Laquelle des fonctions est exemplaire. Une fonction exponentielle, ses propriétés et son graphique - Knowledge Hypermarket

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMIQUES VIII

§ 179 Propriétés de base de la fonction exponentielle

Dans cette section, nous étudierons les principales propriétés de la fonction exponentielle

y = un X (1)

Rappelons que sous un dans la formule (1), nous entendons tout nombre positif fixe autre que 1.

Propriété 1. Le domaine de la fonction exponentielle est l'ensemble de tous les nombres réels.

En effet, pour un résultat positif un expression un X défini pour tout nombre réel X .

Propriété 2. Fonction exponentielle ne prend que des valeurs positives.

En effet, si X > 0, alors, comme cela a été prouvé au § 176,

un X > 0.

Si X <. 0, то

un X =

où - X déjà supérieur à zéro. Alors un - X > 0. Mais alors

un X = > 0.

Enfin, à X = 0

un X = 1.

La 2ème propriété de la fonction exponentielle a une interprétation graphique simple. Elle réside dans le fait que le graphique de cette fonction (voir Fig. 246 et 247) se situe entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.

Propriété 3. Si un un >1, puis à X > 0 un X > 1, et à X < 0 un X < 1. Si un < 1, тah au contraire X > 0 un X < 1, et à X < 0 un X > 1.

Cette propriété de la fonction exponentielle permet également une interprétation géométrique simple. À un > 1 (fig. 246) courbes y = un X situé au-dessus de la ligne à = 1 à X > 0 et en dessous de la droite à = 1 à X < 0.

Si un < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = un X situé sous la ligne à = 1 à X > 0 et au-dessus de cette droite à X < 0.

Donnons une preuve rigoureuse de la 3ème propriété. Laisser être un > 1 et X est un nombre positif arbitraire. Montrons que

un X > 1.

Si nombre X rationnel ( X = m / n ) , alors un X = un m / n = n √un m .

Dans la mesure où un > 1, alors un m > 1, mais la racine d'un nombre supérieur à un est évidemment également supérieure à 1.

Si un X irrationnel, alors il existe des nombres rationnels positifs X" et X" , qui servent d'approximations décimales du nombre X :

X"< х < х" .

Mais alors, par définition du degré c indicateur irrationnel

un X" < un X < un X"" .

Comme indiqué ci-dessus, le nombre un X" plus d'un. Par conséquent, le nombre un X , plus que un X" , doit également être supérieur à 1,

Ainsi, nous avons montré que un >1 et positif arbitraire X

un X > 1.

Si le nombre X était négatif, alors nous aurions

un X =

où le nombre est X serait positif. Alors un - X > 1. Par conséquent,

un X = < 1.

Ainsi, à un > 1 et négatif arbitraire X

un X < 1.

Cas où 0< un < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

Propriété 4. Si x = 0, alors indépendamment d'un un X =1.

Cela découle de la définition du degré zéro; la puissance nulle de tout nombre autre que zéro est égale à 1. Graphiquement, cette propriété s'exprime par le fait que pour tout un courbe à = un X (voir fig. 246 et 247) croise l'axe à au point d'ordonnée 1.

Propriété 5. À un >1 fonction exponentielle = un X est croissante de manière monotone, et pour un < 1 - décroissant de manière monotone.

Cette propriété permet également une interprétation géométrique simple.

À un > 1 (Fig. 246) courbe à = un X avec croissance X monte de plus en plus haut, et un < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

Donnons une preuve rigoureuse de la 5ème propriété.

Laisser être un > 1 et X 2 > X une . Montrons que

un X 2 > un X 1

Dans la mesure où X 2 > X 1., puis X 2 = X 1 + ré , où ré est un nombre positif. Alors

un X 2 - un X 1 = un X 1 + ré - un X 1 = un X 1 (un ré - 1)

D'après la 2ème propriété de la fonction exponentielle un X 1 > 0. Depuis ré > 0, puis par la 3ème propriété de la fonction exponentielle un ré > 1. Les deux facteurs dans le produit un X 1 (un ré - 1) sont positifs, donc ce produit lui-même est positif. Moyens, un X 2 - un X 1 > 0, ou un X 2 > un X 1 , qui devait être prouvé.

Alors, à un > 1 fonction à = un X est monotone croissante. De même, il est prouvé que un < 1 функция à = un X est monotone décroissante.

Conséquence. Si deux puissances du même nombre positif autre que 1 sont égales, alors leurs exposants sont également égaux.

Autrement dit, si

un b = un c (un > 0 et un =/= 1),

b = c .

En effet, si les chiffres b et avec n'étaient pas égaux, alors en raison de la monotonie de la fonction à = un X la plupart correspondraient à un >1 est plus grand, et à un < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или un b > un c , ou alors un b < un c . Les deux contredisent la condition un b = un c . Il reste à reconnaître que b = c .

Propriété 6. Si un > 1, puis avec une augmentation illimitée de l'argument X (X -> ∞ ) valeurs de fonction à = un X aussi grandir indéfiniment (à -> ∞ ). Avec une diminution illimitée de l'argument X (X -> -∞ ) les valeurs de cette fonction tendent vers zéro, tout en restant positives (à->0; à > 0).

Compte tenu de la monotonie démontrée ci-dessus de la fonction à = un X , on peut dire que dans le cas considéré, la fonction à = un X augmente de manière monotone de 0 à ∞ .

Si un 0 <un < 1, puis avec une augmentation illimitée de l'argument x (x -> ∞), les valeurs de la fonction y \u003d a x tendent vers zéro, tout en restant positives (à->0; à > 0). Avec une diminution illimitée de l'argument x (X -> -∞ ) les valeurs de cette fonction croissent indéfiniment (à -> ∞ ).

En raison de la monotonie de la fonction y = hache on peut dire que dans ce cas la fonction à = un X diminue de façon monotone de ∞ à 0.

La 6ème propriété de la fonction exponentielle est clairement reflétée dans les figures 246 et 247. Nous ne la prouverons pas strictement.

Il suffit d'établir la plage de la fonction exponentielle y = hache (un > 0, un =/= 1).

Ci-dessus, nous avons prouvé que la fonction y = hache ne prend que des valeurs positives et soit augmente de manière monotone de 0 à ∞ (à un > 1), ou décroît de façon monotone de ∞ à 0 (à 0< un <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = hache quand vous changez des sauts? Prend-il des valeurs positives ? Cette question reçoit une réponse positive. Si un > 0 et un =/= 1, alors quel que soit le nombre positif à 0 doit être trouvé X 0 , tel que

un X 0 = à 0 .

(En raison de la monotonie de la fonction y = hache valeur spécifiée X 0 serait le seul, bien sûr.)

La preuve de ce fait dépasse le cadre de notre programme. Son interprétation géométrique est que pour toute valeur positive à 0 graphique de fonction y = hache doit croiser la ligne à = à 0 et, de plus, seulement en un point (Fig. 248).

Nous pouvons en tirer la conclusion suivante, que nous formulons sous la forme de la propriété 7.

Propriété 7. La zone de changement de la fonction exponentielle y \u003d a x (un > 0, un =/= 1)est l'ensemble de tous les nombres positifs.

Des exercices

1368. Trouvez les domaines des fonctions suivantes :

1369. Lequel des nombres donnés est supérieur à 1 et lequel est inférieur à 1 :

1370. Sur la base de quelle propriété de la fonction exponentielle peut-on affirmer que

a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5 ; b) (4/3) 1,3 > (4/3) 1,2

1371. Quel nombre est le plus grand :

un) π - √3 ou (1 / π ) - √3 ; c) (2 / 3) 1 + √6 ou (2 / 3) √2 + √5 ;

b) ( π / 4) 1 + √3 ou ( π / 4) 2 ; d) (√3 ) √2 - √5 ou (√3) √3 - 2 ?

1372. Les inégalités sont-elles équivalentes :

1373. Que peut-on dire des nombres X et à , si un x = Andy , où un est un nombre positif donné ?

1374. 1) Est-il possible parmi toutes les valeurs d'une fonction à = 2X souligner:

2) Est-ce possible parmi toutes les valeurs de fonction à = 2 | x| souligner:

un) valeur la plus élevée; b) la plus petite valeur ?

Fonction exponentielle est une généralisation du produit de n nombres égal à a :
y (n) = une n = une une une une,
à l'ensemble des nombres réels x :
y (x) = x.
Ici a est fixe nombre réel, qui est appelée la base de la fonction exponentielle.
Une fonction exponentielle de base a est aussi appelée exponentielle en base a.

La généralisation s'effectue comme suit.
Pour x naturel = 1, 2, 3,... , la fonction exponentielle est le produit de x facteurs :
.
De plus, il possède les propriétés (1,5-8) (), qui découlent des règles de multiplication des nombres. A zéro et valeurs négatives entiers , la fonction exponentielle est déterminée par les formules (1.9-10). Pour les valeurs fractionnaires x = m/n nombres rationnels, , il est déterminé par la formule (1.11). Pour real , la fonction exponentielle est définie comme limite de séquence:
,
où est une suite arbitraire de nombres rationnels convergeant vers x : .
Avec cette définition, la fonction exponentielle est définie pour tout , et satisfait les propriétés (1.5-8), ainsi que pour x naturel.

Une formulation mathématique rigoureuse de la définition d'une fonction exponentielle et une preuve de ses propriétés sont données à la page "Définition et preuve des propriétés d'une fonction exponentielle".

Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle y = a x a les propriétés suivantes sur l'ensemble des nombres réels () :
(1.1) est définie et continue, pour , pour tout ;
(1.2) quand un ≠ 1 a plusieurs significations;
(1.3) augmente strictement à , diminue strictement à ,
est constant à ;
(1.4) à ;
à ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Autres formules utiles
.
La formule de conversion en une fonction exponentielle avec une base de puissance différente :

Pour b = e , on obtient l'expression de la fonction exponentielle en fonction de l'exposant :

Valeurs privées

, , , , .

La figure montre des graphiques de la fonction exponentielle
y (x) = x
pour quatre valeurs bases de diplômes:a= 2 , un = 8 , un = 1/2 et un = 1/8 . On voit que pour un > 1 fonction exponentielle est croissante de façon monotone. Plus la base du degré a est grande, plus la croissance est forte. À 0 < a < 1 la fonction exponentielle est monotone décroissante. Comment moins d'indicateur degré a , plus la diminution est forte.

Ascendant descendant

La fonction exponentielle at est strictement monotone, elle n'a donc pas d'extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.

	y = une X , une > 1	y = x, 0 < a < 1
Domaine	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Plage de valeurs	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotone	augmente de façon monotone	diminue de façon monotone
Zéros, y= 0	Non	Non
Points d'intersection avec l'axe y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Fonction inverse

L'inverse d'une fonction exponentielle de base de degré a est le logarithme de base a.

Si donc
.
Si donc
.

Différenciation de la fonction exponentielle

Pour dériver une fonction exponentielle, il faut réduire sa base au nombre e, appliquer le tableau des dérivées et la règle de dérivation d'une fonction complexe.

Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété des logarithmes
et la formule du tableau des dérivées :
.

Donnons une fonction exponentielle :
.
Nous l'amenons à la base e:

On applique la règle de différentiation d'une fonction complexe. Pour ce faire, nous introduisons une variable

Puis

D'après le tableau des dérivées, nous avons (remplacer la variable x par z ):
.
Puisque est une constante, la dérivée de z par rapport à x est
.
Selon la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.

Dérivée de la fonction exponentielle

.
Dérivée du nième ordre :
.
Dérivation de formules > > >

Un exemple de différenciation d'une fonction exponentielle

Trouver la dérivée d'une fonction
y= 35x

Décision

Nous exprimons la base de la fonction exponentielle en fonction du nombre e.
3 = e log 3
Puis
.
Nous introduisons une variable
.
Puis

Du tableau des dérivées, nous trouvons:
.
Dans la mesure où 5ln 3 est une constante, alors la dérivée de z par rapport à x est :
.
D'après la règle de différenciation d'une fonction complexe, on a :
.

Répondre

Intégral

Expressions en termes de nombres complexes

Considérez la fonction de nombre complexe z:
F (z) = az
où z = x + iy ; je 2 = - 1 .
Nous exprimons la constante complexe a en fonction du module r et de l'argument φ :
une = r e je φ
Puis


.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. À vue générale
φ = φ 0 + 2 pn,
où n est un entier. Par conséquent, la fonction f (z) est également ambigu. Souvent considéré comme son importance principale
.

Extension en série

.

Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.

La solution de la plupart des problèmes mathématiques est en quelque sorte liée à la transformation d'expressions numériques, algébriques ou fonctionnelles. Cela s'applique particulièrement à la solution. Dans les variantes USE en mathématiques, ce type de tâche comprend notamment la tâche C3. Apprendre à résoudre les tâches C3 est important non seulement pour le but livraison réussie Examen d'État unifié, mais aussi pour la raison que cette compétence est utile lors de l'étude d'un cours de mathématiques dans l'enseignement supérieur.

En exécutant les tâches C3, vous devez décider différentes sorteséquations et inégalités. Parmi eux se trouvent des modules rationnels, irrationnels, exponentiels, logarithmiques, trigonométriques, contenant (valeurs absolues), ainsi que des modules combinés. Cet article traite des principaux types d'équations et d'inégalités exponentielles, ainsi que des diverses méthodes leurs décisions. Lisez à propos de la résolution d'autres types d'équations et d'inéquations sous le titre "" dans les articles consacrés aux méthodes de résolution des problèmes C3 à partir de UTILISER les options mathématiques.

Avant de procéder à l'analyse de équations et inégalités exponentielles, en tant que tuteur en mathématiques, je vous suggère de rafraîchir certaines matériel théorique dont nous aurons besoin.

Fonction exponentielle

Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ?

Afficher la fonction y = un x, où un> 0 et un≠ 1, appelé fonction exponentielle.

Principale propriétés de la fonction exponentielle y = un x:

Graphique d'une fonction exponentielle

Le graphique de la fonction exponentielle est exposant:

Graphiques de fonctions exponentielles (exposants)

Solution d'équations exponentielles

indicatif appelées équations dans lesquelles la variable inconnue ne se trouve que dans les exposants de toutes les puissances.

Pour les solutions équations exponentielles vous devez connaître et être capable d'utiliser le théorème simple suivant :

Théorème 1.équation exponentielle un F(X) = un g(X) (où un > 0, un≠ 1) équivaut à l'équation F(X) = g(X).

De plus, il est utile de rappeler les formules de base et les actions avec degrés :

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Exemple 1 Résous l'équation:

Décision: utilisez les formules et substitutions ci-dessus :

L'équation devient alors :

Reçu discriminant équation quadratique positif:

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Cela signifie que cette équation a deux racines. Nous les retrouvons :

En revenant à la substitution, on obtient :

La deuxième équation n'a pas de racine, puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur tout le domaine de définition. Résolvons le second :

Compte tenu de ce qui a été dit dans le Théorème 1, on passe à l'équation équivalente : X= 3. Ce sera la réponse à la tâche.

Répondre: X = 3.

Exemple 2 Résous l'équation:

Décision: l'équation n'a aucune restriction sur la zone des valeurs admissibles, puisque l'expression radicale a un sens pour toute valeur X(fonction exponentielle y = 9 4 -X positif et différent de zéro).

On résout l'équation par des transformations équivalentes en utilisant les règles de multiplication et de division des puissances :

La dernière transition a été effectuée conformément au théorème 1.

Répondre:X= 6.

Exemple 3 Résous l'équation:

Décision: les deux côtés de l'équation d'origine peuvent être divisés par 0,2 X. Cette transition sera équivalente, puisque cette expression est supérieure à zéro pour toute valeur X(la fonction exponentielle est strictement positive sur son domaine). L'équation prend alors la forme :

Répondre: X = 0.

Exemple 4 Résous l'équation:

Décision: nous simplifions l'équation à une équation élémentaire par des transformations équivalentes en utilisant les règles de division et de multiplication des puissances données au début de l'article :

Diviser les deux côtés de l'équation par 4 X, comme dans l'exemple précédent, est une transformation équivalente, puisque cette expression n'est pas égale à zéro pour toutes les valeurs X.

Répondre: X = 0.

Exemple 5 Résous l'équation:

Décision: une fonction y = 3X, debout sur le côté gauche de l'équation, augmente. Une fonction y = —X-2/3, debout sur le côté droit de l'équation, diminue. Cela signifie que si les graphiques de ces fonctions se croisent, alors au plus en un point. Dans ce cas, il est facile de deviner que les graphiques se coupent au point X= -1. Il n'y aura pas d'autres racines.

Répondre: X = -1.

Exemple 6 Résous l'équation:

Décision: on simplifie l'équation par des transformations équivalentes, en gardant partout à l'esprit que la fonction exponentielle est strictement supérieure à zéro pour toute valeur X et en utilisant les règles de calcul du produit et des puissances partielles données au début de l'article :

Répondre: X = 2.

Résolution des inégalités exponentielles

indicatif appelées inégalités dans lesquelles la variable inconnue n'est contenue que dans les exposants de certaines puissances.

Pour les solutions inégalités exponentielles la connaissance du théorème suivant est nécessaire :

Théorème 2. Si un un> 1, alors l'inégalité un F(X) > un g(X) est équivalente à une inégalité de même sens : F(X) > g(X). Si 0< un < 1, то inégalité exponentielle un F(X) > un g(X) équivaut à une inégalité de sens opposé : F(X) < g(X).

Exemple 7 Résolvez l'inégalité :

Décision: représentent l'inégalité originale sous la forme :

Divisez les deux côtés de cette inégalité par 3 2 X, et (en raison de la positivité de la fonction y= 3 2X) le signe de l'inégalité ne changera pas :

Utilisons une substitution :

L'inégalité prend alors la forme :

La solution de l'inégalité est donc l'intervalle :

en passant à la substitution inverse, on obtient :

L'inégalité de gauche, due à la positivité de la fonction exponentielle, est satisfaite automatiquement. Prendre l'avantage propriété connue logarithme, on passe à l'inégalité équivalente :

Puisque la base du degré est un nombre supérieur à un, l'équivalent (par le théorème 2) sera le passage à l'inégalité suivante :

Donc on obtient enfin répondre:

Exemple 8 Résolvez l'inégalité :

Décision: en utilisant les propriétés de multiplication et de division des puissances, on réécrit l'inégalité sous la forme :

Introduisons une nouvelle variable :

Avec cette substitution, l'inégalité prend la forme :

En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 7, on obtient l'inégalité équivalente suivante :

Donc l'inégalité est satisfaite les valeurs suivantes variable t:

Alors, en revenant à la substitution, on obtient :

Comme la base du degré est ici supérieure à un, il est équivalent (par le théorème 2) de passer à l'inégalité :

Enfin on obtient répondre:

Exemple 9 Résolvez l'inégalité :

Décision:

On divise les deux côtés de l'inégalité par l'expression :

Il est toujours supérieur à zéro (parce que la fonction exponentielle est positive), donc le signe d'inégalité n'a pas besoin d'être changé. On a:

t , qui sont dans l'intervalle :

En passant à la substitution inverse, on trouve que l'inégalité originelle se scinde en deux cas :

La première inégalité n'a pas de solution en raison de la positivité de la fonction exponentielle. Résolvons le second :

Exemple 10 Résolvez l'inégalité :

Décision:

Branches de parabole y = 2X+2-X 2 sont dirigés vers le bas, il est donc borné par le haut par la valeur qu'il atteint en son sommet :

Branches de parabole y = X 2 -2X+2, qui est dans l'indicateur, sont dirigés vers le haut, ce qui signifie qu'il est limité par le bas par la valeur qu'il atteint à son sommet :

Dans le même temps, la fonction s'avère être bornée par le bas y = 3 X 2 -2X+2 sur le côté droit de l'équation. Elle l'atteint la plus petite valeur au même point que la parabole dans l'exposant, et cette valeur est 3 1 = 3. Ainsi, l'inégalité originale ne peut être vraie que si la fonction de gauche et la fonction de droite prennent la valeur 3 en un point (par l'intersection des plages de ces fonctions n'est que ce nombre). Cette condition est satisfaite en un seul point X = 1.

Répondre: X= 1.

Pour apprendre à résoudre équations et inégalités exponentielles, vous devez constamment vous entraîner à leur solution. Dans cette affaire difficile, divers aides à l'enseignement, des cahiers de problèmes en mathématiques élémentaires, des recueils de problèmes compétitifs, des cours de mathématiques à l'école, ainsi que séances individuelles avec un tuteur professionnel. Je vous souhaite sincèrement du succès dans vos préparatifs et des résultats brillantsà l'examen.

Sergueï Valérievitch

P.S. Chers invités ! Veuillez ne pas écrire de demandes pour résoudre vos équations dans les commentaires. Malheureusement, je n'ai pas du tout le temps pour ça. De tels messages seront supprimés. Veuillez lire l'article. Vous y trouverez peut-être des réponses à des questions qui ne vous ont pas permis de résoudre votre tâche par vous-même.

Trouver la valeur de l'expression pour différentes valeurs rationnelles de la variable x=2 ; 0 ; -3 ; -

Remarque, quel que soit le nombre que nous substituons à la place de la variable x, vous pouvez toujours trouver la valeur de cette expression. On considère donc une fonction exponentielle (y égale trois à la puissance x), définie sur l'ensemble des nombres rationnels : .

Construisons un graphique de cette fonction en créant un tableau de ses valeurs.

Traçons une ligne lisse passant par ces points (Fig. 1)

En utilisant le graphique de cette fonction, considérez ses propriétés :

3. Augmente sur toute la zone de définition.

1. allant de zéro à plus l'infini.

8. La fonction est convexe vers le bas.

Si dans un système de coordonnées pour construire des graphiques de fonctions; y=(y est égal à deux à la puissance x, y est égal à cinq à la puissance x, y est égal à sept à la puissance x), vous pouvez voir qu'ils ont les mêmes propriétés que y=(y est égal à trois à la puissance x) ( Fig. .2), c'est-à-dire que toutes les fonctions de la forme y = (y est égal à a à la puissance x, avec a supérieur à un) auront de telles propriétés

Traçons la fonction :

1. Compilation d'un tableau de ses valeurs.

Nous marquons les points obtenus sur le plan de coordonnées.

Traçons une ligne lisse passant par ces points (Fig. 3).

A l'aide du graphe de cette fonction, nous indiquons ses propriétés :

1. Le domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels.

2. N'est ni pair ni impair.

3. Diminue sur tout le domaine de définition.

4. N'a ni la plus grande ni la plus petite valeur.

5. Limité d'en bas, mais pas limité d'en haut.

6. Continue sur tout le domaine de définition.

7. plage de valeurs de zéro à plus l'infini.

8. La fonction est convexe vers le bas.

De même, si dans un système de coordonnées pour construire des graphiques de fonctions; y=(y est égal à une seconde à la puissance x, y est égal à un cinquième à la puissance x, y est égal à un septième à la puissance x), vous pouvez voir qu'ils ont les mêmes propriétés que y=(y est égal à un tiers à la puissance puissance de x) x) (Fig. 4), c'est-à-dire que toutes les fonctions de la forme y \u003d (y est égal à un divisé par a à la puissance de x, avec un supérieur à zéro mais inférieur à un) seront ont de telles propriétés

Construisons des graphes de fonctions dans un système de coordonnées

cela signifie que les graphes des fonctions y=y= seront également symétriques (y est égal à a à la puissance de x et y égal à un divisé par a à la puissance x) pour la même valeur de a.

Nous résumons ce qui a été dit en donnant une définition d'une fonction exponentielle et en indiquant ses principales propriétés :

Définition: Une fonction de la forme y \u003d, où (y est égal à a à la puissance x, où a est positif et différent de un), est appelée fonction exponentielle.

Il faut se souvenir des différences entre la fonction exponentielle y= et la fonction puissance y=, a=2,3,4,…. à la fois sonore et visuel. La fonction exponentielle X est un diplôme, et fonction de puissance X est la base.

Exemple 1 : résoudre l'équation (trois à la puissance x égale neuf)

(y est égal à trois à la puissance x et y est égal à neuf) fig.7

Notez qu'ils ont un point commun M (2; 9) (em de coordonnées deux; neuf), ce qui signifie que l'abscisse du point sera la racine équation donnée. Autrement dit, l'équation a une seule racine x = 2.

Exemple 2 : résoudre l'équation

Dans un système de coordonnées, nous allons construire deux graphiques de la fonction y \u003d (y est égal à cinq à la puissance x et y est égal à un vingt-cinquième) Fig.8. Les graphiques se croisent en un point T (-2; (te avec les coordonnées moins deux; un vingt-cinquième). Par conséquent, la racine de l'équation est x \u003d -2 (nombre moins deux).

Exemple 3 : résoudre l'inéquation

Dans un système de coordonnées, nous construisons deux graphiques de la fonction y \u003d

(y est égal à trois à la puissance x et y est égal à vingt-sept).

Fig.9 Le graphique de la fonction est situé au dessus du graphique de la fonction y=quand

x Par conséquent, la solution de l'inégalité est l'intervalle (de moins l'infini à trois)

Exemple 4 : résoudre l'inégalité

Dans un système de coordonnées, nous allons construire deux graphiques de la fonction y \u003d (y est égal à un quart de la puissance x et y est égal à seize). (Fig. 10). Les graphes se coupent en un point K (-2;16). Cela signifie que la solution de l'inégalité est l'intervalle (-2; (de moins deux à plus l'infini), car le graphique de la fonction y \u003d est situé sous le graphique de la fonction en x

Notre raisonnement nous permet de vérifier la validité des théorèmes suivants :

Terem 1 : Si est vrai si et seulement si m=n.

Théorème 2 : Si est vrai si et seulement si, alors l'inégalité est vraie si et seulement si (Fig. *)

Théorème 4 : Si est vrai si et seulement si (Fig.**), l'inégalité est vraie si et seulement si Théorème 3 : Si est vrai si et seulement si m=n.

Exemple 5 : tracer la fonction y=

On modifie la fonction en appliquant la propriété degré y=

Construisons système supplémentaire coordonnées et dans nouveau système coordonnées, nous tracerons la fonction y \u003d (y est égal à deux à la puissance x) Fig.11.

Exemple 6 : résoudre l'équation

Dans un système de coordonnées, nous construisons deux graphiques de la fonction y \u003d

(Y est égal à sept à la puissance de x et Y est égal à huit moins x) Fig.12.

Les graphiques se coupent en un point E (1 ; (e de coordonnées un ; sept). Par conséquent, la racine de l'équation est x = 1 (x égal à un).

Exemple 7 : résoudre l'inégalité

Dans un système de coordonnées, nous construisons deux graphiques de la fonction y \u003d

(Y est égal à un quart de la puissance x et Y est égal à x plus cinq). Le graphe de la fonction y= est situé sous le graphe de la fonction y=x+5 à, la solution de l'inégalité est l'intervalle x (de moins un à plus l'infini).