Les degrés signifient un triangle aigu. Types de triangles : rectangles, aigus, obtus

En règle générale, deux triangles sont considérés comme similaires s'ils ont la même forme, même s'ils sont de tailles différentes, tournés ou même à l'envers.

La représentation mathématique de deux triangles similaires A 1 B 1 C 1 et A 2 B 2 C 2 montrés sur la figure s'écrit comme suit :

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Deux triangles sont semblables si :

1. Chaque angle d'un triangle est égal à l'angle correspondant d'un autre triangle :
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 Et ∠C1 = ∠C2

2. Les rapports des côtés d'un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux entre eux :
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relations deux côtés d'un triangle aux côtés correspondants d'un autre triangle sont égaux entre eux et en même temps
les angles entre ces côtés sont égaux :
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ et $\angle A_1 = \angle A_2$
ou
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ et $\angle B_1 = \angle B_2$
ou
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ et $\angle C_1 = \angle C_2$

Les triangles semblables ne doivent pas être confondus avec les triangles égaux. Les triangles congruents ont des côtés correspondants. Donc pour les triangles égaux :

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Il en résulte que tous les triangles égaux sont semblables. Cependant, tous les triangles similaires ne sont pas égaux.

Bien que la notation ci-dessus montre que pour savoir si deux triangles sont similaires ou non, nous avons besoin de connaître les valeurs des trois angles ou les longueurs des trois côtés de chaque triangle, pour résoudre des problèmes avec des triangles similaires, il suffit de connaître trois valeurs parmi celles ci-dessus pour chaque triangle. Ces valeurs peuvent être dans diverses combinaisons :

1) trois angles de chaque triangle (les longueurs des côtés des triangles n'ont pas besoin d'être connues).

Ou au moins 2 angles d'un triangle doivent être égaux à 2 angles d'un autre triangle.
Puisque si 2 angles sont égaux, alors le troisième angle sera également égal (la valeur du troisième angle est 180 - angle1 - angle2)

2) les longueurs des côtés de chaque triangle (pas besoin de connaître les angles) ;

3) les longueurs des deux côtés et l'angle entre eux.

Ensuite, nous considérons la solution de certains problèmes avec des triangles similaires. Tout d'abord, nous examinerons les problèmes qui peuvent être résolus en utilisant directement les règles ci-dessus, puis nous discuterons de certains problèmes pratiques qui peuvent être résolus en utilisant la méthode des triangles similaires.

Problèmes pratiques avec des triangles semblables

Exemple 1: Montrez que les deux triangles de la figure ci-dessous sont semblables.

Solution:
Puisque les longueurs des côtés des deux triangles sont connues, la deuxième règle peut être appliquée ici :

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Exemple #2 : Montrer que deux triangles donnés sont semblables et trouver les longueurs des côtés QP Et RP.

Solution:
∠A = ∠P Et ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(car ∠C = 180 - ∠A - ∠B et ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Il en résulte que les triangles ∆ABC et ∆PQR sont semblables. En conséquence:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ et
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Exemple #3 : Déterminer la longueur UN B dans ce triangle.

Solution:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Et ∠A commun => triangles ∆ABC Et ΔADE sont similaires.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Exemple #4 : Déterminer la longueur AD(x) figure géométrique dans la figure.

Les triangles ∆ABC et ∆CDE sont similaires car AB || DE et ils ont un point commun coin supérieur C
Nous voyons qu'un triangle est une version à l'échelle de l'autre. Cependant, nous devons le prouver mathématiquement.

AB || DE, CD || CA et CB || UE
∠BAC = ∠EDC et ∠ABC = ∠DEC

Sur la base de ce qui précède et en tenant compte de la présence d'un angle commun C, on peut affirmer que les triangles ∆ABC et ∆CDE sont semblables.

En conséquence:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 $
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57

Exemples pratiques

Exemple #5 : L'usine utilise un tapis roulant incliné pour transporter les produits du niveau 1 au niveau 2, soit 3 mètres au-dessus du niveau 1, comme le montre la figure. Le convoyeur incliné est desservi d'une extrémité au niveau 1 et de l'autre extrémité à un poste de travail situé à une distance de 8 mètres du point de fonctionnement du niveau 1.

L'usine souhaite moderniser le convoyeur pour accéder au nouveau niveau, qui se situe à 9 mètres au-dessus du niveau 1, tout en conservant l'angle du convoyeur.

Déterminez la distance à laquelle vous devez installer un nouveau poste de travail pour vous assurer que le convoyeur fonctionne à sa nouvelle extrémité au niveau 2. Calculez également la distance supplémentaire que le produit parcourra lors du déplacement vers un nouveau niveau.

Solution:

Commençons par étiqueter chaque point d'intersection avec une lettre spécifique, comme indiqué sur la figure.

Sur la base du raisonnement donné ci-dessus dans les exemples précédents, nous pouvons conclure que les triangles ∆ABC et ∆ADE sont similaires. En conséquence,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 millions de dollars
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Ainsi, le nouveau point doit être installé à une distance de 16 mètres du point existant.

Et puisque la structure est composée de triangles rectangles, nous pouvons calculer la distance parcourue par le produit comme suit :

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

De même, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
qui est la distance parcourue par le produit ce moment en entrant dans le niveau existant.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
C'est la distance supplémentaire qu'un produit doit parcourir pour atteindre un nouveau niveau.

Exemple #6 : Steve veut rendre visite à son ami qui a récemment déménagé à nouvelle maison. La feuille de route pour se rendre à la maison de Steve et de son ami, ainsi que les distances connues de Steve, sont indiquées sur la figure. Aidez Steve à se rendre chez son ami le plus rapidement possible.

Solution:

La feuille de route peut être représentée géométriquement sous la forme suivante, comme le montre la figure.

On voit que les triangles ∆ABC et ∆CDE sont semblables, donc :
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

L'énoncé de tâche indique que :

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km et DE = 5 km

Grâce à ces informations, nous pouvons calculer les distances suivantes :

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve peut se rendre chez son ami en empruntant les itinéraires suivants :

A -> B -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, la distance totale est de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Par conséquent, le parcours #3 est le plus court et peut être proposé à Steve.

Exemple 7 :
Trisha veut mesurer la hauteur de la maison, mais elle n'a pas les bons outils. Elle a remarqué qu'un arbre poussait devant la maison et a décidé d'utiliser son ingéniosité et ses connaissances en géométrie acquises à l'école pour déterminer la hauteur du bâtiment. Elle a mesuré la distance entre l'arbre et la maison, le résultat était de 30 m, puis elle s'est tenue devant l'arbre et a commencé à reculer jusqu'à ce que le bord supérieur du bâtiment soit visible au-dessus du sommet de l'arbre. Trisha marqua l'endroit et mesura la distance entre celui-ci et l'arbre. Cette distance était de 5 m.

La hauteur de l'arbre est de 2,8 m et la hauteur des yeux de Trisha est de 1,6 m. Aidez Trisha à déterminer la hauteur du bâtiment.

Solution:

La représentation géométrique du problème est représentée sur la figure.

On utilise d'abord la similarité des triangles ∆ABC et ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + CA) = 8 + 1,6 \fois CA$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

On peut alors utiliser la similarité des triangles ∆ACB et ∆AFG ou ∆ADE et ∆AFG. Choisissons la première option.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 millions de dollars

Deux triangles sont dits congruents s'ils peuvent se chevaucher. La figure 1 montre les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1. Chacun de ces triangles peut être superposé à un autre afin qu'ils soient parfaitement compatibles, c'est-à-dire que leurs sommets et leurs côtés soient appariés. Il est clair que dans ce cas les angles de ces triangles seront combinés par paires.

Ainsi, si deux triangles sont égaux, alors les éléments (c'est-à-dire les côtés et les angles) d'un triangle sont respectivement égaux aux éléments de l'autre triangle. Notez que dans des triangles égaux contre des côtés respectivement égaux(c'est-à-dire se chevauchant lorsqu'ils sont superposés) se trouvent des angles égaux et retour : des angles opposés égaux en conséquence se trouvent des côtés égaux.

Ainsi, par exemple, dans les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1, illustrés à la figure 1, opposés aux côtés égaux AB et A 1 B 1, respectivement, se trouvent des angles égaux C et C 1. L'égalité des triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sera notée comme suit : Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Il s'avère que l'égalité de deux triangles peut être établie en comparant certains de leurs éléments.

Théorème 1. Le premier signe d'égalité des triangles. Si deux côtés et l'angle entre eux d'un triangle sont respectivement égaux à deux côtés et l'angle entre eux d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux (Fig. 2).

Preuve. Considérons les triangles ABC et A 1 B 1 C 1, dans lesquels AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (voir Fig. 2). Montrons que Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Puisque ∠ A \u003d ∠ A 1, alors le triangle ABC peut être superposé au triangle A 1 B 1 C 1 de sorte que le sommet A soit aligné avec le sommet A 1, et les côtés AB et AC se superposent, respectivement, sur les rayons A 1 B 1 et A 1 C un . Puisque AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, alors le côté AB sera combiné avec le côté A 1 B 1 et le côté AC - avec le côté A 1 C 1; en particulier, les points B et B 1 , C et C 1 seront confondus. Par conséquent, les côtés BC et B 1 C 1 seront alignés. Ainsi, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont complètement compatibles, ce qui signifie qu'ils sont égaux.

Le théorème 2 se démontre de manière similaire par la méthode de superposition.

Théorème 2. Le deuxième signe de l'égalité des triangles. Si le côté et deux angles qui lui sont adjacents d'un triangle sont respectivement égaux au côté et à deux angles qui lui sont adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux (Fig. 34).

Commenter. Basé sur le théorème 2, le théorème 3 est établi.

Théorème 3. La somme de deux angles intérieurs quelconques d'un triangle est inférieure à 180°.

Le théorème 4 découle du dernier théorème.

Théorème 4. L'angle externe d'un triangle est supérieur à tout coin intérieur, non adjacent.

Théorème 5. Le troisième signe de l'égalité des triangles. Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont égaux ().

Exemple 1 Dans les triangles ABC et DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Comparez les triangles ABC et DEF. Quel angle dans le triangle DEF est égal à l'angle B ?

Solution. Ces triangles sont égaux dans le premier signe. L'angle F du triangle DEF est égal à l'angle B du triangle ABC, puisque ces angles sont opposés aux côtés égaux correspondants DE et AC.

Exemple 2 Les segments AB et CD (Fig. 5) se coupent au point O, qui est le milieu de chacun d'eux. A quoi est égal le segment BD si le segment AC mesure 6 m ?

Solution. Les triangles AOC et BOD sont égaux (par le premier critère) : ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (par condition).
De l'égalité de ces triangles découle l'égalité de leurs côtés, c'est-à-dire AC = BD. Mais puisque, selon la condition, AC = 6 m, alors BD = 6 m.

Notation standard

Triangle avec des sommets UNE, B Et C noté comme (voir Fig.). Le triangle a trois côtés :

Les longueurs des côtés d'un triangle sont indiquées en minuscules avec des lettres latines(abc):

Le triangle a les angles suivants :

Les valeurs des angles aux sommets correspondants sont traditionnellement notées lettres grecques (α, β, γ).

Signes d'égalité des triangles

Un triangle sur le plan euclidien peut être défini de manière unique (jusqu'à la congruence) par les triplets suivants d'éléments de base :

a, b, γ (l'égalité des deux côtés et l'angle qui les sépare) ;
a, β, γ (égalité du côté et de deux angles adjacents) ;
a, b, c (égalité sur trois côtés).

Signes d'égalité des triangles rectangles :

le long de la jambe et de l'hypoténuse;
sur deux jambes;
le long de la jambe et de l'angle aigu ;
hypoténuse et angle aigu.

Certains points du triangle sont "appariés". Par exemple, il y a deux points dont tous les côtés sont visibles soit sous un angle de 60°, soit sous un angle de 120°. Ils s'appellent Points Torricelli. Il existe également deux points dont les projections sur les côtés se situent aux sommets d'un triangle régulier. Ce - pointes d'Apollonius. Points et tels qu'on les appelle Pointes Brocard.

Direct

Dans tout triangle, le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit sont situés sur une même droite, appelée Ligne d'Euler.

La droite passant par le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine est appelée L'axe de Brokar. Des pointes d'Apollonius se trouvent dessus. Les points de Torricelli et le point de Lemoine se trouvent également sur la même droite. Les bases des bissectrices extérieures des angles d'un triangle se trouvent sur la même droite, appelée axe des bissectrices externes. Les points d'intersection des lignes contenant les côtés de l'orthotriangle avec les lignes contenant les côtés du triangle se trouvent également sur la même ligne. Cette ligne s'appelle axe orthocentrique, elle est perpendiculaire à la droite d'Euler.

Si nous prenons un point sur le cercle circonscrit d'un triangle, alors ses projections sur les côtés du triangle se trouveront sur une droite, appelée La droite de Simson point donné. Les lignes de Simson de points diamétralement opposés sont perpendiculaires.

Triangles

Un triangle avec des sommets aux bases de cevians passant par un point donné est appelé triangle cévien ce point.
Un triangle avec des sommets dans les projections d'un point donné sur les côtés est appelé sous la peau ou triangle de pédale ce point.
Un triangle avec des sommets aux deuxièmes points d'intersection des lignes passant par les sommets et le point donné, avec le cercle circonscrit, est appelé triangle cévien. Un triangle cevian est similaire à un triangle sous-cutané.

cercles

Cercle inscrit est un cercle tangent aux trois côtés du triangle. Elle est la seule. Le centre du cercle inscrit est appelé au centre.
Cercle circonscrit- un cercle passant par les trois sommets du triangle. Le cercle circonscrit est également unique.
Excercer- un cercle tangent à un côté d'un triangle et le prolongement des deux autres côtés. Il y a trois cercles de ce type dans un triangle. Leur centre radical est le centre du cercle inscrit du triangle médian, appelé Point de Spieker.

Les milieux des trois côtés d'un triangle, les bases de ses trois hauteurs et les milieux des trois segments de droite reliant ses sommets à l'orthocentre reposent sur un seul cercle appelé cercle de neuf points ou Cercle d'Euler. Le centre du cercle à neuf points se trouve sur la droite d'Euler. Un cercle de neuf points touche un cercle inscrit et trois excercles. Le point de contact entre un cercle inscrit et un cercle de neuf points est appelé Pointe Feuerbach. Si à partir de chaque sommet nous posons des triangles sur des lignes droites contenant des côtés, des orthèses de longueur égale aux côtés opposés, alors les six points résultants se trouvent sur un cercle - Cercles de Conway. Dans tout triangle, trois cercles peuvent être inscrits de manière à ce que chacun d'eux touche deux côtés du triangle et deux autres cercles. Ces cercles sont appelés Cercles de Malfatti. Les centres des cercles circonscrits des six triangles dans lesquels le triangle est divisé par les médianes se trouvent sur un cercle, appelé Cercle de Lamoun.

Un triangle a trois cercles qui touchent deux côtés du triangle et le cercle circonscrit. Ces cercles sont appelés semi-inscrit ou Cercles de Verrier. Les segments reliant les points de contact des cercles de Verrier avec le cercle circonscrit se coupent en un point, appelé Pointe Verrier. Il sert de centre de l'homothétie, qui amène le cercle circonscrit au cercle inscrit. Les points de tangence des cercles de Verrier avec les côtés sont situés sur une droite passant par le centre du cercle inscrit.

Les segments de droite reliant les points tangents du cercle inscrit aux sommets se coupent en un point, appelé Pointe Gergonne, et les segments reliant les sommets aux points de contact des excercles - dans Pointe Nagel.

Ellipses, paraboles et hyperboles

Conique inscrite (ellipse) et sa perspective

Un nombre infini de coniques (ellipses, paraboles ou hyperboles) peuvent s'inscrire dans un triangle. Si nous inscrivons une conique arbitraire dans un triangle et connectons les points de contact avec des sommets opposés, alors les lignes résultantes se croiseront en un point, appelé la perspective coniques. Pour tout point du plan qui ne se situe pas sur un côté ou sur son prolongement, il existe une conique inscrite avec une perspective en ce point.

Ellipse de Steiner circonscrite et cevians passant par ses foyers

Une ellipse peut être inscrite dans un triangle qui touche les côtés au milieu. Une telle ellipse s'appelle Ellipse inscrite de Steiner(sa perspective sera le centre de gravité du triangle). L'ellipse décrite, qui est tangente aux lignes passant par des sommets parallèles aux côtés, est appelée circonscrit par l'ellipse de Steiner. Si une transformation affine ("skew") traduit le triangle en un triangle régulier, alors son ellipse de Steiner inscrite et circonscrite ira dans un cercle inscrit et circonscrit. Les Cevians tracés à travers les foyers de l'ellipse de Steiner décrite (points de Skutin) sont égaux (théorème de Skutin). De toutes les ellipses circonscrites, l'ellipse de Steiner circonscrite a la plus petite zone, et de toutes les ellipses inscrites, l'ellipse inscrite de Steiner a la plus grande surface.

Ellipse de Brocard et son perspecteur - Point de Lemoine

Une ellipse avec des foyers aux points de Brokar est appelée Ellipse de Brocard. Sa perspective est le point de Lemoine.

Propriétés d'une parabole inscrite

Parabole de Kiepert

Les perspectives des paraboles inscrites reposent sur l'ellipse circonscrite de Steiner. Le foyer d'une parabole inscrite se trouve sur le cercle circonscrit et la directrice passe par l'orthocentre. Une parabole inscrite dans un triangle dont la directrice est la droite d'Euler est appelée Parabole de Kiepert. Sa perspective est le quatrième point d'intersection du cercle circonscrit et de l'ellipse de Steiner circonscrite, appelée Pointe Steiner.

L'hyperbole de Cypert

Si l'hyperbole décrite passe par le point d'intersection des hauteurs, alors elle est équilatérale (c'est-à-dire que ses asymptotes sont perpendiculaires). Le point d'intersection des asymptotes d'une hyperbole équilatérale se trouve sur un cercle de neuf points.

Transformations

Si les lignes passant par les sommets et un point ne se trouvant pas sur les côtés et leurs extensions sont réfléchies par rapport aux bissectrices correspondantes, alors leurs images se croiseront également en un point, appelé conjugué isogonalement l'original (si le point se trouve sur le cercle circonscrit, alors les lignes résultantes seront parallèles). De nombreux couples de points remarquables sont isogonalement conjugués : le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre, le barycentre et le point de Lemoine, les points de Brocard. Les points d'Apollonius sont isogonalement conjugués aux points de Torricelli, et le centre du cercle inscrit est isogonalement conjugué à lui-même. Sous l'action de la conjugaison isogonale, les droites passent en coniques circonscrites, et les coniques circonscrites en droites. Ainsi, l'hyperbole de Kiepert et l'axe de Brocard, l'hyperbole d'Enzhabek et la droite d'Euler, l'hyperbole de Feuerbach et la droite des centres du cercle inscrit sont isogonalement conjugués. Les cercles circonscrits des triangles sous-cutanés de points isogonalement conjugués coïncident. Les foyers des ellipses inscrites sont isogonalement conjugués.

Si, au lieu d'un cevian symétrique, nous prenons un cevian dont la base est aussi éloignée du milieu du côté que la base de l'original, alors ces cevians se croiseront également en un point. La transformation résultante est appelée conjugaison isotomique. Il mappe également des lignes sur des coniques circonscrites. Les points de Gergonne et de Nagel sont isotomiquement conjugués. Sous transformations affines, les points isotomiquement conjugués passent en points isotomiquement conjugués. A la conjugaison de l'isotomie, l'ellipse de Steiner décrite passe dans la droite à l'infini.

Si dans les segments coupés par les côtés du triangle du cercle circonscrit, des cercles sont inscrits qui touchent les côtés à la base des cevians tracés par un certain point, puis les points de contact de ces cercles sont reliés au cercle circonscrit cercle avec des sommets opposés, alors ces lignes se croiseront en un point. La transformation du plan, faisant correspondre le point d'origine à celui résultant, est appelée transformation isocirculaire. La composition des conjugaisons isogonales et isotomiques est la composition de la transformation isocirculaire avec elle-même. Cette composition est une transformation projective qui laisse les côtés du triangle en place et traduit l'axe des bissectrices extérieures en une ligne droite à l'infini.

Si nous continuons les côtés du triangle de Cevian d'un point et prenons leurs points d'intersection avec les côtés correspondants, alors les points d'intersection résultants se trouveront sur une ligne droite, appelée polaire trilinéaire point de départ. Axe orthocentrique - polaire trilinéaire de l'orthocentre ; la polaire trilinéaire du centre du cercle inscrit est l'axe des bissectrices extérieures. Les polaires trilinéaires des points situés sur la conique circonscrite se coupent en un point (pour le cercle circonscrit c'est le point de Lemoine, pour l'ellipse de Steiner circonscrite c'est le centroïde). La composition de la conjugaison isogonale (ou isotomique) et de la polaire trilinéaire est une transformation de dualité (si le point conjugué isogonalement (isotomiquement) au point se trouve sur la polaire trilinéaire du point , alors la polaire trilinéaire du point isogonalement (isotomiquement) conjugué au point se trouve sur la polaire trilinéaire du point).

Cubes

Relations dans un triangle

Noter: dans cette section, , , sont les longueurs des trois côtés du triangle, et , , sont les angles opposés respectivement à ces trois côtés (angles opposés).

inégalité triangulaire

Dans un triangle non dégénéré, la somme des longueurs de ses deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté, dans un triangle dégénéré, elle est égale. Autrement dit, les longueurs des côtés d'un triangle sont liées par les inégalités suivantes :

L'inégalité triangulaire est l'un des axiomes des métriques.

Théorème de la somme des angles du triangle

Théorème des sinus

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle. Il résulte du théorème que si un< b < c, то α < β < γ.

Théorème du cosinus

Théorème de tangente

Autres rapports

Les rapports métriques dans un triangle sont donnés pour :

Résolution de triangles

Le calcul des côtés et des angles inconnus d'un triangle, basé sur ceux connus, a été historiquement appelé "solutions triangulaires". Dans ce cas, les théorèmes trigonométriques généraux ci-dessus sont utilisés.

Aire d'un triangle

Cas particuliers Notation

Les inégalités suivantes sont valables pour l'aire :

Calcul de l'aire d'un triangle dans l'espace à l'aide de vecteurs

Soit les sommets du triangle aux points , , .

Introduisons le vecteur d'aire . La longueur de ce vecteur est égale à l'aire du triangle, et il est dirigé le long de la normale au plan du triangle :

Soit , où , , sont les projections du triangle sur les plans de coordonnées. Où

et également

L'aire du triangle est .

Une alternative consiste à calculer les longueurs des côtés (en utilisant le théorème de Pythagore) puis en utilisant la formule de Heron.

Théorèmes triangulaires

Théorème de Desargues: si deux triangles sont en perspective (les lignes passant par les sommets correspondants des triangles se coupent en un point), alors leurs côtés respectifs se coupent sur une droite.

Théorème de Sond: si deux triangles sont perspectifs et orthologues (perpendiculaires tombant des sommets d'un triangle aux côtés opposés aux sommets correspondants du triangle, et vice versa), alors les deux centres d'orthologie (les points d'intersection de ces perpendiculaires) et le centre de perspective reposent sur une droite perpendiculaire à l'axe de la perspective (droite du théorème de Desargues).

Aujourd'hui, nous allons au pays de la géométrie, où nous nous familiariserons avec divers types Triangles.

Considérer figures géométriques et trouvez parmi eux le "plus" (Fig. 1).

Riz. 1. Illustration par exemple

On voit que les figures n° 1, 2, 3, 5 sont des quadrangles. Chacun d'eux a son propre nom (Fig. 2).

Riz. 2. Quadrilatères

Cela signifie que la figure "supplémentaire" est un triangle (Fig. 3).

Riz. 3. Illustration par exemple

Un triangle est une figure composée de trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite et de trois segments reliant ces points par paires.

Les points sont appelés sommets des triangles, segments - son des soirées. Les côtés du triangle forment Il y a trois angles aux sommets d'un triangle.

Les principales caractéristiques d'un triangle sont trois côtés et trois coins. Les triangles sont classés selon l'angle aigu, rectangulaire et obtus.

Un triangle est dit à angle aigu si ses trois angles sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90° (Fig. 4).

Riz. 4. Triangle aigu

Un triangle est dit rectangle si l'un de ses angles mesure 90° (Fig. 5).

Riz. 5. Triangle rectangle

Un triangle est dit obtus si l'un de ses angles est obtus, c'est-à-dire supérieur à 90° (Fig. 6).

Riz. 6. Triangle obtus

Selon le nombre de côtés égaux, les triangles sont équilatéraux, isocèles, scalènes.

Un triangle isocèle est un triangle dont deux côtés sont égaux (Fig. 7).

Riz. 7. Triangle isocèle

Ces côtés sont appelés latéral, Troisième face - base. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.

Les triangles isocèles sont aigu et obtus(Fig. 8) .

Riz. 8. Triangles isocèles aigus et obtus

Un triangle équilatéral est appelé, dans lequel les trois côtés sont égaux (Fig. 9).

Riz. 9. Triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral tous les angles sont égaux. Triangles équilatéraux toujours à angle aigu.

Un triangle est appelé polyvalent, dans lequel les trois côtés ont des longueurs différentes (Fig. 10).

Riz. 10. Triangle scalène

Finissez la tâche. Divisez ces triangles en trois groupes (Fig. 11).

Riz. 11. Illustration de la tâche

Commençons par répartir selon la taille des angles.

Triangles aigus : n° 1, n° 3.

Triangles rectangles : #2, #6.

Triangles obtus : #4, #5.

Ces triangles sont divisés en groupes selon le nombre de côtés égaux.

Triangles scalènes : n° 4, n° 6.

Triangles isocèles : n° 2, n° 3, n° 5.

Triangle équilatéral : n° 1.

Passez en revue les dessins.

Pensez à quel morceau de fil chaque triangle est fait (fig. 12).

Riz. 12. Illustration de la tâche

Vous pouvez argumenter ainsi.

Le premier morceau de fil est divisé en trois parties égales, vous pouvez donc en faire un triangle équilatéral. Il est représenté en troisième sur la figure.

Le deuxième morceau de fil est divisé en trois parties différentes, vous pouvez donc en faire un triangle scalène. Il est montré en premier sur l'image.

Le troisième morceau de fil est divisé en trois parties, où les deux parties ont la même longueur, vous pouvez donc en faire un triangle isocèle. Il est représenté en deuxième sur la photo.

Aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec différents types de triangles.

Bibliographie

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Devoirs

1. Terminez les phrases.

a) Un triangle est une figure composée de ..., ne se trouvant pas sur la même ligne droite, et ..., reliant ces points par paires.

b) Les points sont appelés … , segments - son … . Les côtés d'un triangle se forment aux sommets d'un triangle ….

c) Selon la taille de l'angle, les triangles sont ..., ..., ....

d) Selon le nombre de côtés égaux, les triangles sont ..., ..., ....

2. Dessiner

a) un triangle rectangle

b) un triangle aigu ;

c) un triangle obtus ;

d) un triangle équilatéral ;

e) triangle scalène ;

e) un triangle isocèle.

3. Faites une tâche sur le sujet de la leçon pour vos camarades.

La science de la géométrie nous dit ce qu'est un triangle, un carré, un cube. DANS monde moderne elle est étudiée dans les écoles par tous sans exception. De plus, une science qui étudie directement ce qu'est un triangle et quelles sont ses propriétés est la trigonométrie. Elle explore en détail tous les phénomènes liés aux données.Nous parlerons de ce qu'est aujourd'hui un triangle dans notre article. Leurs types seront décrits ci-dessous, ainsi que certains théorèmes qui leur sont liés.

Qu'est-ce qu'un triangle ? Définition

C'est un polygone plat. Il a trois coins, ce qui ressort clairement de son nom. Il a également trois côtés et trois sommets, dont les premiers sont des segments, les seconds sont des points. Sachant à quoi correspondent deux angles, vous pouvez trouver le troisième en soustrayant la somme des deux premiers du nombre 180.

Que sont les triangles ?

Ils peuvent être classés selon différents critères.

Tout d'abord, ils sont divisés en angles aigus, obtus et rectangulaires. Les premiers ont des angles aigus, c'est-à-dire ceux qui sont inférieurs à 90 degrés. Dans les angles obtus, l'un des angles est obtus, c'est-à-dire celui qui est égal à plus de 90 degrés, les deux autres sont aigus. Les triangles aigus incluent également les triangles équilatéraux. Ces triangles ont tous les côtés et les angles égaux. Ils sont tous égaux à 60 degrés, cela peut être facilement calculé en divisant la somme de tous les angles (180) par trois.

Triangle rectangle

Il est impossible de ne pas parler de ce qu'est un triangle rectangle.

Une telle figure a un angle égal à 90 degrés (droit), c'est-à-dire que deux de ses côtés sont perpendiculaires. Les deux autres angles sont aigus. Ils peuvent être égaux, alors ce sera isocèle. Le théorème de Pythagore est lié au triangle rectangle. Avec son aide, vous pouvez trouver le troisième côté, connaissant les deux premiers. Selon ce théorème, si vous ajoutez le carré d'une jambe au carré de l'autre, vous pouvez obtenir le carré de l'hypoténuse. Le carré de la jambe peut être calculé en soustrayant le carré de la jambe connue du carré de l'hypoténuse. En parlant de ce qu'est un triangle, nous pouvons rappeler l'isocèle. C'est celui dans lequel deux des côtés sont égaux et deux des angles sont également égaux.

Quelle est la jambe et l'hypoténuse?

La jambe est l'un des côtés d'un triangle qui forme un angle de 90 degrés. L'hypoténuse est le côté restant opposé angle droit. De là, une perpendiculaire peut être abaissée sur la jambe. Le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse s'appelle le cosinus, et l'opposé s'appelle le sinus.

- quelles sont ses caractéristiques ?

Il est rectangulaire. Ses jambes sont trois et quatre, et l'hypoténuse est cinq. Si vous avez vu que les jambes de ce triangle sont égales à trois et quatre, vous pouvez être sûr que l'hypoténuse sera égale à cinq. De plus, selon ce principe, on peut facilement déterminer que la jambe sera égale à trois si la seconde est égale à quatre et l'hypoténuse est de cinq. Pour prouver cette affirmation, vous pouvez appliquer le théorème de Pythagore. Si deux jambes sont 3 et 4, alors 9 + 16 \u003d 25, la racine de 25 est 5, c'est-à-dire que l'hypoténuse est 5. De plus, le triangle égyptien est appelé triangle rectangle, dont les côtés sont 6, 8 et 10 ; 9, 12 et 15 et d'autres nombres avec un rapport de 3:4:5.

Quoi d'autre pourrait être un triangle?

Les triangles peuvent aussi être inscrits et circonscrits. La figure autour de laquelle le cercle est décrit est dite inscrite, tous ses sommets sont des points situés sur le cercle. Un triangle circonscrit est un triangle dans lequel s'inscrit un cercle. Tous ses côtés sont en contact avec lui en certains points.

Comment est

L'aire de n'importe quelle figure est mesurée en unités carrées(mètres carrés, millimètres carrés, centimètres carrés, décimètres carrés, etc.) Cette valeur peut être calculée de différentes manières, selon le type de triangle. L'aire de n'importe quelle figure avec des angles peut être trouvée en multipliant son côté par la perpendiculaire qui lui est tombée de coin opposé, et en divisant ce chiffre par deux. Vous pouvez également trouver cette valeur en multipliant les deux côtés. Multipliez ensuite ce nombre par le sinus de l'angle entre ces côtés et divisez-le par deux. Connaissant tous les côtés d'un triangle, mais ne connaissant pas ses angles, vous pouvez trouver l'aire d'une autre manière. Pour ce faire, vous devez trouver la moitié du périmètre. Puis soustrayez alternativement différents côtés de ce nombre et multipliez les quatre valeurs obtenues. Ensuite, découvrez le numéro qui est sorti. L'aire d'un triangle inscrit peut être trouvée en multipliant tous les côtés et en divisant le nombre résultant par lequel est circonscrit autour de lui fois quatre.

L'aire du triangle décrit se trouve de cette manière: on multiplie la moitié du périmètre par le rayon du cercle qui y est inscrit. Si alors son aire peut être trouvée comme suit: nous quadrillons le côté, multiplions le chiffre obtenu par la racine de trois, puis divisons ce nombre par quatre. De même, vous pouvez calculer la hauteur d'un triangle dans lequel tous les côtés sont égaux, pour cela, vous devez multiplier l'un d'eux par la racine de trois, puis diviser ce nombre par deux.

Théorèmes triangulaires

Les principaux théorèmes associés à cette figure sont le théorème de Pythagore, décrit ci-dessus, et les cosinus. La seconde (sinus) est que si vous divisez n'importe quel côté par le sinus de l'angle qui lui est opposé, vous pouvez obtenir le rayon du cercle qui est décrit autour de lui, multiplié par deux. Le troisième (cosinus) est que si la somme des carrés des deux côtés est soustraite de leur produit, multipliée par deux et le cosinus de l'angle situé entre eux, alors le carré du troisième côté sera obtenu.

Triangle de Dali - qu'est-ce que c'est?

Beaucoup, face à ce concept, pensent d'abord qu'il s'agit d'une sorte de définition en géométrie, mais ce n'est pas du tout le cas. Le triangle de Dali est Nom commun trois lieux étroitement liés à la vie du célèbre artiste. Ses « sommets » sont la maison où vécut Salvador Dali, le château qu'il donna à sa femme et le musée des peintures surréalistes. Lors d'une visite de ces lieux, vous pouvez apprendre beaucoup. faits intéressants sur cet artiste créatif particulier connu dans le monde entier.