Formules de base de la trigonométrie. Identité trigonométrique de base

Les formules de réduction sont des rapports qui permettent de passer du sinus, cosinus, tangente et cotangente aux angles `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` aux mêmes fonctions de l'angle `\alpha`, qui est dans le premier quart du cercle unité. Ainsi, les formules de réduction nous "conduisent" à travailler avec des angles compris entre 0 et 90 degrés, ce qui est très pratique.

Au total, il existe 32 formules de réduction. Ils seront sans aucun doute utiles à l'examen, aux examens, aux tests. Mais nous vous prévenons immédiatement qu'il n'est pas nécessaire de les mémoriser ! Vous devez passer un peu de temps et comprendre l'algorithme pour leur application, il ne vous sera alors pas difficile de déduire l'égalité nécessaire au bon moment.

Commençons par écrire toutes les formules de réduction :

Pour l'angle (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ou (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Pour l'angle (`\pi \pm \alpha`) ou (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Pour l'angle (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ou (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Pour l'angle (`2\pi \pm \alpha`) ou (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Vous pouvez souvent trouver des formules de réduction sous forme de tableau, où les angles sont écrits en radians :

Pour l'utiliser, vous devez sélectionner la ligne avec la fonction dont nous avons besoin et la colonne avec l'argument souhaité. Par exemple, pour utiliser un tableau pour savoir ce que sera ` sin(\pi + \alpha)`, il suffit de trouver la réponse à l'intersection de la ligne ` sin \beta` et de la colonne ` \pi + \ alpha`. On obtient ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Et le second tableau similaire, où les angles sont écrits en degrés :

Règle mnémotechnique des formules de coulée ou comment s'en souvenir

Comme nous l'avons déjà mentionné, il n'est pas nécessaire de mémoriser tous les ratios ci-dessus. Si vous les avez regardés de près, vous avez probablement remarqué certains modèles. Ils nous permettent de formuler une règle mnémonique (mnémoniques - rappelez-vous), avec laquelle vous pouvez facilement obtenir l'une des formules de réduction.

Notons tout de suite que pour appliquer cette règle, il faut bien savoir déterminer (ou retenir) les signes des fonctions trigonométriques dans les différents quarts du cercle unité.
La greffe elle-même contient 3 étapes :

1. 1. L'argument de la fonction doit être sous la forme `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, où `\alpha` est toujours un angle aigu (de 0 à 90 degrés).
   2. Pour les arguments `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` fonction trigonométrique de l'expression convertie se transforme en une cofonction, c'est-à-dire l'inverse (sinus en cosinus, tangente en cotangente et vice versa). Pour les arguments `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la fonction ne change pas.
   3. Le signe de la fonction d'origine est déterminé. La fonction résultante sur le côté droit aura le même signe.

Pour voir comment cette règle peut être appliquée en pratique, transformons quelques expressions :

1. `cos(\pi + \alpha)`.

La fonction n'est pas inversée. L'angle ` \pi + \alpha` est dans le troisième quadrant, le cosinus dans ce quadrant a un signe "-", donc la fonction convertie aura également un signe "-".

Réponse : ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Selon règle mnémotechnique la fonction sera inversée. L'angle `\frac (3\pi)2 - \alpha` est dans le troisième quadrant, le sinus ici a un signe "-", donc le résultat sera également avec un signe "-".

Réponse : `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alpha))`. Représentons `3\pi` comme `2\pi+\pi`. `2\pi` est la période de la fonction.

Important : Les fonctions `cos \alpha` et `sin \alpha` ont une période de `2\pi` ou `360^\circ`, leurs valeurs ne changeront pas si l'argument est augmenté ou diminué de ces valeurs.

Sur cette base, notre expression peut s'écrire comme suit : `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. En appliquant deux fois la règle mnémonique, nous obtenons : `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Réponse : `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

règle du cheval

Le deuxième point de la règle mnémotechnique ci-dessus est également appelé la règle du cheval des formules de réduction. Je me demande pourquoi les chevaux?

On a donc des fonctions avec pour arguments `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, les points `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sont des points clés, ils sont situés sur les axes de coordonnées. `\pi` et `2\pi` sont sur l'axe horizontal des x, et `\frac (\pi)2` et `\frac (3\pi)2` sont sur l'axe vertical des y.

On se pose la question : « La fonction se transforme-t-elle en cofonction ? ». Pour répondre à cette question, vous devez déplacer votre tête le long de l'axe sur lequel se trouve le point clé.

Autrement dit, pour les arguments avec des points clés situés sur l'axe horizontal, nous répondons «non» en secouant la tête sur les côtés. Et pour les virages avec des points clés situés sur l'axe vertical, on répond "oui" en hochant la tête de haut en bas, comme un cheval 🙂

Nous vous recommandons de regarder un didacticiel vidéo dans lequel l'auteur explique en détail comment mémoriser les formules de réduction sans les mémoriser.

Exemples pratiques d'utilisation de formules de moulage

L'utilisation des formules de réduction commence dans les 9e et 10e années. Beaucoup de tâches avec leur utilisation sont soumises à l'examen. Voici quelques-unes des tâches où vous devrez appliquer ces formules :

• tâches pour résoudre un triangle rectangle;
• conversion d'expressions trigonométriques numériques et alphabétiques, calcul de leurs valeurs;
• problèmes stéréométriques.

Exemple 1. Utilisez les formules de réduction pour calculer a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Solution : a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2` ;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3` ;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2` ;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Exemple 2. Après avoir exprimé le cosinus par le sinus à l'aide des formules de réduction, comparez les nombres : 1) `sin \frac (9\pi)8` et `cos \frac (9\pi)8` ; 2) `sin \frac (\pi)8` et `cos \frac (3\pi)10`.

Solution : 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Nous montrons d'abord deux formules pour le sinus et le cosinus de l'argument `\frac (\pi)2 + \alpha` : ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` et ` cos( \frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Le reste en dérive.

Prenez un cercle unité et pointez dessus A avec les coordonnées (1,0). Laisser après avoir allumé coin `\alpha` il ira au point `A_1(x, y)`, et après avoir parcouru l'angle `\frac (\pi)2 + \alpha` au point `A_2(-y,x)` . En laissant tomber les perpendiculaires de ces points à la ligne OX, on voit que les triangles `OA_1H_1` et `OA_2H_2` sont égaux, puisque leurs hypoténuses et leurs angles adjacents sont égaux. Ensuite, en se basant sur les définitions du sinus et du cosinus, on peut écrire `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Comment peut-on écrire que ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` et ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, ce qui prouve la réduction formules pour le sinus et le cosinus de l'angle `\frac (\pi)2 + \alpha`.

De la définition de la tangente et de la cotangente, on obtient ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` et ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, ce qui prouve la réduction formules pour la tangente et la cotangente de l'angle `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Pour prouver des formules avec l'argument `\frac (\pi)2 - \alpha`, il suffit de le représenter par `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` et de suivre le même chemin que ci-dessus. Par exemple, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Les angles `\pi + \alpha` et `\pi - \alpha` peuvent être représentés par `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` et `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respectivement.

Et `\frac (3\pi)2 + \alpha` et `\frac (3\pi)2 - \alpha` comme `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` et `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Dans cet article, nous allons faire un tour d'horizon complet de . Les identités trigonométriques de base sont des égalités qui établissent une relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, et vous permettent de trouver l'une de ces fonctions trigonométriques à travers une autre connue.

Nous énumérons immédiatement les principales identités trigonométriques, que nous analyserons dans cet article. Nous les écrivons dans un tableau, et ci-dessous nous donnons la dérivation de ces formules et donnons les explications nécessaires.

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Relation entre le sinus et le cosinus d'un angle

Parfois, ils ne parlent pas des principales identités trigonométriques répertoriées dans le tableau ci-dessus, mais d'une seule identité trigonométrique de base type . L'explication de ce fait est assez simple : les égalités sont obtenues à partir de l'identité trigonométrique de base après avoir divisé ses deux parties par et respectivement, et les égalités et découlent des définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente. Nous en discuterons plus en détail dans les paragraphes suivants.

C'est-à-dire que c'est l'égalité qui présente un intérêt particulier, qui a reçu le nom d'identité trigonométrique principale.

Avant de prouver l'identité trigonométrique de base, donnons sa formulation : la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est identiquement égale à un. Prouvons-le maintenant.

L'identité trigonométrique de base est très souvent utilisée dans transformation d'expressions trigonométriques. Il permet de remplacer par un la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle. Non moins souvent, l'identité trigonométrique de base est utilisée dans l'ordre inverse: l'unité est remplacée par la somme des carrés du sinus et du cosinus de n'importe quel angle.

Tangente et cotangente par sinus et cosinus

Identités reliant la tangente et la cotangente avec le sinus et le cosinus d'un angle de la forme et découlent immédiatement des définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente. En effet, par définition, le sinus est l'ordonnée de y, le cosinus est l'abscisse de x, la tangente est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse, c'est-à-dire , et la cotangente est le rapport de l'abscisse à l'ordonnée, c'est-à-dire .

En raison de cette évidence des identités et souvent les définitions de tangente et de cotangente sont données non par le rapport de l'abscisse et de l'ordonnée, mais par le rapport du sinus et du cosinus. Ainsi la tangente d'un angle est le rapport du sinus au cosinus de cet angle, et la cotangente est le rapport du cosinus au sinus.

Pour conclure cette section, il convient de noter que les identités et tenir pour tous ces angles pour lesquels les fonctions trigonométriques en eux ont un sens. Donc la formule est valable pour tout autre que (sinon le dénominateur sera zéro, et nous n'avons pas défini la division par zéro), et la formule - pour tout , différent de , où z est quelconque .

Relation entre tangente et cotangente

Une identité trigonométrique encore plus évidente que les deux précédentes est l'identité reliant la tangente et la cotangente d'un angle de la forme . Il est clair que cela se produit pour tous les angles autres que , sinon la tangente ou la cotangente n'est pas définie.

Preuve de la formule très simple. Par définition et d'où . La preuve aurait pu être effectuée d'une manière légèrement différente. Depuis et , alors .

Ainsi, la tangente et la cotangente d'un angle, auxquelles elles ont un sens, l'est.

Les rapports entre les principales fonctions trigonométriques - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont donnés formules trigonométriques. Et comme il y a pas mal de liens entre les fonctions trigonométriques, cela explique aussi l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient les fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - les fonctions d'un angle multiple, d'autres - vous permettent d'abaisser le degré, la quatrième - d'exprimer toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.

Dans cet article, nous listons dans l'ordre toutes les formules trigonométriques de base, qui suffisent à résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter la mémorisation et l'utilisation, nous les regrouperons selon leur objectif et les saisirons dans des tableaux.

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Identités trigonométriques de base

Identités trigonométriques de base définir la relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle. Ils découlent de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, ainsi que de la notion de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique à travers n'importe quelle autre.

Pour une description détaillée de ces formules de trigonométrie, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.

Formules coulées

Formules coulées découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité des fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de décalage d'un angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer d'un travail avec des angles arbitraires à un travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.

La raison d'être de ces formules, une règle mnémotechnique pour les mémoriser et des exemples de leur application peuvent être étudiés dans l'article.

Formules d'addition

Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en fonction des fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base à la dérivation des formules trigonométriques suivantes.

Formules pour double, triple, etc. angle

Formules pour double, triple, etc. angle (elles sont également appelées formules d'angles multiples) montrent comment les fonctions trigonométriques de double, triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur dérivation est basée sur des formules d'addition.

Des informations plus détaillées sont collectées dans les formules d'article pour le double, le triple, etc. angle .

Formules demi-angle

Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en fonction du cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.

Leur conclusion et des exemples d'application se trouvent dans l'article.

Formules de réduction

Formules trigonométriques pour les degrés décroissants sont conçus pour faciliter la transition des puissances naturelles des fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus au premier degré, mais à angles multiples. En d'autres termes, ils permettent de réduire les puissances des fonctions trigonométriques à la première.

Formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques

L'objectif principal formules de somme et de différence pour les fonctions trigonométriques consiste en la transition vers le produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier des expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques, car elles permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.

Formules pour le produit des sinus, cosinus et sinus par cosinus

Le passage du produit des fonctions trigonométriques à la somme ou à la différence s'effectue par les formules du produit des sinus, cosinus et sinus par cosinus.

Bashmakov M.I. Algèbre et début d'analyse : Proc. pour 10-11 cellules. moy. l'école - 3e éd. - M. : Lumières, 1993. - 351 p. : ill. - ISBN 5-09-004617-4.

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Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un manuel pour les candidats aux écoles techniques): Proc. indemnité.- M.; Plus haut scolaire, 1984.-351 p., ill.

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Identités trigonométriques sont des égalités qui établissent une relation entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, ce qui permet de trouver n'importe laquelle de ces fonctions, pourvu que l'on en connaisse une autre.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Cette identité dit que la somme du carré du sinus d'un angle et du carré du cosinus d'un angle est égale à un, ce qui en pratique permet de calculer le sinus d'un angle lorsque son cosinus est connu et inversement .

Lors de la conversion d'expressions trigonométriques, cette identité est très souvent utilisée, ce qui vous permet de remplacer la somme des carrés du cosinus et du sinus d'un angle par un et également d'effectuer l'opération de remplacement dans l'ordre inverse.

Trouver la tangente et la cotangente par le sinus et le cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ces identités sont formées à partir des définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente. Après tout, si vous regardez, alors par définition, l'ordonnée de y est le sinus et l'abscisse de x est le cosinus. Alors la tangente sera égale au rapport \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), et le rapport \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sera une cotangente.

Nous ajoutons que ce n'est que pour de tels angles \alpha pour lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens que les identités auront lieu, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Par example: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) est valable pour des angles \alpha différents de \frac(\pi)(2)+\pi z, un ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pour un angle \alpha différent de \pi z , z est un entier.

Relation entre tangente et cotangente

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Cette identité n'est valable que pour des angles \alpha différents de \frac(\pi)(2) z. Sinon, la cotangente ou la tangente ne sera pas déterminée.

Sur la base des points ci-dessus, nous obtenons que tg \alpha = \frac(y)(x), un ctg\alpha=\frac(x)(y). D'où il suit que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Ainsi, la tangente et la cotangente d'un angle auquel elles ont un sens sont des nombres mutuellement réciproques.

Relations entre tangente et cosinus, cotangente et sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somme du carré de la tangente de l'angle \alpha et 1 est égale à l'inverse du carré du cosinus de cet angle. Cette identité est valable pour tout \alpha autre que \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somme de 1 et du carré de la cotangente de l'angle \alpha , est égale à l'inverse du carré du sinus de l'angle donné. Cette identité est valable pour tout \alpha autre que \pi z .

Exemples avec des solutions à des problèmes utilisant des identités trigonométriques

Exemple 1

Trouver \sin \alpha et tg \alpha si \cos\alpha=-\frac12 et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Afficher la solution

Décision

Les fonctions \sin \alpha et \cos \alpha sont liées par la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. En remplaçant dans cette formule \cos\alpha = -\frac12, on a:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Cette équation admet 2 solutions :

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le sinus est positif, donc \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Pour trouver tg \alpha , nous utilisons la formule tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemple 2

Trouver \cos \alpha et ctg \alpha si et \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Afficher la solution

Décision

Remplacer dans la formule \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nombre conditionnel \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), on a \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Cette équation a deux solutions \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Par condition \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Au deuxième trimestre, le cosinus est négatif, donc \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Pour trouver ctg \alpha , nous utilisons la formule ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Nous connaissons les valeurs correspondantes.

ctg \alpha = -\frac12 : \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

C'est la dernière et la plus importante leçon nécessaire pour résoudre les problèmes B11. Nous savons déjà comment convertir des angles d'une mesure en radians en une mesure en degrés (voir leçon " Mesure en radians et degrés d'un angle"), et nous savons également comment déterminer le signe d'une fonction trigonométrique, en nous concentrant sur les quarts de coordonnées (voir leçon "Signes des fonctions trigonométriques").

L'affaire reste petite: calculer la valeur de la fonction elle-même - le nombre même qui est écrit dans la réponse. Ici, l'identité trigonométrique de base vient à la rescousse.

Identité trigonométrique de base. Pour tout angle α, l'énoncé est vrai :

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Cette formule relie le sinus et le cosinus d'un angle. Maintenant, connaissant le sinus, nous pouvons facilement trouver le cosinus - et vice versa. Il suffit de prendre la racine carrée :

Remarquez le signe "±" devant les racines. Le fait est qu'à partir de l'identité trigonométrique de base, il n'est pas clair ce qu'étaient le sinus et le cosinus d'origine : positif ou négatif. Après tout, la quadrature est une fonction paire qui "brûle" tous les inconvénients (le cas échéant).

C'est pourquoi dans toutes les tâches B11 que l'on retrouve dans l'USE en mathématiques, il y a nécessairement des conditions supplémentaires qui aident à se débarrasser de l'incertitude avec les signes. Il s'agit généralement d'une indication du quart de coordonnées par lequel le signe peut être déterminé.

Un lecteur attentif demandera sûrement : « Qu'en est-il de la tangente et de la cotangente ? Il est impossible de calculer directement ces fonctions à partir des formules ci-dessus. Cependant, il existe des corollaires importants de l'identité trigonométrique de base qui contiennent déjà des tangentes et des cotangentes. À savoir:

Un corollaire important : pour tout angle α, l'identité trigonométrique de base peut être réécrite comme suit :

Ces équations se déduisent facilement de l'identité de base - il suffit de diviser les deux côtés par cos 2 α (pour obtenir une tangente) ou par sin 2 α (pour une cotangente).

Regardons tout cela avec des exemples précis. Voici les problèmes B11 réels tirés des essais Mathematics USE de 2012.

Nous connaissons le cosinus, mais nous ne connaissons pas le sinus. L'identité trigonométrique principale (dans sa forme "pure") ne relie que ces fonctions, nous allons donc travailler avec elle. Nous avons:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Pour résoudre le problème, il reste à trouver le signe du sinus. Puisque l'angle α ∈ (π /2 ; π ), alors en degré il s'écrit : α ∈ (90° ; 180°).

Par conséquent, l'angle α se situe dans le quart de coordonnée II - tous les sinus y sont positifs. Donc sinα = 0,1.

Donc, nous connaissons le sinus, mais nous devons trouver le cosinus. Ces deux fonctions sont dans l'identité trigonométrique de base. Nous remplaçons :

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Il reste à traiter du signe devant la fraction. Que choisir : plus ou moins ? Par condition, l'angle α appartient à l'intervalle (π 3π /2). Convertissons les angles d'une mesure en radians en une mesure en degrés - nous obtenons : α ∈ (180° ; 270°).

Évidemment, c'est le quart de coordonnée III, où tous les cosinus sont négatifs. Donc cosα = −0,5.

Tâche. Trouvez tg α si vous savez ce qui suit :

La tangente et le cosinus sont liés par une équation découlant de l'identité trigonométrique de base :

On obtient : tg α = ±3. Le signe de la tangente est déterminé par l'angle α. On sait que α ∈ (3π /2; 2π ). Convertissons les angles de la mesure en radians en la mesure en degrés - nous obtenons α ∈ (270°; 360°).

Évidemment, c'est le quart de coordonnée IV, où toutes les tangentes sont négatives. Par conséquent, tgα = −3.

Tâche. Trouvez cos α si vous savez ce qui suit :

Encore une fois, le sinus est connu et le cosinus est inconnu. Nous écrivons l'identité trigonométrique principale:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Le signe est déterminé par l'angle. On a : α ∈ (3π /2 ; 2π ). Convertissons les angles de degrés en radians : α ∈ (270° ; 360°) est le quart de coordonnée IV, les cosinus y sont positifs. Par conséquent, cos α = 0,6.

Tâche. Trouvez sin α si vous savez ce qui suit :

Écrivons la formule qui découle de l'identité trigonométrique de base et relie directement le sinus et la cotangente :

De là, nous obtenons que sin 2 α = 1/25, c'est-à-dire sinα = ±1/5 = ±0,2. On sait que l'angle α ∈ (0 ; π /2). En degrés, cela s'écrit : α ∈ (0° ; 90°) - I quart de coordonnée.

Ainsi, l'angle est dans le quart de coordonnée I - toutes les fonctions trigonométriques y sont positives, donc sin α \u003d 0,2.