एक अंश को एक घन में बढ़ाना। एक बीजीय अंश को एक घात तक बढ़ाना

यह अपने आप को परिचित करने का समय है निर्माण बीजीय भिन्नएक स्तर तक. डिग्री के संदर्भ में बीजगणितीय अंशों के साथ यह क्रिया गुणन के लिए कम हो जाती है समान भिन्न. इस लेख में, हम संबंधित नियम देंगे, और बीजीय अंशों को प्राकृतिक शक्तियों तक बढ़ाने के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

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बीजीय भिन्न को घात तक बढ़ाने का नियम, इसका प्रमाण

एक बीजीय अंश को एक घात तक बढ़ाने के बारे में बात करने से पहले, यह याद रखने में कोई हर्ज नहीं है कि डिग्री के आधार पर खड़े समान कारकों का उत्पाद क्या है, और उनकी संख्या संकेतक द्वारा निर्धारित की जाती है। उदाहरण के लिए, 2 3 =2 2 2=8।

और अब आइए एक साधारण अंश की शक्ति को बढ़ाने के नियम को याद रखें - इसके लिए आपको अलग से अंश को संकेतित शक्ति तक बढ़ाने की जरूरत है, और हर को अलग से। उदाहरण के लिए, । यह नियम बीजीय भिन्न को प्राकृतिक घात तक बढ़ाने पर लागू होता है।

एक बीजीय अंश को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ानाएक नया अंश देता है, जिसके अंश में मूल भिन्न के अंश की निर्दिष्ट डिग्री होती है, और हर में - हर की डिग्री। शाब्दिक रूप में, यह नियम समानता से मेल खाता है, जहां a और b मनमाना बहुपद (विशेष मामलों में, एकपदी या संख्या) हैं, और b एक गैर-शून्य बहुपद है, और n है।

बीजीय अंश को घात में बढ़ाने के लिए ध्वनित नियम का प्रमाण प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा पर आधारित है और हमने बीजीय अंशों के गुणन को कैसे परिभाषित किया है: .

उदाहरण, समाधान

पिछले पैराग्राफ में प्राप्त नियम मूल अंश के अंश और हर को इस घात तक बढ़ाने के लिए एक बीजीय अंश को एक घात तक बढ़ा देता है। और चूंकि मूल बीजीय अंश के अंश और हर बहुपद हैं (विशेष मामले में, एकपदी या संख्या), मूल कार्य बहुपद को एक शक्ति तक बढ़ाने के लिए कम हो जाता है। इस क्रिया को करने के बाद, एक नया बीजीय अंश प्राप्त होगा, जो मूल बीजगणितीय अंश की निर्दिष्ट शक्ति के समान होगा।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

एक बीजीय अंश का वर्ग करें।

फेसला।

चलो डिग्री लिखते हैं। अब हम एक बीजीय भिन्न को घात में बढ़ाने के नियम की ओर मुड़ते हैं, यह हमें समानता देता है . यह परिणामी भिन्न को एकपदी को घात में बढ़ाकर बीजीय भिन्न के रूप में परिवर्तित करना बाकी है। इसलिए .

आम तौर पर, जब एक बीजीय अंश को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो समाधान के पाठ्यक्रम की व्याख्या नहीं की जाती है, और समाधान संक्षेप में लिखा जाता है। हमारा उदाहरण रिकॉर्ड से मेल खाता है .

जवाब:

जब बहुपद, विशेष रूप से द्विपद, एक बीजीय अंश के अंश और / या हर में होते हैं, तो इसे एक घात तक बढ़ाते समय, संबंधित संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

उदाहरण।

एक बीजीय भिन्न उठाएँ दूसरी डिग्री तक।

फेसला।

भिन्न को घात में बढ़ाने के नियम से, हमारे पास है .

परिणामी व्यंजक को अंश में बदलने के लिए, हम उपयोग करते हैं अंतर चुकता सूत्र, और हर में - तीन पदों के योग के वर्ग का सूत्र:

जवाब:

अंत में, हम ध्यान दें कि यदि हम एक प्राकृतिक शक्ति के लिए एक इरेड्यूसिबल बीजीय अंश को बढ़ाते हैं, तो परिणाम भी एक अपरिवर्तनीय अंश होगा। यदि मूल अंश रद्द करने योग्य है, तो इसे एक शक्ति तक बढ़ाने से पहले, बीजीय अंश को कम करने की सलाह दी जाती है ताकि शक्ति बढ़ाने के बाद कमी न हो।

ग्रंथ सूची।

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किसी संख्या की घात के बारे में बातचीत को जारी रखते हुए, घात का मान ज्ञात करना तर्कसंगत है। इस प्रक्रिया को नाम दिया गया है घातांक. इस लेख में, हम केवल अध्ययन करेंगे कि घातांक कैसे किया जाता है, जबकि हम सभी संभावित घातांक - प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय पर स्पर्श करेंगे। और परंपरा से, हम संख्याओं को विभिन्न डिग्री तक बढ़ाने के उदाहरणों के समाधानों पर विस्तार से विचार करेंगे।

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"घातांक" का क्या अर्थ होता है?

आइए व्याख्या करके प्रारंभ करें कि घातांक किसे कहते हैं। यहाँ प्रासंगिक परिभाषा है।

परिभाषा।

घातांककिसी संख्या की घात का मान ज्ञात करना है।

इस प्रकार, घातांक r के साथ a की घात का मान ज्ञात करना और संख्या a को r के घात तक बढ़ाना एक ही बात है। उदाहरण के लिए, यदि कार्य "शक्ति (0.5) 5 के मूल्य की गणना" है, तो इसे निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है: "संख्या 0.5 को 5 की शक्ति तक बढ़ाएं"।

अब आप सीधे उन नियमों पर जा सकते हैं जिनके द्वारा घातांक किया जाता है।

एक संख्या को एक प्राकृतिक शक्ति में बढ़ाना

व्यवहार में, समानता के आधार पर आमतौर पर रूप में लागू किया जाता है। अर्थात्, संख्या a को भिन्नात्मक शक्ति m / n तक बढ़ाते समय, संख्या a से nth डिग्री की जड़ को पहले निकाला जाता है, जिसके बाद परिणाम को पूर्णांक घात m तक बढ़ा दिया जाता है।

भिन्नात्मक शक्ति को बढ़ाने के उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

डिग्री के मूल्य की गणना करें।

फेसला।

हम दो समाधान दिखाते हैं।

पहला तरीका। भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा के अनुसार। हम मूल के चिह्न के तहत डिग्री के मूल्य की गणना करते हैं, जिसके बाद हम निकालते हैं घनमूल: .

दूसरा तरीका। भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा और जड़ों के गुणों के आधार पर, समानताएं सत्य हैं . अब जड़ निकालें अंत में, हम एक पूर्णांक घात तक बढ़ाते हैं .

जाहिर है, एक भिन्नात्मक शक्ति को बढ़ाने के प्राप्त परिणाम मेल खाते हैं।

जवाब:

ध्यान दें कि भिन्नात्मक घातांक को दशमलव भिन्न या मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है, इन मामलों में इसे संबंधित साधारण भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर घातांक किया जाना चाहिए।

उदाहरण।

गणना (44.89) 2.5 ।

फेसला।

हम घातांक को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखते हैं (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें): . अब हम एक भिन्नात्मक शक्ति को बढ़ाने का कार्य करते हैं:

जवाब:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

यह भी कहा जाना चाहिए कि तर्कसंगत शक्तियों के लिए संख्या बढ़ाना एक श्रमसाध्य प्रक्रिया है (विशेषकर जब भिन्नात्मक घातांक के अंश और हर में पर्याप्त मात्रा में होते हैं बड़ी संख्या), जो आमतौर पर कंप्यूटर तकनीक का उपयोग करके किया जाता है।

इस अनुच्छेद के अंत में, हम संख्या शून्य से भिन्नात्मक घात के निर्माण पर ध्यान देंगे। हमने फॉर्म के शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को निम्नलिखित अर्थ दिया है: क्योंकि हमारे पास है , जबकि शून्य से घात m/n परिभाषित नहीं है। तो शून्य से सकारात्मक भिन्नात्मक शक्ति शून्य, उदाहरण के लिए, . और एक भिन्नात्मक नकारात्मक शक्ति में शून्य का कोई मतलब नहीं है, उदाहरण के लिए, भाव और 0 -4.3 का कोई मतलब नहीं है।

एक तर्कहीन शक्ति को बढ़ाना

कभी-कभी एक अपरिमेय घातांक के साथ किसी संख्या की घात का मान ज्ञात करना आवश्यक हो जाता है। इस मामले में, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, डिग्री के मूल्य को एक निश्चित संकेत तक प्राप्त करने के लिए आमतौर पर पर्याप्त होता है। हम तुरंत ध्यान दें कि इस मूल्य की गणना इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग तकनीक का उपयोग करके की जाती है, जब से बढ़ाकर ir तर्कसंगत डिग्रीमैन्युअल रूप से आवश्यकता है एक लंबी संख्याबोझिल गणना। हालांकि, हम वर्णन करेंगे आम तोर पेकार्रवाई का सार।

के साथ की शक्ति का अनुमानित मूल्य प्राप्त करने के लिए तर्कहीन संकेतक, घातांक का कुछ दशमलव सन्निकटन लिया जाता है, और घातांक के मान की गणना की जाती है। यह मान एक अपरिमेय घातांक के साथ संख्या a की डिग्री का अनुमानित मान है। किसी संख्या का जितना अधिक सटीक दशमलव सन्निकटन प्रारंभ में लिया जाता है, उतना ही अधिक सही मूल्यडिग्री अंत में प्राप्त की जाएगी।

एक उदाहरण के रूप में, आइए 2 1.174367... की शक्ति के अनुमानित मूल्य की गणना करें। आइए एक अपरिमेय संकेतक का निम्नलिखित दशमलव सन्निकटन लें: . अब हम 2 को 1.17 की तर्कसंगत शक्ति तक बढ़ाते हैं (हमने पिछले पैराग्राफ में इस प्रक्रिया का सार बताया है), हमें 2 1.17 2.250116 मिलता है। इस प्रकार, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . उदाहरण के लिए, यदि हम एक अपरिमेय घातांक का अधिक सटीक दशमलव सन्निकटन लेते हैं, तो हमें मूल डिग्री का अधिक सटीक मान प्राप्त होता है: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

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पाठ भिन्नों के गुणन के अधिक सामान्यीकृत संस्करण पर विचार करेगा - यह घातांक है। सबसे पहले, हम भिन्न की प्राकृतिक डिग्री और भिन्न के साथ समान क्रियाओं को प्रदर्शित करने वाले उदाहरणों के बारे में बात करेंगे। पाठ की शुरुआत में, हम पूर्णांक व्यंजकों की प्राकृतिक घात को बढ़ाने को भी दोहराएंगे और देखेंगे कि यह आगे के उदाहरणों को हल करने के लिए कैसे उपयोगी है।

विषय: बीजीय अंश। बीजीय भिन्नों पर अंकगणितीय संचालन

पाठ: बीजीय भिन्न को घात में बढ़ाना

1. प्रारंभिक उदाहरणों के साथ भिन्नों और पूर्णांक व्यंजकों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने के नियम

साधारण और बीजीय भिन्नों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने का नियम:

आप एक पूर्णांक अभिव्यक्ति की डिग्री के साथ एक सादृश्य बना सकते हैं और याद रख सकते हैं कि इसे एक शक्ति तक बढ़ाने का क्या मतलब है:

उदाहरण 1 .

जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, भिन्न को घात में बढ़ाना है विशेष मामलाभिन्नों का गुणन, जिसका अध्ययन पिछले पाठ में किया गया था।

उदाहरण 2. ए), बी) - माइनस चला जाता है, क्योंकि हमने एक्सप्रेशन को सम पावर तक बढ़ा दिया है।

डिग्री के साथ काम करने की सुविधा के लिए, हम एक प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाने के लिए बुनियादी नियमों को याद करते हैं:

- डिग्री का उत्पाद;

- डिग्री का विभाजन;

एक शक्ति के लिए एक डिग्री उठाना;

काम की डिग्री।

उदाहरण 3। - यह हमें "पूर्णांक अभिव्यक्तियों की शक्ति में वृद्धि" विषय के बाद से जाना जाता है, एक मामले को छोड़कर: यह अस्तित्व में नहीं है।

2. बीजीय भिन्नों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने के लिए सबसे सरल उदाहरण

उदाहरण 4. भिन्न को घात तक बढ़ाइए।

फेसला। जब एक सम घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो माइनस चला जाता है:

उदाहरण 5. भिन्न को घात तक बढ़ाइए।

फेसला। अब हम एक अलग कार्यक्रम के बिना तुरंत एक शक्ति को एक डिग्री बढ़ाने के लिए नियमों का उपयोग करते हैं:

अब उन संयुक्त कार्यों पर विचार करें जिनमें हमें भिन्नों को एक घात में बढ़ाने, और उन्हें गुणा करने और विभाजित करने की आवश्यकता होगी।

उदाहरण 6: क्रियाएँ करें।

फेसला। . अगला, आपको कम करने की आवश्यकता है। हम एक बार विस्तार से वर्णन करेंगे कि हम यह कैसे करेंगे, और फिर हम परिणाम को सादृश्य द्वारा तुरंत इंगित करेंगे:। इसी प्रकार (या डिग्रियों के विभाजन के नियम के अनुसार)। हमारे पास है: ।

उदाहरण 7: क्रियाएँ करें।

फेसला। . कमी पहले चर्चा किए गए उदाहरण के अनुरूप सादृश्य द्वारा की जाती है।

उदाहरण 8: क्रियाएँ करें।

फेसला। . पर यह उदाहरणहमने एक बार फिर इस पद्धति को समेकित करने के लिए भिन्नों में शक्तियों को कम करने की प्रक्रिया का अधिक विस्तार से वर्णन किया है।

3. बीजीय भिन्नों को प्राकृतिक घातों तक बढ़ाने के लिए अधिक जटिल उदाहरण (चिह्नों को ध्यान में रखते हुए और कोष्ठक में पदों के साथ)

उदाहरण 9: क्रियाएँ करें .

फेसला। इस उदाहरण में, हम पहले से ही भिन्नों के अलग-अलग गुणन को छोड़ देंगे, और तुरंत उनके गुणन के लिए नियम का उपयोग करेंगे और इसे एक हर के नीचे लिख देंगे। उसी समय, हम संकेतों का पालन करते हैं - इस मामले में, अंशों को समान शक्तियों तक बढ़ा दिया जाता है, इसलिए माइनस गायब हो जाते हैं। आइए अंत में एक कमी करें।

उदाहरण 10: क्रियाएँ करें .

फेसला। इस उदाहरण में, भिन्नों का विभाजन है, याद रखें कि इस मामले में पहले अंश को दूसरे से गुणा किया जाता है, लेकिन उल्टा।

विषय इस तथ्य पर उबलता है कि हमें समान अंशों को गुणा करने की आवश्यकता है। यह लेख आपको बताएगा कि बीजीय अंशों को प्राकृतिक शक्तियों तक सही ढंग से बढ़ाने के लिए आपको किस नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

बीजीय भिन्न को घात तक बढ़ाने का नियम, इसका प्रमाण

इससे पहले कि आप एक शक्ति को बढ़ाना शुरू करें, आपको एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री के बारे में एक लेख की मदद से अपने ज्ञान को गहरा करने की जरूरत है, जहां समान कारकों का एक उत्पाद है जो डिग्री के आधार पर हैं, और उनकी संख्या निर्धारित की जाती है संकेतक द्वारा। उदाहरण के लिए, संख्या 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8।

सत्ता में वृद्धि करते समय, हम अक्सर नियम का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, अंश और हर को अलग-अलग ऊपर उठाएं। उदाहरण 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 पर विचार करें। एक अंश को प्राकृतिक शक्ति में बढ़ाने के लिए नियम लागू होता है।

पर एक बीजीय अंश को एक प्राकृतिक शक्ति में बढ़ानाहमें एक नया मिलता है, जहां अंश के पास मूल भिन्न की डिग्री होती है, और हर के पास हर की डिग्री होती है। यह सभी रूप a b n = a n b n है, जहां a और b स्वेच्छिक बहुपद हैं, b शून्येतर है, और n एक प्राकृत संख्या है।

इस नियम का प्रमाण एक अंश के रूप में लिखा जाता है, जिसे एक प्राकृतिक संकेतक के साथ परिभाषा के आधार पर एक शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। तब हमें a b n = a b · a b · के रूप के भिन्नों का गुणन प्राप्त होता है। . . · ए बी = ए · ए ·। . . · ए बी · बी · . . . बी = ए एन बी एन

उदाहरण, समाधान

बीजीय अंश को घात तक बढ़ाने का नियम क्रमिक रूप से किया जाता है: पहले अंश, फिर हर। जब अंश और हर में एक बहुपद होता है, तो दिए गए बहुपद को घात तक बढ़ाने का कार्य स्वयं कम हो जाएगा। उसके बाद, एक नया अंश दर्शाया जाएगा, जो मूल अंश के बराबर है।

उदाहरण 1

भिन्न का वर्ग करना x 2 3 y z 3

फेसला

डिग्री x 2 3 · y · z 3 2 को ठीक करना आवश्यक है। बीजीय भिन्न को घात तक बढ़ाने के नियम के अनुसार, हम x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 के रूप की समानता प्राप्त करते हैं। अब परिणामी भिन्न को घातांक द्वारा बीजीय रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है। तब हमें रूप का व्यंजक प्राप्त होता है

x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

घातांक के सभी मामलों में विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए समाधान का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड होता है। यानी हमें वह मिलता है

x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6

जवाब: x 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6 ।

यदि अंश और हर में बहुपद हैं, तो पूरे अंश को एक शक्ति तक बढ़ाना आवश्यक है, और फिर इसे सरल बनाने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करें।

उदाहरण 2

भिन्न 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y का वर्ग करें।

फेसला

नियम से हमारे पास है कि

2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2

व्यंजक को परिवर्तित करने के लिए, आपको हर में तीन पदों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करना चाहिए, और अंश में - अंतर का वर्ग, जो व्यंजक को सरल करेगा। हम पाते हैं:

2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 x 2 3 x y + 2 x 2 (- y ) + 2 3 x y - y = = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

जवाब: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2

ध्यान दें कि एक भिन्न को बढ़ाते समय जिसे हम एक प्राकृतिक शक्ति में कम नहीं कर सकते हैं, हम एक इरेड्यूसबल अंश भी प्राप्त करते हैं। इससे आगे हल करना आसान नहीं होता है। जब किसी दिए गए अंश को कम किया जा सकता है, तो जब घातांक किया जाता है, तो हम पाते हैं कि घात को बढ़ाने के बाद कमी करने से बचने के लिए, बीजीय अंश की कमी करना आवश्यक है।

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हमने यह पता लगाया कि सामान्य तौर पर किसी संख्या की घात क्या होती है। अब हमें यह समझने की आवश्यकता है कि इसकी सही गणना कैसे करें, अर्थात। शक्तियों के लिए संख्या बढ़ाएँ। इस सामग्री में, हम एक पूर्णांक, प्राकृतिक, भिन्नात्मक, परिमेय और अपरिमेय घातांक के मामले में डिग्री की गणना के लिए बुनियादी नियमों का विश्लेषण करेंगे। सभी परिभाषाओं को उदाहरणों के साथ सचित्र किया जाएगा।

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घातांक की अवधारणा

आइए बुनियादी परिभाषाओं के निर्माण के साथ शुरू करें।

परिभाषा 1

घातांककिसी संख्या की शक्ति के मूल्य की गणना है।

अर्थात्, "डिग्री के मूल्य की गणना" और "घातांक" शब्दों का अर्थ एक ही है। इसलिए, यदि कार्य "संख्या 0 , 5 को पाँचवीं शक्ति तक बढ़ाएँ" है, तो इसे "शक्ति के मान की गणना (0 , 5) 5 के रूप में समझा जाना चाहिए।

अब हम बुनियादी नियम देते हैं जिनका ऐसी गणनाओं में पालन किया जाना चाहिए।

याद करें कि एक प्राकृतिक घातांक वाली संख्या की शक्ति क्या है। आधार a और घातांक n वाली घात के लिए, यह गुणनखंडों की nवीं संख्या का गुणनफल होगा, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

डिग्री के मूल्य की गणना करने के लिए, आपको गुणन के संचालन को करने की आवश्यकता है, अर्थात डिग्री के आधारों को निर्दिष्ट संख्या में गुणा करें। एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री की अवधारणा जल्दी से गुणा करने की क्षमता पर आधारित है। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 1

शर्त: उठाएँ - 2 को 4 के घात तक।

फेसला

ऊपर दी गई परिभाषा का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) । इसके बाद, हमें बस इन चरणों का पालन करने और 16 प्राप्त करने की आवश्यकता है।

आइए एक और अधिक जटिल उदाहरण लें।

उदाहरण 2

मान 3 2 7 2 . की गणना करें

फेसला

इस प्रविष्टि को 3 2 7 · 3 2 7 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। पहले हमने देखा कि कंडीशन में उल्लिखित मिश्रित संख्याओं को सही तरीके से कैसे गुणा किया जाए।

इन चरणों का पालन करें और उत्तर प्राप्त करें: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

यदि कार्य एक प्राकृतिक शक्ति के लिए अपरिमेय संख्याओं को बढ़ाने की आवश्यकता को इंगित करता है, तो हमें पहले उनके आधारों को एक अंक तक गोल करना होगा जो हमें वांछित सटीकता का उत्तर प्राप्त करने की अनुमति देगा। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 3

संख्या का वर्गीकरण करें।

फेसला

आइए पहले इसे सौवें तक गोल करें। तब 2 (3, 14) 2 = 9, 8596। अगर 3 . 14159, तब हमें अधिक सटीक परिणाम मिलेगा: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281।

ध्यान दें कि व्यवहार में अपरिमेय संख्याओं की शक्तियों की गणना करने की आवश्यकता अपेक्षाकृत कम ही उत्पन्न होती है। फिर हम उत्तर को स्वयं घात (ln 6) 3 के रूप में लिख सकते हैं या यदि संभव हो तो रूपांतरित कर सकते हैं: 5 7 = 125 5 ।

अलग से, यह इंगित किया जाना चाहिए कि किसी संख्या की पहली शक्ति क्या है। यहां आप केवल यह याद रख सकते हैं कि कोई भी संख्या जो पहली घात तक उठाई गई है, वही रहेगी:

यह रिकॉर्ड से स्पष्ट है। .

यह डिग्री के आधार पर निर्भर नहीं करता है।

उदाहरण 4

तो, (- 9) 1 = -9 , और 7 3 को पहली घात तक बढ़ाए जाने पर 7 3 के बराबर रहता है।

सुविधा के लिए, हम तीन मामलों का अलग-अलग विश्लेषण करेंगे: यदि घातांक एक धनात्मक पूर्णांक है, यदि यह शून्य है, और यदि यह एक ऋणात्मक पूर्णांक है।

पहले मामले में, यह प्राकृतिक शक्ति को बढ़ाने जैसा ही है: आखिरकार, सकारात्मक पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित होते हैं। हम पहले ही बता चुके हैं कि ऊपर इस तरह की डिग्री के साथ कैसे काम किया जाए।

अब देखते हैं कि शून्य शक्ति को ठीक से कैसे बढ़ाया जाए। गैर-शून्य आधार के साथ, यह गणना हमेशा 1 का आउटपुट उत्पन्न करती है। हम पहले बता चुके हैं कि a की 0वीं घात किसी के लिए भी परिभाषित की जा सकती है वास्तविक संख्या, 0 के बराबर नहीं है, और 0 = 1 है।

उदाहरण 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - परिभाषित नहीं।

हमारे पास केवल एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली घात का मामला बचा है। हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि ऐसी डिग्रियों को भिन्न 1 a z के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a कोई भी संख्या है, और z एक ऋणात्मक पूर्णांक है। हम देखते हैं कि इस भिन्न का हर और कुछ नहीं है साधारण डिग्रीएक धनात्मक पूर्णांक के साथ, और हम पहले ही सीख चुके हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है। आइए कार्यों के उदाहरण दें।

उदाहरण 6

3 से -2 की शक्ति बढ़ाएँ।

फेसला

ऊपर दी गई परिभाषा का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं: 2 - 3 = 1 2 3

हम इस भिन्न के हर की गणना करते हैं और 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8 प्राप्त करते हैं।

तो उत्तर है: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

उदाहरण 7

1, 43 को -2 शक्ति तक बढ़ाएँ।

फेसला

सुधारना: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

हम हर में वर्ग की गणना करते हैं: 1.43 1.43। दशमलव को इस तरह से गुणा किया जा सकता है:

परिणामस्वरूप, हमें (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449 प्राप्त हुआ। इस परिणाम को एक साधारण भिन्न के रूप में लिखना हमारे लिए शेष है, जिसके लिए इसे 10 हजार से गुणा करना आवश्यक है (अंशों के रूपांतरण पर सामग्री देखें)।

उत्तर: (1, 43) - 2 = 10000 20449

एक अलग मामला एक संख्या को घटाकर पहली शक्ति तक बढ़ा रहा है। ऐसी डिग्री का मान आधार के मूल मान के विपरीत संख्या के बराबर होता है: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a।

उदाहरण 8

उदाहरण: 3 - 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

किसी संख्या को भिन्नात्मक घात में कैसे बढ़ाएं

इस तरह के ऑपरेशन को करने के लिए, हमें एक अंश की मूल परिभाषा को एक भिन्नात्मक घातांक के साथ याद करने की आवश्यकता है: a m n \u003d a m n किसी भी सकारात्मक a, पूर्णांक m और प्राकृतिक n के लिए।

परिभाषा 2

इस प्रकार, भिन्नात्मक अंश की गणना दो चरणों में की जानी चाहिए: एक पूर्णांक घात तक बढ़ाना और nवीं डिग्री का मूल ज्ञात करना।

हमारे पास समानता a m n = a m n है, जिसका उपयोग मूल के गुणों को देखते हुए, आमतौर पर a m n = a n m के रूप में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। इसका मतलब यह है कि यदि हम संख्या a को भिन्नात्मक घात m / n तक बढ़ाते हैं, तो पहले हम nth डिग्री की जड़ को a से निकालते हैं, फिर हम परिणाम को पूर्णांक घातांक m के साथ घात तक बढ़ाते हैं।

आइए एक उदाहरण से समझाते हैं।

उदाहरण 9

8 - 2 3 की गणना करें।

फेसला

विधि 1. मूल परिभाषा के अनुसार, हम इसे इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

आइए अब मूल के नीचे की डिग्री की गणना करें और परिणाम से तीसरा मूल निकालें: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

विधि 2। आइए बुनियादी समानता को बदलें: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

उसके बाद, हम रूट 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 निकालते हैं और परिणाम का वर्ग करते हैं: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

हम देखते हैं कि समाधान समान हैं। आप अपनी पसंद का कोई भी तरीका इस्तेमाल कर सकते हैं।

ऐसे मामले हैं जब डिग्री में एक मिश्रित संख्या या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त संकेतक होता है। गणना में आसानी के लिए, इसे एक साधारण अंश से बदलना और ऊपर बताए अनुसार गिनना बेहतर है।

उदाहरण 10

44.89 को 2.5 के घात तक बढ़ाएँ।

फेसला

संकेतक के मान को में बदलें सामान्य अंश - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

और अब हम ऊपर बताए गए सभी कार्यों को क्रम में करते हैं: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

उत्तर: 13501, 25107।

यदि एक भिन्नात्मक घातांक के अंश और हर में बड़ी संख्याएँ हैं, तो ऐसे घातांकों की परिमेय घातांक के साथ गणना करना एक कठिन कार्य है। इसके लिए आमतौर पर कंप्यूटर तकनीक की आवश्यकता होती है।

अलग से, हम एक शून्य आधार और एक भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री पर ध्यान केंद्रित करते हैं। 0 m n के रूप का व्यंजक निम्नलिखित अर्थ दिया जा सकता है: यदि m n > 0, तो 0 m n = 0 m n = 0; अगर मैं नहीं< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

किसी संख्या को अपरिमेय शक्ति में कैसे बढ़ाया जाए

डिग्री के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता, जिसके संकेतक में एक अपरिमेय संख्या है, इतनी बार उत्पन्न नहीं होती है। व्यवहार में, कार्य आमतौर पर अनुमानित मूल्य (दशमलव स्थानों की एक निश्चित संख्या तक) की गणना करने तक सीमित होता है। यह आमतौर पर ऐसी गणनाओं की जटिलता के कारण कंप्यूटर पर गणना की जाती है, इसलिए हम इस पर विस्तार से ध्यान नहीं देंगे, हम केवल मुख्य प्रावधानों का संकेत देंगे।

यदि हमें एक अपरिमेय घातांक a के साथ घात a के मान की गणना करने की आवश्यकता है, तो हम घातांक का दशमलव सन्निकटन लेते हैं और उसमें से गिनते हैं। परिणाम एक अनुमानित उत्तर होगा। दशमलव सन्निकटन जितना सटीक होगा, उत्तर उतना ही सटीक होगा। आइए एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं:

उदाहरण 11

21, 174367 के अनुमानित मान की गणना करें ....

फेसला

हम स्वयं को दशमलव सन्निकटन a n = 1, 17 तक सीमित रखते हैं। आइए इस संख्या का उपयोग करके गणना करें: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 । यदि हम, उदाहरण के लिए, सन्निकटन a n = 1, 1743 लेते हैं, तो उत्तर थोड़ा अधिक सटीक होगा: 2 1 , 174367। . . 2 1 . 1743 2 . 256833 .