Tout sur les triangles semblables. Triangles similaires

En règle générale, deux triangles sont considérés comme similaires s'ils ont la même forme, même s'ils sont de tailles différentes, tournés ou même à l'envers.

La représentation mathématique de deux triangles similaires A 1 B 1 C 1 et A 2 B 2 C 2 montrés sur la figure s'écrit comme suit :

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Deux triangles sont semblables si :

1. Chaque angle d'un triangle est égal à l'angle correspondant d'un autre triangle :
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 et ∠C1 = ∠C2

2. Les rapports des côtés d'un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux entre eux :
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relations deux côtés d'un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux entre eux et en même temps
les angles entre ces côtés sont égaux :
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ et $\angle A_1 = \angle A_2$
ou alors
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ et $\angle B_1 = \angle B_2$
ou alors
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ et $\angle C_1 = \angle C_2$

Les triangles semblables ne doivent pas être confondus avec les triangles égaux. Les triangles congruents ont des côtés correspondants. Donc pour les triangles égaux :

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Il en résulte que tout triangles égaux sont similaires. Cependant, tous les triangles similaires ne sont pas égaux.

Bien que la notation ci-dessus montre que pour savoir si deux triangles sont similaires ou non, nous avons besoin de connaître les valeurs des trois angles ou les longueurs des trois côtés de chaque triangle, pour résoudre des problèmes avec des triangles similaires, il suffit de connaître trois valeurs parmi celles ci-dessus pour chaque triangle. Ces valeurs peuvent être dans diverses combinaisons :

1) trois angles de chaque triangle (les longueurs des côtés des triangles n'ont pas besoin d'être connues).

Ou au moins 2 angles d'un triangle doivent être égaux à 2 angles d'un autre triangle.
Puisque si 2 angles sont égaux, alors le troisième angle sera également égal (la valeur du troisième angle est 180 - angle1 - angle2)

2) les longueurs des côtés de chaque triangle (pas besoin de connaître les angles) ;

3) les longueurs des deux côtés et l'angle entre eux.

Ensuite, nous considérons la solution de certains problèmes avec des triangles similaires. Tout d'abord, nous examinerons les problèmes qui peuvent être résolus en utilisant directement les règles ci-dessus, puis nous discuterons de certains problèmes pratiques qui peuvent être résolus en utilisant la méthode des triangles similaires.

Problèmes pratiques avec des triangles semblables

Exemple 1: Montrez que les deux triangles de la figure ci-dessous sont semblables.

Décision:
Puisque les longueurs des côtés des deux triangles sont connues, la deuxième règle peut être appliquée ici :

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemple #2 : Montrer que deux triangles donnés sont semblables et trouver les longueurs des côtés QP et RP.

Décision:
∠A = ∠P et ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(car ∠C = 180 - ∠A - ∠B et ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Il en résulte que les triangles ∆ABC et ∆PQR sont semblables. Ainsi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ et
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemple #3 : Déterminer la longueur UN B dans ce triangle.

Décision:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED et ∠A commun => triangles ∆ABC et ΔADE sont similaires.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemple #4 : Déterminer la longueur AD(x) figure géométrique sur l'image.

Les triangles ∆ABC et ∆CDE sont similaires car AB || DE et ils ont un point commun coin supérieur C
Nous voyons qu'un triangle est une version à l'échelle de l'autre. Cependant, nous devons le prouver mathématiquement.

AB || DE, CD || CA et CB || UE
∠BAC = ∠EDC et ∠ABC = ∠DEC

Sur la base de ce qui précède et en tenant compte de la présence d'un angle commun C, on peut affirmer que les triangles ∆ABC et ∆CDE sont semblables.

Ainsi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 $
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemples pratiques

Exemple #5 : L'usine utilise un tapis roulant incliné pour transporter les produits du niveau 1 au niveau 2, soit 3 mètres au-dessus du niveau 1, comme le montre la figure. Le convoyeur incliné est desservi d'une extrémité au niveau 1 et de l'autre extrémité à un poste de travail situé à une distance de 8 mètres du point de fonctionnement du niveau 1.

L'usine souhaite moderniser le convoyeur pour accéder au nouveau niveau, situé à 9 mètres au-dessus du niveau 1, tout en conservant l'angle du convoyeur.

Déterminez la distance à laquelle vous devez installer un nouveau poste de travail pour vous assurer que le convoyeur fonctionne à sa nouvelle extrémité au niveau 2. Calculez également la distance supplémentaire que le produit parcourra lors du déplacement vers un nouveau niveau.

Décision:

Commençons par étiqueter chaque point d'intersection avec une lettre spécifique, comme indiqué sur la figure.

Sur la base du raisonnement donné ci-dessus dans les exemples précédents, nous pouvons conclure que les triangles ∆ABC et ∆ADE sont similaires. Ainsi,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 millions de dollars
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Ainsi, le nouveau point doit être installé à une distance de 16 mètres du point existant.

Et puisque la structure est composée de triangles rectangles, nous pouvons calculer la distance parcourue par le produit comme suit :

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

De même, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
qui est la distance parcourue par le produit ce moment en entrant dans le niveau existant.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
C'est la distance supplémentaire qu'un produit doit parcourir pour atteindre un nouveau niveau.

Exemple #6 : Steve veut rendre visite à son ami qui a récemment déménagé à nouvelle maison. La feuille de route pour se rendre chez Steve et son ami, ainsi que les distances connues de Steve, sont indiquées sur la figure. Aidez Steve à se rendre chez son ami le plus rapidement possible.

Décision:

La feuille de route peut être représentée géométriquement sous la forme suivante, comme le montre la figure.

On voit que les triangles ∆ABC et ∆CDE sont semblables, donc :
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

L'énoncé de tâche indique que :

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km et DE = 5 km

Grâce à ces informations, nous pouvons calculer les distances suivantes :

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve peut se rendre chez son ami en empruntant les itinéraires suivants :

A -> B -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Par conséquent, le parcours #3 est le plus court et peut être proposé à Steve.

Exemple 7 :
Trisha veut mesurer la hauteur de la maison, mais elle n'a pas les bons outils. Elle a remarqué qu'un arbre poussait devant la maison et a décidé d'utiliser son ingéniosité et ses connaissances en géométrie acquises à l'école pour déterminer la hauteur du bâtiment. Elle a mesuré la distance entre l'arbre et la maison, le résultat était de 30 m, puis elle s'est tenue devant l'arbre et a commencé à reculer jusqu'à ce que le bord supérieur du bâtiment soit visible au-dessus du sommet de l'arbre. Trisha marqua l'endroit et mesura la distance entre celui-ci et l'arbre. Cette distance était de 5 m.

La hauteur de l'arbre est de 2,8 m et la hauteur des yeux de Trisha est de 1,6 m. Aidez Trisha à déterminer la hauteur du bâtiment.

Décision:

La représentation géométrique du problème est représentée sur la figure.

On utilise d'abord la similarité des triangles ∆ABC et ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + CA) = 8 + 1,6 \fois CA$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

On peut alors utiliser la similarité des triangles ∆ACB et ∆AFG ou ∆ADE et ∆AFG. Choisissons la première option.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 millions de dollars

1.2. Définition des triangles semblables. Définition. Deux triangles sont dits semblables si leurs angles sont respectivement égaux et si les côtés d'un triangle sont proportionnels aux côtés semblables de l'autre triangle. En d'autres termes, deux triangles sont semblables s'ils peuvent être désignés par les lettres ABC et A1B1C1 de sorte que A = A1, B = B1, C = C1. Le nombre k égal au rapport des côtés similaires des triangles est appelé le coefficient de similarité.

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Géométrie 8e année

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Triangles semblables Deux triangles sont dits semblables si les angles de l'un sont respectivement égaux aux angles de l'autre et si les côtés correspondants sont proportionnels. Le coefficient de proportionnalité est appelé coefficient de similarité. Ainsi, le triangle ABC est similaire au triangle A 1 B 1 C 1 si A = A 1, B = B 1, C = C 1 et où k est le coefficient de similarité.

Le premier signe de similarité Théorème. (Le premier signe de similitude.) Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors ces triangles sont similaires. Preuve. Soit les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 A = A 1, B= B 1. Alors C= C 1. Prouvons cela. Traçons le segment A 1 B "égal à AB sur la poutre A 1 B 1, et traçons une droite B" C "parallèle à B 1 C 1. Les triangles A 1 B" C "et ABC sont égaux (selon le deuxième critère pour l'égalité des triangles) D'après le théorème sur les segments proportionnels, l'égalité a lieu Donc, nous avons l'égalité, il est prouvé que l'égalité a lieu les triangles sont semblables.

Question 1 Quels triangles sont dits semblables ? Réponse : Deux triangles sont dits semblables si les angles de l'un sont respectivement égaux aux angles de l'autre et si les côtés correspondants sont proportionnels.

Question 2 Formulez des triangles. Premier signe de similarité Réponse : Si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, alors ces triangles sont similaires.

Question 3 Est-ce que deux : a) triangles équilatéraux sont similaires ? b) triangles isocèles ; c) des triangles rectangles isocèles ? Réponse : a) Oui ; b) non ; c) oui.

Exercice 4 Dessinez un triangle A'B'C' similaire au triangle ABC donné avec un facteur de similarité de 0,5.

Exercice 5 Les côtés d'un triangle mesurent 5 cm, 8 cm et 10 cm Trouver les côtés d'un triangle semblable si le coefficient de similarité est : a) 0,5 ; b) 2. Réponse : a) 2,5 cm, 4 cm et 5 cm ; b) 10 cm, 16 cm et 20 cm.

Exercice 6 Les triangles rectangles sont-ils semblables si l'un d'eux a un angle de 40° et l'autre de 50° ? Réponse : Oui.

Exercice 7 Deux triangles sont semblables. Deux angles d'un triangle sont égaux à 55° et 80°. Trouver le plus petit angle du deuxième triangle. Réponse : 45 heures.

Exercice 8 Dans des triangles similaires ABC et A 1 B 1 C 1 AB \u003d 8 cm, BC \u003d 10 cm, A 1 B 1 \u003d 5,6 cm, A 1 C 1 \u003d 10,5 cm Trouvez AC et B 1 C 1 .Réponse : AC=15cm, B 1 C 1=7cm.

Exercice 9 Triangles ABC et A 1 B 1 C 1 A \u003d A 1, B \u003d B 1, AB \u003d 5 m, BC \u003d 7 m, A 1 B 1 \u003d 10 m, A 1 C 1 \u003d 8 m. Trouvez les autres côtés des triangles. Réponse : AC = 4 m, B 1 C 1 = 14 m.

Exercice 10 Les côtés d'un triangle sont liés par 5 : 3 : 7. Trouvez les côtés d'un triangle qui lui ressemble, dans lequel : a) le périmètre est de 45 cm ; b) le plus petit côté mesure 5 cm ; c) le plus grand côté mesure 7 cm ; d) la différence entre le grand et le petit côté est de 2 cm Réponse : a) 15 cm, 9 cm, 21 cm ; b) 8 cm, 5 cm, 11 cm ; c) 5 cm, 3 cm, 7 cm ; d) 2,5 cm, 1,5 cm, 3,5 cm.

Exercice 11 Dans la figure, indiquez tous les triangles semblables. Réponse : a) ABC, FEC, DBE ; b) ABC, GFC, AGD, FBE ; c) ABC, CDA, AEB, BEC ; d) AOB, COD ; e) ABC et FGC ; ADC et FEC ; DBC et EGC.

Exercice 12 Deux triangles isocèles ont des angles égaux entre les côtés. Le côté et la base d'un triangle mesurent respectivement 17 cm et 10 cm, la base de l'autre est de 8 cm. Trouvez son côté. Réponse : 13,6 cm.

Exercice 13 Dans un triangle de côté a et de hauteur h abaissé dessus, un carré est inscrit de sorte que deux de ses sommets se trouvent de ce côté du triangle, et les deux autres se trouvent sur les deux autres côtés du triangle. Trouvez le côté du carré. Répondre: .

Exercice 14 Le losange ADEF est inscrit dans le triangle ABC de façon à ce qu'ils aient un angle commun, et le sommet E est du côté BC. Trouvez le côté du losange si AB = c et AC = b. Répondre: .

Exercice 15 Est-il possible d'intersecter un triangle par une droite, non parallèle à la base, de façon à en retrancher un triangle semblable ? Dans quel cas est-ce impossible ? Réponse : C'est possible si le triangle n'est pas équilatéral.

Exercice 16 Soient AC et BD des cordes circulaires se coupant au point E. Démontrer que les triangles ABE et CDE sont semblables. Preuve : L'angle A du triangle ABE est égal à l'angle D du triangle CDE, en tant qu'angles inscrits basés sur un arc de cercle. De même, l'angle B est égal à l'angle C. Par conséquent, les triangles ABE et CDE sont semblables dans le premier critère.

Exercice 17 Dans la figure AE = 3, BE = 6, CE = 2. Trouver DE. Réponse : 4.

Exercice 18 Dans l'image AB = 8, BE = 6, DE = 4. Trouvez le CD. Répondre: .

Exercice 19 Dans la figure CE = 2, DE = 5, AE = 4. Trouver BE. Réponse : 10.

Exercice 20 Dans la figure CE = 4, CD = 10, AE = 6. Trouvez AB. Réponse : 15.

Exercice 21 Dans la figure DL est la bissectrice du triangle DEF inscrite dans un cercle. DL coupe le cercle au point K, qui est relié par des segments de droite aux sommets E et F du triangle. Trouver des triangles semblables. Réponse : DEK et DLF, DEK et ELK, DLF et ELK, DFK et DLE, DFK et FLK, DLE et FLK.

Exercice 22 Inscrit dans un cercle Triangle aigu ABC, AH est sa hauteur, AD est le diamètre du cercle qui coupe le côté BC au point M. Le point D est relié aux sommets B et C du triangle. Trouver des triangles semblables. Réponse : ABH et ADC, ACH et ADB, ABM et CDM, BMD et AMC.

Exercice 23 Démontrer que le produit de segments d'une corde quelconque tirés par un point intérieur d'un cercle est égal au produit de segments d'un diamètre tirés par le même point. Décision. Soit un cercle de centre au point O, la corde AB et le diamètre CD se coupent au point E. Montrons que les triangles ACE et DBE sont semblables. Par conséquent, cela signifie

Exercice 24 Deux droites sont tracées passant par le point extérieur E du cercle et coupent respectivement le cercle aux points A, C et B, D. Démontrer que les triangles ADE et BCE sont semblables. Preuve : L'angle D du triangle ADE est égal à l'angle C du triangle BCE, en tant qu'angles inscrits basés sur un arc de cercle. L'angle E de ces triangles est commun. Par conséquent, les triangles ADE et BCE sont similaires dans la première caractéristique.

Exercice 25 Deux droites sont tracées passant par le point extérieur E du cercle, coupant respectivement le cercle aux points A, C et B, D. Démontrer que AE·CE = BE·DE. Preuve : Les triangles ADE et BCE sont semblables. Donc AE : DE = BE : CE. Par conséquent, AE CE = BE DE.

Exercice 26 Dans la figure, AE = 9, BE = 8, CE = 24. Trouvez DE. Réponse : 27.

Exercice 27 Une ligne est tracée passant par le point extérieur E du cercle, coupant le cercle aux points A et B, et une tangente EC (C est le point de contact). Démontrer que les triangles EAC et ECB sont semblables. Preuve. Les triangles EAC et ECB ont un angle commun E. Les angles ACE et CBE sont égaux, tout comme les angles basés sur la même corde. Les triangles EAC et ECB sont donc similaires.

Exercice 28 Une ligne est tracée passant par le point extérieur E du cercle, coupant le cercle aux points A et B, et une tangente EC (C est le point de contact). Montrer que le produit des segments AE et BE de la sécante est égal au carré du segment CE de la tangente. Preuve. Les triangles EAC et ECB sont similaires. Donc, AE : CE = CE : BE, donc AE BE = CE 2.

Exercice 30 Les hauteurs AA 1 et BB 1 sont tracées dans le triangle ABC Démontrer que les triangles A 1 AC et B 1 BC sont semblables. Preuve. Les triangles A 1 AC et B 1 BC sont rectangles et ont un angle commun C. Par conséquent, ils sont similaires dans deux angles.

Exercice 31 Démontrer que dans triangle rectangle perpendiculaire tombé de angle droit sur l'hypoténuse, est la moyenne géométrique des projections des jambes sur l'hypoténuse. (La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est un nombre positif c dont le carré est égal à ab, soit c =). Solution : les triangles ADC et CDB sont similaires. Par conséquent, soit CD 2 = AD BD, c'est-à-dire que CD est la moyenne géométrique de AD et BD.

Exercice 32 Dans le triangle ABC, le point H est le point d'intersection des hauteurs, le point O est le centre du cercle circonscrit. Montrer que la longueur du segment CH est le double de la distance du point O à la droite AB. Solution : Soient B 1, C 1 les milieux des côtés AC et AB du triangle ABC. Les triangles HBC et OB 1 C 1 sont similaires, BC = 2 B 1 C 1. Par conséquent, CH = 2 OC 1.

Théorème 1. Le premier signe de la similitude des triangles. Si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles d'un autre, alors ces triangles sont semblables.

Preuve. Soit ABC et $A_1B_1C_1$ des triangles avec $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1$ , et donc $\angle C = \angle C_1$ . Montrons que $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ (Fig. 1).

Mettons un segment $BA_2$ égal au segment $A_1B_1$ sur BA à partir du point B, et traçons une ligne passant par le point $A_2$ parallèle à la ligne AC. Cette ligne coupera BC à un certain point $С_2$ . Les triangles $A_1B_1C_1\text( et )A_2BC_2$ sont égaux : $A_1B_1 = A_2B$ par construction, $\angle B = \angle B_1$ par hypothèse, et $\angle A_1 = \angle A_2$ , puisque $\angle A_1 = \ angle A$ par condition et $\angle A = \angle A_2$ comme angles correspondants. D'après le lemme 1 sur les triangles semblables, on a : $\triangle A_2BC_2 \sim \triangle ABC$ , et donc $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ . Le théorème a été prouvé.

Les théorèmes 2 et 3 sont établis de manière similaire.

Théorème 2. Le deuxième signe de la similitude des triangles. Si deux côtés d'un triangle sont respectivement proportionnels à deux côtés d'un autre triangle et que les angles entre ces côtés sont égaux, alors les triangles sont semblables.

Théorème 3. Le troisième signe de la similitude des triangles. Si trois côtés d'un triangle sont proportionnels à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont similaires.

Le théorème 1 implique ce qui suit.

Corollaire 1. Dans les triangles similaires, les côtés similaires sont proportionnels aux hauteurs similaires, c'est-à-dire aux hauteurs qui sont abaissées aux côtés similaires.

Exemple 1 Deux triangles équilatéraux sont-ils semblables ?

Décision. Puisque dans un triangle équilatéral chaque coin intérieur est égal à 60° (corollaire 3), alors les deux triangles équilatéraux sont semblables dans le premier signe.

Exemple 2 Dans les triangles ABC et $A_1B_1C_1$ on sait que $\angle A = \angle A_1 ; \angle B = \angle B_1 ; AB = 5 m, BC = 7 m, A_1B_1 = 10 m, A_1C_1 = 8 m. Trouvez les côtés inconnus des triangles.

Décision. Les triangles définis par la condition du problème sont semblables selon le premier signe de similitude. De la similarité des triangles il résulte : $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(AC)(A_1C_1) \,\,\, (1) $$ Substitution dans l'égalité (1) données de l'état du problème, on obtient : $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) = \frac(AC)(8) \,\,\, (2 ) $$ De l'égalité (2 ) faire deux proportions $$ \frac(5)(10) = \frac(7)(B_1C_1) \\ \frac(5)(10) = \frac(AC)(8) \ \ \text( d'où )B_1C_1 = 14 (m), AC = 4 (m). $$

Exemple 3 Les angles B et $B_1$ des triangles ABC et $A_1B_1C_1$ sont égaux. Côtés AB et BC du triangle ABC 2,5 fois plus de fêtes$A_1B_1$ et $B_1C_1$ du triangle $A_1B_1C_1$. Trouvez AC et $A_1C_1$ si leur somme est de 4,2 m.

Décision. Soit la figure 2 correspondant à la condition du problème.

A partir de la condition du problème : $$ 1) \angle B = \angle B_1 ; \\ 2) \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(BC)(B_1C_1) = 2,5 \\ 3) AC + A_1C_1 = 4,2 m $$ D'où $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. De la similitude de ces triangles découle $$ \frac(AC)(A_1C_1) = 2,5\text( , ou )AC = 2,5\bullet A_1C_1 $$ Puisque AC = 2,5 A 1 C 1 , alors AC + A 1 C 1 \ u003d 2,5 A 1 C 1 + A 1 C 1 \u003d 4,2, d'où A 1 C 1 \u003d 1,2 (m), AC \u003d 3 (m).

Exemple 4 Les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont-ils similaires si AB = 3 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm, A 1 B 1 = 4,5 cm, B 1 C 1 = 7,5 cm, A 1 C 1 \u003d 10,5 cm?

Décision. On a : $$ \frac(AB)(A_1B_1) = \frac(3)(4,5) = \frac(1)(1,5) \\ \frac(BC)(B_1C_1) = \frac(5 ) (7,5) = \frac(1)(1,5) \\ \frac(AC)(A_1C_1) = \frac(7)(10,5) = \frac(1)(1,5) $ $ Par conséquent, les triangles sont semblables dans le troisième critère.

Exemple 5 Prouver que les médianes d'un triangle se coupent en un point, qui divise chaque médiane dans un rapport de 2:1, en partant du sommet.

Décision. Considérons un triangle quelconque ABC. Notons par la lettre O le point d'intersection de ses médianes $AA_1\text( et )BB_1$ et traçons la ligne médiane $A_1B_1$ de ce triangle (fig.3).

Le segment $A_1B_1$ est parallèle au côté AB, donc $\angle 1 = \angle2 \text( et ) \angle 3 = \angle 4 $. Par conséquent, les triangles AOB et $A_1OB_1$ sont semblables dans deux angles, et donc leurs côtés sont proportionnels : $$ \frac(AO)(A_1O) = \frac(BO)(B_1O) = \frac(AB)(A_1B_1) $ $

Mais $AB = 2A_1B_1$ , donc $AO = 2A_1O$ et $BO = 2B_1O$ .

De même, il est prouvé que le point d'intersection des médianes $BB_1\text( et )CC_1) divise chacune d'elles dans le rapport 2:1, en partant du haut, et coïncide donc avec le point O.

Ainsi, les trois médianes du triangle ABC se coupent au point O et le divisent dans un rapport de 2: 1, en partant du haut.

Commenter. Plus tôt, il a été noté que les bissectrices d'un triangle se coupent en un point, les bissectrices perpendiculaires aux côtés du triangle se coupent en un point. Sur la base de la dernière affirmation, il est établi que les hauteurs du triangle (ou leurs extensions) se coupent en un point. Ces trois points et le point d'intersection des médianes sont appelés points merveilleux Triangle.

Exemple 6 Le projecteur éclaire complètement l'écran A, de 90 cm de haut, situé à une distance de 240 cm. A quelle distance en cm du projecteur l'écran B, de 150 cm de haut, doit-il être placé de manière à ce qu'il soit complètement éclairé si les paramètres du projecteur restent inchangés.

Solution vidéo.

Dans cet article, nous examinerons le concept de triangles similaires et d'autres concepts et théorèmes liés à cette définition.

Définition des triangles similaires

Nous allons considérer les deux triangles suivants (Fig. 1).

Figure 1. Triangles similaires

Définition 1

Deux triangles sont dits semblables si les angles et tous les angles d'un triangle sont respectivement égaux aux angles de l'autre et du triangle, et tous les côtés semblables de ces triangles sont proportionnels, c'est-à-dire

\[\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Désignation : $ABC\sim A_1B_1C_1$

Définition 2

Le nombre $k$ égal au rapport des côtés semblables de figures semblables est appelé le coefficient de similarité de ces figures.

Rapport de surface de triangles similaires

Le théorème suivant sur le rapport des aires de triangles semblables est lié à ce concept. Considérons-le sans preuve.

Théorème 1

Le rapport des aires de deux triangles similaires est égal au carré du coefficient de similarité, c'est-à-dire

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Signes de similitude des triangles

Nous présentons les formulations de trois critères de similarité des triangles.

Théorème 2

: Si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles du deuxième triangle, alors ces triangles sont semblables.

Autrement dit, si $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$, alors les triangles $ABC$ et $A_1B_1C_1$ sont similaires (Fig. 2).

Figure 2. Le premier signe de la similitude des triangles

Théorème 3

Le deuxième signe d'égalité des triangles: Si deux côtés d'un triangle sont proportionnels aux côtés correspondants du deuxième triangle et que les angles entre ces côtés sont égaux, alors ces triangles sont similaires.

Autrement dit, si $\angle A=\angle A_1$ et $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, alors les triangles $ABC$ et $A_1B_1C_1$ sont similaires (Fig. 3) .

Figure 3. Le deuxième signe de la similitude des triangles

Théorème 4

Le troisième signe de la similitude des triangles: Si les trois côtés d'un triangle sont proportionnels aux trois côtés correspondants du deuxième triangle, alors ces triangles sont similaires.

Autrement dit, si $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$, alors les triangles $ABC$ et $A_1B_1C_1$ sont similaires.

Exemples de tâches sur le concept de similarité des triangles

Exemple 1

Les triangles isocèles sont-ils semblables s'ils ont

Le long d'un angle aigu égal;

Le long d'un angle obtus égal ;

Angle droit égal.

Décision.

Soit les triangles isocèles $ABC$ et $A_1B_1C_1$ avec $\angle A=\angle A_1.$

Soit $\angle A=\angle A_1$ les angles aigus des triangles. Il y a alors deux cas possibles :

a) $\angle A=\angle A_1$ - angles au sommet de ces triangles. Alors, puisque le triangle $ABC$ est isocèle, alors

\[\angle B=\angle C=\frac(180-\angle A)(2)\]

Puisque le triangle $A_1B_1C_1$ est isocèle, alors

\[\angle B_1=\angle C_1=\frac(180-A_1)(2)=\frac(180-\angle A)(2)=\angle B=\angle C\]

Autrement dit, $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. Par le premier critère de similarité, on obtient que les triangles $ABC$ et $A_1B_1C_1$ sont semblables.

b) $\angle A=\angle A_1$ - angles à la base de ces triangles. Puisque les triangles sont semblables, leurs angles de base sont égaux. Mais alors les deux angles correspondants d'un triangle sont égaux aux deux angles correspondants du second triangle. Ainsi, selon le premier signe de la similitude des triangles, les triangles sont semblables.

Comme l'angle est obtus, il se trouve à la base de ces triangles. Comme pour le point 1, a), nous obtenons qu'ils sont similaires.

Puisque l'angle est un angle droit, il se trouve à la base de ces triangles. Comme pour le point 1, a), nous obtenons qu'ils sont similaires.

Exemple 2

Les triangles $ABC$ et $A_1B_1C_1$ sont-ils semblables si $AB=17,\ BC=30,\ \ AC=42,\ (\ A)_1B_1=34,\ (\ B)_1C_1=60,\ \ A_1C_1= 84 $ ?

Décision.

Trouvez le coefficient de similarité pour chaque paire de côtés des triangles :

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(17)(34)=\frac(1)(2)\] \[\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(30)( 60)=\frac(1)(2)\] \[\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(42)(84)=\frac(1)(2)\]

On a

\[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=\frac(1)(2)\]

Donc, selon le troisième critère de similarité des triangles, on obtient que ces triangles sont semblables.