cercle circonscrit. Guide visuel (2019)

Instruction

Tracez une ligne passant par les points d'intersection des cercles. Vous avez reçu la bissectrice perpendiculaire au segment donné.

Donnons-nous maintenant un point et une droite. Il faut tracer une perpendiculaire de ce point à Placer l'aiguille au point. Dessinez un cercle de rayon (le rayon doit aller d'un point à une ligne pour que le cercle puisse couper la ligne en deux points). Vous avez maintenant deux points sur la ligne. Ces points forment une ligne. Construisez la bissectrice perpendiculaire au segment, les extrémités sont les points obtenus, selon l'algorithme décrit ci-dessus. La perpendiculaire doit passer par le point de départ.

Construire des lignes droites est la base du dessin technique. Maintenant, cela se fait de plus en plus avec l'aide d'éditeurs graphiques, qui offrent au concepteur de grandes opportunités. Cependant, certains principes de construction restent les mêmes que dans le dessin classique - à l'aide d'un crayon et d'une règle.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - crayon;
• - règle;
• - ordinateur avec logiciel AutoCAD.

Instruction

Commencez par une construction classique. Déterminez le plan dans lequel vous tracerez la ligne. Soit ceci le plan d'une feuille de papier. Selon les conditions du problème, organisez . Ils peuvent être arbitraires, mais il est possible qu'un système de coordonnées soit donné. Les points arbitraires sont placés là où vous préférez. Étiquetez-les A et B. Utilisez une règle pour les relier. Selon l'axiome, il est toujours possible de tracer une ligne droite passant par deux points, et un seul.

Dessinez un système de coordonnées. Laissez-vous attribuer les points A (x1; y1). Pour eux, il est nécessaire de mettre de côté le nombre requis le long de l'axe des x et de tracer une ligne droite parallèle à l'axe des y passant par le point marqué. Tracez ensuite une valeur égale à y1 le long de l'axe approprié. Tracez une perpendiculaire à partir du point marqué jusqu'à ce qu'elle croise. Le lieu de leur intersection sera le point A. De la même manière, trouvez le point B, dont les coordonnées peuvent être notées (x2; y2). Connectez les deux points.

Dans AutoCAD, une ligne droite peut être construite avec plusieurs . La fonction "par" est généralement définie par défaut. Trouvez l'onglet "Accueil" dans le menu du haut. Vous verrez le panneau de dessin devant vous. Trouvez le bouton avec la ligne droite et cliquez dessus.

AutoCAD vous permet également de définir les coordonnées des deux fichiers . Tapez la ligne de commande ci-dessous (_xline). Appuyez sur Entrée. Entrez les coordonnées du premier point et appuyez également sur Entrée. Définissez le deuxième point de la même manière. Il peut également être spécifié par un clic de souris en plaçant le curseur à l'endroit souhaité sur l'écran.

Dans AutoCAD, vous pouvez construire une ligne droite non seulement par deux points, mais également par l'angle d'inclinaison. Dans le menu contextuel Dessiner, sélectionnez une ligne droite, puis l'option Angle. Le point de départ peut être défini par un clic de souris ou par , comme dans la méthode précédente. Définissez ensuite la taille des coins et appuyez sur Entrée. Par défaut, la ligne sera positionnée à l'angle souhaité par rapport à l'horizontale.

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Sur un dessin complexe (schéma) perpendicularité directe et avion déterminé par les dispositions fondamentales : si un côté d'un angle droit est parallèle avion projections, puis un angle droit est projeté sur ce plan sans distorsion; si une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes avion, elle est perpendiculaire à celle-ci avion.

Tu auras besoin de

• Crayon, règle, rapporteur, triangle.

Instruction

Exemple : par le point M tracer une perpendiculaire à avion Pour tracer une perpendiculaire à avion, il y a deux lignes qui se croisent dans ce avion, et construisez une ligne perpendiculaire à eux. La frontale et l'horizontale sont choisies comme ces deux lignes qui se croisent. avion.

La frontale f(f₁f₂) est une droite située dans avion et parallèle à l'avant avion projections П₂. Donc f₂ est sa valeur naturelle, et f₁ est toujours parallèle à x₁₂. A partir du point A₂ tracer h₂ parallèle à x₁₂ et obtenir le point 1₂ sur B₂C₂.

À l'aide d'une ligne de projection du point de communication 1₁ sur В₁С₁. Connectez-vous avec A₁ - c'est h₁ - la taille naturelle de l'horizontale. Du point B₁ tracez f₁‖x₁₂, sur A₁C₁ obtenez le point 2₁. Trouvez le point 2₂ sur A₂C₂ en utilisant la ligne de connexion de projection. Connectez-vous avec le point B₂ - ce sera f₂ - la taille totale de l'avant.

Horizontales naturelles construites h₁ et frontales f₂ des projections de la perpendiculaire à avion. Du point M₂, tracez sa projection frontale a₂ sous un angle de 90

Dans la leçon précédente, nous avons considéré les propriétés de la bissectrice d'un angle, à la fois enfermée dans un triangle et libre. Le triangle comprend trois angles, et pour chacun d'eux les propriétés considérées de la bissectrice sont conservées.

Théorème:

Les bissectrices AA 1, BB 1, CC 1 du triangle se coupent en un point O (Fig. 1).

Riz. 1. Illustration du théorème

Preuve:

Considérons les deux premières bissectrices BB 1 et СС 1 . Ils se coupent, le point d'intersection O existe. Pour le prouver, supposons le contraire : que les bissectrices données ne se coupent pas, auquel cas elles sont parallèles. Alors la droite BC est une sécante et la somme des angles , cela contredit le fait que dans tout le triangle la somme des angles est .

Ainsi, le point O d'intersection de deux bissectrices existe. Considérez ses propriétés:

Le point O se trouve sur la bissectrice de l'angle , ce qui signifie qu'il est équidistant de ses côtés BA et BC. Si OK est perpendiculaire à BC, OL est perpendiculaire à BA, alors les longueurs de ces perpendiculaires sont égales à -. De plus, le point O est situé sur la bissectrice de l'angle et est équidistant de ses côtés CB et CA, les perpendiculaires OM et OK sont égales.

On obtient les égalités suivantes :

, c'est-à-dire que les trois perpendiculaires tombées du point O aux côtés du triangle sont égales les unes aux autres.

On s'intéresse à l'égalité des perpendiculaires OL et OM. Cette égalité dit que le point O est équidistant des côtés de l'angle, donc il se trouve sur sa bissectrice AA 1.

Ainsi, nous avons prouvé que les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point.

De plus, le triangle se compose de trois segments, ce qui signifie que nous devons considérer les propriétés d'un seul segment.

Le segment AB est donné. Tout segment a un milieu et une perpendiculaire peut être tracée à travers lui - nous le notons p. Ainsi p est la bissectrice perpendiculaire.

Riz. 2. Illustration du théorème

Tout point situé sur la bissectrice perpendiculaire est équidistant des extrémités du segment.

Prouver cela (Fig. 2).

Preuve:

Considérons les triangles et . Ils sont rectangulaires et égaux, car ils ont une jambe commune OM, et les jambes de AO et OB sont égales par condition, ainsi, nous avons deux triangles rectangles égaux sur deux jambes. Il s'ensuit que les hypoténuses des triangles sont également égales, c'est-à-dire ce qu'il fallait prouver.

Le théorème inverse est vrai.

Chaque point équidistant des extrémités d'un segment se trouve sur la bissectrice perpendiculaire à ce segment.

Le segment AB est donné, sa bissectrice perpendiculaire est p, le point M est équidistant des extrémités du segment. Prouver que le point M se trouve sur la bissectrice perpendiculaire au segment (Fig. 3).

Riz. 3. Illustration du théorème

Preuve:

Considérons un triangle. Il est isocèle, comme par condition. Considérons la médiane du triangle : le point O est le milieu de la base AB, OM est la médiane. Selon la propriété d'un triangle isocèle, la médiane tracée à sa base est à la fois une hauteur et une bissectrice. Il s'ensuit donc que. Mais la droite p est aussi perpendiculaire à AB. On sait qu'une seule perpendiculaire au segment AB peut être tracée au point O, ce qui signifie que les droites OM et p coïncident, d'où il s'ensuit que le point M appartient à la droite p, ce qu'il fallait prouver.

Les théorèmes direct et inverse peuvent être généralisés.

Un point se trouve sur la médiatrice d'un segment si et seulement s'il est équidistant des extrémités de ce segment.

Donc, nous répétons qu'il y a trois segments dans un triangle et la propriété de la bissectrice perpendiculaire s'applique à chacun d'eux.

Théorème:

Les bissectrices perpendiculaires d'un triangle se coupent en un point.

Un triangle est donné. Perpendiculaire à ses côtés : P 1 au côté BC, P 2 au côté AC, P 3 au côté AB.

Prouver que les perpendiculaires Р 1 , Р 2 et Р 3 se coupent au point O (Fig. 4).

Riz. 4. Illustration du théorème

Preuve:

Considérons deux médiatrices P 2 et P 3 , elles se coupent, le point d'intersection O existe. Prouvons ce fait par contradiction - soit les perpendiculaires P 2 et P 3 soient parallèles. Alors l'angle est droit, ce qui contredit le fait que la somme des trois angles d'un triangle est . Il existe donc un point O d'intersection de deux des trois bissectrices perpendiculaires. Propriétés du point O : il se trouve sur la bissectrice perpendiculaire au côté AB, ce qui signifie qu'il est équidistant des extrémités du segment AB :. Il se trouve également sur la bissectrice perpendiculaire au côté AC, donc . Nous avons obtenu les égalités suivantes.

Mi-perpendiculaire (perpendiculaire médiane ou alors médiatrice) est une droite perpendiculaire au segment donné et passant par son milieu.

Propriétés

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ où l'indice indique le côté auquel la perpendiculaire est tracée, $S$ est l'aire du triangle, et on suppose également que les côtés sont liés par des inégalités $une\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ et $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ En d'autres termes, pour un triangle, la plus petite bissectrice perpendiculaire fait référence au segment médian.

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Remarques

Un extrait caractérisant la bissectrice perpendiculaire

Kutuzov, s'arrêtant pour mâcher, regarda Wolzogen avec surprise, comme s'il ne comprenait pas ce qu'on lui disait. Wolzogen, remarquant l'excitation de des alten Herrn, [le vieux monsieur (allemand)], dit avec un sourire :
- Je ne m'estimais pas en droit de cacher à Votre Seigneurie ce que j'ai vu... Les troupes sont dans un désordre complet...
- Avez-vous vu? Avez-vous vu? .. - Kutuzov a crié avec un froncement de sourcils, se levant rapidement et avançant vers Wolzogen. « Comment oses-tu… comment oses-tu… ! » cria-t-il, faisant des gestes menaçants en serrant les mains et en s'étouffant. - Comment osez-vous, mon cher monsieur, me dire cela. Vous ne savez rien. Dites de ma part au général Barclay que ses informations sont erronées et que le véritable déroulement de la bataille est connu de moi, le commandant en chef, mieux que de lui.
Wolzogen voulait objecter quelque chose, mais Kutuzov l'a interrompu.
- L'ennemi est repoussé sur la gauche et vaincu sur le flanc droit. Si vous n'avez pas bien vu, cher monsieur, alors ne vous permettez pas de dire ce que vous ne savez pas. S'il vous plaît, allez voir le général Barclay et transmettez-lui mon intention indispensable d'attaquer l'ennemi demain », a déclaré sévèrement Kutuzov. Tout le monde était silencieux, et on pouvait entendre une respiration lourde du vieux général essoufflé. - Partout repoussée, ce dont je remercie Dieu et notre brave armée. L'ennemi est vaincu, et demain nous le chasserons de la terre russe sacrée, - a déclaré Kutuzov en se signant; et éclata soudain en sanglots. Wolzogen, haussant les épaules et tordant les lèvres, s'écarta silencieusement, s'interrogeant sur uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [sur cette tyrannie du vieux monsieur. (Allemand)]
"Oui, le voici, mon héros", a déclaré Kutuzov au beau général dodu et aux cheveux noirs, qui à ce moment-là entrait dans le monticule. C'était Raevsky, qui avait passé toute la journée au point principal du champ de Borodino.
Raevsky a rapporté que les troupes étaient fermement à leur place et que les Français n'osaient plus attaquer. Après l'avoir écouté, Koutouzov dit en français :
– Vous ne pensez donc pas comme les autres que nous sommes obligés de nous retirer ? [Alors tu ne penses pas, comme les autres, que nous devrions battre en retraite ?]