Які цифри ірраціональні. Раціональні та ірраціональні числа

Визначення ірраціонального числа

Ірраціональними називають такі числа, які в десятковому записі є нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Так, наприклад, числа, отримані шляхом вилучення квадратного кореня з натуральних чисел, є ірраціональними і є квадратами натуральних чисел. Але не всі ірраціональні числа одержують шляхом вилучення квадратного коріння, адже отримане методом розподілу, число «пі», також є ірраціональним, і його навряд чи отримаєте, намагаючись витягти квадратний корінь з натурального числа.

Властивості ірраціональних чисел

На відміну від чисел, записаних нескінченним десятковим дробом, лише ірраціональні числа записуються неперіодичними нескінченними десятковими дробами.
Сума двох неотрицательных ірраціональних чисел у результаті то, можливо раціональним числом.
Ірраціональні числавизначають дедекіндові перерізи у безлічі раціональних чисел, у нижньому класі у яких немає самого великої кількості, а верхньому немає меншого.
Будь-яке речовинне трансцендентне число є ірраціональним.
Усі ірраціональні числа є або алгебраїчними, або трансцендентними.
Багато ірраціональних чисел на прямій розташовуються щільно, і між його будь-якими двома числами обов'язково знайдеться ір раціональне число.
Безліч ірраціональних чисел нескінченно, незліченно і є безліччю 2-ї категорії.
За виконання будь-якої арифметичної операції з раціональними числами, крім розподілу на 0, його результатом буде раціональне число.
При складанні раціонального числа з ірраціональним, у результаті виходить ірраціональне число.
При додаванні ірраціональних чисел у результаті ми можемо отримати раціональне число.
Безліч ірраціональних чисел не є парним.

Числа, які не є ірраціональними

Іноді досить складно відповісти на питання, чи є число ірраціональним, особливо у випадках, коли число має вигляд десяткового дробу або у вигляді числового виразу, кореня чи логарифму.

Тому не зайвим буде знати, які числа не належать до ірраціональних. Якщо слідувати визначення ірраціональних чисел, то нам уже відомо, що раціональні числа не можуть бути ірраціональними.

Ірраціональними числами не є:

По-перше, усі натуральні числа;
По-друге, цілі числа;
По-третє, прості дроби;
По-четверте, різні змішані числа;
По-п'яте, це нескінченні періодичні десяткові дроби.

Крім всього перерахованого, ірраціональним числом не може бути будь-яка комбінація раціональних чисел, яка виконується знаками арифметичних операцій, як +, -, , :, тому що при цьому підсумком двох раціональних чисел буде також раціональне число.

А тепер подивимося, які ж із чисел є ірраціональними:

А чи відомо вам про існування фан-клубу, де шанувальники цього загадкового математичного феномену шукають нові відомості про Пі, намагаючись розгадати його таємницю. Членом цього клубу може стати будь-яка людина, яка знає напам'ять певну кількість чисел Пі після коми;

Чи знаєте ви, що в Німеччині під охороною ЮНЕСКО знаходиться палац Кастадель Монте, завдяки пропорціям якого можна вирахувати Пі. Цілий палац присвятив цьому числу король Фрідріх II.

Виявляється, число Пі намагалися використати під час будівництва Вавилонської вежі. Але на превеликий жаль, це призвело до краху проекту, тому що на той момент було недостатньо вивчене точне обчислення значення Пі.

Співачка Кейт Буш у своєму новому диску записала пісню під назвою «Пі», в якій прозвучало сто двадцять чотири числа зі знаменитого числового ряду 3, 141.

Багато всіх натуральних чисел позначають буквою N. Натуральні числа, це числа які ми використовуємо для рахунку предметів: 1,2,3,4, … У деяких джерелах, до натуральних чисел відносять також число 0.

Безліч всіх цілих чисел позначається буквою Z. Цілі числа це все натуральні числа, нуль та негативні числа:

1,-2,-3, -4, …

Тепер приєднаємо до безлічі всіх цілих чисел звичайних дробів: 2/3, 18/17, -4/5 і так далі. Тоді ми отримаємо багато раціональних чисел.

Безліч раціональних чисел

Безліч всіх раціональних чисел позначається буквою Q. Множина всіх раціональних чисел (Q) - це безліч, що складається з чисел виду m/n, -m/n та числа 0. якості n,mможе виступати будь-яке натуральне число. Слід зазначити, що всі раціональні числа можна представити у вигляді кінцевого або нескінченного ПЕРЕОДИЧНОГО десяткового дробу. Вірно і зворотне, що будь-який кінцевий або нескінченний періодичний десятковий дріб можна записати у вигляді раціонального числа.

А як бути наприклад з числом 2.0100100010 ...? Воно є нескінченно НЕПЕРЕОДИЧНИМ десятковим дробом. І воно не належить до раціональних чисел.

У шкільному курсі алгебри вивчаються лише речові (чи дійсні) числа. Безліч всіх дійсних чиселпозначається буквою R. Багато R складається з усіх раціональних і всіх ірраціональних чисел.

Поняття ірраціональних чисел

Ірраціональні числа - це нескінченні десяткові неперіодичні дроби. Ірраціональні числа немає спеціального позначення.

Наприклад, усі числа отримані вилученням квадратного кореня з натуральних чисел, які є квадратами натуральних чисел - будуть ірраціональними. (√2, √3, √5, √6, тощо).

Але не варто думати, що ірраціональні числа виходять лише вилученням квадратного коріння. Наприклад, число «пі» теж є ірраціональним, а воно отримане поділом. І як ви не намагайтеся, ви не зможете отримати його, витягаючи квадратний корінь із будь-якого натурального числа.

З відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа .

Іраціональними є:

Приклади доказу ірраціональності

Корінь з 2

Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу, де і - цілі числа. Зведемо передбачувану рівність у квадрат:

.

Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді

Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і – ірраціональне число.

Двійковий логарифм 3

Допустимо неприємне: раціональний , тобто у вигляді дробу , де і - цілі числа . Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді

Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.

e

Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками у VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. – бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 р. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас обгрунтував, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що якщо гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутникамістить ціле число одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:

• Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
• За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
• Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
• Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
• Так як aпарне, позначимо a = 2y.
• Тоді a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
• Проте було доведено, що bнепарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це відношення непорівнянних величин алогос(невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппас поставило перед піфагорійською математикою серйозну проблему, Зруйнувавши лежало в основі всієї теорії припущення, що числа та геометричні об'єкти єдині і нероздільні.

Див. також

Примітки

Числові системи
Рахункові множини	Натуральні числа () Цілі ()

Раціональним називається число, яке можна представити у вигляді дробу, де . Q - безліч всіх раціональних чисел.

Раціональні числа поділяються на: позитивні, негативні та нуль.

Кожному раціональному числу можна поставити у відповідність єдину точку координатної прямої. Відношенню "лівіше" для точок відповідає відношення "менше" для координат цих точок. Можна помітити, що будь-яке негативне число менше нуля та всякого позитивного числа; із двох негативних чисел менше те, модуль якого більший. Так, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Будь-яке раціонально число можна уявити десятковим періодичним дробом. Наприклад, .

Алгоритми дій над раціональними числами випливають із правил знаків відповідних дій над нулем та позитивними дробами. Q виконується розподіл, крім розподілу на нуль.

Будь-яке лінійне рівняння, тобто. рівняння виду ax+b=0, де , дозволимо на множині Q, але не будь-яке квадратне рівняннявиду , Роздільна в раціональних числах. Не кожна точка координатної прямої має раціональну точку. Ще наприкінці VI ст. н. е. у школі Піфагора було доведено, що діагональ квадрата не співмірна з його висотою, що рівносильно твердженню: «Рівняння не має раціонального коріння». Все перераховане призвело до необхідності розширення множини Q, було запроваджено поняття ірраціонального числа. Позначимо безліч ірраціональних чисел буквою J .

На координатній прямій ірраціональні координати маю всі точки, які не мають раціональних координат. , де r-множин дійсних чисел. Універсальним способомЗавдання дійсних чисел є десяткові дроби. Періодичні десяткові дроби задають раціональні числа, а неперіодичні – ірраціональні числа. Так, 2,03(52) – раціональне число, 2,03003000300003… (період кожної наступні цифрою «3» записується однією нуль більше) – ірраціональне число.

Багато Qі Rволодіють властивостями позитивності: між будь-якими двома раціональними числами існує раціональне число, наприклад, есої a

Для будь-якого ірраціонального числа α можна вказати раціональне наближення як із недоліком, так і з надлишком з будь-якою точністю: a< α

Операція вилучення кореня з деяких раціональних чисел призводить до ірраціональних чисел. Вилучення кореня натурального ступеня – алгебраїчна операція, тобто. її введення пов'язане з розв'язанням алгебраїчного рівняння виду . Якщо nнепарне, тобто. n=2k+1, де , то рівняння має єдиний корінь. Якщо nпарне, n=2k, де , то при a=0 рівняння має єдиний корінь х=0 при a<0 корней нет, при a>0 має два корені, які протилежні один одному. Вилучення кореня - операція зворотна операції зведення в натуральний ступінь.

Арифметичним коренем (для стислості коренем) n-го ступеня з неотрицательного числа а називається неотрицательное число b яке є коренем рівняння . Корінь n-ого ступеня у складі а позначається символом . При n=2 рівень кореня 2 не вказується: .

Наприклад, т.к. 2 2 = 4 і 2> 0; , т.к. 3 3 =27 та 3>0; немає т.к. -4<0.

При n=2kі a>0 корені рівняння (1) записуються так і . Наприклад, коріння рівняння х 2 =4 дорівнюють 2 і -2.

При nнепарному рівняння (1) має єдиний корінь для кожного. Якщо a≥0, то корінь цього рівняння. Якщо a<0, то –а>0 і – корінь рівняння. Так, рівняння х3 = 27 має корінь.

Що таке ірраціональні числа? Чому вони так звуться? Де вони використовуються і що являють собою? Мало хто може без роздумів відповісти на ці запитання. Але насправді відповіді на них досить прості, хоч потрібні не всім і в дуже рідкісних ситуаціях

Сутність та позначення

Ірраціональні числа являють собою нескінченні неперіодичні Необхідність введення цієї концепції обумовлена ​​тим, що для вирішення нових завдань вже було недостатньо раніше наявних понять дійсних або речових, цілих, натуральних і раціональних чисел. Наприклад, для того, щоб обчислити квадратом якої величини є 2, необхідно використовувати неперіодичні нескінченні десяткові дроби. Крім того, багато найпростіших рівнянь також не мають вирішення без введення концепції ірраціонального числа.

Ця множина позначається як I. І, як уже ясно, ці значення не можуть бути представлені у вигляді простого дробу, в чисельнику якого буде ціле, а в знаменнику -

Вперше так чи інакше з цим явищем зіткнулися індійські математики у VII столітті, коли було виявлено, що квадратне коріння з деяких величин не може бути позначене явно. А перший доказ існування подібних чисел приписують піфагорійцеві Гіппас, який зробив це в процесі вивчення рівнобедреного прямокутного трикутника. Серйозний внесок у вивчення цієї множини внесли ще деякі вчені, які жили до нашої ери. Введення концепції ірраціональних чисел спричинило перегляд існуючої математичної системи, ось чому вони такі важливі.

походження назви

Якщо ratio у перекладі з латини - це "дроб", "ставлення", то приставка "ір"
надає цьому слову протилежне значення. Таким чином, назва множини цих чисел говорить про те, що вони не можуть бути співвіднесені з цілим або дрібним, мають окреме місце. Це і випливає з їхньої сутності.

Місце у загальній класифікації

Ірраціональні числа поряд із раціональними належить до групи речових чи дійсних, які у свою чергу відносяться до комплексних. Підмножин немає, однак розрізняють алгебраїчну та трансцендентну різновид, про які йтиметься нижче.

Властивості

Оскільки ірраціональні числа - це частина безлічі дійсних, то до них застосовні всі їхні властивості, які вивчаються в арифметиці (їх також називають основними законами алгебри).

a + b = b + a (комутативність);

(a + b) + c = a + (b + c) (асоціативність);

a + (-a) = 0 (існування протилежного числа);

ab = ba (переміщувальний закон);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивність);

a(b+c) = ab + ac (розподільний закон);

a x 1/a = 1 (існування зворотного числа);

Порівняння також проводиться відповідно до загальних закономірностей та принципів:

Якщо a > b і b > c, a > c (транзитивність співвідношення) и. т.д.

Вочевидь, все ірраціональні числа може бути перетворені з допомогою основних арифметичних дій. Жодних особливих правил при цьому немає.

Крім того, на ірраціональні числа поширюється дія аксіоми Архімеда. Вона говорить, що для будь-яких двох величин a і b справедливе твердження, що, взявши a як доданок достатню кількість разів, можна перевершити b.

Використання

Незважаючи на те, що в звичайного життяне так часто доводиться стикатися з ними, ірраціональні числа не піддаються рахунку. Їх безліч, але вони практично непомітні. Нас всюди оточують ірраціональні числа. Приклади, знайомі всім, - це число пі, що дорівнює 3,1415926..., або e, по суті, є підставою натурального логарифму, 2,718281828... В алгебрі, тригонометрії та геометрії використовувати їх доводиться постійно. До речі, знамените значення "золотого перерізу", тобто відношення як більшої частини до меншої, так і навпаки, також

відноситься до цієї множини. Менш відоме "срібне" - теж.

На числовій прямій вони розташовані дуже щільно, так що між будь-якими двома величинами, віднесеними до множини раціональних, обов'язково зустрічається ірраціональна.

До цих пір існує маса невирішених проблем, пов'язаних з цим безліччю. Існують такі критерії, як міра ірраціональності та нормальність числа. Математики продовжують досліджувати найбільш значні приклади щодо приналежності їх до тієї чи іншої групи. Наприклад, вважається, що е – нормальне число, тобто ймовірність появи в його записі різних цифр однакова. Що ж до пі, то щодо його поки що ведуться дослідження. Мірою ірраціональності називають величину, що показує, наскільки добре те чи інше число може бути наближено раціональними числами.

Алгебраїчні та трансцендентні

Як вже було згадано, ірраціональні числа умовно поділяються на алгебраїчні та трансцендентні. Умовно, оскільки, строго кажучи, ця класифікація використовується для поділу множини C.

Під цим позначенням ховаються комплексні числа, які включають дійсні або речові.

Отже, алгебраїчним називають таке значення, яке є коренем багаточлена, що не дорівнює тотожному нулю. Наприклад, квадратний корінь із 2 буде відноситися до цієї категорії, оскільки він є рішенням рівняння x 2 - 2 = 0.

Все ж таки інші речові числа, що не задовольняють цій умові, називаються трансцендентними. До цього різновиду відносяться і найбільш відомі і вже згадані приклади - число пі та основа натурального логарифму e.

Що цікаво, ні одне, ні друге були спочатку виведені математиками в цій якості, їх ірраціональність і трансцендентність були доведені через багато років після їх відкриття. Для підтвердження було наведено в 1882 році і спрощено в 1894, що поклало кінець суперечкам про проблему квадратури кола, які тривали протягом 2,5 тисяч років. Воно досі до кінця не вивчене, тому сучасним математикам є над чим працювати. До речі, перший досить точне обчислення цього значення провів Архімед. До нього всі розрахунки були надто приблизними.

Для е (числа Ейлера або Непера) доказ його трансцендентності було знайдено в 1873 році. Воно використовується у вирішенні логарифмічних рівнянь.

Серед інших прикладів – значення синуса, косинуса та тангенсу для будь-яких алгебраїчних ненульових значень.