Formule pour calculer l'angle entre les lignes. Angle entre les droites d'un plan

Soit des lignes données dans l'espace je Et m. Par un certain point A de l'espace, nous traçons des lignes droites je 1 || je Et m 1 || m(Fig. 138).

Notez que le point A peut être choisi arbitrairement, en particulier, il peut se trouver sur l'une des lignes données. Si droit je Et m se croisent, alors A peut être pris comme le point d'intersection de ces droites ( je 1 =l Et m 1 = m).

Angle entre lignes non parallèles je Et m est la valeur du plus petit des angles adjacents formés par des droites sécantes je 1 Et m 1 (je 1 || je, m 1 || m). L'angle entre les lignes parallèles est supposé être nul.

Angle entre les lignes je Et m noté \(\widehat((l;m)) \). De la définition, il s'ensuit que s'il est mesuré en degrés, alors 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, et si en radians, alors 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Une tâche. Le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 est donné (Fig. 139).

Trouver l'angle entre les droites AB et DC 1 .

Traversée droite AB et DC 1. Puisque la ligne DC est parallèle à la ligne AB, l'angle entre les lignes AB et DC 1, selon la définition, est égal à \(\widehat(C_(1)DC)\).

Donc \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direct je Et m appelé perpendiculaire, si \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Par exemple, dans un cube

Calcul de l'angle entre les lignes.

Le problème du calcul de l'angle entre deux droites dans l'espace est résolu de la même manière que dans le plan. Notons φ l'angle entre les lignes je 1 Et je 2 , et par ψ - l'angle entre les vecteurs directeurs mais Et b ces droites.

Puis si

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), alors φ = 180° - ψ. Il est évident que dans les deux cas l'égalité cos φ = |cos ψ| est vraie. Selon la formule (cosinus de l'angle entre vecteurs non nuls a et b sont égaux produit scalaire de ces vecteurs divisés par le produit de leurs longueurs) on a

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

En conséquence,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Soit les droites données par leurs équations canoniques

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Et \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Ensuite, l'angle φ entre les lignes est déterminé à l'aide de la formule

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Si l'une des lignes (ou les deux) est donnée par des équations non canoniques, alors pour calculer l'angle, vous devez trouver les coordonnées des vecteurs de direction de ces lignes, puis utiliser la formule (1).

Tache 1. Calculer l'angle entre les lignes

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;et\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Les vecteurs directeurs des droites ont pour coordonnées :

un \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Par la formule (1) on trouve

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Par conséquent, l'angle entre ces lignes est de 60°.

Tâche 2. Calculer l'angle entre les lignes

$$ \begin(cas)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cas) et \begin(cas)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cas) $$

Derrière le vecteur guide mais la première droite on prend le produit vectoriel des vecteurs normaux n 1 = (3 ; 0 ; -12) et n 2 = (1 ; 1 ; -3) plans définissant cette ligne. Par la formule \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) on obtient

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

De même, on trouve le vecteur directeur de la deuxième droite :

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Mais la formule (1) calcule le cosinus de l'angle souhaité :

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Par conséquent, l'angle entre ces lignes est de 90°.

Tâche 3. Dans la pyramide triangulaire MAVS, les arêtes MA, MB et MC sont perpendiculaires entre elles (fig. 207) ;

leurs longueurs sont respectivement égales à 4, 3, 6. Le point D est le milieu [MA]. Trouver l'angle φ entre les droites CA et DB.

Soient SA et DB les vecteurs directeurs des droites SA et DB.

Prenons le point M comme origine des coordonnées. Par condition de tâche, nous avons A (4 ; 0 ; 0), B(0 ; 0 ; 3), C(0 ; 6 ; 0), D (2 ; 0 ; 0). Donc \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Nous utilisons la formule (1) :

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

D'après le tableau des cosinus, on constate que l'angle entre les droites CA et DB est d'environ 72°.

Instruction

Remarque

Point final fonction trigonométrique la tangente est égale à 180 degrés, ce qui signifie que les angles d'inclinaison des droites ne peuvent pas, modulo, dépasser cette valeur.

Conseil utile

Si les coefficients de pente sont égaux les uns aux autres, alors l'angle entre ces lignes est 0, puisque ces lignes coïncident ou sont parallèles.

Pour déterminer l'angle entre les lignes qui se croisent, il est nécessaire de transférer les deux lignes (ou l'une d'entre elles) vers une nouvelle position par la méthode du transfert parallèle à l'intersection. Après cela, vous devriez trouver l'angle entre les lignes d'intersection résultantes.

Tu auras besoin de

• Règle, triangle rectangle, crayon, rapporteur.

Instruction

Soit donc le vecteur V = (a, b, c) et le plan A x + B y + C z = 0, où A, B et C sont les coordonnées de la normale N. Alors le cosinus de l'angle α entre les vecteurs V et N est: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Pour calculer l'angle en degrés ou en radians, vous devez calculer la fonction inverse du cosinus à partir de l'expression résultante, c'est-à-dire arccosinus: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Exemple : trouver injection compris entre vecteur(5, -3, 8) et avion, donnée par l'équation générale 2 x - 5 y + 3 z = 0. Solution : notez les coordonnées du vecteur normal du plan N = (2, -5, 3). Tout remplacer valeurs connues dans la formule ci-dessus : cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

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Une droite qui a un point commun avec un cercle est tangente au cercle. Une autre caractéristique de la tangente est qu'elle est toujours perpendiculaire au rayon tracé au point de contact, c'est-à-dire que la tangente et le rayon forment une ligne droite injection. Si deux tangentes au cercle AB et AC sont tirées d'un point A, alors elles sont toujours égales l'une à l'autre. Définition de l'angle entre les tangentes ( injection ABC) est produit à l'aide du théorème de Pythagore.

Instruction

Pour déterminer l'angle, vous devez connaître le rayon du cercle OB et OS et la distance du point de départ de la tangente au centre du cercle - O. Ainsi, les angles ABO et ACO sont égaux, le rayon OB, par exemple, 10 cm et la distance au centre du cercle AO est de 15 cm.Déterminer la longueur de la tangente par la formule conformément au théorème de Pythagore: AB = Racine carrée de AO2 - OB2 ou 152 - 102 = 225 - 100 = 125 ;

Ce matériel est consacré à un concept tel que l'angle entre deux lignes droites qui se croisent. Dans le premier paragraphe, nous expliquerons ce que c'est et le montrerons en illustrations. Ensuite, nous analyserons comment vous pouvez trouver le sinus, le cosinus de cet angle et l'angle lui-même (nous examinerons séparément les cas avec un plan et un espace tridimensionnel), nous donnerons les formules nécessaires et montrerons avec des exemples comment elles sont appliquées exactement en pratique.

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Pour comprendre ce qu'est un angle formé à l'intersection de deux droites, il faut rappeler la définition même d'un angle, d'une perpendicularité et d'un point d'intersection.

Définition 1

On appelle deux droites sécantes si elles ont un point commun. Ce point est appelé le point d'intersection des deux droites.

Chaque ligne est divisée par le point d'intersection en rayons. Dans ce cas, les deux lignes forment 4 angles, dont deux sont verticaux et deux sont adjacents. Si nous connaissons la mesure de l'un d'eux, alors nous pouvons déterminer les autres restants.

Disons que nous savons que l'un des angles est égal à α. Dans un tel cas, l'angle qui lui est vertical sera également égal à α. Pour trouver les angles restants, nous devons calculer la différence 180 ° - α . Si α est égal à 90 degrés, alors tous les angles seront droits. Les lignes se coupant à angle droit sont appelées perpendiculaires (un article séparé est consacré au concept de perpendicularité).

Jetez un oeil à l'image:

Passons à la formulation de la définition principale.

Définition 2

L'angle formé par deux lignes qui se croisent est la mesure du plus petit des 4 angles qui forment ces deux lignes.

A partir de la définition il faut faire conclusion importante: la taille du coin dans ce cas sera exprimée par n'importe quel nombre réel dans l'intervalle (0 , 90 ] . Si les lignes sont perpendiculaires, alors l'angle entre elles sera dans tous les cas égal à 90 degrés.

La possibilité de trouver la mesure de l'angle entre deux lignes qui se croisent est utile pour résoudre de nombreux problèmes pratiques. La méthode de résolution peut être sélectionnée parmi plusieurs options.

Pour commencer, nous pouvons prendre des méthodes géométriques. Si nous savons quelque chose sur les angles supplémentaires, nous pouvons les connecter à l'angle dont nous avons besoin en utilisant les propriétés de formes égales ou similaires. Par exemple, si nous connaissons les côtés d'un triangle et que nous devons calculer l'angle entre les lignes sur lesquelles ces côtés sont situés, le théorème du cosinus convient à la résolution. Si nous avons un triangle rectangle dans la condition, alors pour les calculs, nous aurons également besoin de connaître le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle.

La méthode des coordonnées est également très pratique pour résoudre des problèmes de ce type. Expliquons comment l'utiliser correctement.

Nous avons un système de coordonnées rectangulaire (cartésien) O x y avec deux droites. Désignons-les par les lettres a et b. Dans ce cas, les lignes droites peuvent être décrites à l'aide de n'importe quelle équation. Les lignes d'origine ont un point d'intersection M . Comment déterminer l'angle désiré (notons-le α) entre ces droites ?

Commençons par la formulation du principe de base de la recherche d'un angle dans des conditions données.

Nous savons que des concepts tels que direction et vecteur normal sont étroitement liés au concept de ligne droite. Si nous avons l'équation d'une droite, nous pouvons en tirer les coordonnées de ces vecteurs. Nous pouvons le faire pour deux lignes qui se croisent à la fois.

L'angle formé par deux lignes qui se croisent peut être trouvé en utilisant:

• angle entre les vecteurs directeurs ;
• angle entre les vecteurs normaux ;
• l'angle entre le vecteur normal d'une droite et le vecteur directeur de l'autre.

Examinons maintenant chaque méthode séparément.

1. Supposons que nous ayons une ligne a avec le vecteur directeur a → = (a x , a y) et une ligne b avec le vecteur directeur b → (b x , b y) . Laissons maintenant de côté deux vecteurs a → et b → à partir du point d'intersection. Après cela, nous verrons qu'ils seront chacun situés sur leur propre ligne. Ensuite, nous avons quatre options pour eux position relative. Voir l'illustration :

Si l'angle entre deux vecteurs n'est pas obtus, alors ce sera l'angle dont nous avons besoin entre les lignes d'intersection a et b. S'il est obtus, alors l'angle souhaité sera égal à l'angle adjacent à l'angle a → , b → ^ . Ainsi, α = a → , b → ^ si a → , b → ^ ≤ 90 ° , et α = 180 ° - a → , b → ^ si a → , b → ^ > 90 ° .

Partant du fait que les cosinus d'angles égaux sont égaux, on peut réécrire les égalités résultantes comme suit : cos α = cos a → , b → ^ si a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ si a → , b → ^ > 90 ° .

Dans le second cas, des formules de réduction ont été utilisées. De cette façon,

cos α cos une → , b → ^ , cos une → , b → ^ ≥ 0 - cos une → , b → ^ , cos une → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Écrivons la dernière formule en mots:

Définition 3

Le cosinus de l'angle formé par deux lignes sécantes sera égal au module du cosinus de l'angle entre ses vecteurs directeurs.

La forme générale de la formule du cosinus de l'angle entre deux vecteurs a → = (a x, a y) et b → = (b x, b y) ressemble à ceci :

cos une → , b → ^ = une → , b → ^ une → b → = une X b X + une y + b y une X 2 + une y 2 b X 2 + b y 2

Nous pouvons en déduire la formule du cosinus de l'angle entre deux lignes données :

cos α = une X b X + une y + b y une X 2 + une y 2 b X 2 + b y 2 = une X b X + une y + b y une X 2 + une y 2 b X 2 + b y 2

Ensuite, l'angle lui-même peut être trouvé à l'aide de la formule suivante :

α = une r c cos une X b X + une y + b y une X 2 + une y 2 b X 2 + b y 2

Ici a → = (a x , a y) et b → = (b x , b y) sont les vecteurs directeurs des lignes données.

Donnons un exemple de résolution du problème.

Exemple 1

Dans un système de coordonnées rectangulaires, deux lignes d'intersection a et b sont données sur le plan. Ils peuvent être décrits par des équations paramétriques x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R et x 5 = y - 6 - 3 . Calculez l'angle entre ces droites.

Solution

Nous avons une équation paramétrique dans la condition, ce qui signifie que pour cette droite, nous pouvons immédiatement écrire les coordonnées de son vecteur directeur. Pour ce faire, nous devons prendre les valeurs des coefficients au paramètre, c'est-à-dire la droite x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R aura un vecteur directeur a → = (4 , 1) .

La deuxième droite est décrite à l'aide de l'équation canonique x 5 = y - 6 - 3 . Ici, nous pouvons prendre les coordonnées des dénominateurs. Ainsi, cette droite a un vecteur directeur b → = (5 , - 3) .

Ensuite, nous procédons directement à la recherche de l'angle. Pour ce faire, remplacez simplement les coordonnées disponibles des deux vecteurs dans la formule ci-dessus α = a r c cos a X b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Nous obtenons ce qui suit :

α = une r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = une r c cos 17 17 34 = une r c cos 1 2 = 45°

Répondre: Ces lignes forment un angle de 45 degrés.

Nous pouvons résoudre un problème similaire en trouvant l'angle entre les vecteurs normaux. Si nous avons une droite a avec un vecteur normal na → = (nax , nay) et une droite b avec un vecteur normal nb → = (nbx , nby) , alors l'angle entre elles sera égal à l'angle entre na → et nb → ou l'angle qui sera adjacent à na → , nb → ^ . Cette méthode est montrée dans l'image:

Les formules pour calculer le cosinus de l'angle entre les lignes qui se croisent et cet angle lui-même en utilisant les coordonnées des vecteurs normaux ressemblent à ceci :

cos α = cos n une → , n b → ^ = n une X n b X + n une y + n b y n une X 2 + n une y 2 n b X 2 + n b y 2

Ici n a → et n b → désignent les vecteurs normaux de deux droites données.

Exemple 2

Deux lignes droites sont données dans un système de coordonnées rectangulaires en utilisant les équations 3 x + 5 y - 30 = 0 et x + 4 y - 17 = 0 . Trouvez le sinus, le cosinus de l'angle entre eux et l'amplitude de cet angle lui-même.

Solution

Les droites originales sont données à l'aide d'équations de droites normales de la forme A x + B y + C = 0 . Notons le vecteur normal n → = (A , B) . Trouvons les coordonnées du premier vecteur normal pour une droite et notons-les : n a → = (3 , 5) . Pour la deuxième ligne x + 4 y - 17 = 0 le vecteur normal aura pour coordonnées n b → = (1 , 4) . Ajoutez maintenant les valeurs obtenues à la formule et calculez le total :

cos α = cos n une → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Si nous connaissons le cosinus d'un angle, nous pouvons calculer son sinus en utilisant la base identité trigonométrique. Puisque l'angle α formé par les droites n'est pas obtus, alors sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Dans ce cas, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Réponse : cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analysons le dernier cas - trouver l'angle entre les lignes, si nous connaissons les coordonnées du vecteur de direction d'une ligne et le vecteur normal de l'autre.

Supposons que la droite a ait un vecteur directeur a → = (a x , a y) , et que la droite b ait un vecteur normal n b → = (n b x , n b y) . Nous devons reporter ces vecteurs du point d'intersection et envisager toutes les options pour leur position relative. Voir l'image:

Si l'angle entre les vecteurs donnés ne dépasse pas 90 degrés, il s'avère qu'il complétera l'angle entre a et b à un angle droit.

a → , n b → ^ = 90 ° - α si a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

S'il est inférieur à 90 degrés, nous obtenons ce qui suit :

a → , n b → ^ > 90 ° , alors a → , n b → ^ = 90 ° + α

En utilisant la règle d'égalité des cosinus d'angles égaux, on écrit :

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pour a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α à a → , n b → ^ > 90 ° .

De cette façon,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , une → , nb → ^ > 0 - cos une → , nb → ^ , une → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulons une conclusion.

Définition 4

Pour trouver le sinus de l'angle entre deux droites se coupant dans un plan, il faut calculer le module du cosinus de l'angle entre le vecteur directeur de la première droite et le vecteur normal de la seconde.

Écrivons les formules nécessaires. Trouver le sinus d'un angle :

sin α = cos une → , n b → ^ = une X n b X + une y n b y une X 2 + une y 2 n b X 2 + n b y 2

Trouver le coin lui-même :

α = une r c sin = une X n b X + une y n b y une X 2 + une y 2 n b X 2 + n b y 2

Ici a → est le vecteur directeur de la première droite, et n b → est le vecteur normal de la seconde.

Exemple 3

Deux droites sécantes sont données par les équations x - 5 = y - 6 3 et x + 4 y - 17 = 0 . Trouver l'angle d'intersection.

Solution

Nous prenons les coordonnées du vecteur directeur et normal à partir des équations données. Il s'avère a → = (- 5 , 3) ​​​​et n → b = (1 , 4) . Nous prenons la formule α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 et considérons:

α = une r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = une r c sin 7 2 34

Notez que nous avons pris les équations du problème précédent et obtenu exactement le même résultat, mais d'une manière différente.

Répondre:α = une r c sin 7 2 34

Voici une autre façon de trouver l'angle souhaité en utilisant les coefficients de pente de lignes données.

Nous avons une ligne a , qui est définie dans un système de coordonnées rectangulaires en utilisant l'équation y = k 1 · x + b 1 , et une ligne b , définie comme y = k 2 · x + b 2 . Ce sont des équations de droites avec une pente. Pour trouver l'angle d'intersection, utilisez la formule :

α = une r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , où k 1 et k 2 sont facteurs de pente lignes données. Pour obtenir cet enregistrement, des formules permettant de déterminer l'angle à travers les coordonnées des vecteurs normaux ont été utilisées.

Exemple 4

Il y a deux droites qui se coupent dans un plan, donné par des équations y = - 3 5 x + 6 et y = - 1 4 x + 17 4 . Calculer l'angle d'intersection.

Solution

Les pentes de nos droites sont égales à k 1 = - 3 5 et k 2 = - 1 4 . Ajoutons-les à la formule α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 et calculons :

α = une r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = une r c cos 23 20 34 24 17 16 = une r c cos 23 2 34

Répondre:α = une r c cos 23 2 34

Dans les conclusions de ce paragraphe, il convient de noter que les formules pour trouver l'angle données ici ne doivent pas être apprises par cœur. Pour ce faire, il suffit de connaître les coordonnées des guides et/ou des vecteurs normaux des droites données et de pouvoir les déterminer à partir de différents typeséquations. Mais les formules pour calculer le cosinus d'un angle sont mieux à retenir ou à écrire.

Comment calculer l'angle entre les lignes qui se croisent dans l'espace

Le calcul d'un tel angle peut se réduire au calcul des coordonnées des vecteurs directeurs et à la détermination de la grandeur de l'angle formé par ces vecteurs. Pour de tels exemples, nous utilisons le même raisonnement que nous avons donné précédemment.

Disons que nous avons un système de coordonnées rectangulaire situé dans l'espace 3D. Il contient deux droites a et b avec le point d'intersection M . Pour calculer les coordonnées des vecteurs directeurs, il faut connaître les équations de ces droites. Notons les vecteurs directeurs a → = (a x , a y , a z) et b → = (b x , b y , b z) . Pour calculer le cosinus de l'angle entre eux, nous utilisons la formule :

cos α = cos une → , b → ^ = une → , b → une → b → = une X b X + une y b y + une z b z une X 2 + une y 2 + une z 2 b X 2 + b y 2 + b z 2

Pour trouver l'angle lui-même, nous avons besoin de cette formule :

α = une r c cos une X b X + une y b y + une z b z une X 2 + une y 2 + une z 2 b X 2 + b y 2 + b z 2

Exemple 5

Nous avons une ligne droite définie dans l'espace 3D en utilisant l'équation x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . On sait qu'il coupe l'axe O z. Calculer l'angle d'intersection et le cosinus de cet angle.

Solution

Notons l'angle à calculer par la lettre α. Notons les coordonnées du vecteur directeur pour la première droite - a → = (1 , - 3 , - 2) . Pour l'axe appliqué, nous pouvons prendre le vecteur de coordonnées k → = (0 , 0 , 1) comme guide. Nous avons reçu les données nécessaires et pouvons les ajouter à la formule souhaitée :

cos α = cos une → , k → ^ = une → , k → une → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

En conséquence, nous avons obtenu que l'angle dont nous avons besoin sera égal à a r c cos 1 2 = 45 °.

Répondre: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

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Il sera utile pour chaque élève qui se prépare à l'examen de mathématiques de répéter le sujet "Trouver l'angle entre les lignes". Comme le montrent les statistiques, lors de la réussite d'un test de certification, les tâches de cette section de la stéréométrie causent des difficultés pour un grand nombreétudiants. Dans le même temps, les tâches nécessitant de trouver l'angle entre des lignes droites se trouvent dans l'USE aux niveaux de base et de profil. Cela signifie que tout le monde devrait pouvoir les résoudre.

Moments de base

Il existe 4 types d'arrangement mutuel de lignes dans l'espace. Ils peuvent coïncider, se croiser, être parallèles ou se croiser. L'angle entre eux peut être aigu ou droit.

Pour trouver l'angle entre les lignes dans l'examen d'État unifié ou, par exemple, dans la solution, les écoliers de Moscou et d'autres villes peuvent utiliser plusieurs méthodes pour résoudre les problèmes de cette section de stéréométrie. Vous pouvez compléter la tâche par des constructions classiques. Pour ce faire, il convient d'apprendre les axiomes et théorèmes de base de la stéréométrie. L'élève doit être capable de construire logiquement un raisonnement et de créer des dessins afin d'amener la tâche à un problème planimétrique.

Vous pouvez également utiliser la méthode des coordonnées vectorielles, en utilisant des formules, des règles et des algorithmes simples. L'essentiel dans ce cas est d'effectuer correctement tous les calculs. Cela vous aidera à perfectionner vos compétences dans la résolution de problèmes de stéréométrie et d'autres sections du cours scolaire. projet pédagogique"Chkolkovo".

mais. Soit deux droites, ces droites, comme il a été indiqué au chapitre 1, forment divers angles positifs et négatifs, qui peuvent être soit aigus, soit obtus. Connaissant l'un de ces angles, on peut facilement en trouver un autre.

Soit dit en passant, pour tous ces angles, la valeur numérique de la tangente est la même, la différence ne peut être que dans le signe

Équations de lignes. Les nombres sont les projections des vecteurs directeurs des première et deuxième droites, l'angle entre ces vecteurs est égal à l'un des angles formés par les droites. Par conséquent, le problème se réduit à déterminer l'angle entre les vecteurs, nous obtenons

Pour simplifier, on peut s'entendre sur un angle entre deux droites pour comprendre un angle aigu positif (comme, par exemple, sur la Fig. 53).

Alors la tangente de cet angle sera toujours positive. Ainsi, si un signe moins est obtenu du côté droit de la formule (1), alors nous devons le rejeter, c'est-à-dire ne conserver que la valeur absolue.

Exemple. Déterminer l'angle entre les lignes

Par la formule (1) nous avons

à partir de. S'il est indiqué lequel des côtés de l'angle est son début et lequel est sa fin, alors, en comptant toujours la direction de l'angle dans le sens antihoraire, nous pouvons extraire quelque chose de plus des formules (1). Comme il est facile de voir sur la Fig. 53 le signe obtenu du côté droit de la formule (1) indiquera lequel - aigu ou obtus - l'angle forme la seconde ligne avec la première.

(En effet, sur la Fig. 53, nous voyons que l'angle entre les premier et deuxième vecteurs de direction est soit égal à l'angle souhaité entre les lignes, soit en diffère de ± 180 °.)

ré. Si les droites sont parallèles, alors leurs vecteurs directeurs sont également parallèles. En appliquant la condition de parallélisme de deux vecteurs, on obtient !

C'est une condition nécessaire et suffisante pour que deux droites soient parallèles.

Exemple. Direct

sont parallèles car

e. Si les droites sont perpendiculaires, alors leurs vecteurs directeurs sont également perpendiculaires. En appliquant la condition de perpendicularité de deux vecteurs, on obtient la condition de perpendicularité de deux droites, à savoir

Exemple. Direct

perpendiculaire parce que

En relation avec les conditions de parallélisme et de perpendicularité, nous allons résoudre les deux problèmes suivants.

F. Tracer une droite parallèle à une droite donnée passant par un point

La décision est prise comme ça. Puisque la ligne souhaitée est parallèle à celle donnée, alors pour son vecteur directeur nous pouvons prendre le même que celui de la ligne donnée, c'est-à-dire un vecteur avec des projections A et B. Et alors l'équation de la ligne souhaitée s'écrira sous la forme (§ 1)

Exemple. Équation d'une droite passant par un point (1; 3) parallèle à une droite

sera le prochain !

g. Tracer une ligne passant par un point perpendiculaire à la ligne donnée

Ici, il ne convient plus de prendre un vecteur de projections A et comme vecteur directeur, mais il faut gagner un vecteur perpendiculaire à celui-ci. Les projections de ce vecteur doivent donc être choisies selon la condition que les deux vecteurs soient perpendiculaires, c'est-à-dire selon la condition

Cette condition peut être remplie d'une infinité de façons, puisqu'il y a ici une équation à deux inconnues, mais le plus simple est de la prendre, alors l'équation de la droite recherchée s'écrira sous la forme

Exemple. Équation d'une droite passant par un point (-7; 2) dans une droite perpendiculaire

sera la suivante (selon la seconde formule) !

h. Dans le cas où les droites sont données par des équations de la forme