La formule pour trouver le cosinus entre les vecteurs. Produit scalaire de vecteurs

Instruction

Soit deux vecteurs non nuls donnés sur le plan, tracés à partir d'un point : vecteur A de coordonnées (x1, y1) B de coordonnées (x2, y2). Injection entre eux est noté θ. Pour trouver la mesure en degrés de l'angle θ, vous devez utiliser la définition du produit scalaire.

Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est un nombre égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux, c'est-à-dire (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Maintenant, vous devez exprimer le cosinus de l'angle à partir de ceci : cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Le produit scalaire peut également être trouvé en utilisant la formule (A,B)=x1*x2+y1*y2, puisque le produit de deux vecteurs non nuls est égal à la somme des produits des vecteurs correspondants. Si le produit scalaire de vecteurs non nuls est égal à zéro, alors les vecteurs sont perpendiculaires (l'angle entre eux est de 90 degrés) et d'autres calculs peuvent être omis. Si le produit scalaire de deux vecteurs est positif, alors l'angle entre ces vecteurs aigu, et s'il est négatif, alors l'angle est obtus.

Calculez maintenant les longueurs des vecteurs A et B à l'aide des formules : |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). La longueur du vecteur est calculée comme Racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées.

Remplacez les valeurs trouvées du produit scalaire et les longueurs des vecteurs dans la formule de l'angle obtenu à l'étape 2, c'est-à-dire cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+ y1²)+√(x2²+y2²)). Maintenant, connaissant la valeur de , pour trouver la mesure en degrés de l'angle entre vecteurs vous devez utiliser la table Bradis ou en tirer : θ=arccos(cos(θ)).

Si les vecteurs A et B sont donnés dans un espace tridimensionnel et ont respectivement les coordonnées (x1, y1, z1) et (x2, y2, z2), une coordonnée supplémentaire est ajoutée lors de la recherche du cosinus de l'angle. Dans ce cas cosinus : cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Conseil utile

Si deux vecteurs ne sont pas tracés à partir d'un point, alors pour trouver l'angle entre eux par translation parallèle, vous devez combiner les débuts de ces vecteurs.
L'angle entre deux vecteurs ne peut pas être supérieur à 180 degrés.

Sources:

comment calculer l'angle entre les vecteurs
Angle entre droite et plan

Pour résoudre de nombreux problèmes, tant appliqués que théoriques, en physique et en algèbre linéaire, il est nécessaire de calculer l'angle entre les vecteurs. Cette tâche apparemment simple peut entraîner de nombreuses difficultés si vous ne comprenez pas clairement l'essence du produit scalaire et quelle valeur apparaît à la suite de ce produit.

Instruction

L'angle entre les vecteurs dans un espace vectoriel linéaire est l'angle minimum à , auquel la codirection des vecteurs est atteinte. L'un des vecteurs est entraîné autour de son point de départ. À partir de la définition, il devient évident que la valeur de l'angle ne peut pas dépasser 180 degrés (voir l'étape).

Dans ce cas, on suppose à juste titre que dans un espace linéaire, lorsque les vecteurs sont transférés en parallèle, l'angle entre eux ne change pas. Par conséquent, pour le calcul analytique de l'angle, l'orientation spatiale des vecteurs n'a pas d'importance.

Le résultat du produit scalaire est un nombre, sinon un scalaire. Rappelez-vous (ceci est important à savoir) afin d'éviter des erreurs dans les calculs ultérieurs. La formule du produit scalaire, situé sur un plan ou dans l'espace des vecteurs, a la forme (voir la figure pour l'étape).

Si les vecteurs sont situés dans l'espace, effectuez le calcul de la même manière. La seule chose sera l'apparition du terme dans le dividende - c'est le terme pour la demande, c'est-à-dire la troisième composante du vecteur. En conséquence, lors du calcul du module des vecteurs, la composante z doit également être prise en compte, puis pour les vecteurs situés dans l'espace, la dernière expression est transformée comme suit (voir la figure 6 à l'étape).

Un vecteur est un segment de droite avec une direction donnée. L'angle entre les vecteurs a signification physique, par exemple, pour trouver la longueur de la projection d'un vecteur sur un axe.

Instruction

Angle entre deux vecteurs non nuls à l'aide du calcul du produit scalaire. Par définition, le produit est égal au produit des longueurs et de l'angle entre elles. D'autre part, le produit scalaire pour deux vecteurs a de coordonnées (x1 ; y1) et b de coordonnées (x2 ; y2) est calculé : ab = x1x2 + y1y2. De ces deux manières, le produit scalaire est facile à incliner entre les vecteurs.

Trouvez les longueurs ou les modules des vecteurs. Pour nos vecteurs a et b : |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Trouvez le produit interne des vecteurs en multipliant leurs coordonnées par paires : ab = x1x2 + y1y2. D'après la définition du produit scalaire ab = |a|*|b|*cos α, où α est l'angle entre les vecteurs. Alors nous obtenons que x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Alors cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Trouvez l'angle α à l'aide des tables de Bradys.

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Remarque

Le produit scalaire est une caractéristique scalaire des longueurs des vecteurs et de l'angle entre eux.

Le plan est l'un des concepts de base en géométrie. Un plan est une surface pour laquelle l'énoncé est vrai - toute droite reliant deux de ses points appartient entièrement à cette surface. Les avions sont désignés lettres grecquesα, β, γ, etc. Deux plans se coupent toujours en une ligne droite appartenant aux deux plans.

Instruction

Considérons les demi-plans α et β formés à l'intersection de . Angle formé par une droite a et deux demi-plans α et β par un angle dièdre. Dans ce cas, les demi-plans formant un angle dièdre par faces, la ligne a le long de laquelle les plans se coupent est appelée arête angle dièdre.

Angle dièdre, comme un angle plat, en degrés. Pour faire un angle dièdre, il faut choisir un point arbitraire sur sa face O. Dans les deux cas, deux rayons a sont tracés par le point O. L'angle résultant AOB est appelé l'angle linéaire de l'angle dièdre a.

Soit donc le vecteur V = (a, b, c) et le plan A x + B y + C z = 0, où A, B et C sont les coordonnées de la normale N. Alors le cosinus de l'angle α entre les vecteurs V et N est: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Pour calculer la valeur de l'angle en degrés ou en radians, vous devez calculer la fonction inverse du cosinus à partir de l'expression résultante, c'est-à-dire arccosinus: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Exemple : trouver injection entre vecteur(5, -3, 8) et avion, donnée par l'équation générale 2 x - 5 y + 3 z = 0. Solution : notez les coordonnées du vecteur normal du plan N = (2, -5, 3). Tout remplacer valeurs connues dans la formule ci-dessus : cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

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Écrivez une équation et isolez-en le cosinus. Selon une formule, le produit scalaire des vecteurs est égal à leurs longueurs multipliées entre elles et par le cosinus angle, et d'autre part - la somme des produits de coordonnées le long de chacun des axes. En assimilant les deux formules, nous pouvons conclure que le cosinus angle doit être égal au rapport de la somme des produits des coordonnées au produit des longueurs des vecteurs.

Écrivez l'équation résultante. Pour ce faire, nous devons désigner les deux vecteurs. Disons qu'ils sont donnés dans un système cartésien 3D et que leurs points de départ sont dans une grille. La direction et la grandeur du premier vecteur seront données par le point (X₁,Y₁,Z₁), le second - (X₂,Y₂,Z₂), et l'angle sera désigné par la lettre γ. Alors les longueurs de chacun des vecteurs peuvent être, par exemple, selon le théorème de Pythagore pour formées par leurs projections sur chacun des axes de coordonnées : √(X₁² + Y₁² + Z₁²) et √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Remplacez ces expressions dans la formule formulée à l'étape précédente et vous obtenez l'égalité : cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Utiliser le fait que la somme des carrés sinus et Cie sinus depuis angle une valeur en donne toujours un. Par conséquent, en augmentant ce qui a été obtenu à l'étape précédente pour co sinus au carré et soustrait de l'unité, puis

Lors de l'étude de la géométrie, de nombreuses questions se posent sur le thème des vecteurs. L'élève éprouve des difficultés particulières lorsqu'il s'agit de trouver les angles entre les vecteurs.

Termes de base

Avant de considérer les angles entre vecteurs, il est nécessaire de se familiariser avec la définition d'un vecteur et la notion d'angle entre vecteurs.

Un vecteur est un segment qui a une direction, c'est-à-dire un segment dont le début et la fin sont définis.

L'angle entre deux vecteurs sur un plan qui ont une origine commune est le plus petit des angles, par lequel il est nécessaire de déplacer l'un des vecteurs autour d'un point commun, jusqu'à une position où leurs directions coïncident.

Formule de solution

Une fois que vous comprenez ce qu'est un vecteur et comment son angle est déterminé, vous pouvez calculer l'angle entre les vecteurs. La formule de solution pour cela est assez simple et le résultat de son application sera la valeur du cosinus de l'angle. Par définition, il est égal au quotient du produit scalaire des vecteurs et du produit de leurs longueurs.

Le produit scalaire des vecteurs est considéré comme la somme des coordonnées correspondantes des vecteurs multiplicateurs multipliées les unes par les autres. La longueur d'un vecteur, ou son module, est calculé comme la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées.

Après avoir reçu la valeur du cosinus de l'angle, vous pouvez calculer la valeur de l'angle lui-même à l'aide d'une calculatrice ou à l'aide de table trigonométrique.

Exemple

Une fois que vous avez compris comment calculer l'angle entre les vecteurs, la solution au problème correspondant devient simple et directe. A titre d'exemple, considérons le problème simple de trouver la grandeur d'un angle.

Tout d'abord, il sera plus commode de calculer les valeurs des longueurs des vecteurs et de leur produit scalaire nécessaires à la résolution. En utilisant la description ci-dessus, nous obtenons :

En remplaçant les valeurs obtenues dans la formule, nous calculons la valeur du cosinus de l'angle souhaité:

Ce nombre n'est pas l'une des cinq valeurs de cosinus communes, donc pour obtenir la valeur de l'angle, vous devrez utiliser une calculatrice ou la table trigonométrique Bradis. Mais avant d'obtenir l'angle entre les vecteurs, la formule peut être simplifiée pour se débarrasser du signe négatif supplémentaire :

La réponse finale peut être laissée sous cette forme pour maintenir la précision, ou vous pouvez calculer la valeur de l'angle en degrés. Selon la table Bradis, sa valeur sera d'environ 116 degrés et 70 minutes, et la calculatrice affichera une valeur de 116,57 degrés.

Calcul d'angle dans un espace à n dimensions

Lorsque l'on considère deux vecteurs dans un espace tridimensionnel, il est beaucoup plus difficile de comprendre de quel angle on parle s'ils ne se trouvent pas dans le même plan. Pour simplifier la perception, vous pouvez dessiner deux segments qui se croisent qui forment le plus petit angle entre eux, et ce sera celui souhaité. Malgré la présence d'une troisième coordonnée dans le vecteur, le processus de calcul des angles entre les vecteurs ne changera pas. Calculez le produit scalaire et les modules de vecteurs, l'arc cosinus de leur quotient et sera la réponse à ce problème.

En géométrie, des problèmes surviennent souvent avec des espaces qui ont plus de trois dimensions. Mais pour eux, l'algorithme pour trouver la réponse semble similaire.

Différence entre 0 et 180 degrés

L'une des erreurs courantes lors de la rédaction d'une réponse à un problème conçu pour calculer l'angle entre les vecteurs est la décision d'écrire que les vecteurs sont parallèles, c'est-à-dire que l'angle souhaité s'est avéré être de 0 ou 180 degrés. Cette réponse est incorrecte.

Ayant reçu une valeur d'angle de 0 degré à la suite de la solution, la bonne réponse serait de désigner les vecteurs comme co-directionnels, c'est-à-dire que les vecteurs auront la même direction. Dans le cas de l'obtention de 180 degrés, les vecteurs seront de nature à directions opposées.

Vecteurs spécifiques

En trouvant les angles entre les vecteurs, l'un des types spéciaux peut être trouvé, en plus de ceux co-dirigés et dirigés de manière opposée décrits ci-dessus.

Plusieurs vecteurs parallèles à un même plan sont dits coplanaires.
Les vecteurs qui ont la même longueur et la même direction sont dits égaux.
Les vecteurs qui se trouvent sur la même ligne droite, quelle que soit leur direction, sont appelés colinéaires.
Si la longueur du vecteur est nulle, c'est-à-dire que son début et sa fin coïncident, alors il est appelé zéro, et s'il est un, alors il est appelé un.

Angle entre deux vecteurs , :

Si l'angle entre deux vecteurs est aigu, alors leur produit scalaire est positif ; si l'angle entre les vecteurs est obtus, alors le produit scalaire de ces vecteurs est négatif. Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul si et seulement si ces vecteurs sont orthogonaux.

Exercer. Trouver l'angle entre les vecteurs et

Décision. Cosinus de l'angle souhaité

16. Calculer l'angle entre des droites, une droite et un plan

Angle entre droite et plan coupant cette ligne et non perpendiculaire à elle est l'angle entre la ligne et sa projection sur ce plan.

La détermination de l'angle entre une droite et un plan permet de conclure que l'angle entre une droite et un plan est l'angle entre deux droites sécantes : la droite elle-même et sa projection sur le plan. Par conséquent, l'angle entre une droite et un plan est un angle aigu.

L'angle entre une ligne perpendiculaire et un plan est considéré comme égal, et l'angle entre une ligne parallèle et un plan n'est pas déterminé du tout ou est considéré comme égal à .

§ 69. Calcul de l'angle entre droites.

Le problème du calcul de l'angle entre deux droites dans l'espace se résout de la même manière que dans le plan (§ 32). Notons φ l'angle entre les lignes je 1 et je 2 , et par ψ - l'angle entre les vecteurs directeurs un et b ces droites.

Puis si

ψ 90° (Fig. 206.6), alors φ = 180° - ψ. Il est évident que dans les deux cas l'égalité cos φ = |cos ψ| est vraie. Par la formule (1) § 20 nous avons

Par conséquent,

Soit les droites données par leurs équations canoniques

Ensuite, l'angle φ entre les lignes est déterminé à l'aide de la formule

Si l'une des lignes (ou les deux) est donnée par des équations non canoniques, alors pour calculer l'angle, vous devez trouver les coordonnées des vecteurs de direction de ces lignes, puis utiliser la formule (1).

17. Droites parallèles, Théorèmes sur les droites parallèles

Définition. Deux droites dans un plan s'appellent parallèle s'ils n'ont pas de points communs.

Deux lignes en trois dimensions sont appelées parallèle s'ils se trouvent dans le même plan et n'ont pas de points communs.

Angle entre deux vecteurs.

De la définition du produit scalaire :

Condition d'orthogonalité de deux vecteurs:

Condition de colinéarité pour deux vecteurs :

Découle de la définition 5 - . En effet, de la définition du produit d'un vecteur par un nombre, il découle. Par conséquent, sur la base de la règle d'égalité des vecteurs, nous écrivons , , , ce qui implique . Mais le vecteur résultant de la multiplication d'un vecteur par un nombre est colinéaire au vecteur .

Projection vecteur à vecteur :

Exemple 4. Points donnés , , , .

Trouvez le produit scalaire.

Décision. on trouve par la formule du produit scalaire de vecteurs donnés par leurs coordonnées. Dans la mesure où

, ,

Exemple 5 Points donnés , , , .

Trouver projection.

Décision. Dans la mesure où

, ,

Sur la base de la formule de projection, nous avons

Exemple 6 Points donnés , , , .

Trouvez l'angle entre les vecteurs et .

Décision. A noter que les vecteurs

, ,

ne sont pas colinéaires, puisque leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles :

Ces vecteurs ne sont pas non plus perpendiculaires, puisque leur produit scalaire est .

Allons trouver,

Injection trouver à partir de la formule :

Exemple 7 Déterminez pour quels vecteurs et colinéaire.

Décision. En cas de colinéarité, les coordonnées correspondantes des vecteurs et doit être proportionnel, c'est-à-dire :

D'ici et .

Exemple 8. Déterminer à quelle valeur du vecteur et sont perpendiculaires.

Décision. Vecteur et sont perpendiculaires si leur produit scalaire est nul. De cette condition on obtient : . C'est, .

Exemple 9. Trouver , si , , .

Décision. En raison des propriétés du produit scalaire, nous avons :

Exemple 10. Trouver l'angle entre les vecteurs et , où et - vecteurs unitaires et l'angle entre les vecteurs et est égal à 120o.

Décision. Nous avons: , ,

Enfin nous avons : .

5B. produit vectoriel.

Définition 21.art vectoriel vecteur à vecteur est appelé vecteur , ou , défini par les trois conditions suivantes :

1) Le module du vecteur est , où est l'angle entre les vecteurs et , c'est-à-dire .

Il s'ensuit que le module du produit vectoriel est numériquement égal à l'aire parallélogramme construit sur des vecteurs et comme sur des côtés.

2) Le vecteur est perpendiculaire à chacun des vecteurs et ( ; ), c'est-à-dire perpendiculaire au plan du parallélogramme construit sur les vecteurs et .

3) Le vecteur est dirigé de sorte que s'il est vu de son extrémité, le virage le plus court d'un vecteur à l'autre se ferait dans le sens antihoraire (les vecteurs , , forment un triplet droit).

Comment calculer les angles entre vecteurs ?

Termes de base

Avant de considérer les angles entre vecteurs, il est nécessaire de se familiariser avec la définition d'un vecteur et la notion d'angle entre vecteurs.

Un vecteur est un segment qui a une direction, c'est-à-dire un segment dont le début et la fin sont définis.

Formule de solution

Après avoir reçu la valeur du cosinus de l'angle, vous pouvez calculer la valeur de l'angle lui-même à l'aide d'une calculatrice ou d'une table trigonométrique.

Exemple

En remplaçant les valeurs obtenues dans la formule, nous calculons la valeur du cosinus de l'angle souhaité:

Calcul d'angle dans un espace à n dimensions

En géométrie, des problèmes surviennent souvent avec des espaces qui ont plus de trois dimensions. Mais pour eux, l'algorithme pour trouver la réponse semble similaire.

Différence entre 0 et 180 degrés

Vecteurs spécifiques

En trouvant les angles entre les vecteurs, l'un des types spéciaux peut être trouvé, en plus de ceux co-dirigés et dirigés de manière opposée décrits ci-dessus.

Plusieurs vecteurs parallèles à un même plan sont dits coplanaires.
Les vecteurs qui ont la même longueur et la même direction sont dits égaux.
Les vecteurs qui se trouvent sur la même ligne droite, quelle que soit leur direction, sont appelés colinéaires.
Si la longueur du vecteur est nulle, c'est-à-dire que son début et sa fin coïncident, alors il est appelé zéro, et s'il est un, alors il est appelé un.

Comment trouver l'angle entre les vecteurs ?

aidez moi s'il vous plait ! je connais la formule mais je n'y arrive pas
vecteur a (8 ; 10 ; 4) vecteur b (5 ; -20 ; -10)

Alexandre Titov

L'angle entre les vecteurs donné par leurs coordonnées est trouvé selon l'algorithme standard. Vous devez d'abord trouver le produit scalaire des vecteurs a et b : (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Nous substituons ici les coordonnées de ces vecteurs et considérons :
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Ensuite, nous déterminons les longueurs de chacun des vecteurs. La longueur ou module d'un vecteur est la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées :
|a| = racine de (x1^2 + y1^2 + z1^2) = racine de (8^2 + 10^2 + 4^2) = racine de (64 + 100 + 16) = racine de 180 = 6 racines de 5
|b| = racine carrée de (x2^2 + y2^2 + z2^2) = racine carrée de (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = racine carrée de (25 + 400 + 100 ) = racine carrée sur 525 = 5 racines sur 21.
Nous multiplions ces longueurs. Nous obtenons 30 racines sur 105.
Et enfin, on divise le produit scalaire des vecteurs par le produit des longueurs de ces vecteurs. On obtient -200 / (30 racines sur 105) soit
- (4 racines de 105) / 63. C'est le cosinus de l'angle entre les vecteurs. Et l'angle lui-même est égal à l'arc cosinus de ce nombre
f \u003d arccos (-4 racines de 105) / 63.
Si j'ai bien compté.

Comment calculer le sinus d'un angle entre des vecteurs à partir des coordonnées des vecteurs

Mikhaïl Tkatchev

Nous multiplions ces vecteurs. Leur produit scalaire est égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux.
L'angle nous est inconnu, mais les coordonnées sont connues.
Écrivons-le mathématiquement comme ceci.
Soit, étant donnés les vecteurs a(x1;y1) et b(x2;y2)
Puis

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Nous nous disputons.
a*b-produit scalaire des vecteurs est égal à la somme des produits des coordonnées correspondantes des coordonnées de ces vecteurs, c'est-à-dire égal à x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produit des longueurs vectorielles est égal à √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Donc le cosinus de l'angle entre les vecteurs est :

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Connaissant le cosinus d'un angle, on peut calculer son sinus. Discutons de la façon de le faire :

Si le cosinus d'un angle est positif, alors cet angle est compris entre 1 ou 4 quarts, donc son sinus est soit positif, soit négatif. Mais puisque l'angle entre les vecteurs est inférieur ou égal à 180 degrés, alors son sinus est positif. Nous raisonnons de la même manière si le cosinus est négatif.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

C'est tout)))) bonne chance pour comprendre)))

Dmitri Levichtchev

Le fait qu'il soit impossible de sinusoïder directement n'est pas vrai.
En plus de la formule :
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Il y a aussi celui-ci :
||=|a|*|b|*sin A
Autrement dit, au lieu du produit scalaire, vous pouvez prendre le module du produit vectoriel.

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