proučavaju se u srednjoj školi.

Opća formula izgleda ovako:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algoritam izvršavanja zadatka

Da biste razložili kvadratne trinome na faktore, morate poznavati Witov teorem, imati pri ruci program za rješavanje, znati grafički pronaći rješenje ili tražiti korijene jednadžbe drugog stupnja kroz diskriminantnu formulu. Ako je zadan kvadratni trinom i mora se rastaviti na faktore, algoritam radnji je sljedeći:

1) Izjednačite izvorni izraz s nulom kako biste dobili jednadžbu.

2) Navedite slične pojmove (ako je potrebno).

3) Pronađite korijene bilo kojeg poznati način. Grafičku metodu najbolje je koristiti ako je unaprijed poznato da su korijeni cijeli i mali brojevi. Mora se imati na umu da je broj korijena jednak maksimalnom stupnju jednadžbe, odnosno da kvadratna jednadžba ima dva korijena.

4) Zamjenska vrijednost x u izraz (1).

5) Zapišite faktorizaciju kvadratnih trinoma.

Primjeri

Vježba vam omogućuje da konačno shvatite kako se ovaj zadatak izvodi. Primjeri ilustriraju faktorizaciju kvadratnog trinoma:

morate proširiti izraz:

Koristimo naš algoritam:

1) x 2 -17x+32=0

2) slični pojmovi se smanjuju

3) prema Vietinoj formuli, teško je pronaći korijene za ovaj primjer, stoga je bolje koristiti izraz za diskriminanta:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Zamijenite korijene koje smo pronašli u glavnoj formuli za proširenje:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Tada će odgovor biti:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)

Provjerimo odgovaraju li rješenja pronađena diskriminantom Vietinim formulama:

14,845 . 2,155=32

Za ove korijene primjenjuje se Vietin teorem, oni su točno pronađeni, što znači da je faktorizacija koju smo dobili također točna.

Slično, širimo 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

U prethodnom slučaju rješenja su bila necijela, ali realni brojevi, koje je lako pronaći s kalkulatorom ispred vas. Sada razmotrite više složen primjer, u kojem će korijeni biti složeni: faktorizirajte x 2 + 4x + 9. Prema Vietinoj formuli, korijeni se ne mogu pronaći, a diskriminant je negativan. Korijeni će biti na složenoj ravnini.

D=-20

Na temelju toga dobivamo korijene koji nas zanimaju -4 + 2i * 5 1/2 i -4-2i * 5 1/2 jer (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Dobivamo željenu ekspanziju zamjenom korijena u opću formulu.

Drugi primjer: trebate faktorizirati izraz 23x 2 -14x + 7.

Imamo jednadžbu 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Dakle, korijeni su 14+21,166i i 14-21,166i. Odgovor će biti:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).

Navedimo primjer koji se može riješiti bez pomoći diskriminanta.

Neka je potrebno rastaviti kvadratnu jednadžbu x 2 -32x + 255. Očito se može riješiti i diskriminantom, ali je u ovom slučaju brže pronaći korijene.

x 1 =15

x2=17

Sredstva x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

Svijet je uronjen u ogroman broj brojeva. Uz njihovu pomoć događaju se bilo kakvi izračuni.

Ljudi uče brojeve kako u kasnijem životu ne bi nasjeli na prevaru. Potrebno je posvetiti veliku količinu vremena edukaciji i proračunu vlastitog budžeta.

Matematika je egzaktna znanost koja igra veliku ulogu u životu. U školi djeca uče brojeve, a zatim i radnje na njima.

Radnje na brojeve su potpuno različite: množenje, proširenje, zbrajanje i druge. Osim jednostavnih formula, u proučavanju matematike koriste se i složenije radnje. Postoji ogroman broj formula po kojima su poznate bilo koje vrijednosti.

U školi, čim se algebra pojavi, u život učenika se dodaju formule za pojednostavljenje. Postoje jednadžbe kada postoje dva nepoznata broja, ali pronađite na jednostavan način neće raditi. Trinom je spoj triju monoma, uz pomoć jednostavna metoda oduzimanja i zbrajanja. Trinom se rješava korištenjem Vietinog teorema i diskriminanta.

Formula za faktoriranje kvadratnog trinoma u faktore

Postoje dva ispravna i jednostavna rješenja primjer:

diskriminirajući;
Vietin teorem.

Kvadratni trinom ima nepoznati kvadrat, kao i broj bez kvadrata. Prva opcija za rješavanje problema koristi se Vieta formulom. To je jednostavna formula ako će znamenke koje dolaze ispred nepoznate biti minimalna vrijednost.

Za ostale jednadžbe, gdje je broj ispred nepoznanice, jednadžba se mora riješiti preko diskriminanta. Gotovo je teška odluka, no diskriminant se koristi mnogo češće od Vietinog teorema.

U početku, da bismo pronašli sve varijable jednadžbe, potrebno je podići primjer na 0. Rješenje primjera može se provjeriti i saznati jesu li brojevi ispravno podešeni.

Diskriminirajući

1. Potrebno je jednadžbu izjednačiti s 0.

2. Svaki broj ispred x zvati će se brojevima a, b, c. Budući da ispred prvog kvadrata x nema broja, on je jednak 1.

3. Sada rješenje jednadžbe počinje preko diskriminanta:

4. Sada smo pronašli diskriminant i dva x. Razlika je u tome što će u jednom slučaju b prethoditi plus, a u drugom minus:

5. Rješavanjem dva broja ispalo je -2 i -1. Zamjena pod izvornom jednadžbom:

6. U ovom primjeru ispalo je dva ispravne opcije. Ako su oba rješenja točna, onda je svako od njih istinito.

Složenije jednadžbe također se rješavaju preko diskriminanta. Ali ako je vrijednost samog diskriminanta manja od 0, onda je primjer pogrešan. Diskriminant u pretraživanju je uvijek ispod korijena, a negativna vrijednost ne može biti u korijenu.

Vietin teorem

Koristi se za rješavanje lakih zadataka, gdje prvom x ne prethodi broj, odnosno a=1. Ako se opcija podudara, tada se izračun provodi kroz Vietin teorem.

Za rješavanje bilo kojeg trinoma potrebno je podići jednadžbu na 0. Prvi koraci za diskriminanta i Vietin teorem su isti.

2. Sada postoje razlike između te dvije metode. Vietin teorem ne koristi samo "suhi" izračun, već i logiku i intuiciju. Svaki broj ima svoje slovo a, b, c. Teorem koristi zbroj i umnožak dvaju brojeva.

Zapamtiti! Broj b uvijek se dodaje s suprotnim predznakom, a broj c ostaje nepromijenjen!

Zamjena vrijednosti podataka u primjeru , dobivamo:

3. Logičkom metodom zamjenjujemo najprikladnije brojeve. Razmotrite sva moguća rješenja:

Brojevi su 1 i 2. Kada se zbroje, dobivamo 3, ali ako pomnožimo, ne dobivamo 4. Nije prikladno.
Vrijednost 2 i -2. Kada se pomnoži, bit će -4, ali kada se zbroji, ispada 0. Nije prikladno.
Brojevi 4 i -1. Budući da množenje sadrži negativnu vrijednost, to znači da će jedan od brojeva biti s minusom. Pogodno za zbrajanje i množenje. Ispravna opcija.

4. Ostaje samo provjeriti, izlažući brojeve, i vidjeti je li odabrana opcija ispravna.

5. Zahvaljujući online provjeri, otkrili smo da -1 ne odgovara uvjetu primjera, što znači da je pogrešno rješenje.

Prilikom dodavanja negativnu vrijednost u primjeru trebate staviti broj u zagrade.

U matematici će ih uvijek biti jednostavni zadaci i složena. Sama znanost uključuje razne probleme, teoreme i formule. Ako razumijete i ispravno primijenite znanje, tada će sve poteškoće s izračunima biti beznačajne.

Matematika ne treba stalno pamćenje. Morate naučiti razumjeti rješenje i naučiti nekoliko formula. Postupno, prema logičkim zaključcima, moguće je riješiti slične probleme, jednadžbe. Takva znanost se na prvi pogled može činiti vrlo teškom, ali ako netko uroni u svijet brojeva i zadataka, tada će se pogled dramatično promijeniti u bolja strana.

Tehnički specijaliteti uvijek ostati najtraženiji na svijetu. Sada, u svijetu moderne tehnologije Matematika je postala nezamjenjiv atribut svakog područja. Uvijek se morate sjećati korisna svojstva matematika.

Dekompozicija trinoma sa zagradama

Osim rješavanja na uobičajene načine, postoji još jedan – razlaganje u zagrade. Koristi se s Vietinom formulom.

1. Izjednačite jednadžbu s 0.

sjekira 2 + bx+ c= 0

2. Korijeni jednadžbe ostaju isti, ali umjesto nule, sada koriste formule za proširenje zagrada.

sjekira 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Rješenje x=-1, x=3

Faktorizacija kvadratnog trinoma može biti korisno kod rješavanja nejednakosti iz problema C3 ili problema s parametrom C5. Također, mnogi problemi s riječima B13 bit će riješeni puno brže ako znate Vietin teorem.

Ovaj se teorem, naravno, može razmatrati sa stajališta 8. razreda, u kojem se prvi put polaže. Ali naš je zadatak dobro se pripremiti za ispit i naučiti kako što učinkovitije rješavati ispitne zadatke. Stoga se u ovoj lekciji pristup malo razlikuje od školskog.

Formula za korijene jednadžbe prema Vietinom teoremu znam (ili barem vidio) mnoge:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

gdje su `a, b` i `c` koeficijenti kvadratnog trinoma `ax^2+bx+c`.

Da bismo naučili kako lako koristiti teorem, shvatimo odakle dolazi (na ovaj način će ga biti stvarno lakše zapamtiti).

Neka nam je jednadžba `ax^2+ bx+ c = 0`. Radi daljnje pogodnosti, dijelimo ga s `a` i dobivamo `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Takva jednadžba naziva se redukovana kvadratna jednadžba.

Važne točke lekcije: svaki kvadratni polinom koji ima korijene može se rastaviti u zagrade. Pretpostavimo da se naš može predstaviti kao `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, gdje su `k` i `l` - neke konstante.

Pogledajmo kako se otvaraju zagrade:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Dakle, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ovo se malo razlikuje od klasične interpretacije Vietini teoremi- u njemu tražimo korijene jednadžbe. Predlažem da potražim uvjete za proširenja zagrada- tako da se ne morate sjećati minusa iz formule (što znači `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Dovoljno je odabrati dva takva broja, čiji je zbroj jednak prosječnom koeficijentu, a umnožak je jednak slobodnom članu.

Ako trebamo rješenje jednadžbe, onda je očito: korijeni `x=-k` ili `x=-l` (budući da će u tim slučajevima jedna od zagrada biti postavljena na nulu, što znači da će cijeli izraz bit će jednak nuli).

Na primjer, pokazat ću algoritam, kako kvadratni polinom rastaviti u zagrade.

Primjer jedan. Algoritam za faktoriranje kvadratnog trinoma

Put koji imamo je kvadratni trinom `x^2+5x+4`.

Smanjuje se (koeficijent `x^2` jednako jednom). On ima korijene. (Da biste bili sigurni, možete procijeniti diskriminanta i osigurati da je veći od nule.)

Sljedeći koraci (treba ih naučiti radeći sve zadaci obuke):

Napravite sljedeću notaciju: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Ostavite slobodan prostor umjesto točaka, tamo ćemo dodati odgovarajuće brojeve i znakove.
Pogledaj sve moguće opcije, kako možete rastaviti broj `4` u umnožak dva broja. Dobivamo parove "kandidata" za korijene jednadžbe: `2, 2` i `1, 4`.
Procijenite iz kojeg para možete dobiti prosječni koeficijent. Očito je `1, 4`.
Napišite $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
Sljedeći korak je postavljanje znakova ispred umetnutih brojeva.
Kako razumjeti i zauvijek zapamtiti koji bi znakovi trebali biti ispred brojeva u zagradama? Pokušajte ih proširiti (zagrade). Koeficijent prije `x` na prvi stepen bit će `(± 4 ± 1)` (još ne znamo predznake - trebamo izabrati), a trebao bi biti jednak `5`. Očito, ovdje će biti dva plusa $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Izvedite ovu operaciju nekoliko puta (zdravo, zadaci za obuku!) i s tim više nikada neće biti problema.

Ako trebate riješiti jednadžbu `x^2+5x+4`, sada njeno rješenje nije teško. Njegovi korijeni su `-4, -1`.

Drugi primjer. Faktorizacija kvadratnog trinoma s koeficijentima različitih predznaka

Trebamo riješiti jednadžbu `x^2-x-2=0`. Namjerno, diskriminant je pozitivan.

Pratimo algoritam.

$$x^2-x-2=(x \ldots) (x \lddots).$$
Postoji samo jedan cjelobrojni faktor 2: `2 · 1`.
Preskačemo točku – nema se što birati.
$$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
Umnožak naših brojeva je negativan (`-2` je slobodan pojam), što znači da će jedan od njih biti negativan, a drugi pozitivan.
Budući da je njihov zbroj jednak `-1` (koeficijent `x`), tada će `2` biti negativan (intuitivno objašnjenje - dva je veći od dva broja, više će "povući" u negativnom smjeru). Dobivamo $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Treći primjer. Faktorizacija kvadratnog trinoma

Jednadžba `x^2+5x -84 = 0`.

$$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
Dekompozicija 84 na cjelobrojne faktore: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
Budući da trebamo da razlika (ili zbroj) brojeva bude 5, par `7, 12` će biti dovoljan.
$$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
$$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Nada, razlaganje ovog kvadratnog trinoma u zagradečisto.

Ako trebate rješenje jednadžbe, evo ga: `12, -7`.