Inženjerski kalkulator online

Požurimo svima predstaviti besplatni inženjerski kalkulator. Uz to, svaki učenik može brzo i, što je najvažnije, jednostavno izvesti razne vrste matematičkih izračuna na internetu.

Kalkulator je preuzet sa stranice - web 2.0 znanstveni kalkulator

Jednostavan i lak za korištenje inženjerski kalkulator s nenametljivim i intuitivnim sučeljem uistinu će biti koristan najširem krugu korisnika interneta. Sada, kada vam zatreba kalkulator, posjetite našu web stranicu i koristite besplatni inženjerski kalkulator.

Inženjerski kalkulator može izvoditi i jednostavne aritmetičke operacije i prilično složene matematičke izračune.

Web20calc je inženjerski kalkulator koji ima ogroman broj funkcija, na primjer, kako izračunati sve elementarne funkcije. Kalkulator također podržava trigonometrijske funkcije, matrice, logaritme, pa čak i crtanje.

Web20calc će nesumnjivo biti zanimljiv onoj skupini ljudi koja u potrazi za jednostavnim rješenjima u tražilicama ukucava upit: online matematički kalkulator. Besplatna web aplikacija pomoći će vam da odmah izračunate rezultat bilo kojeg matematičkog izraza, na primjer, oduzimanje, zbrajanje, dijeljenje, izdvajanje korijena, podizanje na stepen itd.

U izrazu možete koristiti operacije stepenovanja, zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, postotka, PI konstante. Za složene izračune treba koristiti zagrade.

Značajke inženjerskog kalkulatora:

1. osnovne aritmetičke operacije;
2. rad s brojevima u standardnom obliku;
3. izračunavanje trigonometrijskih korijena, funkcija, logaritma, eksponencijacija;
4. statistički izračuni: zbrajanje, aritmetička sredina ili standardna devijacija;
5. primjena memorijske ćelije i korisničkih funkcija 2 varijable;
6. rad s kutovima u radijanskim i stupnjevima.

Inženjerski kalkulator omogućuje korištenje raznih matematičkih funkcija:

Vađenje korijena (kvadratni korijen, kubični korijen, kao i korijen n-tog stupnja);
ex (e do x snaga), eksponent;
trigonometrijske funkcije: sinus - sin, kosinus - cos, tangent - tan;
inverzne trigonometrijske funkcije: arksinus - sin-1, arkkosinus - cos-1, arktangens - tan-1;
hiperboličke funkcije: sinus - sinh, kosinus - cosh, tangent - tanh;
logaritmi: binarni logaritam baze dva je log2x, logaritam baze deset je log, prirodni logaritam je ln.

Ovaj inženjerski kalkulator također uključuje kalkulator veličina s mogućnošću pretvaranja fizičkih veličina za različite mjerne sustave - računalne jedinice, udaljenost, težinu, vrijeme itd. Pomoću ove funkcije možete odmah pretvoriti milje u kilometre, funte u kilograme, sekunde u sate itd.

Da biste napravili matematičke izračune, prvo unesite niz matematičkih izraza u odgovarajuće polje, a zatim kliknite na znak jednakosti i pogledajte rezultat. Vrijednosti možete unijeti izravno s tipkovnice (za to područje kalkulatora mora biti aktivno, stoga će biti korisno staviti kursor u polje za unos). Između ostalog, podatke je moguće unijeti pomoću tipki samog kalkulatora.

Da biste izgradili grafikone u polju za unos, upišite funkciju kao što je naznačeno u polju za primjer ili upotrijebite alatnu traku posebno dizajniranu za to (da biste otišli na nju, kliknite na gumb s ikonom u obliku grafikona). Za pretvaranje vrijednosti pritisnite Jedinica, za rad s matricama - Matrix.

Prva razina

Pretvorba izraza. Detaljna teorija (2019.)

Često čujemo ovu neugodnu frazu: "pojednostavite izraz." Obično, u ovom slučaju, imamo neku vrstu čudovišta poput ovog:

"Da, puno lakše", kažemo, ali takav odgovor obično ne uspije.

Sada ću vas naučiti da se ne bojite takvih zadataka.

Štoviše, na kraju lekcije i sami ćete ovaj primjer pojednostaviti na (baš!) običan broj (da, dovraga s ovim slovima).

Ali prije nego što započnete ovu lekciju, morate biti u mogućnosti baviti se razlomcima I faktorizirati polinome.

Stoga, ako to prije niste učinili, svakako svladajte teme "" i "".

Čitati? Ako da, onda ste spremni.

Idemo! (Idemo!)

Važna nota!Ako umjesto formula vidite besmislice, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (u sustavu Windows) ili Cmd+R (na Macu)

Operacije pojednostavljenja osnovnih izraza

Sada ćemo analizirati glavne tehnike koje se koriste za pojednostavljenje izraza.

Najjednostavniji od njih je

1. Donošenje sličnih

Što su slični? Prošli ste kroz to u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva.

Sličan su pojmovi (monomi) s istim slovnim dijelom.

Na primjer, u zbroju su slični pojmovi i.

Sjećali ste se?

Donesite slično- znači međusobno zbrojiti nekoliko sličnih pojmova i dobiti jedan pojam.

Ali kako možemo spojiti slova? - pitaš.

To je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta predmeta.

Na primjer, pismo je stolica. Koji je onda izraz?

Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .

Sada pokušajte s ovim izrazom:

Kako se ne biste zabunili, neka različita slova označavaju različite objekte.

Na primjer, - ovo je (kao i obično) stolica, a - ovo je stol.

stolice stolovi stolice stolice stolice stolice stolice

Zovu se brojevi kojima se množe slova u takvim pojmovima koeficijenti.

Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I jednak je.

Dakle, pravilo za donošenje sličnog:

primjeri:

Donesite slično:

odgovori:

2. (i slični su, budući da, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).

2. Faktorizacija

Ovo je obično najvažniji dio u pojednostavljivanju izraza.

Nakon što ste dali slične, najčešće je potreban rezultirajući izraz razložiti na činioce, tj. predstavljati kao proizvod.

Posebno ovo važno u razlomcima: jer da bi se smanjio razlomak, brojnik i nazivnik moraju biti izraženi umnoškom.

Prošli ste kroz detaljne metode faktoriranja izraza u temi "", tako da ovdje samo trebate zapamtiti što ste naučili.

Da biste to učinili, riješite nekoliko primjera (morate rastaviti na faktore)

primjeri:

rješenja:

3. Smanjenje frakcije.

Pa, što bi bilo ljepše nego prekrižiti dio brojnika i nazivnika, i izbaciti ih iz svog života?

To je ljepota kratice.

Jednostavno je:

Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, mogu se smanjiti, odnosno ukloniti iz razlomka.

Ovo pravilo proizlazi iz osnovnog svojstva razlomka:

Odnosno, bit operacije redukcije je to Brojnik i nazivnik razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).

Da biste smanjili razlomak, trebate:

1) brojnik i nazivnik razložiti na činioce

2) ako brojnik i nazivnik sadrže zajednički čimbenici, mogu se izbrisati.

primjeri:

Princip je, mislim, jasan?

Skrenuo bih vam pozornost na jednu tipičnu grešku u kratici. Iako je ova tema jednostavna, ali mnogi ljudi sve rade krivo, ne shvaćajući to izrezati- to znači podijeliti brojnik i nazivnik istim brojem.

Nema skraćenica ako je brojnik ili nazivnik zbroj.

Na primjer: trebate pojednostaviti.

Neki rade ovo: što je apsolutno pogrešno.

Drugi primjer: smanjiti.

"Najpametniji" će učiniti ovo:

Reci mi što ovdje nije u redu? Čini se: - ovo je množitelj, tako da možete smanjiti.

Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojniku, ali se sam brojnik u cjelini ne rastavlja na faktore.

Evo još jednog primjera: .

Ovaj izraz se rastavlja na faktore, što znači da možete smanjiti, odnosno podijeliti brojnik i nazivnik sa, a zatim sa:

Možete odmah podijeliti sa:

Da biste izbjegli takve pogreške, zapamtite jednostavan način za određivanje je li izraz faktoriziran:

Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja pri izračunavanju vrijednosti izraza je "glavna".

Odnosno, ako umjesto slova zamijenite neke (bilo koje) brojeve i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je posljednja radnja množenje, onda imamo proizvod (izraz se razlaže na faktore).

Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da se izraz ne čini faktorima (i stoga se ne može smanjiti).

Da biste to sami popravili, nekoliko primjera:

primjeri:

rješenja:

1. Nadam se da niste odmah požurili rezati i? Još uvijek nije bilo dovoljno "smanjiti" jedinice ovako:

Prvi korak trebao bi biti faktorizacija:

4. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka je dobro poznata operacija: tražimo zajednički nazivnik, množimo svaki razlomak s faktorom koji nedostaje i zbrajamo/oduzimamo brojnike.

prisjetimo se:

odgovori:

1. Nazivnici i su međusobno prosti, odnosno nemaju zajedničkih faktora. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom umnošku. Ovo će biti zajednički nazivnik:

2. Ovdje je zajednički nazivnik:

3. Ovdje, prije svega, pretvaramo miješane razlomke u nepravilne, a zatim - prema uobičajenoj shemi:

Sasvim je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo jednostavno:

a) Nazivnici ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i s običnim brojčanim razlomcima: nađemo zajednički nazivnik, pomnožimo svaki razlomak s faktorom koji nedostaje i zbrojimo / oduzmemo brojnike:

sada u brojnik možete unijeti slične, ako ih ima, i faktorirati ih:

Isprobajte sami:

odgovori:

b) Nazivnici sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

Prije svega, određujemo zajedničke čimbenike;

Tada sve zajedničke faktore ispisujemo jednom;

i pomnožite ih sa svim ostalim čimbenicima, a ne s uobičajenim.

Da bismo odredili zajedničke čimbenike nazivnika, prvo ih rastavljamo na jednostavne čimbenike:

Ističemo zajedničke čimbenike:

Sada ćemo jednom ispisati zajedničke čimbenike i dodati im sve neuobičajene (nepodvučene) čimbenike:

Ovo je zajednički nazivnik.

Vratimo se slovima. Nazivnici su dati na potpuno isti način:

Nazivnike razlažemo na faktore;

odrediti zajedničke (identične) množitelje;

napišite sve zajedničke čimbenike jednom;

Množimo ih sa svim ostalim čimbenicima, a ne s uobičajenim.

Dakle, redom:

1) razložiti nazivnike na faktore:

2) odrediti zajedničke (identične) čimbenike:

3) jednom zapišite sve zajedničke faktore i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) čimbenicima:

Dakle, zajednički nazivnik je ovdje. Prvi razlomak se mora pomnožiti s, drugi - s:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

U nazivnicima vidimo iste čimbenike, samo svi s različitim pokazateljima. Zajednički nazivnik će biti:

do te mjere

do te mjere

do te mjere

u stupnju.

Zakomplicirajmo zadatak:

Kako napraviti da razlomci imaju isti nazivnik?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i brojniku i nazivniku dodajte neki broj, na primjer, . Što je naučeno?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada razlomke dovodite do zajedničkog nazivnika, koristite samo operaciju množenja!

Ali što trebate pomnožiti da biste dobili?

Evo i množi se. I pomnoži sa:

Izrazi koji se ne mogu faktorizirati nazvat ćemo "elementarni faktori".

Na primjer, elementarni je faktor. - isto. Ali – ne: rastavlja se na faktore.

Što je s ekspresijom? Je li to elementarno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi "").

Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima su analogni jednostavnim faktorima u koje rastavljate brojeve. I mi ćemo učiniti isto s njima.

Vidimo da oba nazivnika imaju faktor. To će ići na zajednički nazivnik u moći (sjećate se zašto?).

Množilac je elementaran i nemaju ga zajedničkog, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Prije nego što panično pomnožite ove nazivnike, morate razmisliti o tome kako ih faktorizirati? Obojica predstavljaju:

Fino! Zatim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Kao i obično, faktoriziramo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih čimbenika. Ali ako bolje pogledate, već su toliko slični... A istina je:

Pa napišimo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, to ćete morati činiti često.

Sada dolazimo do zajedničkog nazivnika:

Shvaćam? Sada provjerimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

Ovdje moramo zapamtiti još jednu stvar - razliku kocki:

Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka ne sadrži formulu "kvadrat zbroja"! Kvadrat zbroja bi izgledao ovako:

A je takozvani nepotpuni kvadrat zbroja: drugi član u njemu je umnožak prvog i posljednjeg, a ne njihov udvostručeni umnožak. Nepotpuni kvadrat zbroja jedan je od čimbenika proširenja razlike kocki:

Što ako već postoje tri razlomka?

Da, isto! Prije svega, pobrinut ćemo se da maksimalni broj faktora u nazivnicima bude isti:

Obratite pažnju: ako promijenite predznake unutar jedne zagrade, znak ispred razlomka mijenja se u suprotan. Kada promijenimo predznake u drugoj zagradi, predznak ispred razlomka se ponovno obrne. Kao rezultat toga, on (znak ispred razlomka) se nije promijenio.

Prvi nazivnik u cijelosti ispisujemo u zajedničkom nazivniku, a zatim mu dodajemo sve faktore koji još nisu napisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, ide ovako:

Hmm ... Sa razlomcima je jasno što učiniti. Ali što je s to dvoje?

Jednostavno je: znate zbrajati razlomke, zar ne? Dakle, morate biti sigurni da dvojka postane razlomak! Zapamtite: razlomak je operacija dijeljenja (brojnik je podijeljen nazivnikom, u slučaju da ste iznenada zaboravili). A nema ništa lakše nego podijeliti broj s. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, već će se pretvoriti u razlomak:

Upravo ono što je potrebno!

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Eto, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Postupak

Kakav je postupak za izračunavanje brojčanog izraza? Zapamtite, s obzirom na vrijednost takvog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi djelovati.

Dakle, podsjećam vas.

Prvi korak je izračunavanje stupnja.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji nekoliko množenja i dijeljenja u isto vrijeme, možete ih učiniti bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, izvodimo zbrajanje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradi se vrednuje izvan reda!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo procjenjujemo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili dijelimo.

Što ako postoje druge zagrade unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Što je prva stvar koju treba učiniti pri ocjenjivanju izraza? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutarnje zagrade, a zatim sve ostalo.

Dakle, redoslijed radnji za gornji izraz je sljedeći (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Dobro, sve je jednostavno.

Ali to nije isto što i izraz sa slovima, zar ne?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija potrebno je raditi algebarske operacije, odnosno operacije opisane u prethodnom dijelu: donoseći slične, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika bit će djelovanje faktoringa polinoma (često ga koristimo pri radu s razlomcima). Najčešće, za faktorizaciju, trebate koristiti i ili jednostavno izvaditi zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj predstaviti izraz kao proizvod ili kvocijent.

Na primjer:

Pojednostavimo izraz.

1) Prvo pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je predstaviti je kao proizvod ili kvocijent. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dodatno pojednostaviti ovaj izraz, ovdje su svi faktori elementarni (sjećate li se još što to znači?).

2) Dobivamo:

Množenje razlomaka: što bi moglo biti lakše.

3) Sada možete skratiti:

Pa to je sve. Ništa komplicirano, zar ne?

Još jedan primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte to sami riješiti, a tek onda pogledajte rješenje.

Riješenje:

Prije svega definirajmo postupak.

Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, umjesto dva razlomka, ispast će jedan.

Zatim ćemo napraviti dijeljenje razlomaka. Pa, rezultat zbrajamo zadnjim razlomkom.

Shematski ću numerirati korake:

Sada ću pokazati cijeli proces, tonirajući trenutnu radnju crvenom bojom:

Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah donijeti. U kojem god trenutku imamo slične, preporučljivo ih je odmah donijeti.

2. Isto vrijedi i za smanjenje razlomaka: čim se ukaže prilika za smanjenje, to se mora iskoristiti. Iznimka su razlomci koje zbrajate ili oduzimate: ako sada imaju iste nazivnike, smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje morate riješiti sami:

I obećao na samom početku:

odgovori:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se nosili s barem prva tri primjera, onda ste, smatrajte, svladali temu.

A sada na učenje!

KONVERZIJA IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Osnovne operacije pojednostavljenja:

• Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, trebate dodati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
• Faktorizacija: vađenje zajedničkog faktora iz zagrada, primjena itd.
• Smanjenje frakcije: brojnik i nazivnik razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem koji nije nula, od kojeg se vrijednost razlomka ne mijenja.
  1) brojnik i nazivnik razložiti na činioce
  2) ako u brojniku i nazivniku postoje zajednički čimbenici, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Zbrajanje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;

Napomena 1

Logička funkcija se može napisati pomoću logičkog izraza, a zatim možete prijeći na logički sklop. Potrebno je pojednostaviti logičke izraze kako bi se dobio što jednostavniji (a time i jeftiniji) logički sklop. Zapravo, logička funkcija, logički izraz i logički sklop su tri različita jezika koji govore o istom entitetu.

Da biste pojednostavili logičke izraze, koristite zakoni algebre logike.

Neke su transformacije slične transformacijama formula u klasičnoj algebri (stavljanje zajedničkog faktora u zagrade, korištenje komutativnih i asocijativnih zakona, itd.), dok se druge transformacije temelje na svojstvima koja klasične algebarske operacije nemaju (koristeći zakon distribucije za konjukciju, zakoni apsorpcije, lijepljenja, de Morganova pravila itd.).

Zakoni algebre logike formulirani su za osnovne logičke operacije - "NE" - inverzija (negacija), "I" - konjunkcija (logičko množenje) i "ILI" - disjunkcija (logičko zbrajanje).

Zakon dvostruke negacije znači da je operacija "NE" reverzibilna: ako je primijenite dvaput, na kraju se logička vrijednost neće promijeniti.

Zakon isključene sredine kaže da je svaki logički izraz ili istinit ili lažan (“nema trećeg”). Dakle, ako je $A=1$, onda je $\bar(A)=0$ (i obrnuto), što znači da je konjunkcija ovih veličina uvijek jednaka nuli, a disjunkcija jednaka jedan.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Pojednostavimo ovu formulu:

Slika 3

To implicira da je $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Odgovor: učenici $B$, $C$ i $D$ igraju šah, ali učenik $A$ ne igra.

Kada pojednostavljujete logičke izraze, možete izvesti sljedeći slijed radnji:

1. Zamijenite sve “ne-osnovne” operacije (ekvivalentnost, implikacije, isključivo ILI, itd.) njihovim izrazima kroz osnovne operacije inverzije, konjunkcije i disjunkcije.
2. Proširite inverzije složenih izraza prema de Morganovim pravilima na način da samo pojedinačne varijable imaju operacije negacije.
3. Zatim pojednostavnite izraz koristeći proširenje zagrada, zajedničke faktore u zagradama i druge zakone algebre logike.

Primjer 2

Ovdje se uzastopno koriste de Morganovo pravilo, distributivni zakon, zakon isključene sredine, komutativni zakon, zakon ponavljanja, opet komutativni zakon i zakon apsorpcije.

Uz pomoć bilo kojeg jezika možete izraziti istu informaciju različitim riječima i frazama. Matematički jezik nije iznimka. Ali isti izraz se može ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljenju izraza.

Ljudi komuniciraju na različitim jezicima. Za nas je važna usporedba par "Ruski jezik - matematički jezik". Iste informacije mogu se izvijestiti na različitim jezicima. No, osim toga, na jednom jeziku može se izgovarati različito.

Na primjer: "Peter je prijatelj s Vasjom", "Vasya je prijatelj s Petjom", "Peter i Vasya su prijatelji". Rečeno drugačije, ali jedno te isto. Po bilo kojoj od ovih fraza razumjeli bismo o čemu je riječ.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumijemo što je u pitanju. Međutim, ne sviđa nam se kako ova fraza zvuči. Ne možemo li to pojednostaviti, reći isto, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

"Momci" ... Zar se iz njihovih imena ne vidi da nisu djevojčice. Uklanjamo "dječke": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti s "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, duga, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i lakše razumjeti. Pojednostavili smo ovu frazu. Pojednostaviti znači lakše reći, ali ne izgubiti, ne iskriviti značenje.

Ista stvar se događa i u matematičkom jeziku. Ista stvar se može reći drugačije. Što znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače istu stvar. I iz svega tog mnoštva moramo izabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše daljnje svrhe.

Na primjer, razmotrite brojčani izraz. To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentna prva dva: .

Ispada da smo pojednostavili naše izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze uvijek morate obaviti sav posao i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Razmotrimo primjer doslovnog izraza . Očito će biti jednostavnije.

Kada pojednostavljujete doslovne izraze, morate izvesti sve radnje koje su moguće.

Je li uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam prikladniji biti ekvivalentan, ali duži zapis.

Primjer: Oduzmite broj od broja.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen njegovom ekvivalentnom notacijom: , tada bi izračuni bili trenutni: .

Odnosno, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za daljnje izračune.

Ipak, vrlo često smo suočeni sa zadatkom koji samo zvuči kao "pojednostavite izraz".

Pojednostavite izraz: .

Riješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajte proizvode: .

Očito, posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Mi smo to pojednostavili.

Kako bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Da biste odredili ekvivalentni izraz, morate:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja za pojednostavljenje izračuna.

Svojstva zbrajanja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo zbrajanja: zbroj se ne mijenja preuređivanjem članova.

2. Asocijativno svojstvo zbrajanja: da biste zbroju dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbroja od broja: da biste oduzeli zbroj od broja, možete oduzeti svaki član pojedinačno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: proizvod se ne mijenja permutacijom faktora.

2. Asocijativno svojstvo: da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim pomnožiti dobiveni proizvod s drugim faktorom.

3. Distributivno svojstvo množenja: da biste pomnožili broj sa zbrojem, trebate ga pomnožiti sa svakim članom posebno.

Pogledajmo kako zapravo radimo mentalne izračune.

Izračunati:

Riješenje

1) Zamislite kako

2) Predstavimo prvi množitelj kao zbroj bitnih članova i izvršimo množenje:

3) možete zamisliti kako i izvesti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor s ekvivalentnim zbrojem:

Distributivni zakon se može koristiti i u suprotnom smjeru: .

Prati ove korake:

1) 2)

Riješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti zakon raspodjele, samo ga koristite u suprotnom smjeru - izvadite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izvadimo zajednički faktor iz zagrada

Potrebno je kupiti linoleum u kuhinji i hodniku. Kuhinjski prostor - hodnik -. Postoje tri vrste linoleuma: za i rublje za. Koliko će koštati svaka od tri vrste linoleuma? (Sl. 1)

Riža. 1. Ilustracija za stanje problema

Riješenje

Metoda 1. Zasebno možete pronaći koliko će novca biti potrebno za kupnju linoleuma u kuhinji, a zatim ga dodajte u hodnik i zbrojite rezultirajuće radove.

§ 1 Koncept pojednostavljivanja doslovnog izraza

U ovoj lekciji upoznat ćemo se s pojmom „slični pojmovi“ i na primjerima ćemo naučiti kako izvršiti redukciju sličnih pojmova, pojednostavljujući tako doslovne izraze.

Otkrijmo značenje pojma "pojednostavljenje". Riječ "pojednostavljenje" potječe od riječi "pojednostaviti". Pojednostaviti znači učiniti jednostavnijim, jednostavnijim. Stoga, pojednostaviti doslovni izraz znači učiniti ga kraćim, s minimalnim brojem radnji.

Razmotrimo izraz 9x + 4x. Ovo je doslovni izraz koji je zbroj. Pojmovi su ovdje predstavljeni kao produkti broja i slova. Brojčani faktor takvih pojmova naziva se koeficijent. U ovom izrazu koeficijenti će biti brojevi 9 i 4. Imajte na umu da je množitelj predstavljen slovom isti u oba izraza ovog zbroja.

Prisjetimo se distributivnog zakona množenja:

Da biste zbroj pomnožili brojem, možete svaki pojam pomnožiti s tim brojem i zbrojiti rezultirajuće proizvode.

Općenito, piše se na sljedeći način: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Ovaj zakon vrijedi u oba smjera ac + bc = (a + b) ∙ c

Primijenimo to na naš doslovni izraz: zbroj proizvoda 9x i 4x jednak je umnošku, čiji je prvi faktor zbroj 9 i 4, drugi faktor je x.

9 + 4 = 13 čini 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Umjesto tri radnje u izrazu, ostala je jedna radnja - množenje. Dakle, pojednostavili smo naš doslovni izraz, t.j. pojednostavio ga.

§ 2 Smanjenje sličnih pojmova

Pojmovi 9x i 4x razlikuju se samo po svojim koeficijentima - takvi se pojmovi nazivaju sličnima. Slovni dio sličnih pojmova je isti. Slični pojmovi također uključuju brojeve i jednake pojmove.

Na primjer, u izrazu 9a + 12 - 15, brojevi 12 i -15 bit će slični pojmovi, a u zbroju proizvoda 12 i 6a, brojevi 14 i umnožaci 12 i 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), jednaki članovi predstavljeni umnoškom 12 i 6a.

Važno je napomenuti da članovi s jednakim koeficijentima i različitim literalnim faktorima nisu slični, iako je ponekad korisno primijeniti na njih distributivni zakon množenja, na primjer, zbroj umnožaka 5x i 5y jednak je umnošku broja 5 i zbroja x i y

5x + 5y = 5(x + y).

Pojednostavimo izraz -9a + 15a - 4 + 10.

U ovom slučaju, pojmovi -9a i 15a su slični pojmovi, jer se razlikuju samo po svojim koeficijentima. Imaju isti množitelj slova, a pojmovi -4 i 10 su također slični, budući da su brojevi. Dodajemo slične pojmove:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Dobivamo: 6a + 6.

Pojednostavljujući izraz, pronašli smo zbrojeve sličnih pojmova, u matematici se to zove redukcija sličnih pojmova.

Ako je donošenje takvih pojmova teško, možete smisliti riječi za njih i dodati objekte.

Na primjer, razmotrite izraz:

Za svako slovo uzimamo svoj objekt: b-jabuka, c-kruška, onda će ispasti: 2 jabuke minus 5 krušaka plus 8 krušaka.

Možemo li od jabuke oduzeti kruške? Naravno da ne. Ali možemo dodati 8 krušaka na minus 5 krušaka.

Dajemo slične pojmove -5 krušaka + 8 krušaka. Slični pojmovi imaju isti literalni dio, stoga je pri redukciji sličnih članova dovoljno dodati koeficijente i rezultatu dodati literalni dio:

(-5 + 8) krušaka - dobijete 3 kruške.

Vraćajući se našem doslovnom izrazu, imamo -5s + 8s = 3s. Dakle, nakon redukcije sličnih članova, dobivamo izraz 2b + 3c.

Dakle, u ovoj lekciji ste se upoznali s konceptom “sličnih pojmova” i naučili kako pojednostaviti doslovne izraze dovodeći slične pojmove.

Popis korištene literature:

1. Matematika. 6. razred: nastavni planovi za udžbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-sastavljač L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
2. Matematika. 6. razred: udžbenik za učenike obrazovnih ustanova. I. I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematika. 6. razred: udžbenik za obrazovne ustanove / G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov i drugi / uredio G.V. Dorofejeva, I.F. Sharygin; Ruska akademija znanosti, Ruska akademija obrazovanja. M.: "Prosvjeta", 2010.
4. Matematika. 6. razred: udžbenik za općeobrazovne ustanove / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
5. Matematika. 6. razred: udžbenik / G.K. Muravin, O.V. Mrav. – M.: Drfa, 2014.

Korištene slike: