समाधान के साथ भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक उदाहरण। तर्कसंगत अभिव्यक्ति

लेख परिवर्तन के बारे में बात करता है तर्कसंगत अभिव्यक्ति. तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के प्रकार, उनके परिवर्तन, समूह, सामान्य कारक को ब्रैकेटिंग पर विचार करें। आइए जानें कि किस प्रकार भिन्नात्मक परिमेय व्यंजकों को रूप में निरूपित किया जाता है तर्कसंगत अंश.

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों की परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा 1

वे व्यंजक जो संख्याओं, चरों, कोष्ठकों, अंशों के जोड़, घटाव, गुणा, भाग के साथ भिन्न बार की उपस्थिति से बने होते हैं, कहलाते हैं तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ।

उदाहरण के लिए, हमारे पास 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b), (x + 1) (y - 2) x है। 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3।

अर्थात्, ये ऐसे व्यंजक हैं जिनमें चरों के साथ व्यंजकों में विभाजन नहीं होता है। परिमेय व्यंजकों का अध्ययन ग्रेड 8 से शुरू होता है, जहाँ उन्हें भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक कहा जाता है। अंश में भिन्नों पर विशेष ध्यान दिया जाता है, जिन्हें रूपांतरण नियमों का उपयोग करके परिवर्तित किया जाता है।

यह हमें एक मनमाना रूप के तर्कसंगत अंशों के परिवर्तन के लिए आगे बढ़ने की अनुमति देता है। इस तरह के व्यंजक को परिमेय भिन्नों और क्रिया चिह्नों के साथ पूर्णांक व्यंजकों की उपस्थिति के साथ व्यंजक माना जा सकता है।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

परिमेय अभिव्यक्तियों का उपयोग समान परिवर्तन, समूहीकरण, लोगों की तरह कास्टिंग, और संख्याओं के साथ अन्य संचालन करने के लिए किया जाता है। ऐसे भावों का उद्देश्य सरल बनाना है।

उदाहरण 1

परिमेय व्यंजक 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y-1 में परिवर्तित करें।

फेसला

यह देखा जा सकता है कि ऐसा तर्कसंगत व्यंजक 3 · x x · y - 1 और 2 · x x · y - 1 का अंतर है। ध्यान दें कि उनके पास एक ही भाजक है। इसका मतलब है कि समान शब्दों की कमी का रूप ले लेता है

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

जवाब: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1।

उदाहरण 2

रूपांतरण 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) करें।

फेसला

प्रारंभ में, हम कोष्ठक 3 · x - x = 2 · x में क्रिया करते हैं। यह व्यंजक 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x के रूप में दर्शाया गया है। हम एक अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं जिसमें एक चरण के साथ क्रियाएं होती हैं, यानी इसमें जोड़ और घटाव होता है।

विभाजन संपत्ति को लागू करके कोष्ठक से छुटकारा पाएं। तब हम पाते हैं कि 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x।

हम संख्यात्मक कारकों को चर x के साथ समूहित करते हैं, उसके बाद हम शक्तियों के साथ संचालन कर सकते हैं। हमें वह मिलता है

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4): 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

जवाब: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4।

उदाहरण 3

x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 के रूप का व्यंजक रूपांतरित करें।

फेसला

सबसे पहले, अंश और हर को परिवर्तित करते हैं। तब हमें (x (x + 3) - (3 x + 1)) के रूप का व्यंजक प्राप्त होता है: 1 2 x 4 + 2, और कोष्ठक में क्रिया पहले की जाती है। अंश में, क्रियाएं की जाती हैं और कारकों को समूहीकृत किया जाता है। तब हमें x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 के रूप का व्यंजक प्राप्त होता है। एक्स + 2।

हम अंश में वर्गों के अंतर के लिए सूत्र को बदलते हैं, तो हमें वह मिलता है

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

जवाब: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2।

एक तर्कसंगत अंश के रूप में प्रतिनिधित्व

हल करते समय एक बीजीय अंश को अक्सर सरलीकरण के अधीन किया जाता है। हर तर्कसंगत इस तक कम हो गया है विभिन्न तरीके. सब कुछ करने की जरूरत है आवश्यक कार्रवाईबहुपदों के साथ ताकि परिमेय व्यंजक अंततः एक परिमेय भिन्न दे सके।

उदाहरण 4

एक परिमेय भिन्न के रूप में व्यक्त करें a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a ।

फेसला

इस व्यंजक को 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a के रूप में दर्शाया जा सकता है। गुणन सबसे पहले नियमों के अनुसार किया जाता है।

हमें गुणा से शुरू करना चाहिए, तब हमें वह मिलता है

ए 2 - 25 ए ​​+ 3 1 ए 2 + 5 ए = ए - 5 (ए + 5) ए + 3 1 ए (ए + 5) = ए - 5 (ए + 5) 1 (ए + 3) ए (ए + 5) = ए - 5 (ए + 3) ए

हम मूल के साथ प्राप्त परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं। हमें वह मिलता है

ए + 5 ए (ए - 3) - ए 2 - 25 ए ​​+ 3 1 ए 2 + 5 ए = ए + 5 ए - 3 - ए - 5 ए + 3 ए

अब घटाव करते हैं:

ए + 5 ए ए - 3 - ए - 5 ए + 3 ए = ए + 5 ए + 3 ए (ए - 3) (ए + 3) - (ए - 5) (ए - 3) (ए + 3) ए ( ए - 3) = = ए + 5 ए + 3 - (ए - 5) (ए - 3) ए (ए - 3) (ए + 3) = ए 2 + 3 ए + 5 ए + 15 - (ए 2 - 3 ए - 5 ए + 15) ए (ए - 3) (ए + 3) = = 16 ए ए (ए - 3) (ए + 3) = 16 ए - 3 (ए + 3) = 16 ए 2 - 9

उसके बाद, यह स्पष्ट है कि मूल व्यंजक 16 a 2 - 9 का रूप लेगा।

जवाब:ए + 5 ए (ए - 3) - ए 2 - 25 ए ​​+ 3 1 ए 2 + 5 ए = 16 ए 2 - 9।

उदाहरण 5

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x को परिमेय भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।

फेसला

दिए गए व्यंजक को भिन्न के रूप में लिखा जाता है, जिसके अंश में x x + 1 + 1 और हर में 2 x - 1 1 + x होता है। x x + 1 + 1 रूपान्तरण करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको एक अंश और एक संख्या जोड़ने की आवश्यकता है। हम पाते हैं कि x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 एक्स + 1 एक्स + 1

यह इस प्रकार है कि x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

परिणामी भिन्न को 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x के रूप में लिखा जा सकता है।

विभाजन के बाद, हम रूप के परिमेय भिन्न पर पहुंचते हैं

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

आप इसे अलग तरह से हल कर सकते हैं।

2 x - 1 1 + x से भाग देने के बजाय, हम 1 + x 2 x - 1 के व्युत्क्रम से गुणा करते हैं। बंटन गुणधर्म को लागू करने पर, हम पाते हैं कि

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

जवाब: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1।

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यह पाठ तर्कसंगत अभिव्यक्तियों और उनके परिवर्तनों के साथ-साथ तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के उदाहरणों के बारे में बुनियादी जानकारी को कवर करेगा। यह विषय उन विषयों को संक्षेप में प्रस्तुत करता है जिनका हमने अब तक अध्ययन किया है। परिमेय अभिव्यक्ति परिवर्तनों में जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक शामिल हैं बीजीय भिन्न, कमी, गुणनखंड, आदि। पाठ के भाग के रूप में, हम देखेंगे कि एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति क्या है, और हम उनके परिवर्तन के उदाहरणों का भी विश्लेषण करेंगे।

विषय:बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ:तर्कसंगत अभिव्यक्तियों और उनके परिवर्तनों के बारे में बुनियादी जानकारी

परिभाषा

तर्कसंगत अभिव्यक्तिएक व्यंजक है जिसमें संख्याएँ, चर, अंकगणितीय संक्रियाएँ और घातांक शामिल हैं।

एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के उदाहरण पर विचार करें:

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के विशेष मामले:

पहली डिग्री: ;

2. एकपदी : ;

3. अंश:।

तर्कसंगत अभिव्यक्ति परिवर्तनएक तर्कसंगत अभिव्यक्ति का सरलीकरण है। तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय संचालन का क्रम: पहले, कोष्ठक में क्रियाएं होती हैं, फिर गुणा (भाग), और फिर जोड़ (घटाव) संचालन।

आइए परिमेय व्यंजकों के रूपांतरण पर कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

फेसला:

आइए इस उदाहरण को चरण दर चरण हल करते हैं। कोष्ठक में क्रिया पहले की जाती है।

जवाब:

उदाहरण 2

फेसला:

जवाब:

उदाहरण 3

फेसला:

जवाब: .

टिप्पणी:शायद जब तुम देखोगे यह उदाहरणएक विचार उत्पन्न हुआ: एक सामान्य भाजक की ओर ले जाने से पहले अंश को कम करना। वास्तव में, यह बिल्कुल सही है: सबसे पहले, अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना और फिर इसे बदलना वांछनीय है। आइए उसी उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करने का प्रयास करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, उत्तर बिल्कुल समान निकला, लेकिन समाधान कुछ सरल निकला।

इस पाठ में, हमने देखा तर्कसंगत भाव और उनके परिवर्तन, साथ ही कई ठोस उदाहरणपरिवर्तन डेटा।

ग्रन्थसूची

1. बश्माकोव एम.आई. बीजगणित 8 वीं कक्षा। - एम .: ज्ञानोदय, 2004।

2. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. एट अल बीजगणित 8. - 5 वां संस्करण। - एम .: शिक्षा, 2010।

यह आलेख निम्न से संबंधित है तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन, ज्यादातर आंशिक रूप से तर्कसंगत, ग्रेड 8 के लिए बीजगणित पाठ्यक्रम के प्रमुख प्रश्नों में से एक है। सबसे पहले, हम याद करते हैं कि किस प्रकार के व्यंजकों को परिमेय कहा जाता है। इसके बाद, हम तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के साथ मानक परिवर्तन करने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जैसे कि समूहीकरण शब्द, सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालना, समान शब्दों को कम करना आदि। अंत में, हम सीखेंगे कि भिन्नात्मक परिमेय व्यंजकों को परिमेय भिन्नों के रूप में कैसे निरूपित किया जाए।

पृष्ठ नेविगेशन।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों की परिभाषा और उदाहरण

परिमेय व्यंजक स्कूल में बीजगणित के पाठों में अध्ययन किए जाने वाले भावों में से एक हैं। आइए एक परिभाषा दें।

परिभाषा।

संख्याओं, चरों, कोष्ठकों, पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री से बने व्यंजक, संकेतों का उपयोग करके जुड़े हुए हैं अंकगणितीय आपरेशनस+, -, और:, जहाँ भाग को भिन्न के दंड द्वारा दर्शाया जा सकता है, कहलाते हैं तर्कसंगत अभिव्यक्ति.

यहाँ परिमेय व्यंजकों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: .

7 वीं कक्षा में तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का उद्देश्यपूर्ण अध्ययन किया जाना शुरू होता है। इसके अलावा, 7 वीं कक्षा में, तथाकथित के साथ काम करने की मूल बातें संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ति, अर्थात्, ऐसे परिमेय व्यंजकों के साथ जिनमें चरों के साथ व्यंजकों में विभाजन नहीं होता है। ऐसा करने के लिए, एकपदी और बहुपद का लगातार अध्ययन किया जाता है, साथ ही उनके साथ कार्य करने के सिद्धांतों का भी अध्ययन किया जाता है। यह सारा ज्ञान अंततः आपको पूर्णांक व्यंजकों का रूपांतरण करने की अनुमति देता है।

कक्षा 8 में, वे परिमेय व्यंजकों के अध्ययन के लिए आगे बढ़ते हैं जिनमें चरों वाले व्यंजक द्वारा भाग दिया जाता है, जिन्हें कहा जाता है भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक. जिसमें विशेष ध्यानतथाकथित को दिया तर्कसंगत अंश(यह भी कहा जाता है बीजीय भिन्न), यानी वे भिन्न जिनके अंश और हर में बहुपद होते हैं। यह अंततः तर्कसंगत अंशों के परिवर्तन को संभव बनाता है।

अर्जित कौशल हमें मनमाने रूप के तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के लिए आगे बढ़ने की अनुमति देते हैं। यह इस तथ्य से समझाया गया है कि किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति को तर्कसंगत अंशों और पूर्णांक अभिव्यक्तियों से बना अभिव्यक्ति माना जा सकता है, जो अंकगणितीय परिचालनों के संकेतों से जुड़ा हुआ है। और हम पहले से ही जानते हैं कि पूर्णांक व्यंजकों और बीजीय भिन्नों के साथ कैसे कार्य करना है।

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के साथ, आप किसी भी मूल पहचान परिवर्तन को अंजाम दे सकते हैं, चाहे वह शब्दों या कारकों का समूह हो, समान शब्दों को लाना, संख्याओं के साथ संचालन करना आदि। आमतौर पर, इन परिवर्तनों का उद्देश्य है तर्कसंगत अभिव्यक्ति सरलीकरण.

उदाहरण।

.

फेसला।

यह स्पष्ट है कि यह तर्कसंगत अभिव्यक्ति दो भावों का अंतर है और इसके अलावा, ये भाव समान हैं, क्योंकि उनका एक ही शाब्दिक भाग है। इस प्रकार, हम समान पदों की कमी कर सकते हैं:

जवाब:

.

यह स्पष्ट है कि तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के साथ परिवर्तन करते समय, वास्तव में, किसी भी अन्य अभिव्यक्तियों के साथ, किसी को क्रियाओं के स्वीकृत क्रम के ढांचे के भीतर रहना चाहिए।

उदाहरण।

तर्कसंगत अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें।

फेसला।

हम जानते हैं कि कोष्ठक में क्रियाओं को पहले क्रियान्वित किया जाता है। इसलिए, सबसे पहले, हम व्यंजक को कोष्ठकों में रूपांतरित करते हैं: 3 x - x=2 x ।

अब आप परिणाम को मूल परिमेय व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: . तो हम एक चरण की क्रियाओं से युक्त एक अभिव्यक्ति पर आए - जोड़ और गुणा।

आइए विभाजन-दर-उत्पाद गुण लागू करके व्यंजक के अंत में कोष्ठकों से छुटकारा पाएं: .

अंत में, हम संख्यात्मक कारकों और x कारकों को समूहित कर सकते हैं, और फिर संख्याओं पर संबंधित संचालन कर सकते हैं और लागू कर सकते हैं: ।

यह तर्कसंगत अभिव्यक्ति के परिवर्तन को पूरा करता है, और परिणामस्वरूप हमें एक मोनोमियल मिलता है।

जवाब:

उदाहरण।

परिमेय अभिव्यक्ति रूपांतरण .

फेसला।

सबसे पहले हम अंश और हर को बदलते हैं। भिन्नों के परिवर्तन के इस क्रम को इस तथ्य से समझाया गया है कि एक अंश का स्ट्रोक, संक्षेप में, एक और विभाजन पदनाम है, और मूल तर्कसंगत अभिव्यक्ति अनिवार्य रूप से एक विशेष रूप है , और कोष्ठक में क्रियाओं को पहले निष्पादित किया जाता है।

तो, अंश में हम बहुपद के साथ संचालन करते हैं, पहले गुणा, फिर घटाव, और हर में हम संख्यात्मक कारकों को समूहित करते हैं और उनके उत्पाद की गणना करते हैं: .

आइए एक उत्पाद के रूप में परिणामी अंश के अंश और हर की कल्पना करें: अचानक बीजीय अंश को कम करना संभव है। ऐसा करने के लिए, अंश में हम उपयोग करते हैं वर्ग सूत्र का अंतर, और हर में हम कोष्ठक से ड्यूस निकालते हैं, हमारे पास है .

जवाब:

.

तो, तर्कसंगत अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के साथ प्रारंभिक परिचित को पूरा माना जा सकता है। हम पास करते हैं, इसलिए बोलने के लिए, सबसे प्यारे को।

एक तर्कसंगत अंश के रूप में प्रतिनिधित्व

भावों को रूपांतरित करने का सबसे सामान्य अंतिम लक्ष्य उनके रूप को सरल बनाना है। इस आलोक में सबसे सरल दृश्य, जिसमें एक भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक को परिवर्तित किया जा सकता है, एक परिमेय (बीजगणितीय) भिन्न है, और एक विशेष मामले में, एक बहुपद, एक एकपदी, या एक संख्या है।

क्या किसी परिमेय व्यंजक को परिमेय भिन्न के रूप में निरूपित करना संभव है? इसका जवाब है हाँ। ऐसा क्यों है आइए बताते हैं।

जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, किसी भी परिमेय व्यंजक को बहुपद और परिमेय भिन्नों के रूप में माना जा सकता है जो धन, ऋण चिह्न, गुणा और भाग से जुड़े होते हैं। बहुपद पर सभी प्रासंगिक संक्रियाओं से एक बहुपद या एक परिमेय भिन्न प्राप्त होता है। बदले में, किसी भी बहुपद को हर 1 से लिखकर एक बीजीय भिन्न में परिवर्तित किया जा सकता है। और परिमेय भिन्नों के योग, घटाव, गुणा और भाग के परिणामस्वरूप एक नया परिमेय भिन्न बनता है। इसलिए, एक परिमेय व्यंजक में बहुपदों और परिमेय भिन्नों के साथ सभी संक्रियाओं को करने के बाद, हमें एक परिमेय भिन्न प्राप्त होता है।

उदाहरण।

व्यंजक को परिमेय भिन्न के रूप में व्यक्त करें .

फेसला।

मूल परिमेय व्यंजक एक भिन्न और रूप के भिन्नों के गुणनफल के बीच का अंतर है . संचालन के क्रम के अनुसार, हमें पहले गुणा करना चाहिए, और उसके बाद ही जोड़ देना चाहिए।

हम बीजीय अंशों को गुणा करके शुरू करते हैं:

हम प्राप्त परिणाम को मूल परिमेय व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: .

हम के साथ बीजीय भिन्नों के घटाव पर आ गए हैं विभिन्न भाजक:

इसलिए, मूल परिमेय व्यंजक बनाने वाले परिमेय भिन्नों के साथ क्रिया करने के बाद, हमने इसे एक परिमेय भिन्न के रूप में प्रस्तुत किया।

जवाब:

.

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक अन्य उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

एक परिमेय व्यंजक को परिमेय भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।

कोई भी भिन्नात्मक व्यंजक(आइटम 48) को इस प्रकार लिखा जा सकता है, जहाँ P और Q परिमेय व्यंजक हैं, और Q में आवश्यक रूप से चर शामिल हैं। ऐसे भिन्न को परिमेय भिन्न कहते हैं।

तर्कसंगत अंशों के उदाहरण:

एक भिन्न की मुख्य संपत्ति एक पहचान द्वारा व्यक्त की जाती है जो यहां की शर्तों के तहत मान्य है - एक संपूर्ण तर्कसंगत अभिव्यक्ति। इसका मतलब है कि एक परिमेय भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या, एकपदी या बहुपद से गुणा या विभाजित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, भिन्न के गुणों का उपयोग भिन्न के सदस्यों के चिह्नों को बदलने के लिए किया जा सकता है। यदि किसी भिन्न के अंश और हर को -1 से गुणा किया जाता है, तो हम पाते हैं कि अंश और हर के चिह्न एक ही समय में बदलने पर भिन्न का मान नहीं बदलेगा। यदि आप केवल अंश या केवल हर का चिह्न बदलते हैं, तो भिन्न अपना चिह्न बदल देगा:

उदाहरण के लिए,

60. परिमेय भिन्नों की कमी।

एक अंश को कम करने के लिए एक अंश के अंश और हर को एक सामान्य कारक से विभाजित करना है। इस तरह की कमी की संभावना अंश की मुख्य संपत्ति के कारण है।

एक परिमेय भिन्न को कम करने के लिए, आपको अंश और हर का गुणनखंड करना होगा। यदि यह पता चलता है कि अंश और हर के समान गुणनखंड हैं, तो भिन्न को कम किया जा सकता है। यदि कोई सामान्य कारक नहीं हैं, तो अंश को घटाकर बदलना असंभव है।

उदाहरण। अंश कम करें

फेसला। हमारे पास है

अंश की कमी शर्त के तहत की जाती है।

61. परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना।

कई परिमेय भिन्नों का सामान्य हर संपूर्ण परिमेय व्यंजक होता है, जिसे प्रत्येक भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है (आइटम 54 देखें)।

उदाहरण के लिए, एक बहुपद भिन्नों के एक सामान्य भाजक के रूप में कार्य करता है, क्योंकि यह एक बहुपद और एक बहुपद और एक बहुपद, आदि द्वारा और द्वारा और द्वारा विभाज्य है। आमतौर पर ऐसा सामान्य हर लिया जाता है कि कोई अन्य सामान्य भाजक इसके द्वारा विभाज्य होता है इकोसेन। इस सरलतम हर को कभी-कभी सबसे छोटा आम भाजक कहा जाता है।

ऊपर के उदाहरण में, आम भाजक हमारे पास है

इन भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने से पहली भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। और बहुपद द्वारा दूसरी भिन्न के अंश और हर को क्रमशः पहले और दूसरे अंश के लिए अतिरिक्त कारक कहा जाता है। किसी दिए गए भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणनखंड, दिए गए भिन्न के हर द्वारा सामान्य हर को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है।

कई परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने के लिए, आपको चाहिए:

1) प्रत्येक भिन्न के हर को कारकों में विघटित करें;

2) विस्तार के पैराग्राफ 1 में प्राप्त सभी कारकों में कारकों के रूप में सहित, एक सामान्य भाजक बनाएं; यदि कई विस्तारों में एक निश्चित कारक मौजूद है, तो इसे उपलब्ध लोगों में से सबसे बड़े के बराबर एक घातांक के साथ लिया जाता है;

3) प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त कारक खोजना (इसके लिए, सामान्य भाजक को भिन्न के हर से विभाजित किया जाता है);

4) प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को एक अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हुए, भिन्न को एक सामान्य हर में लाएं।

उदाहरण। एक अंश के एक आम भाजक को कम करें

फेसला। आइए भाजक का गुणनखंड करें:

निम्नलिखित कारकों को सामान्य हर में शामिल किया जाना चाहिए: और संख्या 12, 18, 24 का सबसे छोटा सामान्य गुणक, अर्थात। तो आम भाजक है

अतिरिक्त गुणक: पहले भिन्न के लिए दूसरे के लिए तीसरे के लिए तो, हम प्राप्त करते हैं:

62. परिमेय भिन्नों का जोड़ और घटाव।

दो का योग (और सामान्य तौर पर कोई भी परिमित संख्या) परिमेय भिन्नों के साथ एक ही भाजकसमान भाजक के साथ एक अंश के बराबर और एक अंश के साथ जोड़े गए अंशों के अंशों के योग के बराबर:

समान हर के साथ भिन्नों को घटाते समय स्थिति समान होती है:

उदाहरण 1: एक व्यंजक को सरल कीजिए

फेसला।

भिन्न हर के साथ परिमेय भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, आपको पहले भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना होगा, और फिर समान हर के साथ परिणामी भिन्नों पर संक्रियाएँ करनी होंगी।

उदाहरण 2: एक व्यंजक को सरल कीजिए

फेसला। हमारे पास है

63. परिमेय भिन्नों का गुणा और भाग।

दो (और सामान्य रूप से किसी भी परिमित संख्या में) परिमेय भिन्नों का गुणनफल समान रूप से उस भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश अंशों के गुणनफल के बराबर होता है, और हर गुणित भिन्नों के हरों का गुणनफल होता है:

दो परिमेय भिन्नों को विभाजित करने का भागफल समान रूप से उस भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश दूसरे भिन्न के हर द्वारा पहली भिन्न के अंश के गुणनफल के बराबर होता है, और हर पहले भिन्न के हर का गुणनफल होता है दूसरे भिन्न का अंश:

गुणा और भाग के लिए तैयार किए गए नियम बहुपद द्वारा गुणा या भाग के मामले में भी लागू होते हैं: इस बहुपद को 1 के हर के साथ एक अंश के रूप में लिखने के लिए पर्याप्त है।

परिमेय भिन्नों को गुणा या विभाजित करके प्राप्त एक परिमेय अंश को कम करने की संभावना को देखते हुए, आमतौर पर इन कार्यों को करने से पहले मूल अंशों के अंश और हर का गुणनखंड करने की मांग की जाती है।

उदाहरण 1. गुणा करें

फेसला। हमारे पास है

भिन्नों के गुणन के नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2: विभाजन निष्पादित करें

फेसला। हमारे पास है

विभाजन नियम का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

64. एक परिमेय भिन्न को एक पूर्णांक घात तक बढ़ाना।

एक परिमेय भिन्न को बढ़ाने के लिए - एक प्राकृतिक शक्ति के लिए, आपको भिन्न के अंश और हर को इस घात में अलग से बढ़ाने की आवश्यकता है; पहला व्यंजक अंश है और दूसरा व्यंजक परिणाम का हर है:

उदाहरण 1. भिन्न को 3 की घात में परिवर्तित करें।

समाधान समाधान।

एक अंश को एक ऋणात्मक पूर्णांक शक्ति में बढ़ाते समय, एक पहचान का उपयोग किया जाता है जो चर के सभी मानों के लिए मान्य होता है जिसके लिए .

उदाहरण 2. व्यंजक को भिन्न में बदलें

65. तर्कसंगत अभिव्यक्तियों का परिवर्तन।

किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति का परिवर्तन तर्कसंगत अंशों को जोड़ने, घटाने, गुणा करने और विभाजित करने के साथ-साथ प्राकृतिक शक्ति में अंश को बढ़ाने के लिए नीचे आता है। किसी भी परिमेय व्यंजक को भिन्न में बदला जा सकता है जिसका अंश और हर पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं; यह आमतौर पर लक्ष्य है समान परिवर्तनतर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ।

उदाहरण। अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

66. अंकगणितीय जड़ों (कट्टरपंथी) का सबसे सरल परिवर्तन।

अंकगणित कोरिया को परिवर्तित करते समय, उनके गुणों का उपयोग किया जाता है (आइटम 35 देखें)।

गुणों के उपयोग पर कुछ उदाहरणों पर विचार करें अंकगणितीय जड़ेंकट्टरपंथियों के सरलतम परिवर्तनों के लिए। इस मामले में, सभी चरों को केवल गैर-ऋणात्मक मान लेने के रूप में माना जाएगा।

उदाहरण 1. उत्पाद की जड़ निकालें

फेसला। संपत्ति 1° लगाने पर, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 2. मूल चिह्न के नीचे से गुणनखंड को निकालिए

फेसला।

इस तरह के परिवर्तन को मूल चिह्न के नीचे से फैक्टरिंग आउट कहा जाता है। परिवर्तन का उद्देश्य कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरल बनाना है।

उदाहरण 3: सरलीकृत करें।

फेसला। गुण 3° के अनुसार, हम आम तौर पर मूलक व्यंजक को सरल बनाने का प्रयास करते हैं, जिसके लिए वे गुणकों को कोरियम चिह्न से परे निकालते हैं। हमारे पास है

उदाहरण 4: सरल कीजिए

फेसला। हम मूल के चिह्न के नीचे एक गुणनखंड का परिचय देकर व्यंजक को रूपांतरित करते हैं: गुण 4° से हमारे पास है

उदाहरण 5: सरल कीजिए

फेसला। गुण 5° से, हमें मूल व्यंजक के घातांक और मूल व्यंजक के घातांक को समान में विभाजित करने का अधिकार है प्राकृतिक संख्या. यदि विचाराधीन उदाहरण में हम संकेतित संकेतकों को 3 से विभाजित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है।

उदाहरण 6. व्यंजकों को सरल कीजिए:

हल, क) गुण 1° से, हम प्राप्त करते हैं कि समान अंश के मूलों को गुणा करने के लिए, मूल व्यंजकों को गुणा करना और प्राप्त परिणाम से उसी घात का मूल निकालना पर्याप्त होता है। माध्यम,

बी) सबसे पहले, हमें रेडिकल को एक इंडेक्स में कम करना चाहिए। गुण 5° के अनुसार, हम मूल के घातांक को उसी प्राकृत संख्या से गुणा कर सकते हैं। इसलिए, अगला, अब हमारे पास रूट के संकेतकों और रेडिकल एक्सप्रेशन की डिग्री को 3 से विभाजित करके प्राप्त परिणाम है, हम प्राप्त करते हैं।