किस समीकरण का मूल भिन्न है। सबसे सरल तर्कसंगत समीकरण

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाआइए उदाहरण देखें। उदाहरण सरल और दृष्टांत हैं। उनकी मदद से आप सबसे ज्यादा समझने योग्य तरीके से समझ सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आपको एक साधारण समीकरण x/b + c = d को हल करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि भाजक में केवल संख्याएँ होती हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को b से गुणा करके हल किया जाता है, फिर समीकरण x = b*(d - c) का रूप लेता है, अर्थात। बाईं ओर भिन्न का हर घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, कैसे हल करें भिन्नात्मक समीकरण:
एक्स/5+4=9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं।
एक्स+20=45
एक्स=45-20=25

एक और उदाहरण जहां अज्ञात हर में है:

इस प्रकार के समीकरणों को भिन्नात्मक परिमेय या केवल भिन्नात्मक कहा जाता है।

हम भिन्नों से छुटकारा पाकर एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करेंगे, जिसके बाद यह समीकरण अक्सर एक रैखिक या द्विघात समीकरण में बदल जाता है, जिसे सामान्य तरीके से हल किया जाता है। आपको केवल निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

• एक चर का मान जो हर को 0 में बदल देता है वह रूट नहीं हो सकता है;
• आप समीकरण को व्यंजक =0 से विभाजित या गुणा नहीं कर सकते।

यहाँ इस तरह की अवधारणा लागू होती है जैसे कि अनुमेय मूल्यों का क्षेत्र (ODZ) - ये समीकरण की जड़ों के मान हैं जिनके लिए समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करते हुए, जड़ों को ढूंढना आवश्यक है, और फिर ओडीजेड के अनुपालन के लिए उनकी जांच करें। वे जड़ें जो हमारे डीएचएस के अनुरूप नहीं हैं, उन्हें उत्तर से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, आपको एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपरोक्त नियम के आधार पर, x = 0 नहीं हो सकता, अर्थात। इस मामले में ODZ: x - शून्य के अलावा कोई भी मान।

हम समीकरण के सभी पदों को x . से गुणा करके हर से छुटकारा पाते हैं

और सामान्य समीकरण हल करें

5x - 2x = 1
3x = 1
एक्स = 1/3

उत्तर: एक्स = 1/3

आइए समीकरण को और अधिक जटिल हल करें:

ODZ भी यहाँ मौजूद है: x -2।

इस समीकरण को हल करते हुए, हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित नहीं करेंगे और भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएंगे। हम समीकरण के दोनों पक्षों को तुरंत एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो एक ही बार में सभी हरों को कम कर देगा।

हर को कम करने के लिए, आपको बाईं ओर x + 2 और दाईं ओर 2 से गुणा करना होगा। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (x + 2) से गुणा किया जाना चाहिए:

यह भिन्नों का सबसे सामान्य गुणन है, जिसकी चर्चा हम ऊपर कर चुके हैं।

हम एक ही समीकरण लिखते हैं, लेकिन थोड़े अलग तरीके से।

बाईं ओर (x + 2) और दाईं ओर 2 से घटाया जाता है। कमी के बाद, हमें सामान्य रैखिक समीकरण मिलता है:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, जो हमारे ODZ . से मेल खाती है

उत्तर: एक्स = 2.

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाउतना मुश्किल नहीं जितना यह लग सकता है। इस लेख में हमने इसे उदाहरणों के साथ दिखाया है। अगर आपको कोई कठिनाई हो रही है भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।

विषय पर प्रस्तुति और पाठ: "तर्कसंगत समीकरण। तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम और उदाहरण"

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अपरिमेय समीकरणों का परिचय

दोस्तों, हमने द्विघात समीकरणों को हल करना सीखा। लेकिन गणित इन्हीं तक सीमित नहीं है। आज हम परिमेय समीकरणों को हल करना सीखेंगे। संकल्पना तर्कसंगत समीकरणअवधारणा के बहुत समान परिमेय संख्या. केवल संख्याओं के अतिरिक्त, अब हमने कुछ चर $x$ पेश किए हैं। और इस प्रकार हमें एक व्यंजक प्राप्त होता है जिसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग और पूर्णांक घात तक बढ़ाने की संक्रियाएँ होती हैं।

मान लीजिए $r(x)$ हो तर्कसंगत अभिव्यक्ति . इस तरह की अभिव्यक्ति चर $x$ या बहुपदों के अनुपात में एक साधारण बहुपद हो सकती है (विभाजन का संचालन पेश किया जाता है, जैसा कि तर्कसंगत संख्याओं के लिए होता है)।
समीकरण $r(x)=0$ कहा जाता है तर्कसंगत समीकरण.
$p(x)=q(x)$ के रूप का कोई भी समीकरण, जहां $p(x)$ और $q(x)$ परिमेय व्यंजक हैं, भी होंगे तर्कसंगत समीकरण.

तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1
समीकरण को हल करें: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$।

फेसला।
आइए सभी भावों को बाईं ओर ले जाएँ: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$।
यदि साधारण संख्याओं को समीकरण के बाईं ओर निरूपित किया जाता है, तो हम दो भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएंगे।
आइए यह करें: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$।
हमें समीकरण मिला: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$।

एक भिन्न शून्य के बराबर होती है यदि और केवल यदि भिन्न का अंश शून्य, और हर शून्य से भिन्न है। फिर अलग से अंश को शून्य से बराबर करें और अंश के मूल ज्ञात करें।
$3(x^2+2x-3)=0$ या $x^2+2x-3=0$।
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$।
अब आइए भिन्न के हर की जाँच करें: $(x-3)*x≠0$।
दो संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है जब इनमें से कम से कम एक संख्या शून्य के बराबर होती है। फिर: $x≠0$ या $x-3≠0$।
$x≠0$ या $x≠3$।
अंश और हर में प्राप्त मूल मेल नहीं खाते। अतः उत्तर में हम अंश के दोनों मूल लिख देते हैं।
उत्तर: $x=1$ या $x=-3$।

यदि अचानक, अंश की जड़ों में से एक हर की जड़ के साथ मेल खाता है, तो इसे बाहर रखा जाना चाहिए। ऐसी जड़ों को बाह्य कहते हैं!

तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. समीकरण में निहित सभी व्यंजकों को स्थानांतरित किया जाना चाहिए बाईं तरफसमान चिह्न से।
2. समीकरण के इस भाग को में बदलें बीजीय भिन्न: $\frac(p(x))(q(x))=0$।
3. परिणामी अंश को शून्य के बराबर करें, अर्थात समीकरण $p(x)=0$ को हल करें।
4. हर को शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें। यदि हर के मूल अंश के मूल से मेल खाते हैं, तो उन्हें उत्तर से बाहर कर देना चाहिए।

उदाहरण 2
समीकरण को हल करें: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$।

फेसला।
हम एल्गोरिथम के बिंदुओं के अनुसार हल करेंगे।
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$।
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$।
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$।
3. अंश को शून्य के बराबर करें: $3x^2+7x-10=0$।
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$।
4. हर को शून्य के बराबर करें:
$(x-1)(x+1)=0$।
$x=1$ और $x=-1$।
जड़ों में से एक $x=1$ अंश के मूल के साथ मेल खाता है, फिर हम इसे प्रतिक्रिया में नहीं लिखते हैं।
उत्तर: $x=-1$।

चर विधि के परिवर्तन का उपयोग करके तर्कसंगत समीकरणों को हल करना सुविधाजनक है। आइए इसे प्रदर्शित करते हैं।

उदाहरण 3
समीकरण हल करें: $x^4+12x^2-64=0$।

फेसला।
हम एक प्रतिस्थापन पेश करते हैं: $t=x^2$।
तब हमारा समीकरण रूप लेगा:
$t^2+12t-64=0$ एक साधारण द्विघात समीकरण है।
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4$।
आइए एक उलटा प्रतिस्थापन पेश करें: $x^2=4$ या $x^2=-16$।
पहले समीकरण की जड़ें $x=±2$ संख्याओं की एक जोड़ी हैं। दूसरे की कोई जड़ नहीं है।
उत्तर: $x=±2$।

उदाहरण 4
समीकरण हल करें: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$।
फेसला।
आइए एक नया वेरिएबल पेश करें: $t=x^2+x+1$।
तब समीकरण का रूप लेगा: $t=\frac(15)(t+2)$।
अगला, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$।
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$।
3. $t^2+2t-15=0$।
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3$।
4. $t≠-2$ - जड़ें मेल नहीं खातीं।
हम एक रिवर्स प्रतिस्थापन पेश करते हैं।
$x^2+x+1=-5$।
$x^2+x+1=3$।
आइए प्रत्येक समीकरण को अलग से हल करें:
$x^2+x+6=0$।
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - नहीं जड़ें
और दूसरा समीकरण: $x^2+x-2=0$।
निहित दिया गया समीकरणसंख्याएँ $x=-2$ और $x=1$ होंगी।
उत्तर: $x=-2$ और $x=1$।

उदाहरण 5
समीकरण को हल करें: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$।

फेसला।
हम एक प्रतिस्थापन पेश करते हैं: $t=x+\frac(1)(x)$।
फिर:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ या $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$।
हमें समीकरण मिला: $t^2-2+t=4$।
$t^2+t-6=0$।
इस समीकरण की जड़ें जोड़ी हैं:
$t=-3$ और $t=2$।
आइए रिवर्स प्रतिस्थापन का परिचय दें:
$x+\frac(1)(x)=-3$।
$x+\frac(1)(x)=2$.
हम अलग से फैसला करेंगे।
$x+\frac(1)(x)+3=0$।
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$।
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$।
आइए दूसरे समीकरण को हल करें:
$x+\frac(1)(x)-2=0$।
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$।
$\frac((x-1)^2)(x)=0$।
इस समीकरण की जड़ संख्या $x=1$ है।
उत्तर: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

समीकरण हल करें:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$।

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$।
3. $x^4-7x^2-18=0$।
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$।
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$।

हमने उपरोक्त समीकरण को 7 में प्रस्तुत किया है। सबसे पहले, हम याद करते हैं कि एक परिमेय व्यंजक क्या है। ये है - बीजगणतीय अभिव्यक्ति, एक प्राकृतिक घातांक के साथ जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक के संचालन का उपयोग करके संख्याओं और चर x से बना है।

यदि r(x) एक परिमेय व्यंजक है, तो समीकरण r(x) = 0 एक परिमेय समीकरण कहलाता है।

हालांकि, व्यवहार में कुछ अधिक उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है व्यापक व्याख्यापद "परिमेय समीकरण": यह h(x) = q(x) के रूप का एक समीकरण है, जहाँ h(x) और q(x) परिमेय व्यंजक हैं।

अब तक, हम किसी भी तर्कसंगत समीकरण को हल नहीं कर सके, लेकिन केवल एक ही, जो विभिन्न परिवर्तनों और तर्कों के परिणामस्वरूप कम हो गया था रेखीय समीकरण. अब हमारी संभावनाएं बहुत अधिक हैं: हम एक तर्कसंगत समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे, जो न केवल रैखिक को कम करता है
mu, लेकिन द्विघात समीकरण के लिए भी।

याद कीजिए कि कैसे हमने पहले परिमेय समीकरणों को हल किया था और एक समाधान एल्गोरिथम तैयार करने का प्रयास किया था।

उदाहरण 1प्रश्न हल करें

फेसला। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

इस मामले में, हमेशा की तरह, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि समानताएं ए \u003d बी और ए - बी \u003d 0 ए और बी के बीच समान संबंध व्यक्त करती हैं। इसने हमें समीकरण के बाईं ओर शब्द को स्थानांतरित करने की अनुमति दी विपरीत संकेत।

आइए समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करते हैं। हमारे पास है

समानता की शर्तों को याद करें अंशोंशून्य: यदि, और केवल तभी, जब दो संबंध एक साथ संतुष्ट हों:

1) भिन्न का अंश शून्य है (a = 0); 2) भिन्न का हर शून्य से भिन्न होता है)।
समीकरण (1) के बाईं ओर भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह ऊपर उल्लिखित दूसरी शर्त की पूर्ति की जाँच करने के लिए बनी हुई है। अनुपात का अर्थ समीकरण (1) के लिए है। मान x 1 = 2 और x 2 = 0.6 संकेतित संबंधों को संतुष्ट करते हैं और इसलिए समीकरण (1) की जड़ों के रूप में कार्य करते हैं, और साथ ही दिए गए समीकरण की जड़ें भी।

1) आइए समीकरण को रूप में बदलें

2) आइए इस समीकरण के बाईं ओर के परिवर्तन करें:

(साथ ही अंश में चिह्नों को बदल दिया और
अंश)।
इस प्रकार, दिया गया समीकरणरूप लेता है

3) समीकरण x 2 - 6x + 8 = 0 को हल कीजिए

4) पाए गए मानों के लिए, स्थिति की जाँच करें . संख्या 4 इस शर्त को पूरा करती है, लेकिन संख्या 2 नहीं। अतः 4 दिए गए समीकरण का मूल है, और 2 एक बाह्य मूल है।
उत्तर - 4।

2. एक नए चर का परिचय देकर परिमेय समीकरणों का समाधान

एक नया चर पेश करने की विधि आप से परिचित है, हमने इसे एक से अधिक बार उपयोग किया है। आइए उदाहरणों के द्वारा दिखाएं कि इसका उपयोग तर्कसंगत समीकरणों को हल करने में कैसे किया जाता है।

उदाहरण 3समीकरण x 4 + x 2 - 20 = 0 को हल करें।

फेसला। हम एक नया चर y \u003d x 2 पेश करते हैं। चूँकि x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, तो दिए गए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है

वाई 2 + वाई - 20 = 0।

यह एक द्विघात समीकरण है, जिसके मूल हम ज्ञात . का उपयोग करके ज्ञात करेंगे सूत्रों; हमें y 1 = 4, y 2 = - 5 प्राप्त होता है।
लेकिन y \u003d x 2, जिसका अर्थ है कि समस्या दो समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गई है:
x2=4; एक्स 2 \u003d -5।

पहले समीकरण से हम पाते हैं कि दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है।
जवाब: ।
कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी \u003d 0 फॉर्म के समीकरण को द्विघात समीकरण ("द्वि" - दो, यानी, जैसा कि "दो बार वर्ग" समीकरण) कहा जाता है। अभी हल किया गया समीकरण बिल्कुल द्विघाती था। किसी भी द्विघात समीकरण को उसी तरह हल किया जाता है जैसे उदाहरण 3 से समीकरण: एक नया चर y \u003d x 2 पेश किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप द्विघात समीकरण को चर y के संबंध में हल किया जाता है, और फिर चर x पर वापस आ जाता है।

उदाहरण 4प्रश्न हल करें

फेसला। ध्यान दें कि समान व्यंजक x 2 + 3x यहाँ दो बार आता है। इसलिए, एक नया चर y = x 2 + Zx पेश करना समझ में आता है। यह हमें एक सरल और अधिक सुखद रूप में समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देगा (जो वास्तव में, एक नया परिचय देने का उद्देश्य है चर- और रिकॉर्डिंग आसान है
, और समीकरण की संरचना स्पष्ट हो जाती है):

और अब हम एक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम का उपयोग करेंगे।

1) आइए समीकरण के सभी पदों को एक भाग में ले जाएँ:

= 0
2) आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें

इसलिए, हमने दिए गए समीकरण को रूप में बदल दिया है

3) समीकरण से - 7y 2 + 29y -4 = 0 हम पाते हैं (हमने पहले से ही बहुत सारे द्विघात समीकरणों को हल कर लिया है, इसलिए शायद यह हमेशा पाठ्यपुस्तक में विस्तृत गणना देने के लायक नहीं है)।

4) आइए 5 (y - 3) (y + 1) की स्थिति का उपयोग करके पाए गए जड़ों की जाँच करें। दोनों जड़ें इस शर्त को पूरा करती हैं।
तो, नए चर y के लिए द्विघात समीकरण हल हो गया है:
चूंकि y \u003d x 2 + Zx, और y, जैसा कि हमने स्थापित किया है, दो मान लेता है: 4 और, - हमें अभी भी दो समीकरणों को हल करना है: x 2 + Zx \u003d 4; एक्स 2 + जेडएक्स \u003d। पहले समीकरण की जड़ें संख्या 1 और - 4 हैं, दूसरे समीकरण की जड़ें संख्याएं हैं

विचार किए गए उदाहरणों में, एक नए चर को पेश करने की विधि थी, जैसा कि गणितज्ञ कहना चाहते हैं, स्थिति के लिए पर्याप्त है, अर्थात यह इसके अनुरूप है। क्यों? हाँ, क्योंकि एक ही व्यंजक कई बार समीकरण रिकॉर्ड में स्पष्ट रूप से सामने आया था और इस व्यंजक को एक नए अक्षर से निर्दिष्ट करना उचित था। लेकिन यह हमेशा मामला नहीं होता है, कभी-कभी एक नया चर केवल परिवर्तनों की प्रक्रिया में "प्रकट होता है"। ठीक यही अगले उदाहरण में होगा।

उदाहरण 5प्रश्न हल करें
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
फेसला। हमारे पास है
एक्स (एक्स - 3) \u003d एक्स 2 - 3x;
(एक्स - 1) (एक्स - 2) \u003d एक्स 2 -3x + 2।

अतः दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

अब एक नया चर "प्रकट" हुआ है: y = x 2 - Zx।

इसकी मदद से, समीकरण को y (y + 2) \u003d 24 और फिर y 2 + 2y - 24 \u003d 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस समीकरण की जड़ें संख्या 4 और -6 हैं।

मूल चर x पर लौटने पर, हम दो समीकरण x 2 - Zx \u003d 4 और x 2 - Zx \u003d - 6. प्राप्त करते हैं। पहले समीकरण से हम x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1 पाते हैं; दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उत्तर : 4,-1.

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आइए परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हों, उनकी परिभाषा दें, उदाहरण दें, और सबसे सामान्य प्रकार की समस्याओं का विश्लेषण भी करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

परिमेय समीकरण: परिभाषा और उदाहरण

तर्कसंगत अभिव्यक्तियों से परिचित होना स्कूल की 8 वीं कक्षा में शुरू होता है। इस समय, बीजगणित के पाठों में, छात्र तेजी से ऐसे समीकरणों वाले कार्यों को पूरा करने लगे हैं जिनमें उनके नोट्स में तर्कसंगत अभिव्यक्तियाँ होती हैं। आइए अपनी याददाश्त को ताज़ा करें कि यह क्या है।

परिभाषा 1

तर्कसंगत समीकरणएक समीकरण है जिसमें दोनों पक्षों में परिमेय व्यंजक होते हैं।

विभिन्न मैनुअल में, आप एक और शब्द पा सकते हैं।

परिभाषा 2

तर्कसंगत समीकरण- यह एक समीकरण है, जिसके बाईं ओर के रिकॉर्ड में एक परिमेय व्यंजक होता है, और दाईं ओर शून्य होता है।

हमने परिमेय समीकरणों के लिए जो परिभाषाएँ दी हैं, वे समतुल्य हैं, क्योंकि उनका मतलब एक ही है। हमारे शब्दों की शुद्धता की पुष्टि इस तथ्य से होती है कि किसी भी तर्कसंगत अभिव्यक्ति के लिए पीऔर क्यूसमीकरण पी = क्यूऔर पी - क्यू = 0समकक्ष अभिव्यक्ति होगी।

अब आइए उदाहरणों की ओर मुड़ें।

उदाहरण 1

परिमेय समीकरण:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3।

परिमेय समीकरण, अन्य प्रकार के समीकरणों की तरह, 1 से लेकर कई तक के चर हो सकते हैं। आरंभ करने के लिए, हम विचार करेंगे सरल उदाहरण, जिसमें समीकरणों में केवल एक चर होगा। और फिर हम धीरे-धीरे कार्य को जटिल बनाना शुरू करते हैं।

परिमेय समीकरण दो बड़े समूहों में विभाजित हैं: पूर्णांक और भिन्नात्मक। आइए देखें कि प्रत्येक समूह पर कौन से समीकरण लागू होंगे।

परिभाषा 3

एक परिमेय समीकरण एक पूर्णांक होगा यदि इसके बाएँ और दाएँ भागों के रिकॉर्ड में संपूर्ण परिमेय व्यंजक हों।

परिभाषा 4

एक परिमेय समीकरण भिन्नात्मक होगा यदि उसके एक या दोनों भागों में भिन्न हो।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों में आवश्यक रूप से एक चर द्वारा विभाजन होता है, या चर हर में मौजूद होता है। पूर्णांक समीकरण लिखने में ऐसा कोई विभाजन नहीं है।

उदाहरण 2

3 एक्स + 2 = 0और (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0 , 5संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण हैं। यहाँ समीकरण के दोनों भागों को पूर्णांक व्यंजकों द्वारा निरूपित किया जाता है।

1 एक्स - 1 = एक्स 3 और x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5भिन्नात्मक परिमेय समीकरण हैं।

संपूर्ण परिमेय समीकरणों में रैखिक और द्विघात समीकरण शामिल हैं।

पूर्णांक समीकरणों को हल करना

ऐसे समीकरणों का हल आमतौर पर उनके समतुल्य बीजीय समीकरणों में परिवर्तन को कम कर देता है। यह निम्नलिखित एल्गोरिथम के अनुसार समीकरणों के समतुल्य परिवर्तन करके प्राप्त किया जा सकता है:

• सबसे पहले हमें समीकरण के दाईं ओर शून्य मिलता है, इसके लिए समीकरण के दाईं ओर स्थित व्यंजक को इसके बाईं ओर स्थानांतरित करना और चिह्न बदलना आवश्यक है;
• तब हम समीकरण के बाईं ओर के व्यंजक को बहुपद में बदल देते हैं मानक दृश्य.

हमें एक बीजीय समीकरण प्राप्त करना है। यह समीकरण मूल समीकरण के तुल्य होगा। आसान मामले हमें पूरे समीकरण को एक रैखिक या द्विघात समीकरण में कम करके समस्या को हल करने की अनुमति देते हैं। सामान्य स्थिति में, हम डिग्री के बीजीय समीकरण को हल करते हैं एन.

उदाहरण 3

संपूर्ण समीकरण के मूल ज्ञात करना आवश्यक है 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

फेसला

आइए हम मूल व्यंजक को उसके समतुल्य बीजीय समीकरण प्राप्त करने के लिए रूपांतरित करें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण के दाईं ओर निहित व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करेंगे और चिह्न को विपरीत में बदल देंगे। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

अब हम व्यंजक को, जो बाईं ओर है, मानक रूप के बहुपद में बदल देंगे और प्रदर्शन करेंगे आवश्यक कार्रवाईइस बहुपद के साथ:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

हम मूल समीकरण के हल को हल में कम करने में कामयाब रहे द्विघात समीकरणतरह एक्स 2 - 5 एक्स - 6 = 0. इस समीकरण का विभेदक धनात्मक है: डी = (- 5) 2 - 4 1 (- 6) = 25 + 24 = 49।इसका मतलब है कि दो वास्तविक जड़ें होंगी। आइए द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र का उपयोग करके उन्हें खोजें:

एक्स \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 या x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 या x 2 = - 1

आइए समीकरण की जड़ों की शुद्धता की जांच करें जो हमने समाधान के दौरान पाया था। इस संख्या के लिए, जो हमें प्राप्त हुई, हम मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3और 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) - 1) - 3. पहले मामले में 63 = 63 , क्षण में 0 = 0 . जड़ों एक्स = 6और एक्स = - 1वास्तव में उदाहरण की स्थिति में दिए गए समीकरण के मूल हैं।

जवाब: 6 , − 1 .

आइए देखें कि "संपूर्ण समीकरण की शक्ति" का क्या अर्थ है। हम अक्सर उन मामलों में इस शब्द का सामना करेंगे जब हमें बीजगणित के रूप में एक संपूर्ण समीकरण का प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता होती है। आइए अवधारणा को परिभाषित करें।

परिभाषा 5

एक पूर्णांक समीकरण की डिग्रीडिग्री है बीजीय समीकरण, जो मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है।

यदि आप उपरोक्त उदाहरण से समीकरणों को देखते हैं, तो आप स्थापित कर सकते हैं: इस पूरे समीकरण की डिग्री दूसरी है।

यदि हमारा पाठ्यक्रम दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने तक सीमित था, तो विषय पर विचार यहां पूरा किया जा सकता था। लेकिन सब कुछ इतना आसान नहीं है। थर्ड डिग्री के समीकरणों को हल करना मुश्किलों से भरा होता है। और चौथी डिग्री से ऊपर के समीकरणों के लिए, यह बिल्कुल भी मौजूद नहीं है सामान्य सूत्रजड़ें। इस संबंध में, तीसरी, चौथी और अन्य डिग्री के संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए हमें कई अन्य तकनीकों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला दृष्टिकोण गुणन विधि पर आधारित है। इस मामले में क्रियाओं का एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

• हम व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं ताकि शून्य रिकॉर्ड के दाईं ओर बना रहे;
• हम बायीं ओर के व्यंजक को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं, और फिर हम कई सरल समीकरणों के समुच्चय की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

समीकरण (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13) का हल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम रिकॉर्ड के दाईं ओर से विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. बाईं ओर को मानक रूप के बहुपद में परिवर्तित करना इस तथ्य के कारण अव्यावहारिक है कि यह हमें चौथी डिग्री का बीजीय समीकरण देगा: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. परिवर्तन की आसानी ऐसे समीकरण को हल करने में सभी कठिनाइयों को उचित नहीं ठहराती है।

दूसरी तरफ जाना बहुत आसान है: हम सामान्य कारक निकालते हैं एक्स 2 - 10 एक्स + 13।इस प्रकार हम फॉर्म के समीकरण पर पहुंचते हैं (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. अब हम परिणामी समीकरण को दो द्विघात समीकरणों के समुच्चय से प्रतिस्थापित करते हैं एक्स 2 - 10 एक्स + 13 = 0और एक्स 2 - 2 एक्स - 1 = 0और विभेदक के माध्यम से उनकी जड़ें खोजें: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 ।

जवाब: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2।

इसी तरह, हम एक नए चर को पेश करने की विधि का उपयोग कर सकते हैं। यह विधि हमें मूल संपूर्ण समीकरण की तुलना में कम शक्तियों वाले समकक्ष समीकरणों को पारित करने की अनुमति देती है।

उदाहरण 5

क्या समीकरण की जड़ें हैं? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x - 4)?

फेसला

यदि अब हम एक संपूर्ण परिमेय समीकरण को एक बीजीय समीकरण में कम करने का प्रयास करते हैं, तो हमें घात 4 का एक समीकरण प्राप्त होगा, जिसका कोई परिमेय मूल नहीं है। इसलिए, हमारे लिए दूसरे रास्ते पर जाना आसान होगा: एक नया चर y पेश करें, जो समीकरण में अभिव्यक्ति को बदल देगा एक्स 2 + 3 एक्स.

अब हम पूरे समीकरण के साथ काम करेंगे (y + 1) 2 + 10 = - 2 (y - 4). हम समीकरण के दाईं ओर विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और आवश्यक परिवर्तन करते हैं। हम पाते हैं: वाई 2 + 4 वाई + 3 = 0. आइए द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें: वाई = - 1और वाई = - 3.

अब चलो रिवर्स प्रतिस्थापन करते हैं। हमें दो समीकरण मिलते हैं एक्स 2 + 3 एक्स = - 1और एक्स 2 + 3 एक्स = - 3।आइए उन्हें x 2 + 3 x + 1 = 0 और . के रूप में फिर से लिखें एक्स 2 + 3 एक्स + 3 = 0. प्राप्त प्रथम समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए हम द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र का उपयोग करते हैं: - 3 ± 5 2 । दूसरे समीकरण का विवेचक ऋणात्मक है। इसका मतलब है कि दूसरे समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

जवाब:- 3 ± 5 2

उच्च डिग्री के पूर्णांक समीकरण अक्सर समस्याओं में आते हैं। इनसे डरने की जरूरत नहीं है। आपको कई कृत्रिम परिवर्तनों सहित, उन्हें हल करने की एक गैर-मानक विधि लागू करने के लिए तैयार रहने की आवश्यकता है।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल

हम इस उप-विषय पर विचार p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के साथ शुरू करते हैं, जहां पी (एक्स)और क्यू (एक्स)पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं। अन्य भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के हल को हमेशा संकेतित रूप के समीकरणों के हल में घटाया जा सकता है।

समीकरण p (x) q (x) = 0 को हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि निम्नलिखित कथन पर आधारित है: संख्यात्मक भिन्न आप, कहाँ पे वीएक संख्या है जो शून्य से भिन्न होती है, शून्य के बराबर होती है केवल उन मामलों में जहां भिन्न का अंश शून्य के बराबर होता है। उपरोक्त कथन के तर्क का अनुसरण करते हुए, हम यह दावा कर सकते हैं कि समीकरण p (x) q (x) = 0 का हल दो शर्तों की पूर्ति के लिए घटाया जा सकता है: पी (एक्स) = 0और क्यू (एक्स) 0. इस पर, p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाया गया है:

• हम संपूर्ण परिमेय समीकरण का हल ढूंढते हैं पी (एक्स) = 0;
• हम जाँचते हैं कि समाधान के दौरान मिली जड़ों के लिए स्थिति संतुष्ट है या नहीं क्यू (एक्स) 0.

यदि यह शर्त पूरी हो जाती है तो जड़ मिल जाती है यदि नहीं तो जड़ समस्या का समाधान नहीं है।

उदाहरण 6

समीकरण 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम p (x) q (x) = 0 के रूप के एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के साथ काम कर रहे हैं, जिसमें p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 - 2 = 0 है। आइए रैखिक समीकरण को हल करना शुरू करें 3 एक्स - 2 = 0. इस समीकरण का मूल होगा एक्स = 2 3.

आइए देखें कि पाया गया मूल क्या है, क्या यह शर्त को पूरा करता है 5 x 2 - 2 0. ऐसा करने के लिए, व्यंजक में एक संख्यात्मक मान बदलें। हमें मिलता है: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 0।

शर्त पूरी होती है। इसका मतलब है कि एक्स = 2 3मूल समीकरण का मूल है।

जवाब: 2 3 .

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण p (x) q (x) = 0 को हल करने के लिए एक और विकल्प है। याद रखें कि यह समीकरण पूरे समीकरण के बराबर है पी (एक्स) = 0मूल समीकरण के चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा पर। यह हमें समीकरण p(x) q(x) = 0 को हल करने में निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करने की अनुमति देता है:

• प्रश्न हल करें पी (एक्स) = 0;
• चर x के लिए स्वीकार्य मानों की श्रेणी ज्ञात कीजिए;
• हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के वांछित मूल के रूप में चर x के स्वीकार्य मानों के क्षेत्र में स्थित जड़ों को लेते हैं।

उदाहरण 7

समीकरण x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 हल कीजिए।

फेसला

सबसे पहले, द्विघात समीकरण को हल करते हैं एक्स 2 - 2 एक्स - 11 = 0. इसकी जड़ों की गणना करने के लिए, हम एक दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र का उपयोग करते हैं। हम पाते हैं डी 1 = (− 1) 2 - 1 (− 11) = 12, और x = 1 ± 2 3 ।

अब हम मूल समीकरण के लिए x का ODV ज्ञात कर सकते हैं। ये सभी संख्याएँ हैं जिनके लिए एक्स 2 + 3 एक्स ≠ 0. यह वैसा ही है जैसा एक्स (एक्स + 3) 0, जहां से x ≠ 0 , x ≠ − 3 ।

अब देखते हैं कि समाधान के पहले चरण में प्राप्त मूल x = 1 ± 2 3 चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा के भीतर हैं या नहीं। हम देखते हैं कि क्या आता है। इसका अर्थ है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के दो मूल हैं x = 1 ± 2 3 ।

जवाब:एक्स = 1 ± 2 3

दूसरा समाधान विधि वर्णित पहले की तुलना में आसानऐसे मामलों में जहां चर x के स्वीकार्य मानों का क्षेत्रफल और समीकरण के मूल का पता लगाना आसान हो पी (एक्स) = 0तर्कहीन। उदाहरण के लिए, 7 ± 4 26 9। जड़ें तर्कसंगत हो सकती हैं, लेकिन एक बड़े अंश या हर के साथ। उदाहरण के लिए, 127 1101 और − 31 59 . यह स्थिति की जाँच के लिए समय बचाता है। क्यू (एक्स) 0: ओडीजेड के अनुसार, फिट नहीं होने वाली जड़ों को बाहर करना बहुत आसान है।

जब समीकरण की जड़ें पी (एक्स) = 0पूर्णांक हैं, तो p (x) q (x) = 0 के रूप के समीकरणों को हल करने के लिए वर्णित एल्गोरिदम में से पहले का उपयोग करना अधिक समीचीन है। एक पूरे समीकरण की जड़ों को तेजी से ढूँढना पी (एक्स) = 0, और फिर जांचें कि क्या उनके लिए शर्त पूरी हुई है क्यू (एक्स) 0, और ODZ नहीं खोजें, और फिर समीकरण हल करें पी (एक्स) = 0इस ओडीजेड पर। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में ओडीजेड खोजने की तुलना में आमतौर पर जांच करना आसान होता है।

उदाहरण 8

समीकरण (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 के मूल ज्ञात कीजिए। = 0।

फेसला

हम पूरे समीकरण पर विचार करके शुरू करते हैं (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0और उसकी जड़ों को खोज रहा है। ऐसा करने के लिए, हम गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करने की विधि लागू करते हैं। यह पता चला है कि मूल समीकरण चार समीकरणों के एक सेट के बराबर है 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, जिनमें से तीन रैखिक हैं और एक चौकोर है। हम मूल पाते हैं: पहले समीकरण से एक्स = 1 2, दूसरे से एक्स = 6, तीसरे से - x \u003d 7, x \u003d - 2, चौथे से - एक्स = - 1.

आइए प्राप्त जड़ों की जांच करें। इस मामले में ODZ निर्धारित करना हमारे लिए मुश्किल है, क्योंकि इसके लिए हमें पांचवीं डिग्री के बीजीय समीकरण को हल करना होगा। उस स्थिति की जाँच करना आसान होगा जिसके अनुसार भिन्न का हर, जो समीकरण के बाईं ओर है, गायब नहीं होना चाहिए।

बदले में, व्यंजक में चर x के स्थान पर मूलों को प्रतिस्थापित करें x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112और इसके मूल्य की गणना करें:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 0;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0;

(- 2) 5 - 15 (- 2) 4 + 57 (- 2) 3 - 13 (- 2) 2 + 26 (- 2) + 112 = - 720 ≠ 0;

(− 1) 5 - 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 - 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0।

किया गया सत्यापन हमें यह स्थापित करने की अनुमति देता है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण की जड़ें हैं 1 2 , 6 तथा − 2 .

जवाब: 1 2 , 6 , - 2

उदाहरण 9

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला

आइए समीकरण से शुरू करते हैं (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. आइए जानें इसकी जड़ें। द्विघात और रैखिक समीकरणों के संयोजन के रूप में इस समीकरण का प्रतिनिधित्व करना हमारे लिए आसान है 5 x 2 - 7 x - 1 = 0और एक्स - 2 = 0.

द्विघात समीकरण के मूल सूत्र का उपयोग करके हम मूल ज्ञात करते हैं। हमें पहले समीकरण से दो मूल x = 7 ± 69 10 मिलते हैं, और दूसरे से एक्स = 2.

स्थितियों की जांच करने के लिए मूल समीकरण में मूलों के मान को प्रतिस्थापित करना हमारे लिए काफी कठिन होगा। चर x का LPV निर्धारित करना आसान होगा। इस मामले में, चर x का डीपीवी सभी संख्याएं हैं, सिवाय उन लोगों के जिनके लिए शर्त संतुष्ट है एक्स 2 + 5 एक्स - 14 = 0. हम प्राप्त करते हैं: x - , - 7 ∪ - 7, 2 2 , + ∞ ।

अब देखते हैं कि हमें मिली जड़ें x चर के लिए स्वीकार्य मानों की श्रेणी से संबंधित हैं या नहीं।

मूल x = 7 ± 69 10 - संबंधित हैं, इसलिए, वे मूल समीकरण के मूल हैं, और एक्स = 2- संबंधित नहीं है, इसलिए, यह एक बाहरी जड़ है।

जवाब:एक्स = 7 ± 69 10।

आइए हम उन मामलों की अलग-अलग जाँच करें जब p (x) q (x) = 0 के रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के अंश में एक संख्या होती है। ऐसे मामलों में, यदि अंश में शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो समीकरण के मूल नहीं होंगे। यदि यह संख्या शून्य के बराबर है, तो समीकरण का मूल ODZ से कोई भी संख्या होगी।

उदाहरण 10

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 को हल करें।

फेसला

इस समीकरण की जड़ें नहीं होंगी, क्योंकि समीकरण के बाईं ओर से अंश के अंश में एक गैर-शून्य संख्या होती है। इसका अर्थ है कि x के किसी भी मान के लिए समस्या की स्थिति में दिए गए भिन्न का मान शून्य के बराबर नहीं होगा।

जवाब:कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 11

समीकरण 0 x 4 + 5 x 3 = 0 हल करें।

फेसला

चूँकि भिन्न का अंश शून्य है, समीकरण का हल ODZ चर x से x का कोई भी मान होगा।

अब ODZ को परिभाषित करते हैं। इसमें सभी x मान शामिल होंगे जिसके लिए x 4 + 5 x 3 0. समीकरण समाधान x 4 + 5 x 3 = 0हैं 0 और − 5 , चूंकि यह समीकरण समीकरण के बराबर है एक्स 3 (एक्स + 5) = 0, और यह, बदले में, दो समीकरणों x 3 = 0 और . के समुच्चय के बराबर है एक्स + 5 = 0जहां ये जड़ें दिखाई दे रही हैं। हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि स्वीकार्य मूल्यों की वांछित सीमा कोई भी x है, सिवाय एक्स = 0और एक्स = -5.

यह पता चला है कि भिन्नात्मक परिमेय समीकरण 0 x 4 + 5 x 3 = 0 के अनंत समाधान हैं, जो शून्य और - 5 को छोड़कर कोई भी संख्या है।

जवाब: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

अब आइए एक मनमाना रूप के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों के बारे में बात करते हैं। इन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है आर (एक्स) = एस (एक्स), कहाँ पे आर (एक्स)और एस (एक्स)तर्कसंगत व्यंजक हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। ऐसे समीकरणों के हल को p (x) q (x) = 0 के रूप के समीकरणों के हल में घटाया जाता है।

हम पहले से ही जानते हैं कि हम समीकरण के दाईं ओर से विपरीत चिह्न वाले व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करके एक समान समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसका मतलब है कि समीकरण आर (एक्स) = एस (एक्स)समीकरण के बराबर है आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0. हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं कि एक परिमेय व्यंजक को परिमेय भिन्न में कैसे बदला जाए। इसके लिए धन्यवाद, हम समीकरण को आसानी से बदल सकते हैं आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0 p (x) q (x) के रूप के समरूप परिमेय भिन्न में।

इसलिए हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण से आगे बढ़ते हैं आर (एक्स) = एस (एक्स) p (x) q (x) = 0 के रूप का एक समीकरण, जिसे हम हल करना सीख चुके हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि से संक्रमण करते समय आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0से p (x) q (x) = 0 और फिर to पी (एक्स) = 0हम चर x के मान्य मानों की सीमा के विस्तार को ध्यान में नहीं रख सकते हैं।

यह काफी यथार्थवादी है कि मूल समीकरण आर (एक्स) = एस (एक्स)और समीकरण पी (एक्स) = 0परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, वे समकक्ष नहीं रहेंगे। तब समीकरण का हल पी (एक्स) = 0हमें ऐसी जड़ें दे सकते हैं जो विदेशी होंगी आर (एक्स) = एस (एक्स). इस संबंध में, प्रत्येक मामले में ऊपर वर्णित किसी भी तरीके से जांच करना आवश्यक है।

आपके लिए विषय का अध्ययन करना आसान बनाने के लिए, हमने फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए सभी सूचनाओं को एक एल्गोरिथम में सामान्यीकृत किया है आर (एक्स) = एस (एक्स):

• हम व्यंजक को विपरीत चिन्ह के साथ दाईं ओर से स्थानांतरित करते हैं और दाईं ओर शून्य प्राप्त करते हैं;
• हम भिन्नों और बहुपदों के साथ क्रमिक रूप से क्रिया करके मूल व्यंजक को परिमेय भिन्न p (x) q (x) में बदलते हैं;
• प्रश्न हल करें पी (एक्स) = 0;
• हम बाहरी जड़ों को ODZ से संबंधित होने की जाँच करके या मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्रकट करते हैं।

नेत्रहीन, क्रियाओं की श्रृंखला इस तरह दिखेगी:

आर (एक्स) = एस (एक्स) → आर (एक्स) - एस (एक्स) = 0 → पी (एक्स) क्यू (एक्स) = 0 → पी (एक्स) = 0 → ड्रॉपआउट आर ओ एन डी ई आर ओ ओ एन एस

उदाहरण 12

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण x x + 1 = 1 x + 1 को हल कीजिए।

फेसला

आइए समीकरण x x + 1 - 1 x + 1 = 0 पर चलते हैं। आइए समीकरण के बाईं ओर भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक को p (x) q (x) के रूप में रूपांतरित करें।

ऐसा करने के लिए, हमें परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करना होगा और व्यंजक को सरल बनाना होगा:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 एक्स - 1 एक्स (एक्स + 1)

समीकरण - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 के मूल ज्ञात करने के लिए हमें समीकरण को हल करना होगा − 2 x − 1 = 0. हमें एक जड़ मिलती है एक्स = - 1 2.

किसी भी तरीके से जांच करना हमारे लिए बाकी है। आइए उन दोनों पर विचार करें।

परिणामी मान को मूल समीकरण में रखें। हमें - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 प्राप्त होता है। हम सही संख्यात्मक समानता पर आए हैं − 1 = − 1 . इसका मतलब है कि एक्स = - 1 2मूल समीकरण का मूल है।

अब हम ODZ के माध्यम से जांच करेंगे। आइए चर x के लिए स्वीकार्य मानों की श्रेणी को परिभाषित करें। यह − 1 और 0 (जब x = − 1 और x = 0, भिन्नों के हर गायब हो जाते हैं) को छोड़कर, संख्याओं का पूरा सेट होगा। हमें जो जड़ मिली है एक्स = - 1 2 ODZ के अंतर्गत आता है। इसका मतलब है कि यह मूल समीकरण की जड़ है।

जवाब: − 1 2 .

उदाहरण 13

समीकरण x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x के मूल ज्ञात कीजिए।

फेसला

हम एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के साथ काम कर रहे हैं। इसलिए, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।

आइए विपरीत चिह्न के साथ व्यंजक को दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

आइए आवश्यक परिवर्तन करें: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x।

हम समीकरण पर आते हैं एक्स = 0. इस समीकरण का मूल शून्य है।

आइए देखें कि मूल समीकरण के लिए यह मूल विदेशी है या नहीं। मूल समीकरण में मान रखें: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 । जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी समीकरण का कोई मतलब नहीं है। इसका अर्थ है कि 0 एक बाह्य मूल है, और मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का कोई मूल नहीं है।

जवाब:कोई जड़ नहीं।

यदि हमने एल्गोरिथम में अन्य समकक्ष परिवर्तनों को शामिल नहीं किया है, तो इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। एल्गोरिथ्म सार्वभौमिक है, लेकिन इसे मदद करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, सीमित करने के लिए नहीं।

उदाहरण 14

समीकरण को हल करें 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

फेसला

एल्गोरिथम के अनुसार दिए गए भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का सबसे आसान तरीका है। लेकिन एक और तरीका है। आइए इस पर विचार करें।

दाएं और बाएं भाग 7 से घटाएं, हमें मिलता है: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24।

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बायीं ओर के हर में व्यंजक दायीं ओर से संख्या के व्युत्क्रम की संख्या के बराबर होना चाहिए, अर्थात 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7।

दोनों भागों से घटाएँ 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 । सादृश्य 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3 से, जहां से 1 5 - x 2 \u003d 1 3, और आगे 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

आइए यह स्थापित करने के लिए जांचें कि क्या पाया गया मूल मूल समीकरण की जड़ें हैं।

जवाब:एक्स = ± 2

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इस लेख में मैं आपको दिखाऊंगा सात प्रकार के तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम, जो चरों के परिवर्तन के माध्यम से वर्ग इकाई में कम हो जाते हैं। ज्यादातर मामलों में, परिवर्तन जो प्रतिस्थापन की ओर ले जाते हैं, वे बहुत ही गैर-तुच्छ होते हैं, और उनके बारे में स्वयं अनुमान लगाना काफी कठिन होता है।

प्रत्येक प्रकार के समीकरण के लिए, मैं समझाऊंगा कि इसमें चर का परिवर्तन कैसे किया जाता है, और फिर संबंधित वीडियो ट्यूटोरियल में मैं एक विस्तृत समाधान दिखाऊंगा।

आपके पास स्वयं समीकरणों को हल करना जारी रखने का अवसर है, और फिर वीडियो ट्यूटोरियल के साथ अपने समाधान की जांच करें।

तो, चलिए शुरू करते हैं।

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

ध्यान दें कि चार कोष्ठकों का गुणनफल समीकरण के बाईं ओर है, और संख्या दाईं ओर है।

1. आइए कोष्ठकों को दो से समूहित करें ताकि मुक्त पदों का योग समान हो।

2. उन्हें गुणा करें।

3. आइए हम चर के परिवर्तन का परिचय दें।

हमारे समीकरण में, हम पहले ब्रैकेट को तीसरे के साथ और दूसरे को चौथे के साथ समूहित करते हैं, क्योंकि (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

इस बिंदु पर, परिवर्तनशील परिवर्तन स्पष्ट हो जाता है:

हमें समीकरण मिलता है

जवाब:

2 .

इस प्रकार का एक समीकरण पिछले एक के समान होता है जिसमें एक अंतर होता है: समीकरण के दाईं ओर एक संख्या का गुणनफल होता है। और इसे पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है:

1. हम कोष्ठकों को दो से समूहित करते हैं ताकि मुक्त पदों का गुणनफल समान हो।

2. हम कोष्ठक के प्रत्येक युग्म को गुणा करते हैं।

3. प्रत्येक गुणनखंड से हम कोष्ठक में से x निकालते हैं।

4. समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करें।

5. हम चर के परिवर्तन का परिचय देते हैं।

इस समीकरण में, हम पहले ब्रैकेट को चौथे के साथ और दूसरे को तीसरे के साथ समूहित करते हैं, क्योंकि:

ध्यान दें कि प्रत्येक कोष्ठक में गुणांक और मुक्त पद समान हैं। आइए प्रत्येक ब्रैकेट से गुणक निकालें:

चूँकि x=0 मूल समीकरण का मूल नहीं है, हम समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं:

हमें समीकरण मिलता है:

जवाब:

3 .

ध्यान दें कि दोनों भिन्नों के हर में शामिल हैं वर्ग त्रिपद, जिसका प्रमुख गुणांक और मुक्त पद समान हैं। हम दूसरे प्रकार के समीकरण के अनुसार, कोष्ठक से x निकालते हैं। हम पाते हैं:

प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को x से विभाजित करें:

अब हम चर के परिवर्तन का परिचय दे सकते हैं:

हम चर t के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

4 .

ध्यान दें कि समीकरण के गुणांक केंद्रीय के संबंध में सममित हैं। इस तरह के समीकरण को कहा जाता है वापस करने .

इसे हल करने के लिए

1. समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें (हम ऐसा कर सकते हैं क्योंकि x=0 समीकरण का मूल नहीं है।) हम प्राप्त करते हैं:

2. शर्तों को इस प्रकार समूहित करें:

3. प्रत्येक समूह में, हम उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालते हैं:

4. आइए एक प्रतिस्थापन पेश करें:

5. आइए व्यंजक को t के रूप में व्यक्त करें:

यहां से

हमें टी के लिए समीकरण मिलता है:

जवाब:

5. सजातीय समीकरण।

एक सजातीय संरचना वाले समीकरणों का सामना घातीय, लघुगणक और . को हल करते समय किया जा सकता है त्रिकोणमितीय समीकरणहै, इसलिए इसे पहचानने की जरूरत है।

सजातीय समीकरणों में निम्नलिखित संरचना होती है:

इस समानता में, A, B और C संख्याएँ हैं, और समान व्यंजक एक वर्ग और एक वृत्त द्वारा दर्शाए जाते हैं। यही है, सजातीय समीकरण के बाईं ओर समान डिग्री वाले मोनोमियल का योग होता है (इस मामले में, मोनोमियल की डिग्री 2 है), और कोई मुक्त शब्द नहीं है।

सजातीय समीकरण को हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को से विभाजित करते हैं

ध्यान! समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों को अज्ञात वाले व्यंजक से विभाजित करते समय, आप मूल खो सकते हैं। इसलिए, यह जाँचना आवश्यक है कि क्या व्यंजक के मूल, जिससे हम समीकरण के दोनों भागों को विभाजित करते हैं, मूल समीकरण के मूल हैं।

चलिए पहले रास्ते पर चलते हैं। हमें समीकरण मिलता है:

अब हम एक परिवर्तनीय प्रतिस्थापन पेश करते हैं:

व्यंजक को सरल कीजिए और t के लिए द्विघात समीकरण प्राप्त कीजिए:

जवाब:या

7 .

इस समीकरण में निम्नलिखित संरचना है:

इसे हल करने के लिए, आपको समीकरण के बाईं ओर पूर्ण वर्ग का चयन करना होगा।

एक पूर्ण वर्ग का चयन करने के लिए, आपको दोहरे उत्पाद को जोड़ना या घटाना होगा। तब हमें योग या अंतर का वर्ग मिलता है। यह एक सफल परिवर्तनीय प्रतिस्थापन के लिए महत्वपूर्ण है।

आइए दोहरे उत्पाद को ढूंढकर शुरू करें। यह चर को बदलने की कुंजी होगी। हमारे समीकरण में, दोहरा उत्पाद है

अब आइए जानें कि हमारे लिए क्या अधिक सुविधाजनक है - योग या अंतर का वर्ग। शुरुआत के लिए, भावों के योग पर विचार करें:

बढ़िया! यह व्यंजक गुणनफल के दुगुने के ठीक बराबर है। फिर, कोष्ठक में योग का वर्ग प्राप्त करने के लिए, आपको दोहरे उत्पाद को जोड़ना और घटाना होगा: