4 nombres irrationnels avec des exemples. Quels sont les nombres rationnels et irrationnels

L'ensemble des nombres irrationnels est généralement noté en majuscule Lettre latine Je (\displaystyle \mathbb (je) ) en gras sans remplissage. Ainsi: je = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), c'est-à-dire que l'ensemble des nombres irrationnels est la différence entre les ensembles de nombres réels et rationnels.

L'existence de nombres irrationnels, plus précisément de segments incommensurables à un segment d'unité de longueur, était déjà connue des mathématiciens antiques : ils connaissaient par exemple l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, ce qui équivaut à l'irrationalité du nombre.

YouTube encyclopédique

1 / 5
Les irrationnels sont :

Exemples de preuve d'irrationalité

Racine de 2

Disons le contraire : 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rationnel, c'est-à-dire représenté comme une fraction m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), où m (\displaystyle m) est un entier, et n (\displaystyle n)- entier naturel .
Mettons au carré l'égalité supposée :
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).
Récit

Antiquité

Le concept de nombres irrationnels a été implicitement adopté par les mathématiciens indiens au 7ème siècle avant JC, lorsque Manawa (vers 750 avant JC - vers 690 avant JC) a découvert que racines carrées certains nombres naturels, tels que 2 et 61, ne peuvent pas être exprimés explicitement [ ] .
La première preuve de l'existence de nombres irrationnels est généralement attribuée à Hippase de Métaponte (vers 500 avant JC), un pythagoricien. Au temps des Pythagoriciens, on croyait qu'il existe une seule unité de longueur, suffisamment petite et indivisible, qui est un nombre entier de fois compris dans tout segment [ ] .
Il n'y a pas de données exactes sur l'irrationalité dont le nombre a été prouvé par Hippase. Selon la légende, il l'a trouvé en étudiant les longueurs des côtés du pentagramme. Par conséquent, il est raisonnable de supposer qu'il s'agissait du nombre d'or [ ] .
Les mathématiciens grecs appelaient ce rapport des quantités incommensurables alogos(inexprimable), mais selon les légendes, Hippase n'a pas été respecté. Il y a une légende selon laquelle Hippase a fait la découverte lors d'un voyage en mer et a été jeté par-dessus bord par d'autres pythagoriciens "pour avoir créé un élément de l'univers, ce qui nie la doctrine selon laquelle toutes les entités de l'univers peuvent être réduites à des nombres entiers et leurs rapports. " La découverte d'Hippa placée devant les mathématiques pythagoriciennes Problème sérieux, détruisant l'hypothèse sous-jacente à toute la théorie selon laquelle les nombres et les objets géométriques sont un et inséparables.

Avec un segment de longueur unitaire, les anciens mathématiciens le savaient déjà : ils connaissaient par exemple l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, ce qui équivaut à l'irrationalité du nombre.

Les irrationnels sont :

Exemples de preuve d'irrationalité

Racine de 2

Supposons le contraire : il est rationnel, c'est-à-dire qu'il est représenté comme une fraction irréductible, où et sont des entiers. Mettons au carré l'égalité supposée :
.
D'où il suit que pair, donc, pair et . Laissez où le tout. Puis

Donc, pair, donc, pair et . Nous avons obtenu cela et sommes pairs, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction . Donc, l'hypothèse de départ était fausse, et - ir nombre rationnel.

Logarithme binaire du nombre 3

Supposons le contraire : il est rationnel, c'est-à-dire qu'il est représenté par une fraction, où et sont des entiers. Puisque , et peuvent être pris positifs. Puis

Mais c'est clair, c'est bizarre. On obtient une contradiction.

e

Récit

Le concept de nombres irrationnels a été implicitement adopté par les mathématiciens indiens au 7ème siècle avant JC, lorsque Manawa (vers 750 avant JC - vers 690 avant JC) a découvert que les racines carrées de certains nombres naturels, tels que 2 et 61, ne peuvent pas être exprimées explicitement.

La première preuve de l'existence de nombres irrationnels est généralement attribuée à Hippase de Métaponte (vers 500 avant JC), un pythagoricien qui a trouvé cette preuve en étudiant les longueurs des côtés d'un pentagramme. Au temps des Pythagoriciens, on croyait qu'il existe une seule unité de longueur, suffisamment petite et indivisible, qui est un nombre entier de fois inclus dans n'importe quel segment. Cependant, Hippasus a fait valoir qu'il n'y a pas d'unité de longueur unique, car l'hypothèse de son existence conduit à une contradiction. Il a montré que si l'hypoténuse d'un isocèle triangle rectangle contient un nombre entier de segments unitaires, alors ce nombre doit être à la fois pair et impair. La preuve ressemblait à ceci :
- Le rapport de la longueur de l'hypoténuse à la longueur de la jambe d'un triangle rectangle isocèle peut être exprimé par un:b, où un et b choisi le plus petit possible.
- D'après le théorème de Pythagore : un² = 2 b².
- Comme un² pair, un doit être pair (puisque le carré d'un nombre impair serait impair).
- Dans la mesure où un:b irréductible bça doit être bizarre.
- Comme un même, dénoter un = 2y.
- Puis un² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², donc b est pair, alors b même.
- Cependant, il a été prouvé que bétrange. Contradiction.
Les mathématiciens grecs appelaient ce rapport des quantités incommensurables alogos(inexprimable), mais selon les légendes, Hippase n'a pas été respecté. Il y a une légende selon laquelle Hippase a fait la découverte lors d'un voyage en mer et a été jeté par-dessus bord par d'autres pythagoriciens "pour avoir créé un élément de l'univers, ce qui nie la doctrine selon laquelle toutes les entités de l'univers peuvent être réduites à des nombres entiers et leurs rapports. " La découverte d'Hippase a posé un sérieux problème aux mathématiques de Pythagore, détruisant l'hypothèse sous-jacente à toute la théorie selon laquelle les nombres et les objets géométriques sont un et inséparables.

voir également

Remarques

Systèmes numériques
Compte
ensembles Nombres naturels () Entiers ()

nombre rationnel est un nombre représenté par une fraction ordinaire m/n, où le numérateur m est un nombre entier et le dénominateur n est un nombre naturel. Tout nombre rationnel peut être représenté comme une fraction décimale infinie périodique. L'ensemble des nombres rationnels est noté Q.

Si un nombre réel n'est pas rationnel, alors il est nombre irrationnel . Les fractions décimales exprimant des nombres irrationnels sont infinies et non périodiques. L'ensemble des nombres irrationnels est généralement désigné par la lettre latine majuscule I.

Le vrai nombre s'appelle algébrique, s'il s'agit d'une racine d'un polynôme (degré non nul) à coefficients rationnels. Tout nombre non algébrique est appelé transcendant.

Quelques propriétés :
Lors de la résolution de problèmes, il convient, avec le nombre irrationnel a + b√ c (où a, b sont des nombres rationnels, c est un entier qui n'est pas un carré d'un nombre naturel), de considérer le nombre « conjugué » avec it a - b√ c : sa somme et son produit avec les nombres originaux - rationnels. Donc a + b√ c et a – b√ c sont les racines d'une équation quadratique à coefficients entiers.

Problèmes avec des solutions

1. Prouver que

a) nombre √ 7 ;

b) nombre lg 80 ;

c) nombre √ 2 + 3 √ 3 ;

est irrationnel.

a) Supposons que le nombre √ 7 est rationnel. Alors, il existe p et q premiers entre eux tels que √ 7 = p/q, d'où on obtient p 2 = 7q 2 . Puisque p et q sont premiers entre eux, alors p 2, et donc p est divisible par 7. Alors р = 7k, où k est un nombre naturel. D'où q 2 = 7k 2 = pk, ce qui contredit le fait que p et q sont premiers entre eux.

Donc, l'hypothèse est fausse, donc le nombre √ 7 est irrationnel.

b) Supposons que le nombre lg 80 est rationnel. Alors il existe p et q naturels tels que lg 80 = p/q, ou 10 p = 80 q , d'où on obtient 2 p–4q = 5 q–p . En tenant compte du fait que les nombres 2 et 5 sont premiers entre eux, on obtient que la dernière égalité n'est possible que pour p–4q = 0 et q–p = 0. D'où p = q = 0, ce qui est impossible, puisque p et q sont choisi d'être naturel.

Donc, l'hypothèse est fausse, donc le nombre lg 80 est irrationnel.

c) Notons ce nombre par x.

Alors (x - √ 2) 3 \u003d 3, ou x 3 + 6x - 3 \u003d √ 2 (3x 2 + 2). Après élévation au carré de cette équation, on obtient que x doit satisfaire l'équation

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Ses racines rationnelles ne peuvent être que les nombres 1 et -1. La vérification montre que 1 et -1 ne sont pas des racines.

Ainsi, le nombre donné √ 2 + 3 √ 3 est irrationnel.

2. On sait que les nombres a, b, √ une –√ b ,- rationnel. Prouve-le √a et √b sont aussi des nombres rationnels.

Considérez le produit

(√ une - √ b) (√ une + √ b) = une - b.

Numéro √ une + √ b , qui est égal au rapport des nombres a – b et √ une –√ b , est rationnel car le quotient de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. Somme de deux nombres rationnels

½ (√ une + √ b) + ½ (√ une - √ b) = √ une

est un nombre rationnel, leur différence,

½ (√ une + √ b) - ½ (√ une - √ b) = √ b,

est aussi un nombre rationnel, qui restait à prouver.

3. Démontrer qu'il existe des nombres irrationnels positifs a et b pour lesquels le nombre a b est naturel.

4. Y a-t-il des nombres rationnels a, b, c, d satisfaisant l'égalité

(a+b √ 2 ) 2n + (c + ré√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

où n est un nombre naturel ?

Si l'égalité donnée dans la condition est satisfaite et que les nombres a, b, c, d sont rationnels, alors l'égalité est également satisfaite :

(un B √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Mais 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. La contradiction résultante prouve que l'égalité originelle est impossible.

Réponse : ils n'existent pas.

5. Si les segments de longueurs a, b, c forment un triangle, alors pour tout n = 2, 3, 4, . . . les segments de longueurs n √ a , n √ b , n √ c forment également un triangle. Prouve le.

Si des segments de longueurs a, b, c forment un triangle, alors l'inégalité du triangle donne

Par conséquent nous avons

( n √ une + n √ b ) n > une + b > c = ( n √ c ) n ,

N √ une + n √ b > n √ c .

Les cas restants de vérification de l'inégalité triangulaire sont considérés de la même manière, d'où la conclusion découle.

6. Démontrer que la fraction décimale infinie 0,1234567891011121314... entiers dans l'ordre) est un nombre irrationnel.

Comme vous le savez, les nombres rationnels sont exprimés sous forme de fractions décimales, qui ont une période à partir d'un certain signe. Il suffit donc de prouver que cette fraction n'est périodique d'aucun signe. Supposons que ce ne soit pas le cas et qu'une séquence T, composée de n chiffres, soit la période d'une fraction, à partir de la mème décimale. Il est clair qu'il y a des chiffres non nuls après le mième chiffre, il y a donc un chiffre non nul dans la séquence de chiffres T. Cela signifie qu'à partir du mème chiffre après la virgule décimale, parmi n'importe quels n chiffres consécutifs, il y a un chiffre différent de zéro. Cependant, dans la notation décimale de cette fraction, il doit y avoir une notation décimale pour le nombre 100...0 = 10 k , où k > m et k > n. Il est clair que cette entrée apparaîtra à droite du mème chiffre et contiendra plus de n zéros d'affilée. Ainsi, nous obtenons une contradiction, ce qui achève la preuve.

7. Soit une fraction décimale infinie 0,a 1 a 2 ... . Prouver que les chiffres dans sa notation décimale peuvent être réarrangés de sorte que la fraction résultante exprime un nombre rationnel.

Rappelons qu'une fraction exprime un nombre rationnel si et seulement si elle est périodique, à partir d'un signe. Nous divisons les nombres de 0 à 9 en deux classes : dans la première classe, nous incluons les nombres qui apparaissent dans la fraction d'origine un nombre fini de fois, dans la seconde classe - ceux qui apparaissent dans la fraction d'origine un nombre infini de fois. Commençons par écrire une fraction périodique, qui peut être obtenue à partir de la permutation originale des chiffres. Tout d'abord, après zéro et une virgule, nous écrivons dans un ordre aléatoire tous les nombres de la première classe - chacun autant de fois qu'il apparaît dans l'entrée de la fraction d'origine. Les chiffres de première classe écrits précéderont le point dans la partie décimale de la décimale. Ensuite, nous écrivons une fois les nombres de la deuxième classe dans un certain ordre. Nous allons déclarer cette combinaison une période et la répéter un nombre infini de fois. Ainsi, nous avons écrit la fraction périodique requise exprimant un nombre rationnel.

8. Prouver que dans chaque fraction décimale infinie il y a une séquence de chiffres décimaux de longueur arbitraire, qui se produit une infinité de fois dans le développement de la fraction.

Soit m un nombre naturel donné arbitrairement. Décomposons cette fraction décimale infinie en segments, chacun avec m chiffres. Il y aura une infinité de tels segments. D'un autre côté, divers systèmes, composé de m chiffres, il n'y en a que 10 m , c'est-à-dire un nombre fini. Par conséquent, au moins un de ces systèmes doit être répété ici une infinité de fois.

Commenter. Pour les nombres irrationnels √ 2 , π ou e nous ne savons même pas quel chiffre est répété à l'infini dans les nombres décimaux infinis qui les représentent, bien qu'il soit facile de montrer que chacun de ces nombres contient au moins deux chiffres distincts.

9. Démontrer de manière élémentaire que la racine positive de l'équation

est irrationnel.

Pour x > 0, le côté gauche de l'équation augmente avec x, et il est facile de voir qu'à x = 1,5 il est inférieur à 10, et à x = 1,6 il est supérieur à 10. Par conséquent, la seule racine positive de l'équation se trouve à l'intérieur de l'intervalle (1,5 ; 1,6).

Nous écrivons la racine comme une fraction irréductible p/q, où p et q sont des nombres naturels premiers entre eux. Alors, pour x = p/q, l'équation prendra la forme suivante :

p 5 + pq 4 \u003d 10q 5,

d'où il suit que p est un diviseur de 10, donc, p est égal à l'un des nombres 1, 2, 5, 10. Cependant, en écrivant des fractions avec des numérateurs 1, 2, 5, 10, nous remarquons immédiatement qu'aucun de tombe à l'intérieur de l'intervalle (1.5 ; 1.6).

Ainsi, la racine positive de l'équation d'origine ne peut pas être représentée comme fraction commune, ce qui signifie qu'il s'agit d'un nombre irrationnel.

10. a) Y a-t-il trois points A, B et C du plan tels que pour tout point X la longueur d'au moins un des segments XA, XB et XC soit irrationnelle ?

b) Les coordonnées des sommets du triangle sont rationnelles. Montrer que les coordonnées du centre de son cercle circonscrit sont aussi rationnelles.

c) Existe-t-il une sphère sur laquelle il y a exactement un point rationnel ? (Un point rationnel est un point pour lequel les trois coordonnées cartésiennes sont des nombres rationnels.)

a) Oui, il y en a. Soit C le milieu du segment AB. Alors XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Si le nombre AB 2 est irrationnel, alors les nombres XA, XB et XC ne peuvent pas être rationnels en même temps.

b) Soient (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) et (a 3 ; b 3) les coordonnées des sommets du triangle. Les coordonnées du centre de son cercle circonscrit sont données par le système d'équations :

(x - une 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - une 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - une 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - une 3) 2 + (y - b 3) 2.

Il est facile de vérifier que ces équations sont linéaires, ce qui signifie que la solution du système d'équations considéré est rationnelle.

c) Une telle sphère existe. Par exemple, une sphère d'équation

(x - √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Le point O de coordonnées (0 ; 0 ; 0) est un point rationnel situé sur cette sphère. Les points restants de la sphère sont irrationnels. Prouvons-le.

Supposons l'inverse : soit (x; y; z) un point rationnel de la sphère, différent du point O. Il est clair que x est différent de 0, puisque pour x = 0 il existe une unique solution (0; 0 ; 0), que l'on ne peut plus s'intéresser maintenant. Développons les parenthèses et exprimons √ 2 :

X 2 - 2√ 2 X + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

qui ne peut pas être pour x, y, z rationnel et irrationnel √ 2 . Ainsi, O(0; 0; 0) est le seul point rationnel sur la sphère considérée.

Problèmes sans solutions

1. Prouver que le nombre

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

est irrationnel.

2. Pour quels entiers m et n l'égalité (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n est-elle valable ?

3. Existe-t-il un nombre a tel que les nombres a - √ 3 et 1/a + √ 3 soient des entiers ?

4. Les nombres 1, √ 2, 4 peuvent-ils être membres (pas nécessairement adjacents) d'une progression arithmétique ?

5. Démontrer que pour tout entier positif n l'équation (x + y √ 3 ) 2n = 1 + √ 3 n'a pas de solutions en nombres rationnels (x; y).

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être représenté par une fraction, où . Q est l'ensemble de tous les nombres rationnels.

Les nombres rationnels sont divisés en : positif, négatif et zéro.

Chaque nombre rationnel peut être associé à un seul point sur la ligne de coordonnées. La relation "à gauche" pour les points correspond à la relation "inférieur à" pour les coordonnées de ces points. On peut voir que chaque nombre négatif est inférieur à zéro et chaque nombre positif ; de deux nombres négatifs, celui dont le module est le plus grand est le plus petit. Donc, -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction périodique décimale. Par example, .

Les algorithmes pour les opérations sur les nombres rationnels découlent des règles de signes pour les opérations correspondantes sur les fractions nulles et positives. Q effectue une division autre que la division par zéro.

Quelconque équation linéaire, c'est à dire. équation de la forme ax+b=0, où , est résoluble sur l'ensemble Q, mais pas n'importe lequel équation quadratique type , est résoluble en nombres rationnels. Tous les points d'une ligne de coordonnées n'ont pas un point rationnel. Même à la fin du VIe siècle av. n.m. e à l'école de Pythagore, il a été prouvé que la diagonale d'un carré n'est pas proportionnelle à sa hauteur, ce qui équivaut à l'affirmation: "L'équation n'a pas de racines rationnelles". Tout ce qui précède a conduit à la nécessité d'étendre l'ensemble Q, le concept de nombre irrationnel a été introduit. Dénoter l'ensemble des nombres irrationnels par la lettre J .

Sur une ligne de coordonnées, tous les points qui n'ont pas de coordonnées rationnelles ont des coordonnées irrationnelles. , où r– définit nombres réels. de façon universelle les affectations de nombres réels sont décimales. Les décimales périodiques définissent les nombres rationnels et les décimales non périodiques définissent les nombres irrationnels. Ainsi, 2,03 (52) est un nombre rationnel, 2,03003000300003 ... (la période de chaque chiffre suivant "3" s'écrit un zéro de plus) est un nombre irrationnel.

Les ensembles Q et R ont les propriétés de positivité : entre deux nombres rationnels quelconques il y a un nombre rationnel, par exemple, ecoi a
Pour chaque nombre irrationnel α on peut spécifier une approximation rationnelle à la fois avec un déficit et avec un excès avec n'importe quelle précision : a< α
L'opération d'extraction d'une racine de certains nombres rationnels conduit à des nombres irrationnels. Extraire la racine d'un degré naturel est une opération algébrique, c'est-à-dire son introduction est liée à la solution d'une équation algébrique de la forme . Si n est impair, c'est-à-dire n=2k+1, où , alors l'équation a une seule racine. Si n est pair, n=2k, où , alors pour a=0 l'équation a une seule racine x=0, pour a<0 корней нет, при a>0 a deux racines opposées. Extraire une racine est l'opération inverse d'élever à une puissance naturelle.

La racine arithmétique (par souci de brièveté, la racine) du nième degré d'un nombre non négatif a est un nombre non négatif b, qui est la racine de l'équation. La racine du nième degré à partir du nombre a est désignée par le symbole . Pour n=2, le degré de la racine 2 n'est pas indiqué : .

Par exemple, , parce que 2 2 =4 et 2>0 ; , car 3 3 =27 et 3>0 ; n'existe pas parce que -4<0.

Pour n=2k et a>0, les racines de l'équation (1) s'écrivent et . Par exemple, les racines de l'équation x 2 \u003d 4 sont 2 et -2.

Pour n impair, l'équation (1) a une seule racine pour tout . Si a≥0, alors - la racine de cette équation. Si un<0, то –а>0 et - la racine de l'équation. Ainsi, l'équation x 3 \u003d 27 a une racine.

Tous les nombres rationnels peuvent être représentés par une fraction commune. Cela s'applique aux nombres entiers (par exemple, 12, -6, 0), aux fractions décimales finales (par exemple, 0,5 ; -3,8921) et aux fractions décimales périodiques infinies (par exemple, 0,11(23) ; -3 ,(87 )).

Cependant décimales non récurrentes infinies ne peuvent pas être représentés comme des fractions ordinaires. C'est ce qu'ils sont nombres irrationnels(c'est-à-dire irrationnel). Un exemple d'un tel nombre est π, qui est approximativement égal à 3,14. Cependant, ce qu'il équivaut exactement ne peut pas être déterminé, car après le nombre 4, il existe une série infinie d'autres nombres dans lesquels les périodes répétitives ne peuvent pas être distinguées. En même temps, bien que le nombre π ne puisse pas être exprimé exactement, il a une signification géométrique spécifique. Le nombre π est le rapport de la longueur d'un cercle à la longueur de son diamètre. Ainsi, les nombres irrationnels existent dans la nature, tout comme les nombres rationnels.

Un autre exemple de nombres irrationnels est la racine carrée des nombres positifs. L'extraction des racines de certains nombres donne des valeurs rationnelles, d'autres - irrationnelles. Par exemple, √4 = 2, c'est-à-dire que la racine de 4 est un nombre rationnel. Mais √2, √5, √7 et bien d'autres donnent des nombres irrationnels, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent être extraits qu'avec une approximation, arrondie à une certaine décimale. Dans ce cas, la fraction est obtenue non périodique. Autrement dit, il est impossible de dire exactement et définitivement quelle est la racine de ces nombres.

Donc √5 est un nombre compris entre 2 et 3, puisque √4 = 2, et √9 = 3. On peut aussi conclure que √5 est plus proche de 2 que de 3, puisque √4 est plus proche de √5 que √9 de √5. En effet, √5 ≈ 2,23 ou √5 ≈ 2,24.

Des nombres irrationnels sont également obtenus dans d'autres calculs (et pas seulement lors de l'extraction des racines), ils sont négatifs.

En ce qui concerne les nombres irrationnels, nous pouvons dire que peu importe le segment unitaire que nous prenons pour mesurer la longueur exprimée par un tel nombre, nous ne pouvons pas le mesurer avec certitude.

Dans les opérations arithmétiques, les nombres irrationnels peuvent participer avec les nombres rationnels. En même temps, il y a un certain nombre de régularités. Par exemple, si seuls des nombres rationnels sont impliqués dans une opération arithmétique, le résultat est toujours un nombre rationnel. Si seuls des irrationnels participent à l'opération, il est impossible de dire sans équivoque si un nombre rationnel ou irrationnel se révélera.

Par exemple, si vous multipliez deux nombres irrationnels √2 * √2, vous obtenez 2 - c'est un nombre rationnel. D'autre part, √2 * √3 = √6 est un nombre irrationnel.

Si une opération arithmétique implique un nombre rationnel et un nombre irrationnel, alors un résultat irrationnel sera obtenu. Par exemple, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.

Pourquoi √17 - 4 est-il un nombre irrationnel ? Imaginez que vous obtenez un nombre rationnel x. Alors √17 = x + 4. Mais x + 4 est un nombre rationnel, puisque nous avons supposé que x est rationnel. Le nombre 4 est aussi rationnel, donc x + 4 est rationnel. Cependant, un nombre rationnel ne peut pas être égal à l'irrationnel √17. Par conséquent, l'hypothèse selon laquelle √17 - 4 donne un résultat rationnel est incorrecte. Le résultat d'une opération arithmétique sera irrationnel.

Cependant, il existe une exception à cette règle. Si on multiplie un nombre irrationnel par 0, on obtient un nombre rationnel 0.
Nous recommandons également