भिन्न हर सूत्र के साथ भिन्नों का घटाव। भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाएं

अगली क्रिया जो साधारण भिन्नों के साथ की जा सकती है वह है घटाव। इस सामग्री के भाग के रूप में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि समान और भिन्न हर वाले भिन्नों के बीच के अंतर की सही गणना कैसे करें, किसी प्राकृतिक संख्या से भिन्न को कैसे घटाएं और इसके विपरीत। सभी उदाहरणों को कार्यों के साथ चित्रित किया जाएगा। आइए हम पहले से स्पष्ट कर दें कि हम केवल उन मामलों का विश्लेषण करेंगे जहां भिन्नों का अंतर सकारात्मक संख्या में परिणत होता है।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

समान हर वाली भिन्नों के बीच अंतर कैसे ज्ञात करें

आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत शुरू करें: मान लें कि हमारे पास एक सेब है जिसे आठ भागों में विभाजित किया गया है। पांच भाग प्लेट में रख कर दो भाग लेते हैं. इस क्रिया को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

हम 3 आठवें के साथ समाप्त करते हैं क्योंकि 5 - 2 = 3। यह पता चला है कि 5 8 - 2 8 = 3 8।

इस सरल उदाहरण के साथ, हमने ठीक से देखा है कि समान हर वाले भिन्नों के लिए घटाव नियम कैसे काम करता है। आइए इसे तैयार करें।

परिभाषा 1

समान हर वाले भिन्नों के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए, आपको एक के अंश को दूसरे के अंश से घटाना होगा, और हर को वही छोड़ देना होगा। इस नियम को a b - c b = a - c b के रूप में लिखा जा सकता है।

हम इस सूत्र का प्रयोग निम्नलिखित में करेंगे।

आइए विशिष्ट उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1

भिन्न 24 15 से सामान्य भिन्न 17 15 घटाएं।

फेसला

हम देखते हैं कि इन भिन्नों के हर समान हैं। तो हमें बस इतना करना है कि 24 में से 17 घटाना है। हम 7 प्राप्त करते हैं और इसमें एक हर जोड़ते हैं, हमें 7 15 मिलता है।

हमारी गणना इस तरह लिखी जा सकती है: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

यदि आवश्यक हो, तो आप एक जटिल अंश को कम कर सकते हैं या पूरे भाग को एक अनुचित से अलग कर सकते हैं ताकि इसे गिनना अधिक सुविधाजनक हो सके।

उदाहरण 2

37 12 - 15 12 का अंतर ज्ञात कीजिए।

फेसला

आइए ऊपर वर्णित सूत्र का उपयोग करें और गणना करें: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

यह देखना आसान है कि अंश और हर को 2 से विभाजित किया जा सकता है (हमने इस बारे में पहले ही बात की थी जब हमने विभाज्यता के संकेतों का विश्लेषण किया था)। उत्तर को कम करने पर हमें 11 6 प्राप्त होते हैं। यह एक अनुचित अंश है, जिसमें से हम पूरे भाग का चयन करेंगे: 11 6 \u003d 1 5 6।

भिन्न हर वाले भिन्नों के बीच अंतर कैसे ज्ञात करें

इस तरह की गणितीय संक्रिया को कम करके हम ऊपर वर्णित कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, बस वांछित भिन्नों को समान हर में लाएं। आइए परिभाषा तैयार करें:

परिभाषा 2

भिन्न हर वाले भिन्नों के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें एक ही हर में लाना होगा और अंशों के बीच का अंतर ज्ञात करना होगा।

आइए एक उदाहरण देखें कि यह कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3

2 9 में से 1 15 घटाएं।

फेसला

हर अलग हैं, और आपको उन्हें सबसे छोटे सामान्य मूल्य तक कम करने की आवश्यकता है। इस मामले में, एलसीएम 45 है। पहले अंश के लिए, 5 के अतिरिक्त गुणक की आवश्यकता होती है, और दूसरे के लिए - 3।

आइए गणना करें: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

हमें एक ही हर के साथ दो भिन्न मिलते हैं, और अब हम पहले वर्णित एल्गोरिथम का उपयोग करके उनके अंतर को आसानी से पा सकते हैं: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

समाधान का एक संक्षिप्त रिकॉर्ड इस तरह दिखता है: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45।

यदि आवश्यक हो तो परिणाम में कमी या उसके पूरे भाग के चयन की उपेक्षा न करें। इस उदाहरण में, हमें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 4

19 9 - 7 36 का अंतर ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम स्थिति में दर्शाई गई भिन्नों को निम्नतम उभयनिष्ठ हर 36 में लाते हैं और क्रमशः 76 9 और 7 36 प्राप्त करते हैं।

हम उत्तर पर विचार करते हैं: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

परिणाम को 3 से घटाकर 23 12 प्राप्त किया जा सकता है। अंश हर से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि हम पूरे भाग को निकाल सकते हैं। अंतिम उत्तर 1 11 12 है।

संपूर्ण समाधान का सारांश 19 9 - 7 36 = 1 11 12 है।

सामान्य भिन्न में से प्राकृत संख्या कैसे घटाएं

इस तरह की क्रिया को साधारण अंशों के साधारण घटाव में भी आसानी से कम किया जा सकता है। यह एक प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करके किया जा सकता है। आइए एक उदाहरण दिखाते हैं।

उदाहरण 5

अंतर ज्ञात कीजिए 83 21 - 3।

फेसला

3 3 1 के समान है। फिर आप इस तरह से गणना कर सकते हैं: 83 21 - 3 \u003d 20 21।

यदि स्थिति में एक पूर्णांक को एक अनुचित अंश से घटाना आवश्यक है, तो पहले इसे एक मिश्रित संख्या के रूप में लिखकर पूर्णांक को निकालना अधिक सुविधाजनक है। फिर पिछले उदाहरण को अलग तरीके से हल किया जा सकता है।

अंश 83 21 से, जब आप पूर्णांक भाग का चयन करते हैं, तो आपको 83 21 \u003d 3 20 21 मिलता है।

अब इसमें से केवल 3 घटाएं: 3 20 21 - 3 = 20 21।

प्राकृत संख्या से भिन्न कैसे घटाएं

यह क्रिया पिछले एक के समान ही की जाती है: हम एक प्राकृतिक संख्या को एक अंश के रूप में फिर से लिखते हैं, दोनों को एक सामान्य हर में लाते हैं और अंतर पाते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 6

अंतर ज्ञात कीजिए: 7 - 5 3 ।

फेसला

आइए 7 को भिन्न 7 1 बनाते हैं। हम घटाव करते हैं और अंतिम परिणाम को बदलते हैं, इसमें से पूर्णांक भाग निकालते हैं: 7 - 5 3 = 5 1 3 ।

गणना करने का एक और तरीका है। इसके कुछ फायदे हैं जिनका उपयोग उन मामलों में किया जा सकता है जहां समस्या में अंशों के अंश और हर बड़ी संख्या में होते हैं।

परिभाषा 3

यदि घटाई जाने वाली भिन्न सही है, तो जिस प्राकृत संख्या को हम घटा रहे हैं, उसे दो संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, जिनमें से एक 1 के बराबर है। उसके बाद, आपको वांछित अंश को एकता से घटाना होगा और उत्तर प्राप्त करना होगा।

उदाहरण 7

अंतर की गणना करें 1 065 - 13 62।

फेसला

घटाई जाने वाली भिन्न सही है, क्योंकि इसका अंश हर से छोटा होता है। इसलिए, हमें 1065 में से एक को घटाना होगा और उसमें से वांछित अंश घटाना होगा: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

अब हमें इसका उत्तर खोजने की जरूरत है। घटाव के गुणों का उपयोग करते हुए, परिणामी व्यंजक को 1064 + 1 - 13 62 के रूप में लिखा जा सकता है। आइए कोष्ठक में अंतर की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम इकाई को भिन्न 1 1 के रूप में निरूपित करते हैं।

यह पता चला है कि 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62।

अब आइए 1064 के बारे में याद करें और उत्तर तैयार करें: 1064 49 62।

हम यह साबित करने के लिए पुराने तरीके का उपयोग करते हैं कि यह कम सुविधाजनक है। यहां वे गणनाएं हैं जो हमें मिलेंगी:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

उत्तर वही है, लेकिन गणना स्पष्ट रूप से अधिक बोझिल है।

हमने उस स्थिति पर विचार किया जब आपको सही भिन्न को घटाना है। यदि यह गलत है, तो हम इसे मिश्रित संख्या से बदल देते हैं और परिचित नियमों के अनुसार घटा देते हैं।

उदाहरण 8

अंतर की गणना करें 644 - 73 5 ।

फेसला

दूसरा अंश अनुचित है, और पूरे भाग को इससे अलग किया जाना चाहिए।

अब हम पिछले उदाहरण की तरह ही गणना करते हैं: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

अंशों के साथ काम करते समय घटाव गुण

प्राकृतिक संख्याओं के घटाव के गुण साधारण भिन्नों को घटाने के मामलों पर भी लागू होते हैं। आइए देखें कि उदाहरणों को हल करते समय उनका उपयोग कैसे करें।

उदाहरण 9

24 4 - 3 2 - 5 6 का अंतर ज्ञात कीजिए।

फेसला

जब हम किसी संख्या से योग के घटाव का विश्लेषण करते हैं तो हम पहले से ही इसी तरह के उदाहरणों को हल कर चुके होते हैं, इसलिए हम पहले से ज्ञात एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं। सबसे पहले, हम अंतर 25 4 - 3 2 की गणना करते हैं, और फिर उसमें से अंतिम अंश घटाते हैं:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

आइए इसका पूर्णांक भाग निकालकर उत्तर को रूपांतरित करें। परिणाम 3 11 12 है।

संपूर्ण समाधान का संक्षिप्त सारांश:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

यदि व्यंजक में भिन्न और प्राकृत संख्या दोनों हैं, तो गणना करते समय उन्हें प्रकारों के आधार पर समूहित करने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 10

98 + 17 20 - 5 + 3 5 का अंतर ज्ञात कीजिए।

फेसला

घटाव और जोड़ के मूल गुणों को जानने के बाद, हम संख्याओं को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

आइए गणना पूरी करें: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

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भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को समझना एक बच्चे के लिए कठिन होता है। ज्यादातर लोगों को दिक्कत होती है। "पूर्णांक के साथ भिन्नों का जोड़" विषय का अध्ययन करते समय, बच्चा स्तब्ध हो जाता है, जिससे कार्य को हल करना मुश्किल हो जाता है। कई उदाहरणों में, किसी क्रिया को करने से पहले गणनाओं की एक श्रृंखला की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, भिन्नों को परिवर्तित करें या अनुचित भिन्न को उचित भिन्न में बदलें।

बच्चे को स्पष्ट रूप से समझाएं। तीन सेब लें, जिनमें से दो पूरे होंगे, और तीसरे को 4 भागों में काटा जाएगा। कटे हुए सेब से एक टुकड़ा अलग करें, और शेष तीन को दो साबुत फलों के बगल में रख दें। हमें एक तरफ सेब और दूसरी तरफ 2 मिलते हैं। अगर हम उन्हें मिला दें, तो हमें तीन पूरे सेब मिलते हैं। आइए 2 सेब को ¼ से कम करने का प्रयास करें, यानी, एक और टुकड़ा हटा दें, हमें 2 2/4 सेब मिलते हैं।

आइए भिन्नों वाली क्रियाओं पर करीब से नज़र डालें, जिनमें पूर्णांक शामिल हैं:

सबसे पहले, आइए एक सामान्य हर के साथ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के लिए गणना नियम को याद करें:

पहली नज़र में, सब कुछ आसान और सरल है। लेकिन यह केवल उन अभिव्यक्तियों पर लागू होता है जिन्हें रूपांतरण की आवश्यकता नहीं होती है।

एक व्यंजक का मान कैसे ज्ञात करें जहाँ हर भिन्न हो

कुछ कार्यों में, एक व्यंजक का मान ज्ञात करना आवश्यक होता है जहाँ हर भिन्न हो। एक विशिष्ट मामले पर विचार करें:
3 2/7+6 1/3

इस व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए, इसके लिए हम दो भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर पाते हैं।

संख्या 7 और 3 के लिए, यह 21 है। हम पूर्णांक भागों को समान छोड़ देते हैं, और भिन्नात्मक भागों को घटाकर 21 कर देते हैं, इसके लिए हम पहली भिन्न को 3 से गुणा करते हैं, दूसरे को 7 से, हमें प्राप्त होता है:
6/21+7/21, यह मत भूलो कि पूरे हिस्से रूपांतरण के अधीन नहीं हैं। नतीजतन, हम एक भाजक के साथ दो अंश प्राप्त करते हैं और उनके योग की गणना करते हैं:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
क्या होगा यदि जोड़ का परिणाम एक अनुचित अंश है जिसमें पहले से ही एक पूर्णांक भाग है:
2 1/3+3 2/3
इस मामले में, हम पूर्णांक भागों और भिन्नात्मक भागों को जोड़ते हैं, हमें मिलता है:
5 3/3, जैसा कि आप जानते हैं, 3/3 एक है, इसलिए 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

योग खोजने के साथ, सब कुछ स्पष्ट है, आइए घटाव का विश्लेषण करें:

जो कुछ कहा गया है, उससे मिश्रित संख्याओं पर संचालन का नियम इस प्रकार है, जो इस तरह लगता है:

• यदि भिन्नात्मक व्यंजक से किसी पूर्णांक को घटाना आवश्यक हो, तो दूसरी संख्या को भिन्न के रूप में निरूपित करना आवश्यक नहीं है, यह केवल पूर्णांक भागों पर कार्य करने के लिए पर्याप्त है।

आइए भावों के मूल्य की गणना स्वयं करने का प्रयास करें:

आइए "एम" अक्षर के तहत उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

4 5/11-2 8/11, पहली भिन्न का अंश दूसरे से छोटा है। ऐसा करने के लिए, हम पहले भिन्न से एक पूर्णांक लेते हैं, हमें प्राप्त होता है,
3 5/11+11/11=3 पूरे 16/11, पहले अंश से दूसरा घटाएं:
3 16/11-2 8/11=1 संपूर्ण 8/11

• कार्य पूरा करते समय सावधान रहें, अनुचित अंशों को मिश्रित अंशों में परिवर्तित करना न भूलें, पूरे भाग को हाइलाइट करें। ऐसा करने के लिए, अंश के मूल्य को भाजक के मूल्य से विभाजित करना आवश्यक है, जो हुआ, वह पूर्णांक भाग की जगह लेता है, शेष अंश होगा, उदाहरण के लिए:

19/4=4 , जाँच करें: 4*4+3=19, हर में 4 अपरिवर्तित रहता है।

संक्षेप:

भिन्नों से संबंधित कार्य के साथ आगे बढ़ने से पहले, यह विश्लेषण करना आवश्यक है कि यह किस प्रकार की अभिव्यक्ति है, समाधान के सही होने के लिए अंश पर कौन से परिवर्तन करने की आवश्यकता है। अधिक तर्कसंगत समाधान खोजें। कठिन रास्ते पर मत जाओ। सभी कार्यों की योजना बनाएं, पहले ड्राफ्ट संस्करण में निर्णय लें, फिर स्कूल नोटबुक में स्थानांतरित करें।

भिन्नात्मक व्यंजकों को हल करते समय भ्रम से बचने के लिए अनुक्रम नियम का पालन करना आवश्यक है। बिना जल्दबाजी के सब कुछ सावधानी से तय करें।

टिप्पणी!अंतिम उत्तर लिखने से पहले, देखें कि क्या आप प्राप्त अंश को कम कर सकते हैं।

समान हर वाले भिन्नों का घटाव उदाहरण:

,

,

एक से उचित भिन्न घटाना।

यदि इकाई से एक भिन्न को घटाना आवश्यक है जो सही है, तो इकाई को एक अनुचित भिन्न के रूप में परिवर्तित किया जाता है, इसका हर घटाए गए भिन्न के हर के बराबर होता है।

एक से उचित भिन्न को घटाने का एक उदाहरण:

घटाई जाने वाली भिन्न का हर = 7 , अर्थात्, हम इकाई को एक अनुचित भिन्न 7/7 के रूप में निरूपित करते हैं और समान हर वाले भिन्नों को घटाने के नियम के अनुसार घटाते हैं।

एक पूर्ण संख्या से एक उचित अंश घटाना।

भिन्नों को घटाने के नियम -पूर्णांक से सही (प्राकृतिक संख्या):

• हम दिए गए भिन्नों का अनुवाद करते हैं, जिनमें एक पूर्णांक भाग होता है, अनुचित अंशों में। हमें सामान्य शब्द मिलते हैं (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनके अलग-अलग हर हैं), जिन्हें हम ऊपर दिए गए नियमों के अनुसार मानते हैं;
• इसके बाद, हम प्राप्त अंशों के अंतर की गणना करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें लगभग उत्तर मिल जाएगा;
• हम व्युत्क्रम परिवर्तन करते हैं, अर्थात, हम अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं - हम अंश में पूर्णांक भाग का चयन करते हैं।

एक पूर्ण संख्या में से एक उचित भिन्न घटाना: हम एक प्राकृत संख्या को मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करते हैं। वे। हम एक इकाई को एक प्राकृत संख्या में लेते हैं और इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में अनुवादित करते हैं, भाजक घटाए गए भिन्न के समान होता है।

अंश घटाव उदाहरण:

उदाहरण में, हमने इकाई को अनुचित अंश 7/7 से बदल दिया और 3 के बजाय हमने एक मिश्रित संख्या लिखी और भिन्नात्मक भाग से एक अंश घटाया।

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, भिन्न भिन्नों का घटाव.

भिन्न हरों से भिन्नों को घटाने का नियम।भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, पहले इन भिन्नों को सबसे कम सामान्य हर (LCD) में लाना आवश्यक है, और उसके बाद ही समान हर वाले भिन्नों के साथ घटाना आवश्यक है।

अनेक भिन्नों का उभयनिष्ठ हर है एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक)प्राकृतिक संख्याएँ जो दी गई भिन्नों के हर हैं।

ध्यान!यदि अंतिम भिन्न में अंश और हर के समान गुणनखंड हों, तो भिन्न को घटाया जाना चाहिए। एक अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में सर्वोत्तम रूप से दर्शाया जाता है। जहाँ संभव हो वहाँ अंश को कम किए बिना घटाव के परिणाम को छोड़ना उदाहरण का अधूरा समाधान है!

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने की प्रक्रिया।

• सभी हरों के लिए एलसीएम खोजें;
• सभी भिन्नों के लिए अतिरिक्त गुणक लगाएं;
• सभी अंशों को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें;
• हम परिणामी उत्पादों को अंश में लिखते हैं, सभी अंशों के तहत एक सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करते हैं;
• भिन्नों के अंशों को घटाएं, अंतर के तहत आम भाजक पर हस्ताक्षर करें।

इसी प्रकार अंश में अक्षरों की उपस्थिति में भिन्नों का जोड़ और घटाव किया जाता है।

भिन्नों का घटाव, उदाहरण:

मिश्रित अंशों का घटाव।

पर मिश्रित भिन्नों का घटाव (संख्या)अलग से, पूर्णांक भाग को पूर्णांक भाग से घटाया जाता है, और भिन्नात्मक भाग को भिन्नात्मक भाग से घटाया जाता है।

पहला विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

यदि भिन्नात्मक भाग वहीअंश के भिन्नात्मक भाग के हर और अंश (हम इसे घटाते हैं) सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग का अंश (हम इसे घटाते हैं)।

उदाहरण के लिए:

दूसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

जब भिन्नात्मक भाग विभिन्नहर आरंभ करने के लिए, हम भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, और उसके बाद हम पूर्णांक भाग को पूर्णांक से और भिन्न को भिन्नात्मक से घटाते हैं।

उदाहरण के लिए:

तीसरा विकल्प मिश्रित भिन्नों को घटाना है।

मिन्यूएंड का फ्रैक्शनल पार्ट सबट्रेंड के फ्रैक्शनल पार्ट से कम होता है।

उदाहरण:

क्योंकि भिन्नात्मक भागों में अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है, दूसरे विकल्प की तरह, हम पहले सामान्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं।

मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग का अंश सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग के अंश से कम होता है।3 < 14. इसलिए, हम पूर्णांक भाग से एक इकाई लेते हैं और इस इकाई को समान हर और अंश के साथ एक अनुचित भिन्न के रूप में कम करते हैं = 18.

अंश में दाईं ओर से हम अंशों का योग लिखते हैं, फिर हम अंश में दाईं ओर से कोष्ठक खोलते हैं, अर्थात हम सब कुछ गुणा करते हैं और समान देते हैं। हम हर में कोष्ठक नहीं खोलते हैं। उत्पाद को हर में छोड़ने की प्रथा है। हम पाते हैं:

इस पाठ में, हम समान हर वाले बीजीय भिन्नों के जोड़ और घटाव पर विचार करेंगे। हम पहले से ही जानते हैं कि समान भाजक के साथ सामान्य अंशों को कैसे जोड़ना और घटाना है। यह पता चला है कि बीजीय अंश समान नियमों का पालन करते हैं। समान हर के साथ भिन्नों के साथ काम करने की क्षमता बीजीय भिन्नों के साथ काम करने के नियमों को सीखने में एक आधारशिला है। विशेष रूप से, इस विषय को समझने से अधिक जटिल विषय में महारत हासिल करना आसान हो जाएगा - भिन्न हर के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। पाठ के भाग के रूप में, हम एक ही हर के साथ बीजीय अंशों को जोड़ने और घटाने के नियमों का अध्ययन करेंगे, साथ ही कई विशिष्ट उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे।

समान हर वाले बीजीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने का नियम

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-and-che-dro-bey with one-on-to-you - mi-know-on-te-la-mi (यह साधारण-लेकिन-ven-nyh-dr-bay के लिए एना-लॉजिक राइट-ऑफ-थंब के साथ को-पा-हां-एट है): यह इसके अतिरिक्त के लिए है या आप-ची-ता-निया अल-गेब-रा-और-चे-ड्रो-बे के साथ वन-टू-यू-मी-नो-मी-ऑन-ते-ला-मी आवश्यक है -हो-दी-मो के साथ -से-से-वीट-स्टू-यू-थ अल-गेब-रा-ए-चे-योग की संख्या-ली-ते-लेई, और साइन-मी-ऑन-टेल बिना iz-me- नहीं-नी।

हम इस राइट-वी-लो का विश्लेषण साधारण-लेकिन-नस-शॉट-बीट्स के उदाहरण पर और अल-गेब-रा-एंड-चे-ड्रोबे के उदाहरण पर करेंगे।

साधारण भिन्नों के लिए नियम लागू करने के उदाहरण

उदाहरण 1. भिन्न जोड़ें:।

फेसला

चलो संख्या जोड़ते हैं-चाहे वे-चाहे ड्रॉ-बीट, और चलो साइन-मी-ऑन-टेल को वही छोड़ दें। उसके बाद, हम अंक-ली-टेल और साइन-मी-ऑन-टेल को साधारण गुणकों और सो-क्र-टिम में विभाजित करते हैं। चलिये उसे लेते हैं: .

नोट: मानक त्रुटि, मैं एक अच्छे प्रकार के उदाहरण में हल करते समय कुछ शुरू करूंगा, के लिए -की-चा-एट-सिया निम्नलिखित-डु-यू-श-सो-सो-बी-सो-शी-टियन में : . यह एक घोर गलती है, क्योंकि साइन-ऑन-टेल वही रहता है जो मूल अंशों में था।

उदाहरण 2. भिन्न जोड़ें:।

फेसला

यह ज़ा-दा-चा पिछले एक से-चाहे-चा-एट-स्या से कुछ भी नहीं है:।

बीजीय भिन्नों के लिए नियम लागू करने के उदाहरण

सामान्य-लेकिन-नस-नाह ड्रो-बे प्रति-रे-डेम से अल-गेब-रा-ए-चे-स्किम तक।

उदाहरण 3. भिन्न जोड़ें:।

समाधान: जैसा कि पहले ही ऊपर कहा जा चुका है, अल-गेब-रा-और-चे-ड्रो-बे का जोड़ झे-निया से आम तौर पर-लेकिन-नस-निह ड्रो-बे से-इस-चा-इस-स्या से कुछ भी नहीं है। इसलिए, समाधान विधि समान है:।

उदाहरण 4. यू-ऑनर फ्रैक्शंस:।

फेसला

आप-ची-ता-नी अल-गेब-रा-और-चे-ड्रो-बे से-चाहे-चा-एट-सिया जटिलता से केवल इस तथ्य से कि पी-सी-वा-एट-सया की संख्या में ली-ते-लेई की संख्या में अंतर-रन-निह-ड्रो-बे है। इसलिए ।

उदाहरण 5. आप-सम्मान अंश:।

फेसला: ।

उदाहरण 6. सरल कीजिए:।

फेसला: ।

कमी के बाद नियम लागू करने के उदाहरण

एक अंश में, कोई-स्वर्ग फिर-जुल-ता-उन जोड़ में है या तुम-ची-ता-निया, सह-सुंदरता से निया संभव है। इसके अलावा, आपको ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey के बारे में नहीं भूलना चाहिए।

उदाहरण 7. सरल करें:।

फेसला: ।

वहीं। सामान्य तौर पर, यदि आउट-ऑफ-हॉट-ड्रो-बे उल्लू-पा-हां-एट का ओडीजेड टोटल-गो-हॉवेल के ओडीजेड के साथ है, तो आप इसे इंगित नहीं कर सकते (आखिरकार, एक अंश, एक में लू-चेन्नया इन फ्रॉम-वे-वो, भी सह-से-पशु चिकित्सक-स्टू-यू-एस-जानने-चे-नो-याह-रे-मेन-निह के साथ मौजूद नहीं होगा)। लेकिन अगर ODZ रनिंग ड्रो-बे का स्रोत है और फ्रॉम-वे-जो सह-पा-हां-एट नहीं करता है, तो ODZ ज़रूरत-हो-दी-मो को इंगित करता है।

उदाहरण 8. सरल कीजिए:।

फेसला: । उसी समय, y (आउटगोइंग ड्रॉ-बे का ODZ, re-zul-ta-ta के ODZ के साथ मेल नहीं खाता)।

विभिन्न हरों के साथ साधारण भिन्नों का जोड़ और घटाव

स्टोर करने के लिए और आप-ची-तात अल-गेब-रा-और-चे-अंश अलग-अलग-हम-जान-मी-ऑन-ते-ला-मी, प्रो-वे-डेम एना-लो-ग्यू सामान्य से- but-ven-ny-mi dro-bya-mi और re-re-not-sem इसे अल-गेब-रा-और-चे-अंशों में।

रास-साधारण शिरापरक शॉट्स के लिए सबसे सरल उदाहरण देखें।

उदाहरण 1।अंश जोड़ें:।

फेसला:

आइए याद करें राइट-वी-लो-स्लो-ड्रो-बे। ना-चा-ला अंशों के लिए, सामान्य साइन-मी-टू-ते-लू में-वे-स्टि जोड़ना आवश्यक है। साधारण-लेकिन-नस-ड्रा-बीट्स के लिए एक सामान्य साइन-मी-ऑन-ते-ला की भूमिका में, आप-स्टू-पा-एट आम एकाधिक(एनओके) संकेतों का स्रोत-मी-ऑन-द-लेई।

परिभाषा

सबसे छोटा-गर्दन-से-तू-राल-संख्या, कोई-झुंड एक ही समय में संख्याओं में और।

एनओसी को खोजने के लिए, आपको साधारण मल्टीप्लायरों में जानना होगा कि क्या आपको पता है, और फिर सब कुछ प्रो लेना चुनना है- कई हैं, कई हैं, उनमें से कुछ दोनों के बीच अंतर में शामिल हैं साइन्स-मी-ऑन-द-लेई।

; . फिर संख्याओं के एलसीएम में दो दो और दो तीन शामिल होने चाहिए:।

सामान्य साइन-ऑन-ते-ला खोजने के बाद, प्रत्येक ड्रो-बे के लिए एक अतिरिक्त मल्टी-ज़ी-टेल (फक-टी-चे-स्की, एक सामान्य साइन-मी- ऑन-टेल ऑन साइन-मी-ऑन-टेल को-से-रेप-टू-वें-वें अंश)।

फिर, प्रत्येक अंश को अर्ध-चेन-एन से-आधा-नो-टेल-नी गुणक से गुणा किया जाता है। पिछले पाठों में अध्ययन किए गए समान-पर-आप-मुझे-ऑन-ते-ला-मील, गोदामों और आप-ची-तात वाले अंश - का अध्ययन किया गया है।

बाय-लू-चा-ईट: .

जवाब:.

रास-लुक-रिम अब अल-गेब-रा-और-चे-ड्रो-बे की तह अलग-अलग संकेतों के साथ-मी-ऑन-ते-ला-मील। स्लीप-चा-ला, हम-अंशों को देखते हैं, मुझे-पर-द-क्या उनमें से कुछ हैं-ला-युत-स्या नंबर-ला-मील।

विभिन्न हरों के साथ बीजीय भिन्नों का जोड़ और घटाव

उदाहरण 2।अंश जोड़ें:।

फेसला:

अल-गो-रिदम ऑफ़ री-शी-निया अब-सो-ल्युट-लेकिन एना-लो-गि-चेन पिछला-डु-शे-म्यू पी-मी-आरयू। दिए गए भिन्नों पर एक सामान्य हर लेना आसान है: और उनमें से प्रत्येक के लिए पूर्ण गुणक जोड़ें।

.

जवाब:.

तो, sfor-mu-li-ru-em जटिलता की अल-गो-लय और आप-ची-ता-निया अल-गेब-रा-और-चे-ड्रो-बीट्स अलग-अलग-हम-जान-मी-ऑन-ते-ला-मील के साथ:

1. सबसे छोटा सामान्य साइन-मी-ऑन-टेली ड्रॉ-बे खोजें।

2. ड्रॉ-बे भिन्नों में से प्रत्येक के लिए अतिरिक्त गुणक खोजें)।

3. करो-गुणा-लाइव नंबर-चाहे-द-को-ओट-वेट-स्टू-यू-एस-अप टू-हाफ-नो-टेल-नी-मल्टीपल-वो पर।

4. ऐड-टू-लाइव या यू-ऑनर फ्रैक्शंस, फोल्ड के राइट-वाई-ला-मील और वन-टू-यू-नो-मी-ऑन- के साथ यू-ची-ता-निया ड्रॉ-बे का उपयोग करें। ते-ला-मील।

रास-लुक-रिम अब ड्रो-ब्या-मी के साथ एक उदाहरण है, मुझे पता है-पर-ले-वहां-हैं-वहां हैं-वहां हैं-बीच-वेन-ने यू-आरए-समान - टी.आई.

भिन्न साधारण संख्याएँ हैं, इन्हें जोड़ा और घटाया भी जा सकता है। लेकिन इस तथ्य के कारण कि उनके पास एक भाजक है, यहां पूर्णांकों की तुलना में अधिक जटिल नियमों की आवश्यकता है।

सबसे सरल मामले पर विचार करें, जब एक ही हर के साथ दो भिन्न हों। फिर:

समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए, उनके अंश जोड़ें और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

समान हर के साथ अंशों को घटाने के लिए, पहले अंश के अंश से दूसरे के अंश को घटाना आवश्यक है, और फिर से हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

प्रत्येक व्यंजक में भिन्नों के हर बराबर होते हैं। भिन्नों के जोड़ और घटाव की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी जटिल नहीं है: बस अंशों को जोड़ें या घटाएं - और बस।

लेकिन इस तरह के साधारण कार्यों में भी लोग गलती करने में सफल हो जाते हैं। बहुधा वे यह भूल जाते हैं कि भाजक नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, उन्हें जोड़ते समय, वे भी जोड़ना शुरू कर देते हैं, और यह मौलिक रूप से गलत है।

हर को जोड़ने की बुरी आदत से छुटकारा पाना काफी सरल है। घटाते समय भी ऐसा ही करने की कोशिश करें। नतीजतन, हर शून्य होगा, और अंश (अचानक!) अपना अर्थ खो देगा।

इसलिए, एक बार और सभी के लिए याद रखें: जोड़ने और घटाने पर, भाजक नहीं बदलता है!

साथ ही, बहुत से लोग अनेक ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ते समय गलतियाँ करते हैं। संकेतों के साथ भ्रम है: माइनस कहां लगाना है, और कहां - प्लस।

इस समस्या का समाधान भी बहुत आसान है। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि अंश चिह्न से पहले का ऋण हमेशा अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है - और इसके विपरीत। और हां, दो सरल नियमों को न भूलें:

1. प्लस टाइम्स माइनस माइनस देता है;
2. दो नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं।

आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ इन सबका विश्लेषण करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, सब कुछ सरल है, और दूसरे में, हम अंशों के अंशों में माइनस जोड़ देंगे:

क्या होगा यदि हर अलग हैं

आप भिन्न हर के साथ भिन्नों को सीधे नहीं जोड़ सकते। कम से कम, यह विधि मेरे लिए अज्ञात है। हालाँकि, मूल भिन्नों को हमेशा फिर से लिखा जा सकता है ताकि हर समान बन जाएँ।

भिन्नों को परिवर्तित करने के कई तरीके हैं। उनमें से तीन पर पाठ में चर्चा की गई है " एक आम भाजक के लिए अंश लाना", इसलिए हम यहां उन पर ध्यान नहीं देंगे। आइए कुछ उदाहरण देखें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

पहले मामले में, हम "क्रॉस-वाइज" विधि का उपयोग करके भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं। दूसरे में, हम एलसीएम की तलाश करेंगे। ध्यान दें कि 6 = 2 3; 9 = 3 · 3। इन विस्तारों में अंतिम कारक समान हैं, और पहले वाले सहअभाज्य हैं। इसलिए, एलसीएम(6; 9) = 2 3 3 = 18।

क्या होगा यदि भिन्न में एक पूर्णांक भाग है

मैं आपको खुश कर सकता हूं: भिन्नों के विभिन्न भाजक सबसे बड़ी बुराई नहीं हैं। बहुत अधिक त्रुटियाँ तब होती हैं जब पूरे भाग को भिन्नात्मक शब्दों में हाइलाइट किया जाता है।

बेशक, ऐसे अंशों के लिए स्वयं के जोड़ और घटाव एल्गोरिदम हैं, लेकिन वे जटिल हैं और एक लंबे अध्ययन की आवश्यकता है। नीचे दिए गए सरल आरेख का बेहतर उपयोग करें:

1. पूर्णांक भाग वाले सभी भिन्नों को अनुचित में बदलें। हमें सामान्य पद मिलते हैं (भले ही विभिन्न हरों के साथ), जिनकी गणना ऊपर वर्णित नियमों के अनुसार की जाती है;
2. दरअसल, परिणामी भिन्नों के योग या अंतर की गणना करें। नतीजतन, हम व्यावहारिक रूप से उत्तर पाएंगे;
3. यदि यह वह सब है जो कार्य में आवश्यक था, तो हम उलटा परिवर्तन करते हैं, अर्थात। हम इसमें पूर्णांक भाग को हाइलाइट करते हुए, अनुचित अंश से छुटकारा पाते हैं।

अनुचित भिन्नों पर स्विच करने और पूर्णांक भाग को हाइलाइट करने के नियमों को "संख्यात्मक अंश क्या है" पाठ में विस्तार से वर्णित किया गया है। यदि आपको याद नहीं है, तो दोहराना सुनिश्चित करें। उदाहरण:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

यहाँ सब कुछ सरल है। प्रत्येक व्यंजक के अंदर हर बराबर होते हैं, इसलिए यह सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलने और गिनने के लिए बना रहता है। हमारे पास है:

गणनाओं को सरल बनाने के लिए, मैंने पिछले उदाहरणों में कुछ स्पष्ट चरणों को छोड़ दिया।

पिछले दो उदाहरणों के लिए एक छोटा नोट, जहां हाइलाइट किए गए पूर्णांक वाले अंशों को घटाया जाता है। दूसरे भिन्न से पहले के माइनस का अर्थ है कि यह संपूर्ण भिन्न है जिसे घटाया जाता है, न कि केवल उसका पूरा भाग।

इस वाक्य को दोबारा पढ़ें, उदाहरणों को देखें और इसके बारे में सोचें। यह वह जगह है जहाँ शुरुआती बहुत सारी गलतियाँ करते हैं। वे ऐसे कार्यों को नियंत्रण कार्य पर देना पसंद करते हैं। इस पाठ के लिए परीक्षाओं में आप उनसे बार-बार मिलेंगे, जो शीघ्र ही प्रकाशित किया जाएगा।

सारांश: कंप्यूटिंग की सामान्य योजना

अंत में, मैं एक सामान्य एल्गोरिथम दूंगा जो आपको दो या दो से अधिक अंशों का योग या अंतर खोजने में मदद करेगा:

1. यदि पूर्णांक भाग को एक या अधिक भिन्नों में हाइलाइट किया जाता है, तो इन भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलें;
2. आपके लिए सुविधाजनक किसी भी तरह से सभी भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ (जब तक कि, निश्चित रूप से, समस्याओं के संकलक ने ऐसा नहीं किया);
3. समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियमों के अनुसार परिणामी संख्याओं को जोड़ें या घटाएं;
4. हो सके तो परिणाम कम करें। यदि भिन्न गलत निकला, तो पूरे भाग का चयन करें।

याद रखें कि उत्तर लिखने से ठीक पहले, कार्य के अंत में पूरे भाग को हाइलाइट करना बेहतर है।