इंजीनियरिंग कैलकुलेटर ऑनलाइन

हम सभी के लिए एक मुफ्त इंजीनियरिंग कैलकुलेटर पेश करने की जल्दबाजी करते हैं। इसके साथ, कोई भी छात्र तेजी से और सबसे महत्वपूर्ण रूप से, विभिन्न प्रकार की गणितीय गणना आसानी से ऑनलाइन कर सकता है।

कैलकुलेटर साइट से लिया गया है - वेब 2.0 वैज्ञानिक कैलकुलेटर

एक विनीत और सहज ज्ञान युक्त अंतरफलक के साथ एक सरल और उपयोग में आसान इंजीनियरिंग कैलकुलेटर वास्तव में इंटरनेट उपयोगकर्ताओं की विस्तृत श्रृंखला के लिए उपयोगी होगा। अब, जब आपको कैलकुलेटर की आवश्यकता हो, तो हमारी वेबसाइट पर जाएं और मुफ्त इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का उपयोग करें।

एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर सरल अंकगणितीय संचालन और बल्कि जटिल गणितीय गणना दोनों कर सकता है।

Web20calc एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर है जिसमें बड़ी संख्या में कार्य हैं, उदाहरण के लिए, सभी प्राथमिक कार्यों की गणना कैसे करें। कैलकुलेटर त्रिकोणमितीय कार्यों, मैट्रिक्स, लॉगरिदम और यहां तक ​​​​कि प्लॉटिंग का भी समर्थन करता है।

निस्संदेह, Web20calc उन लोगों के समूह के लिए रुचिकर होगा, जो सरल समाधानों की तलाश में, खोज इंजन में एक प्रश्न टाइप करते हैं: एक ऑनलाइन गणितीय कैलकुलेटर। मुफ्त वेब एप्लिकेशन आपको किसी भी गणितीय अभिव्यक्ति के परिणाम की तुरंत गणना करने में मदद करेगा, उदाहरण के लिए, घटाना, जोड़ना, विभाजित करना, जड़ निकालना, एक शक्ति बढ़ाना, आदि।

व्यंजक में, आप घातांक, जोड़, घटाव, गुणा, भाग, प्रतिशत, PI स्थिरांक के संक्रियाओं का उपयोग कर सकते हैं। जटिल गणनाओं के लिए कोष्ठक का उपयोग किया जाना चाहिए।

इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की विशेषताएं:

1. बुनियादी अंकगणितीय संचालन;
2. मानक रूप में संख्याओं के साथ काम करें;
3. त्रिकोणमितीय जड़ों, कार्यों, लघुगणक, घातांक की गणना;
4. सांख्यिकीय गणना: जोड़, अंकगणितीय माध्य या मानक विचलन;
5. एक मेमोरी सेल का अनुप्रयोग और 2 चर के उपयोगकर्ता कार्य;
6. रेडियन और डिग्री माप में कोणों के साथ काम करें।

इंजीनियरिंग कैलकुलेटर विभिन्न प्रकार के गणितीय कार्यों के उपयोग की अनुमति देता है:

जड़ों का निष्कर्षण (वर्गमूल, घनमूल, साथ ही n-th डिग्री की जड़);
पूर्व (ई से एक्स पावर), एक्सपोनेंट;
त्रिकोणमितीय कार्य: साइन - पाप, कोसाइन - कॉस, स्पर्शरेखा - तन;
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य: आर्क्सिन - पाप -1, आर्ककोसाइन - कॉस -1, आर्कटिक - टैन -1;
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य: साइन - सिंह, कोसाइन - कोष, स्पर्शरेखा - तन;
लघुगणक: आधार दो द्विआधारी लघुगणक log2x है, आधार दस आधार दस लघुगणक लघुगणक है, प्राकृतिक लघुगणक ln है।

इस इंजीनियरिंग कैलकुलेटर में विभिन्न माप प्रणालियों - कंप्यूटर इकाइयों, दूरी, वजन, समय आदि के लिए भौतिक मात्राओं को परिवर्तित करने की क्षमता के साथ मात्राओं का एक कैलकुलेटर भी शामिल है। इस फ़ंक्शन के साथ, आप तुरंत मील को किलोमीटर, पाउंड से किलोग्राम, सेकंड से घंटे आदि में बदल सकते हैं।

गणितीय गणना करने के लिए, पहले उपयुक्त क्षेत्र में गणितीय अभिव्यक्तियों का एक क्रम दर्ज करें, फिर समान चिह्न पर क्लिक करें और परिणाम देखें। आप सीधे कीबोर्ड से मान दर्ज कर सकते हैं (इसके लिए, कैलकुलेटर क्षेत्र सक्रिय होना चाहिए, इसलिए, कर्सर को इनपुट फ़ील्ड में रखना उपयोगी होगा)। अन्य बातों के अलावा, कैलकुलेटर के बटनों का उपयोग करके ही डेटा दर्ज किया जा सकता है।

इनपुट फ़ील्ड में ग्राफ़ बनाने के लिए, उदाहरण फ़ील्ड में बताए अनुसार फ़ंक्शन लिखें या इसके लिए विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए टूलबार का उपयोग करें (इस पर जाने के लिए, ग्राफ़ के रूप में आइकन के साथ बटन पर क्लिक करें)। मानों को बदलने के लिए, मैट्रिसेस - मैट्रिक्स के साथ काम करने के लिए यूनिट दबाएं।

प्रथम स्तर

अभिव्यक्ति रूपांतरण। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अक्सर हम यह अप्रिय वाक्यांश सुनते हैं: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।"आमतौर पर, इस मामले में, हमारे पास इस तरह का कोई राक्षस होता है:

"हाँ, बहुत आसान है," हम कहते हैं, लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो।

इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को (सिर्फ!) एक साधारण संख्या (हाँ, उन अक्षरों के साथ नरक में) के लिए सरल बना देंगे।

लेकिन इससे पहले कि आप इस पाठ को शुरू करें, आपको सक्षम होने की आवश्यकता है भिन्नों से निपटनाऔर बहुपदों का गुणनखंड करना।

इसलिए, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

पढ़ना? अगर हां, तो आप तैयार हैं।

चलो चले चलो चले!)

महत्वपूर्ण लेख!यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अस्पष्ट देखते हैं, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) दबाएं यासीएमडी+आर (मैक पर)

मूल अभिव्यक्ति सरलीकरण संचालन

अब हम उन मुख्य तकनीकों का विश्लेषण करेंगे जिनका प्रयोग व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

उनमें से सबसे सरल है

1. समान लाना

समान क्या हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में पढ़ा था, जब पहली बार गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर दिखाई देते थे।

एक जैसाएक ही अक्षर वाले भाग वाले पद (एकपदी) हैं।

उदाहरण के लिए, योग में, समान पद हैं और।

याद आया?

समान लाओ- का अर्थ है कई समान शब्दों को एक दूसरे के साथ जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

लेकिन हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - तुम पूछो।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करते हैं कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं।

उदाहरण के लिए, पत्र एक कुर्सी है। फिर अभिव्यक्ति क्या है?

दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति का प्रयास करें:

भ्रमित न होने के लिए, अलग-अलग अक्षर अलग-अलग वस्तुओं को दर्शाते हैं।

उदाहरण के लिए, - यह (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - यह एक मेज है।

कुर्सियाँ मेज़ कुर्सियाँ मेज़ कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेज़

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों.

उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और वह बराबर है।

तो, समान लाने का नियम:

उदाहरण:

समान लाओ:

उत्तर:

2. (और समान हैं, इसलिए, इन शब्दों में एक ही अक्षर भाग है)।

2. गुणनखंड

यह आमतौर पर अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा।

आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति की आवश्यकता होती है खंड करना, यानी एक उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं।

विशेष रूप से यह भिन्नों में महत्वपूर्ण:क्योंकि भिन्न को कम करने के लिए, अंश और हर को उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में व्यंजकों के गुणनखंडन की विस्तृत विधियों का अध्ययन किया है, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा है।

ऐसा करने के लिए, कुछ उदाहरणों को हल करें (आपको गुणनखंड करने की आवश्यकता है)

उदाहरण:

समाधान:

3. अंश में कमी।

खैर, अंश और हर के एक हिस्से को काटकर अपने जीवन से बाहर निकालने से अच्छा और क्या हो सकता है?

यही संक्षेप की सुंदरता है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें घटाया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

यानी कमी ऑपरेशन का सार यह है कि हम एक भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही व्यंजक) से विभाजित करते हैं।

अंश को कम करने के लिए, आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें हटाया जा सकता है।

उदाहरण:

सिद्धांत, मुझे लगता है, स्पष्ट है?

मैं संक्षेप में एक सामान्य गलती की ओर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं। हालाँकि यह विषय सरल है, लेकिन बहुत से लोग सब कुछ गलत करते हैं, यह महसूस नहीं करते हैं कट गया- मतलब है विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या से।

यदि अंश या हर योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं है।

उदाहरण के लिए: आपको सरल बनाने की आवश्यकता है।

कुछ ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है।

एक और उदाहरण: कम करें।

"सबसे चतुर" यह करेगा:

मुझे बताओ यहाँ क्या गलत है? ऐसा प्रतीत होता है: - यह एक गुणक है, इसलिए आप कम कर सकते हैं।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन अंश स्वयं समग्र रूप से कारकों में विघटित नहीं होता है।

यहाँ एक और उदाहरण है:।

यह अभिव्यक्ति कारकों में विघटित हो जाती है, जिसका अर्थ है कि आप कम कर सकते हैं, अर्थात अंश और हर को विभाजित कर सकते हैं, और फिर:

आप तुरंत विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए, यह निर्धारित करने का एक आसान तरीका याद रखें कि कोई व्यंजक गुणनखंडित है या नहीं:

व्यंजक के मान की गणना करते समय अंतिम बार किया गया अंकगणितीय ऑपरेशन "मुख्य" है।

अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, और व्यंजक के मान की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक गुणनफल होता है (व्यंजक गुणनखंडों में विघटित होता है)।

यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका अर्थ है कि व्यंजक गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए कम नहीं किया जा सकता)।

इसे स्वयं ठीक करने के लिए, कुछ उदाहरण:

उदाहरण:

समाधान:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने के लिए नहीं गए और? यह अभी भी इस तरह की इकाइयों को "कम" करने के लिए पर्याप्त नहीं था:

कारक बनाने के लिए पहला कदम होना चाहिए:

4. भिन्नों का जोड़ और घटाव। भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना।

साधारण अंशों का जोड़ और घटाव एक प्रसिद्ध ऑपरेशन है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंश जोड़ते / घटाते हैं।

चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और सह अभाज्य हैं, अर्थात् उनके समान गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का एलसीएम उनके उत्पाद के बराबर है। यह आम भाजक होगा:

2. यहाँ सार्व भाजक है:

3. यहां, सबसे पहले, हम मिश्रित अंशों को अनुचित अंशों में बदलते हैं, और फिर - सामान्य योजना के अनुसार:

उदाहरण के लिए, भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल दूसरी बात है:

आइए सरल शुरू करें:

a) हर में अक्षर नहीं होते हैं

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक अंशों के समान है: हम एक सामान्य भाजक पाते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं:

अब अंश में आप समान अंश ला सकते हैं, यदि कोई हो, और उनका गुणनखंड करें:

इसे स्वयं आज़माएं:

उत्तर:

b) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य भाजक खोजने का सिद्धांत याद रखें:

सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं;

और उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करें, सामान्य नहीं।

हर के सामान्य गुणनखंडों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें सरल कारकों में विघटित करते हैं:

हम सामान्य कारकों पर जोर देते हैं:

अब हम सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारक जोड़ते हैं:

यह सामान्य भाजक है।

आइए पत्रों पर वापस जाएं। भाजक ठीक उसी तरह दिए गए हैं:

हम भाजक को कारकों में विघटित करते हैं;

सामान्य (समान) गुणक निर्धारित करें;

सभी सामान्य कारकों को एक बार लिख लें;

हम उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करते हैं, सामान्य नहीं।

तो, क्रम में:

1) हर को कारकों में विघटित करें:

2) सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (रेखांकित नहीं) कारकों से गुणा करें:

तो आम भाजक यहाँ है। पहले अंश से गुणा किया जाना चाहिए, दूसरा - द्वारा:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान कारक देखते हैं, केवल सभी अलग-अलग संकेतकों के साथ। आम भाजक होगा:

सीमा तक

सीमा तक

सीमा तक

डिग्री में।

आइए कार्य को जटिल करें:

भिन्नों को एक ही भाजक कैसे बनाते हैं?

आइए एक भिन्न का मूल गुण याद रखें:

यह कहीं नहीं कहा गया है कि एक भिन्न के अंश और हर में से एक ही संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

अपने लिए देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए, . क्या सीखा है?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप एक सामान्य हर में भिन्न लाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन पाने के लिए आपको गुणा करने की क्या ज़रूरत है?

यहां पर और गुणा करें। और इससे गुणा करें:

जिन व्यंजकों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें "प्राथमिक कारक" कहा जाएगा।

उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक कारक है। - भी। लेकिन - नहीं: यह कारकों में विघटित हो जाता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही "" विषय में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

इसलिए, जिन प्राथमिक कारकों में आप अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, वे साधारण कारकों के अनुरूप होते हैं जिनमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनके साथ भी ऐसा ही करेंगे।

हम देखते हैं कि दोनों हरों में एक गुणनखंड होता है। यह सत्ता में आम भाजक के पास जाएगा (याद रखें क्यों?)

गुणक प्राथमिक है, और उनके पास यह सामान्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

फेसला:

पैनिक में इन हरों को गुणा करने से पहले, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे फ़ैक्टर किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

बढ़िया! फिर:

एक और उदाहरण:

फेसला:

हमेशा की तरह, हम भाजक का गुणनखंड करते हैं। पहले हर में, हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा लगता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप करीब से देखें, तो वे पहले से ही बहुत समान हैं ... और सच्चाई यह है:

तो चलिए लिखते हैं:

यही है, यह इस तरह निकला: ब्रैकेट के अंदर, हमने शर्तों की अदला-बदली की, और साथ ही, अंश के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल गया। ध्यान दें, आपको ऐसा अक्सर करना होगा।

अब हम एक सामान्य भाजक को लाते हैं:

समझ गया? अब चलो जाँच करते हैं।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी चाहिए - क्यूब्स का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे भिन्न के हर में "योग का वर्ग" सूत्र नहीं होता है! योग का वर्ग इस तरह दिखेगा:

ए योग का तथाकथित अपूर्ण वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोगुना गुणनफल। योग का अधूरा वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

क्या होगा यदि पहले से ही तीन अंश हैं?

हाँ वही! सबसे पहले, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि हर में अधिकतम गुणनखंड समान हों:

ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर के चिन्हों को बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिन्ह बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह फिर से उलट जाता है। नतीजतन, वह (अंश के सामने का चिन्ह) नहीं बदला है।

हम सामान्य हर में पहले हर को पूर्ण रूप से लिखते हैं, और फिर हम इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक अंश हैं)। यानी यह इस प्रकार है:

हम्म ... भिन्नों के साथ, यह स्पष्ट है कि क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह आसान है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि ड्यूस एक अंश बन जाए! याद रखें: एक अंश एक विभाजन ऑपरेशन है (अंश को हर से विभाजित किया जाता है, यदि आप अचानक भूल जाते हैं)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस मामले में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, लेकिन एक अंश में बदल जाएगी:

आख़िर ज़रूरत क्या है!

5. भिन्नों का गुणा और भाग।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल है, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण है:

प्रक्रिया

अंकीय व्यंजक की गणना करने की प्रक्रिया क्या है? याद रखें, ऐसी अभिव्यक्ति के मूल्य को देखते हुए:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिलाता हूं।

डिग्री की गणना करने के लिए पहला कदम है।

दूसरा गुणन और भाग है। यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हैं, तो आप उन्हें किसी भी क्रम में कर सकते हैं।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर से, किसी भी क्रम में।

लेकिन: कोष्ठक की अभिव्यक्ति का मूल्यांकन क्रम से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

क्या होगा यदि कोष्ठक के अंदर अन्य कोष्ठक हैं? अच्छा, आइए सोचते हैं: कोष्ठक के अंदर कुछ व्यंजक लिखे गए हैं। किसी व्यंजक का मूल्यांकन करते समय सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सब कुछ।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूँ):

ठीक है, यह सब आसान है।

लेकिन यह अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति के समान नहीं है, है ना?

नहीं, यह वही है! केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के बजाय बीजगणितीय संक्रियाएँ करना आवश्यक है, अर्थात् पिछले भाग में वर्णित संक्रियाएँ: समान लाना, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को घटाना, इत्यादि। फर्क सिर्फ इतना है कि बहुपदों को फैक्टरिंग करने की क्रिया होगी (अक्सर हम इसका इस्तेमाल भिन्नों के साथ काम करते समय करते हैं)। बहुधा, गुणनखंडन के लिए, आपको i का उपयोग करना होगा या सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य किसी व्यंजक को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले हम कोष्ठक में व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और सरल बनाना असंभव है, यहाँ सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी इसका अर्थ याद है?)

2) हमें मिलता है:

भिन्नों का गुणन: क्या आसान हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

यही बात है। कुछ भी जटिल नहीं है, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान देखें।

फेसला:

सबसे पहले, आइए प्रक्रिया को परिभाषित करें।

सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, दो भिन्नों के बजाय, एक निकलेगा।

फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, हम परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ते हैं।

मैं योजनाबद्ध रूप से चरणों की संख्या दूंगा:

अब मैं वर्तमान क्रिया को लाल रंग से रंगते हुए पूरी प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी टिप्स दूंगा:

1. यदि समान हैं, तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे पास जो भी क्षण हैं, उन्हें तुरंत लाने की सलाह दी जाती है।

2. भिन्नों को कम करने के लिए भी यही होता है: जैसे ही कम करने का अवसर आता है, इसका उपयोग किया जाना चाहिए। अपवाद वे अंश हैं जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि उनके पास अब समान भाजक हैं, तो कटौती को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आप स्वयं हल कर सकते हैं:

और शुरुआत में ही वादा किया था:

उत्तर:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना किया है, तो विचार करें कि आपने इस विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने के लिए!

अभिव्यक्ति रूपांतरण। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान पदों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना, आवेदन करना आदि।
• अंश में कमी: किसी भिन्न के अंश और हर को उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हैं, तो उन्हें काट दिया जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणकों को कम किया जा सकता है!

• भिन्नों का जोड़ और घटाव:
  ;
• भिन्नों का गुणन और विभाजन:
  ;

टिप्पणी 1

तार्किक अभिव्यक्ति का उपयोग करके एक तार्किक कार्य लिखा जा सकता है, और फिर आप तार्किक सर्किट पर जा सकते हैं। तार्किक सर्किट को यथासंभव सरल (और इसलिए सस्ता) प्राप्त करने के लिए तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना आवश्यक है। वास्तव में, एक तार्किक कार्य, एक तार्किक अभिव्यक्ति और एक तार्किक सर्किट तीन अलग-अलग भाषाएं हैं जो एक ही इकाई के बारे में बात करती हैं।

तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए, उपयोग करें तर्क के बीजगणित के नियम.

कुछ परिवर्तन शास्त्रीय बीजगणित में सूत्रों के परिवर्तनों के समान हैं (सामान्य कारक को ब्रैकेट करना, कम्यूटेटिव और सहयोगी कानूनों का उपयोग करना, आदि), जबकि अन्य परिवर्तन उन गुणों पर आधारित होते हैं जो शास्त्रीय बीजगणित संचालन में नहीं होते हैं (संयोजन के लिए वितरण कानून का उपयोग करके, अवशोषण के नियम, ग्लूइंग, डी मॉर्गन के नियम, आदि)।

तर्क के बीजगणित के नियम बुनियादी तार्किक संचालन के लिए तैयार किए जाते हैं - "नहीं" - उलटा (नकार), "और" - संयोजन (तार्किक गुणन) और "या" - विघटन (तार्किक जोड़)।

दोहरे निषेध के नियम का अर्थ है कि "नहीं" ऑपरेशन प्रतिवर्ती है: यदि आप इसे दो बार लागू करते हैं, तो अंत में तार्किक मूल्य नहीं बदलेगा।

बहिष्कृत मध्य का कानून कहता है कि कोई भी तार्किक अभिव्यक्ति या तो सत्य या गलत है ("कोई तीसरा नहीं है")। इसलिए, यदि $A=1$, तो $\bar(A)=0$ (और इसके विपरीत), जिसका अर्थ है कि इन मात्राओं का संयोजन हमेशा शून्य के बराबर होता है, और वियोजन एक के बराबर होता है।

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

आइए इस सूत्र को सरल करें:

चित्र तीन

इसका मतलब है कि $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$।

जवाब:छात्र $B$, $C$ और $D$ शतरंज खेल रहे हैं, लेकिन छात्र $A$ नहीं खेल रहा है।

तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल करते समय, आप क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम कर सकते हैं:

1. उलटा, संयोजन, और संयोजन के मूल संचालन के माध्यम से सभी "गैर-मूल" संचालन (समतुल्यता, निहितार्थ, अनन्य OR, आदि) को उनके भावों से बदलें।
2. डी मॉर्गन के नियमों के अनुसार जटिल व्यंजकों के व्युत्क्रमों का विस्तार इस प्रकार करें कि केवल व्यक्तिगत चरों में निषेधन संक्रियाएँ हों।
3. फिर कोष्ठकों के विस्तार, सामान्य कारकों को ब्रैकेटिंग, और तर्क के बीजगणित के अन्य नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

उदाहरण 2

यहां, डी मॉर्गन का नियम, वितरण कानून, बहिष्कृत मध्य का कानून, कम्यूटेटिव कानून, दोहराव का कानून, फिर से कम्यूटेटिव कानून, और अवशोषण का कानून उत्तराधिकार में उपयोग किया जाता है।

किसी भी भाषा की मदद से आप एक ही जानकारी को अलग-अलग शब्दों और वाक्यांशों में व्यक्त कर सकते हैं। गणितीय भाषा कोई अपवाद नहीं है। लेकिन एक ही अभिव्यक्ति को अलग-अलग तरीकों से समान रूप से लिखा जा सकता है। और कुछ स्थितियों में, प्रविष्टियों में से एक सरल है। हम इस पाठ में भावों को सरल बनाने के बारे में बात करेंगे।

लोग विभिन्न भाषाओं में संवाद करते हैं। हमारे लिए, एक महत्वपूर्ण तुलना जोड़ी "रूसी भाषा - गणितीय भाषा" है। एक ही जानकारी को विभिन्न भाषाओं में रिपोर्ट किया जा सकता है। लेकिन, इसके अलावा एक भाषा में इसका अलग-अलग उच्चारण किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए: "पीटर वास्या के साथ दोस्त है", "वास्या पेट्या के साथ दोस्त है", "पीटर और वास्या दोस्त हैं"। अलग तरह से कहा, लेकिन एक और वही। इनमें से किसी भी वाक्यांश से, हम समझेंगे कि दांव पर क्या है।

आइए इस वाक्यांश को देखें: "लड़का पेट्या और लड़का वास्या दोस्त हैं।" हम समझते हैं कि दांव पर क्या है। हालाँकि, हमें यह पसंद नहीं है कि यह वाक्यांश कैसा लगता है। क्या हम इसे सरल नहीं कह सकते, वही कह सकते हैं, लेकिन सरल? "लड़का और लड़का" - आप एक बार कह सकते हैं: "लड़के पेट्या और वास्या दोस्त हैं।"

"लड़के" ... क्या उनके नाम से यह स्पष्ट नहीं है कि वे लड़कियां नहीं हैं। हम "लड़कों" को हटाते हैं: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" और "दोस्तों" शब्द को "दोस्तों" से बदला जा सकता है: "पेट्या और वास्या दोस्त हैं।" नतीजतन, पहले, लंबे, बदसूरत वाक्यांश को एक समान कथन के साथ बदल दिया गया था जो कहना आसान है और समझने में आसान है। हमने इस वाक्यांश को सरल बनाया है। सरल करने का अर्थ है इसे आसान कहना, लेकिन खोना नहीं, अर्थ को विकृत नहीं करना।

गणितीय भाषा में भी ऐसा ही होता है। एक ही बात को अलग तरह से कहा जा सकता है। किसी व्यंजक को सरल बनाने का क्या अर्थ है? इसका मतलब यह है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए कई समान अभिव्यक्तियाँ हैं, अर्थात्, जिनका अर्थ एक ही है। और इस सारी भीड़ में से, हमें अपनी राय में, सबसे सरल, या हमारे आगे के उद्देश्यों के लिए सबसे उपयुक्त चुनना चाहिए।

उदाहरण के लिए, एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति पर विचार करें। के बराबर होगा।

यह भी पहले दो के बराबर होगा: .

यह पता चला है कि हमने अपने भावों को सरल बना दिया है और सबसे छोटा समकक्ष अभिव्यक्ति पाया है।

सांख्यिक व्यंजकों के लिए, आपको हमेशा सभी कार्य करने होंगे और एक ही संख्या के रूप में समतुल्य व्यंजक प्राप्त करना होगा।

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति के उदाहरण पर विचार करें . जाहिर है, यह आसान होगा।

शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल करते समय, आपको वे सभी कार्य करने चाहिए जो संभव हों।

क्या किसी व्यंजक को सरल बनाना हमेशा आवश्यक होता है? नहीं, कभी-कभी एक समतुल्य लेकिन लंबा अंकन हमारे लिए अधिक सुविधाजनक होगा।

उदाहरण: संख्या से संख्या घटाएं।

गणना करना संभव है, लेकिन यदि पहली संख्या को इसके समकक्ष अंकन द्वारा दर्शाया गया था: , तो गणना तात्कालिक होगी:।

अर्थात्, आगे की गणना के लिए एक सरलीकृत अभिव्यक्ति हमेशा हमारे लिए फायदेमंद नहीं होती है।

फिर भी, बहुत बार हमें ऐसे कार्य का सामना करना पड़ता है जो "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं" जैसा लगता है।

व्यंजक को सरल कीजिए : .

फेसला

1) पहले और दूसरे कोष्ठक में क्रियाएँ करें: .

2) उत्पादों की गणना करें: .

जाहिर है, अंतिम अभिव्यक्ति का प्रारंभिक रूप की तुलना में सरल रूप है। हमने इसका सरलीकरण कर दिया है।

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, इसे समतुल्य (बराबर) से बदला जाना चाहिए।

समकक्ष अभिव्यक्ति निर्धारित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) सभी संभव कार्य करें,

2) गणना को सरल बनाने के लिए जोड़, घटाव, गुणा और भाग के गुणों का उपयोग करें।

जोड़ और घटाव के गुण:

1. जोड़ की कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी: योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है।

2. जोड़ का साहचर्य गुण: दो संख्याओं के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरी और तीसरी संख्याओं का योग जोड़ सकते हैं।

3. किसी संख्या में से योग घटाने का गुण: किसी संख्या से योग घटाने के लिए आप प्रत्येक पद को अलग-अलग घटा सकते हैं।

गुणन और भाग के गुण

1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणनखंडों के क्रमपरिवर्तन से गुणनफल नहीं बदलता है।

2. साहचर्य गुण: किसी संख्या को दो संख्याओं के गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप पहले इसे पहले गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणामी गुणनफल को दूसरे गुणनखंड से गुणा कर सकते हैं।

3. गुणन का वितरण गुण: किसी संख्या को किसी योग से गुणा करने के लिए, आपको उसे प्रत्येक पद से अलग-अलग गुणा करना होगा।

आइए देखें कि हम वास्तव में मानसिक गणना कैसे करते हैं।

गणना करें:

फेसला

1) कल्पना कीजिए कि कैसे

2) आइए पहले गुणक को बिट शर्तों के योग के रूप में प्रस्तुत करें और गुणन करें:

3) आप कल्पना कर सकते हैं कि गुणा कैसे और कैसे करें:

4) पहले गुणनखंड को समतुल्य योग से बदलें:

वितरण नियम का उपयोग विपरीत दिशा में भी किया जा सकता है: .

इन चरणों का पालन करें:

1) 2)

फेसला

1) सुविधा के लिए, आप वितरण कानून का उपयोग कर सकते हैं, बस इसे विपरीत दिशा में उपयोग करें - सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें।

2) कोष्ठकों में से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालते हैं

रसोई और दालान में लिनोलियम खरीदना आवश्यक है। रसोई क्षेत्र - दालान -। लिनोलियम तीन प्रकार के होते हैं: के लिए, और रूबल के लिए। तीन प्रकार के लिनोलियम में से प्रत्येक की लागत कितनी होगी? (चित्र .1)

चावल। 1. समस्या की स्थिति के लिए चित्रण

फेसला

विधि 1. आप अलग से पता लगा सकते हैं कि रसोई में लिनोलियम खरीदने में कितना पैसा लगेगा, और फिर इसे दालान में जोड़ें और परिणामी कार्यों को जोड़ें।

§ 1 शाब्दिक अभिव्यक्ति को सरल बनाने की अवधारणा

इस पाठ में, हम "समान शब्दों" की अवधारणा से परिचित होंगे और उदाहरणों का उपयोग करते हुए, हम सीखेंगे कि समान शब्दों को कैसे कम किया जाए, इस प्रकार शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल बनाया जाए।

आइए "सरलीकरण" की अवधारणा का अर्थ जानें। "सरलीकरण" शब्द "सरलीकरण" शब्द से बना है। सरल करने का अर्थ है सरल, सरल बनाना। इसलिए, एक शाब्दिक अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए इसे कम से कम क्रियाओं के साथ छोटा करना है।

व्यंजक 9x + 4x पर विचार कीजिए। यह एक शाब्दिक अभिव्यक्ति है जो एक योग है। यहां शब्दों को एक संख्या और एक अक्षर के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत किया गया है। ऐसे पदों के संख्यात्मक गुणनखंड को गुणांक कहा जाता है। इस व्यंजक में, गुणांक संख्या 9 और 4 होंगे। कृपया ध्यान दें कि अक्षर द्वारा निरूपित गुणक इस योग के दोनों पदों में समान है।

गुणन के वितरण नियम को याद करें:

योग को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणामी गुणनफल जोड़ सकते हैं।

सामान्य तौर पर, यह निम्नानुसार लिखा जाता है: (ए + बी) सी \u003d एसी + बीसी।

यह नियम दोनों दिशाओं में मान्य है ac + bc = (a + b) c

आइए इसे हमारी शाब्दिक अभिव्यक्ति पर लागू करें: 9x और 4x के उत्पादों का योग उत्पाद के बराबर है, जिसका पहला कारक 9 और 4 का योग है, दूसरा कारक x है।

9 + 4 = 13 13x बनाता है।

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x।

व्यंजक में तीन क्रियाओं के स्थान पर एक क्रिया रह गई - गुणन। इसलिए, हमने अपनी शाब्दिक अभिव्यक्ति को सरल बना दिया है, अर्थात। इसे सरल बनाया।

§ 2 समान पदों में कमी

पद 9x और 4x केवल उनके गुणांकों में भिन्न होते हैं - ऐसे पदों को समान कहा जाता है। समान पदों का अक्षर भाग समान होता है। समान पदों में संख्याएँ और समान पद भी शामिल हैं।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 9a + 12 - 15 में, संख्या 12 और -15 समान पद होंगे, और 12 और 6a के गुणनफलों के योग में, संख्याएँ 14 और 12 और 6a के गुणनफल (12 ∙ 6a + 14 + 12 6a), 12 और 6a के गुणन द्वारा दर्शाए गए समान पद।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि समान गुणांक और विभिन्न शाब्दिक कारकों वाले शब्द समान नहीं हैं, हालांकि कभी-कभी उनके लिए गुणन के वितरण कानून को लागू करना उपयोगी होता है, उदाहरण के लिए, 5x और 5y के उत्पादों का योग उत्पाद के बराबर होता है। संख्या 5 और x और y . का योग

5x + 5y = 5 (x + y)।

आइए व्यंजक -9a + 15a - 4 + 10 को सरल करें।

इस मामले में, पद -9a और 15a समान पद हैं, क्योंकि वे केवल उनके गुणांकों में भिन्न हैं। उनके पास एक ही अक्षर गुणक है, और पद -4 और 10 भी समान हैं, क्योंकि वे संख्याएं हैं। हम समान शब्द जोड़ते हैं:

9ए + 15ए - 4 + 10

9ए + 15ए = 6ए;

हमें मिलता है: 6a + 6।

व्यंजक को सरल बनाने पर हमें समान पदों का योग ज्ञात होता है, गणित में इसे समान पदों का ह्रास कहते हैं।

यदि ऐसे शब्दों को लाना कठिन है, तो आप उनके लिए शब्द बना सकते हैं और वस्तुओं को जोड़ सकते हैं।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति पर विचार करें:

प्रत्येक अक्षर के लिए हम अपनी वस्तु लेते हैं: बी-सेब, सी-नाशपाती, फिर यह निकलेगा: 2 सेब माइनस 5 नाशपाती प्लस 8 नाशपाती।

क्या हम सेब से नाशपाती घटा सकते हैं? बिलकूल नही। लेकिन हम घटाकर 5 नाशपाती में 8 नाशपाती जोड़ सकते हैं।

हम समान पद -5 नाशपाती + 8 नाशपाती देते हैं। समान शब्दों का एक ही शाब्दिक भाग होता है, इसलिए, समान पदों को कम करते समय, गुणांक जोड़ने और परिणाम में शाब्दिक भाग जोड़ने के लिए पर्याप्त है:

(-5 + 8) नाशपाती - आपको 3 नाशपाती मिलती है।

हमारे शाब्दिक व्यंजक पर लौटने पर, हमारे पास -5s + 8s = 3s होता है। इस प्रकार, समान पदों को कम करने के बाद, हम व्यंजक 2b + 3c प्राप्त करते हैं।

तो, इस पाठ में, आप "समान शब्दों" की अवधारणा से परिचित हुए और समान शब्दों को लाकर शाब्दिक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना सीखा।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. गणित। ग्रेड 6: आई.आई. द्वारा पाठ्यपुस्तक के लिए पाठ योजनाएँ। जुबरेवा, ए.जी. मोर्दकोविच // लेखक-संकलक एल.ए. टोपिलिन। निमोसिन 2009।
2. गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक। आई.आई. जुबारेवा, ए.जी. मोर्दकोविच।- एम .: मेनमोज़िना, 2013।
3. गणित। ग्रेड 6: शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / जी.वी. डोरोफीव, आई.एफ. शेरगिन, एस.बी. सुवोरोव और अन्य / जी.वी. द्वारा संपादित। डोरोफीवा, आई.एफ. शेरीगिन; रूसी विज्ञान अकादमी, रूसी शिक्षा अकादमी। एम .: "ज्ञानोदय", 2010।
4. गणित। ग्रेड 6: सामान्य शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / N.Ya। विलेनकिन, वी.आई. झोखोव, ए.एस. चेस्नोकोव, एस.आई. श्वार्जबर्ड। - एम .: मेनमोज़िना, 2013।
5. गणित। ग्रेड 6: पाठ्यपुस्तक / जी.के. मुराविन, ओ.वी. चींटी। - एम .: बस्टर्ड, 2014।

उपयोग की गई छवियां: