Kako pravilno riješiti racionalne jednadžbe. Racionalne jednadžbe

Same jednadžbe s razlomcima nisu teške i vrlo zanimljive. Razmotrite vrste frakcijske jednadžbe i načine za njihovo rješavanje.

Kako riješiti jednadžbe s razlomcima - x u brojniku

Ako je dana jednadžba razlomaka, gdje je nepoznanica u brojniku, rješenje ne zahtijeva dodatne uvjete i rješava se bez dodatna gnjavaža. Opći oblik takva je jednadžba x/a + b = c, gdje je x nepoznanica, a, b i c su obični brojevi.

Nađi x: x/5 + 10 = 70.

Da biste riješili jednadžbu, morate se riješiti razlomaka. Pomnožite svaki član jednadžbe s 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x i 5 smanjimo, 10 i 70 pomnožimo sa 5 i dobijemo: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Nađi x: x/5 + x/10 = 90.

Ovaj primjer je malo kompliciranija verzija prvog. Ovdje postoje dva rješenja.

• Opcija 1: Riješite se razlomaka množenjem svih članova jednadžbe s većim nazivnikom, odnosno s 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• Opcija 2: Dodajte lijevu stranu jednadžbe. x/5 + x/10 = 90. Zajednički nazivnik je 10. Podijelimo 10 s 5, pomnožimo s x, dobivamo 2x. 10 podijeljeno s 10, pomnoženo s x, dobivamo x: 2x+x/10 = 90. Dakle, 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Često postoje frakcijske jednadžbe u kojima su x na suprotnim stranama znaka jednakosti. U takvoj situaciji potrebno je sve razlomke s x prenijeti u jednom smjeru, a brojeve u drugom.

• Nađi x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Pomakni 2x/5 udesno sa suprotnim predznakom: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Smanjimo 5x/5 i dobijemo: x = 130.

Kako riješiti jednadžbu s razlomcima - x u nazivniku

Ova vrsta frakcijskih jednadžbi zahtijeva pisanje dodatnih uvjeta. Označavanje ovih uvjeta je obavezan i sastavni dio ispravna odluka. Ako ih ne pripisujete, riskirate, jer se odgovor (čak i ako je točan) možda jednostavno neće uračunati.

Opći oblik frakcijskih jednadžbi, gdje je x u nazivniku, glasi: a/x + b = c, gdje je x nepoznanica, a, b, c su obični brojevi. Imajte na umu da x ne može biti bilo koji broj. Na primjer, x ne može biti nula, jer se ne može podijeliti s 0. Ovo je ono što je dodatni uvjet, što moramo navesti. To se zove raspon prihvatljivih vrijednosti, skraćeno - ODZ.

Nađi x: 15/x + 18 = 21.

Odmah zapisujemo ODZ za x: x ≠ 0. Sada kada je ODZ naznačen, rješavamo jednadžbu pomoću standardna shema osloboditi se razlomaka. Sve članove jednadžbe množimo s x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Često postoje jednadžbe u kojima nazivnik sadrži ne samo x, već i neku drugu operaciju s njim, na primjer, zbrajanje ili oduzimanje.

Nađi x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Već znamo da nazivnik ne može biti jednak nuli, što znači x-3 ≠ 0. Prenosimo -3 na desnu stranu, a znak “-” mijenjamo u “+” i dobivamo da je x ≠ 3. ODZ je naznačeno.

Riješite jednadžbu, pomnožite sve s x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Pomaknite x udesno, brojeve ulijevo: 24 = 3x => x = 8.

Ciljevi lekcije:

Vodič:

• formiranje pojma frakcijskih racionalnih jednadžbi;
• razmotriti različite načine rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi;
• razmotriti algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi, uključujući uvjet da je razlomak jednak nuli;
• podučavati rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi prema algoritmu;
• provjeravanje razine usvojenosti teme provođenjem testnog rada.

Razvijanje:

• razvoj sposobnosti pravilnog operiranja stečenim znanjem, logičkog mišljenja;
• razvoj intelektualnih vještina i mentalnih operacija - analiza, sinteza, usporedba i generalizacija;
• razvoj inicijative, sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljanje na tome;
• razvoj kritičko razmišljanje;
• razvoj istraživačkih vještina.

Njegovanje:

• odgoj kognitivni interes predmetu;
• odgoj samostalnosti u rješavanju odgojno-obrazovnih problema;
• odgoj volje i ustrajnosti za postizanje konačnih rezultata.

Vrsta lekcije: sat - objašnjenje novog gradiva.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

Bok dečki! Jednadžbe su napisane na ploči, pažljivo ih pogledajte. Možete li riješiti sve ove jednadžbe? Koji nisu i zašto?

Jednadžbe u kojima su lijevi i desni dio frakcijski racionalni izrazi nazivaju se razlomkom racionalne jednadžbe. Što mislite da ćemo danas proučavati na lekciji? Formulirajte temu lekcije. Dakle, otvaramo bilježnice i zapisujemo temu lekcije "Rješenje razlomačkih racionalnih jednadžbi".

2. Aktualizacija znanja. Frontalna anketa, usmeni rad s razredom.

A sada ćemo ponoviti glavni teorijski materijal koji trebamo proučiti nova tema. Odgovorite na sljedeća pitanja:

1. Što je jednadžba? ( Jednakost s varijablom ili varijablama.)
2. Kako se zove jednadžba #1? ( Linearna.) Način rješavanja linearne jednadžbe. (Premjestite sve s nepoznatom na lijevu stranu jednadžbe, sve brojeve u desnu. Donesite slične uvjete. Pronađite nepoznati množitelj).
3. Kako se zove jednadžba 3? ( Kvadrat.) Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi. ( Odabir punog kvadrata, po formulama, korištenjem Vietinog teorema i njegovih posljedica.)
4. Što je proporcija? ( Jednakost dvaju odnosa.) Glavno svojstvo proporcije. ( Ako je omjer istinit, tada je umnožak njegovih ekstremnih članova jednak umnošku srednjih članova.)
5. Koja svojstva se koriste za rješavanje jednadžbi? ( 1. Ako u jednadžbi pojam prenesemo iz jednog dijela u drugi, mijenjajući mu predznak, tada dobivamo jednadžbu ekvivalentnu zadanoj. 2. Ako se oba dijela jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije nula, tada će se dobiti jednadžba koja je ekvivalentna zadanoj.)
6. Kada je razlomak jednak nuli? ( Razlomak je nula kada je brojnik nula, a nazivnik nije jednak nuli.)

3. Objašnjenje novog gradiva.

Riješite jednadžbu broj 2 u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 10.

Koji frakcijska racionalna jednadžba možete li pokušati riješiti koristeći svojstvo osnovne proporcije? (br. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Riješite jednadžbu broj 4 u bilježnicama i na ploči.

Odgovor: 1,5.

Koju razlomku racionalnu jednadžbu možete pokušati riješiti množenjem obje strane jednadžbe s nazivnikom? (br. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Odgovor: 3;4.

Sada pokušajte riješiti jednadžbu #7 na jedan od načina.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 = 5 x 4 \u003d -2			x 3 = 5 x 4 \u003d -2
Odgovor: 0;5;-2.			Odgovor: 5;-2.

Objasnite zašto se to dogodilo? Zašto su u jednom slučaju tri korijena, a u drugom dva? Koji su brojevi korijeni ove frakcijske racionalne jednadžbe?

Do sada se studenti s konceptom stranog korijena nisu susreli, zaista im je jako teško razumjeti zašto se to dogodilo. Ako nitko u razredu ne može dati jasno objašnjenje ove situacije, onda učitelj postavlja sugestivna pitanja.

• Po čemu se jednadžbe br. 2 i 4 razlikuju od jednadžbi br. 5,6,7? ( U jednadžbama br. 2 i 4 u nazivniku broja, br. 5-7 - izrazi s varijablom.)
• Koji je korijen jednadžbe? ( Vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava jednakost.)
• Kako saznati je li broj korijen jednadžbe? ( Provjerite.)

Kada rade test, neki učenici primjećuju da moraju podijeliti s nulom. Zaključuju da brojevi 0 i 5 nisu korijeni. zadana jednadžba. Postavlja se pitanje: postoji li način rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi koji eliminira ovu pogrešku? Da, ova se metoda temelji na uvjetu da je ulomak jednak nuli.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Ako je x=5, tada je x(x-5)=0, pa je 5 vanjski korijen.

Ako je x=-2, tada je x(x-5)≠0.

Odgovor: -2.

Pokušajmo na ovaj način formulirati algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi. Djeca sama formuliraju algoritam.

Algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve ulijevo.
2. Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.
3. Napravite sustav: razlomak je nula kada je brojnik nula, a nazivnik nije nula.
4. Riješite jednadžbu.
5. Provjerite nejednakost kako biste isključili strane korijene.
6. Zapišite odgovor.

Rasprava: kako formulirati rješenje ako se koristi osnovno svojstvo proporcije i množenje obje strane jednadžbe zajedničkim nazivnikom. (Dopuniti rješenje: isključiti iz korijena one koji pretvaraju zajednički nazivnik na nulu).

4. Primarno razumijevanje novog gradiva.

Raditi u parovima. Učenici biraju kako će samostalno riješiti jednadžbu, ovisno o vrsti jednadžbe. Zadaci iz udžbenika "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: br. 600 (b, c, i); br. 601 (a, e, g). Učitelj kontrolira izvođenje zadatka, odgovara na postavljena pitanja i pruža pomoć učenicima s lošim uspjehom. Samotestiranje: Odgovori su zapisani na ploči.

b) 2 je strani korijen. Odgovor: 3.

c) 2 je strani korijen. Odgovor: 1.5.

a) Odgovor: -12.5.

g) Odgovor: 1; 1.5.

5. Izjava o zadaći.

1. Pročitaj točku 25 iz udžbenika, analiziraj primjere 1-3.
2. Naučiti algoritam za rješavanje frakcijskih racionalnih jednadžbi.
3. Riješi u bilježnicama broj 600 (a, d, e); br. 601 (g, h).
4. Pokušajte riješiti #696(a) (neobavezno).

6. Ispunjenje kontrolnog zadatka na proučenu temu.

Rad se obavlja na listovima.

primjer posla:

A) Koje od jednadžbi su razlomke racionalne?

B) Razlomak je nula kada je brojnik ______________________, a nazivnik _______________________.

P) Je li broj -3 korijen jednadžbe #6?

D) Riješite jednadžbu br. 7.

Kriteriji ocjenjivanja zadatka:

• "5" se daje ako je učenik točno riješio više od 90% zadatka.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" dobiva učenik koji je završio manje od 50% zadatka.
• Ocjena 2 se ne upisuje u dnevnik, 3 je izborna.

7. Refleksija.

Na letke sa samostalnim radom stavite:

• 1 - ako vam je lekcija bila zanimljiva i razumljiva;
• 2 - zanimljivo, ali nije jasno;
• 3 - nije zanimljivo, ali razumljivo;
• 4 - nije zanimljivo, nije jasno.

8. Sažimanje lekcije.

Dakle, danas smo se u lekciji upoznali s frakcijskim racionalnim jednadžbama, naučili kako riješiti ove jednadžbe različiti putevi, provjerili svoje znanje uz pomoć treninga samostalan rad. Rezultate samostalnog rada naučit ćete u sljedećoj lekciji, kod kuće ćete imati priliku konsolidirati stečeno znanje.

Koja je metoda rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, po vašem mišljenju, lakša, pristupačnija, racionalnija? Bez obzira na način rješavanja frakcijskih racionalnih jednadžbi, što se ne smije zaboraviti? U čemu je "lukavost" frakcijskih racionalnih jednadžbi?

Hvala svima, lekcija je gotova.

Već smo naučili rješavati kvadratne jednadžbe. Proširimo sada proučavane metode na racionalne jednadžbe.

Što racionalno izražavanje? Već smo se susreli s ovim konceptom. Racionalni izrazi nazivaju izrazi sastavljeni od brojeva, varijabli, njihovih stupnjeva i znakova matematičkih operacija.

Prema tome, racionalne jednadžbe su jednadžbe oblika: , gdje - racionalni izrazi.

Prije smo razmatrali samo one racionalne jednadžbe koje se svode na linearne. Sada razmotrimo one racionalne jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne.

Primjer 1

Riješite jednadžbu: .

Odluka:

Razlomak je 0 ako i samo ako mu je brojnik 0, a nazivnik nije 0.

Dobijamo sljedeći sustav:

Prva jednadžba sustava je kvadratna jednadžba. Prije nego što ga riješimo, sve njegove koeficijente podijelimo s 3. Dobivamo:

Dobivamo dva korijena: ; .

Budući da 2 nikada nije jednako 0, moraju biti ispunjena dva uvjeta: . Budući da niti jedan od korijena gore dobivene jednadžbe ne odgovara nevažećim vrijednostima varijable koje su dobivene rješavanjem druge nejednadžbe, oba su rješenja ove jednadžbe.

Odgovor:.

Dakle, formulirajmo algoritam za rješavanje racionalnih jednadžbi:

1. Pomaknite sve pojmove na lijevu stranu tako da se na desnoj strani dobije 0.

2. Transformirajte i pojednostavnite lijevu stranu, dovedite sve razlomke na zajednički nazivnik.

3. Izjednačite rezultirajući razlomak s 0, prema sljedećem algoritmu: .

4. Zapišite one korijene koji su dobiveni u prvoj jednadžbi i kao odgovor zadovoljavaju drugu nejednakost.

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer 2

Riješite jednadžbu: .

Odluka

Na samom početku prenosimo sve uvjete na lijeva strana tako da s desne strane ostane 0. Dobivamo:

Sada lijevu stranu jednadžbe dovodimo do zajedničkog nazivnika:

Ova jednadžba je ekvivalentna sustavu:

Prva jednadžba sustava je kvadratna jednadžba.

Koeficijenti ove jednadžbe: . Izračunavamo diskriminanta:

Dobivamo dva korijena: ; .

Sada riješimo drugu nejednakost: umnožak faktora nije jednak 0 ako i samo ako niti jedan faktor nije jednak 0.

Moraju biti ispunjena dva uvjeta: . Dobivamo da je od dva korijena prve jednadžbe prikladan samo jedan - 3.

Odgovor:.

U ovoj lekciji prisjetili smo se što je racionalni izraz, a također smo naučili rješavati racionalne jednadžbe koje se svode na kvadratne jednadžbe.

U sljedećoj lekciji razmotrit ćemo racionalne jednadžbe kao modele stvarnih situacija, a također ćemo razmotriti i probleme gibanja.

Bibliografija

1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. razred. - M.: Prosvjeta, 2004.
2. Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i dr. Algebra, 8. 5. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. razred. Vodič za obrazovne ustanove. - M.: Obrazovanje, 2006.

1. Festival pedagoških ideja" Javni sat" ().
2. Škola.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Domaća zadaća

Do sada smo rješavali samo cjelobrojne jednadžbe s obzirom na nepoznanicu, odnosno jednadžbe u kojima nazivnici (ako ih ima) nisu sadržavali nepoznanicu.

Često morate rješavati jednadžbe koje sadrže nepoznanicu u nazivnicima: takve se jednadžbe nazivaju razlomcima.

Da bismo riješili ovu jednadžbu, pomnožimo obje njezine strane s polinomom koji sadrži nepoznanicu. Hoće li nova jednadžba biti ekvivalentna zadanoj? Da bismo odgovorili na pitanje, riješimo ovu jednadžbu.

Množenjem obje strane s , dobivamo:

Rješavajući ovu jednadžbu prvog stupnja, nalazimo:

Dakle, jednadžba (2) ima jedan korijen

Zamjenom u jednadžbu (1) dobivamo:

Dakle, također je korijen jednadžbe (1).

Jednadžba (1) nema drugih korijena. U našem primjeru, to se može vidjeti, na primjer, iz činjenice da je u jednadžbi (1)

Kako nepoznati djelitelj mora biti jednak dividendi 1 podijeljenoj s kvocijentom 2, tj.

Dakle, jednadžbe (1) i (2) imaju jedan korijen i stoga su ekvivalentne.

2. Sada rješavamo sljedeću jednadžbu:

Najjednostavniji zajednički nazivnik: ; pomnoži s njim sve članove jednadžbe:

Nakon smanjenja dobivamo:

Proširimo zagrade:

Donoseći slične uvjete, imamo:

Rješavajući ovu jednadžbu, nalazimo:

Zamjenom u jednadžbu (1) dobivamo:

Na lijevoj strani dobili smo izraze koji nemaju smisla.

Dakle, korijen jednadžbe (1) nije. To implicira da jednadžbe (1) i nisu ekvivalentne.

U ovom slučaju kažemo da je jednadžba (1) dobila vanjski korijen.

Usporedimo rješenje jednadžbe (1) s rješenjem jednadžbi koje smo ranije razmatrali (vidi § 51). U rješavanju ove jednadžbe morali smo izvesti dvije takve operacije koje dosad nismo vidjeli: prvo, pomnožili smo obje strane jednadžbe izrazom koji sadrži nepoznanicu (zajednički nazivnik), i, drugo, smanjili smo algebarske razlomke faktorima koji sadrže nepoznato .

Uspoređujući jednadžbu (1) s jednadžbom (2), vidimo da nisu sve vrijednosti x važeće za jednadžbu (2) važeće za jednadžbu (1).

Upravo brojevi 1 i 3 nisu dopuštene vrijednosti nepoznanice za jednadžbu (1), a kao rezultat transformacije postali su prihvatljivi za jednadžbu (2). Pokazalo se da je jedan od tih brojeva rješenje jednadžbe (2), ali, naravno, ne može biti rješenje jednadžbe (1). Jednadžba (1) nema rješenja.

Ovaj primjer pokazuje da kada se obje strane jednadžbe pomnože s faktorom koji sadrži nepoznanicu i kada algebarski razlomci može se dobiti jednadžba koja nije ekvivalentna zadanoj, naime: mogu se pojaviti strani korijeni.

Stoga donosimo sljedeći zaključak. Prilikom rješavanja jednadžbe koja sadrži nepoznanicu u nazivniku, dobiveni korijeni moraju se provjeriti zamjenom u izvornu jednadžbu. Strani korijeni moraju se odbaciti.

Jednostavno rečeno, to su jednadžbe u kojima postoji barem jedna s varijablom u nazivniku.

Na primjer:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Primjer ne frakcijske racionalne jednadžbe:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kako se rješavaju frakcijske racionalne jednadžbe?

Glavna stvar koju treba zapamtiti o frakcijskim racionalnim jednadžbama je da u njih trebate pisati. I nakon pronalaska korijena, svakako ih provjerite za prihvatljivost. Inače se mogu pojaviti strani korijeni, a cijelo će se rješenje smatrati netočnim.

Algoritam za rješavanje frakcijske racionalne jednadžbe:

Ispiši i "riješi" ODZ.

Pomnožite svaki član u jednadžbi zajedničkim nazivnikom i smanjite dobivene razlomke. Nazivnici će nestati.

Napišite jednadžbu bez otvaranja zagrada.

Riješi dobivenu jednadžbu.

Pronađene korijene provjerite ODZ-om.

Zapišite kao odgovor korijene koji su prošli test u koraku 7.

Nemojte pamtiti algoritam, 3-5 riješenih jednadžbi - i samo će se zapamtiti.

Primjer . Riješite razlomku racionalnu jednadžbu \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Odluka:

Odgovor: \(3\).

Primjer . Pronađite korijene frakcijske racionalne jednadžbe \(=0\)

Odluka:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Zapisujemo i "riješavamo" ODZ. Proširite \(x^2+7x+10\) u formulu: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Na sreću \(x_1\) i \(x_2\) smo već pronašli.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Očito, zajednički nazivnik razlomaka: \((x+2)(x+5)\). Pomnožimo cijelu jednadžbu s njom.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Smanjujemo razlomke
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Otvaranje zagrada
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Dajemo iste uvjete
\(2x^2+9x-5=0\)		Pronalaženje korijena jednadžbe
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Jedan od korijena ne stane pod ODZ, pa kao odgovor zapisujemo samo drugi korijen.

Odgovor: \(\frac(1)(2)\).