Старший коефіцієнт квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння

Квадратне рівняння - вирішується просто! *Далі в тексті «КУ».Друзі, здавалося б, може бути в математиці простіше, ніж рішення такого рівняння. Але щось мені підказувало, що з ним багато хто має проблеми. Вирішив подивитися скільки показів за запитом на місяць видає Яндекс. Ось що вийшло, подивіться:

Що це означає? Це означає те, що близько 70 000 людей на місяць шукають цю інформацію, до чого це літо, а що буде серед навчального року— запитів буде вдвічі більше. Це й не дивно, адже ті хлопці та дівчата, які давно закінчили школу та готуються до ЄДІ, шукають цю інформацію, також і школярі прагнуть освіжити її у пам'яті.

Незважаючи на те, що є маса сайтів, де розповідається як вирішувати це рівняння, я вирішив теж зробити свій внесок і опублікувати матеріал. По-перше, хочеться щоб за цим запитом і на мій сайт приходили відвідувачі; по-друге, в інших статтях, коли зайде мова «КУ» даватиму посилання на цю статтю; по-третє, розповім вам про його рішення трохи більше, ніж зазвичай викладається на інших сайтах. Почнемо!Зміст статті:

Квадратне рівняння – це рівняння виду:

де коефіцієнти a,bта з довільні числа, причому a≠0.

У шкільному курсі матеріал дають у такому вигляді – умовно робиться поділ рівнянь на три класи:

1. Мають два корені.

2. *Мають лише один корінь.

3. Не мають коріння. Тут варто особливо відзначити, що не мають дійсних коренів

Як обчислюються коріння? Просто!

Обчислюємо дискримінант. Під цим «страшним» словом лежить цілком проста формула:

Формули коренів мають такий вигляд:

*Ці формули треба знати напам'ять.

Можна відразу записувати та вирішувати:

Приклад:

1. Якщо D > 0, то рівняння має два корені.

2. Якщо D = 0, то рівняння має один корінь.

3. Якщо D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте розглянемо рівняння:

за з цього приводу, коли дискримінант дорівнює нулю, У шкільному курсі йдеться про те, що виходить один корінь, тут він дорівнює дев'яти. Все правильно, так і є, але…

Дане уявлення дещо некоректне. Насправді виходить два корені. Так-так, не дивуйтеся, виходить два рівних кореня, і якщо бути математично точним, то у відповіді слід записувати два корені:

х 1 = 3 х 2 = 3

Але це так – невеликий відступ. У школі можете записувати та говорити, що корінь один.

Тепер такий приклад:

Як відомо – корінь з негативного числа не витягується, тому рішення у разі немає.

Ось і весь процес розв'язання.

Квадратична функція.

Тут показано як рішення виглядає геометрично. Це дуже важливо розуміти (надалі в одній із статей ми докладно розбиратимемо рішення квадратної нерівності).

Це функція виду:

де х і у - змінні

a, b, с – задані числа, до того ж a ≠ 0

Графіком є парабола:

Тобто виходить, що вирішуючи квадратне рівняння при «у» рівному нулю ми знаходимо точки перетину параболи з віссю ох. Цих точок може бути дві (дискримінант позитивний), одна (дискримінант дорівнює нулю) і жодної (дискримінант негативний). Докладно про квадратичної функції можете подивитисястаттю у Інни Фельдман.

Розглянемо приклади:

Приклад 1: Вирішити 2x 2 +8 x–192=0

а = 2 b = 8 c = -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Відповідь: х 1 = 8 х 2 = -12

*Можна було відразу ж ліву та праву частину рівняння розділити на 2, тобто спростити його. Обчислення будуть простішими.

Приклад 2: Вирішити x 2–22 x+121 = 0

а = 1 b = -22 c = 121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Отримали, що х 1 = 11 та х 2 = 11

У відповіді можна записати х = 11.

Відповідь: х = 11

Приклад 3: Вирішити x 2 -8x + 72 = 0

а = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискримінант негативний, рішення у дійсних числах немає.

Відповідь: рішення немає

Дискримінант негативний. Рішення є!

Тут мова піде про рішення рівняння у випадку, коли виходить негативний дискримінант. Ви щось знаєте про комплексні числа? Не буду тут докладно розповідати про те, чому і звідки вони виникли і в чому їхня конкретна роль і необхідність у математиці, це тема для великої окремої статті.

Концепція комплексного числа.

Небагато теорії.

Комплексним числом z називається число виду

z = a + bi

де a та b – дійсні числа, i - так звана уявна одиниця.

a+bi - це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не додавання.

Уявна одиниця дорівнює кореню з мінус одиниці:

Тепер розглянемо рівняння:

Отримали два сполучені корені.

Неповне квадратне рівняння.

Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнт «b» або «с» дорівнює нулю (або обидва рівні нулю). Вони вирішуються легко без будь-яких дискримінантів.

Випадок 1. Коефіцієнт b=0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо:

Приклад:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Випадок 2. Коефіцієнт С = 0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо, розкладаємо на множники:

*Твір дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Приклад:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 або x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Випадок 3. Коефіцієнти b = 0 та c = 0.

Тут зрозуміло, що розв'язуванням рівняння завжди буде х = 0.

Корисні властивості та закономірності коефіцієнтів.

Існують властивості, які дозволяють вирішити рівняння з більшими коефіцієнтами.

аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + b+ с = 0,то

- якщо для коефіцієнтів рівняння аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a+ с =b, то

Ці властивості допомагають вирішити певного виду рівняння.

Приклад 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сума коефіцієнтів дорівнює 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, отже

Приклад 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Виконується рівність a+ с =b, значить

Закономірність коефіцієнтів.

1. Якщо в рівнянні ax 2 + bx + c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт "с" чисельно дорівнює коефіцієнту "а", то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = -а х 2 = -1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 6х2+37х+6=0.

х 1 = -6 х 2 = -1/6.

2. Якщо рівняння ax 2 – bx + c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно дорівнює коефіцієнту «а», його коріння рівні

аx 2 - (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = а х 2 = 1 / a.

приклад. Розглянемо рівняння 15х2 -226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Якщо у рівнянні ax 2 + bx - c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (a 2 - 1), а коефіцієнт "c" чисельно дорівнює коефіцієнту «a», то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 -1) х - а = 0 = > х 1 = - а х 2 = 1 / a.

приклад. Розглянемо рівняння 17х2 +288х - 17 = 0.

х 1 = - 17 х 2 = 1/17.

4. Якщо в рівнянні ax 2 – bx – c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 – 1), а коефіцієнт чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює

аx 2 - (а 2 -1) х - а = 0 = > х 1 = а х 2 = - 1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 10х2 - 99х -10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = - 1/10

Теорема Вієта.

Теорема Вієта називається на ім'я знаменитого французького математика Франсуа Вієта. Використовуючи теорему Вієта, можна виразити суму та добуток коренів довільного КУ через його коефіцієнти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

У сумі число 14 дають лише 5 та 9. Це коріння. При певному навичці, використовуючи представлену теорему, багато квадратних рівнянь ви зможете вирішувати відразу усно.

Теорема Вієта, крім того. зручна тим, що після вирішення квадратного рівняння звичайним способом (через дискримінант) отримане коріння можна перевіряти. Рекомендую це завжди робити.

СПОСІБ ПЕРЕБРОСКИ

При цьому способі коефіцієнт «а» множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

Якщо а± b+c≠ 0, то використовується прийом перекидання, наприклад:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

За теоремою Вієта в рівнянні (2) легко визначити, що х 1 = 10 х 2 = 1

Отримані корені рівняння необхідно розділити на 2 (оскільки від х 2 «перекидали» двійку), отримаємо

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Яке обґрунтування? Подивіться, що відбувається.

Дискримінанти рівнянь (1) та (2) рівні:

Якщо подивитися на корені рівнянь, то виходять лише різні знаменники, і результат залежить саме від коефіцієнта при х 2:

У другого (зміненого) коріння виходить у 2 рази більше.

Тому результат і ділимо на два.

*Якщо перекидатимемо трійку, то результат розділимо на 3 і т.д.

Відповідь: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие та ЄДІ.

Про його важливість скажу коротко - ВИ ПОВИННІ ВМІТИ ВИРІШУВАТИ швидко і не замислюючись, формули коренів і дискримінанта необхідно знати напам'ять. Дуже багато завдань, що входять до складу завдань ЄДІ, зводяться до розв'язання квадратного рівняння (геометричні в тому числі).

Що варто зазначити!

1. Форма запису рівняння може бути «неявною». Наприклад, можливий такий запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 або 15х+42+9x 2 - 45x=0 або 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необхідно привести його до стандартного вигляду (щоб не заплутатися під час вирішення).

2. Пам'ятайте, що x це невідома величина і вона може бути позначена будь-якою іншою літерою – t, q, p, h та іншими.

Неповне квадратне рівняння від класичних (повних) рівнянь тим, що його множники чи вільний член рівні нулю. Графіком таких функцій є параболи. Залежно від загального виду їх поділяють на 3 групи. Принципи розв'язання для всіх типів рівнянь однакові.

Нічого складного у визначенні типу неповного багаточлена немає. Розглянути основні відмінності найкраще на наочних прикладах:

Якщо b = 0, то рівняння має вигляд ax2 + c = 0.
Якщо c = 0, то слід вирішувати вираз ax 2 + bx = 0.
Якщо b = 0 і c = 0, то многочлен перетворюється на рівність типу ax 2 = 0.

Останній випадок є скоріше теоретичною можливістю і ніколи не зустрічається в завданнях для перевірки знань, тому що єдине правильне значення змінної x у виразі – це нуль. Надалі буде розглянуто способи та приклади вирішення неповних квадратних рівнянь 1) та 2) видів.

Загальний алгоритм пошуку змінних та приклади з рішенням

Незалежно від різновиду рівняння алгоритм розв'язання зводиться до таких кроків:

Привести вираз до зручного пошуку коренів виду.
Здійснити обчислення.
Записати відповідь

Вирішувати неповні рівняння найпростіше, розклавши на множники ліву частину і залишивши нуль у правій. Таким чином, формула неповного квадратного рівняння для пошуку коренів зводиться до обчислення значення x кожного з множників.

Навчитися способам рішення можна тільки на практиці, тому розглянемо конкретний прикладзнаходження коріння неповного рівняння:

Як видно, в даному випадку b = 0. Розкладемо ліву частину на множники та отримаємо вираз:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Очевидно, що добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Подібним вимогам відповідають значення змінної x1 = 0,5 та (або) x2 = -0,5.

Для того, щоб легко та швидко справлятися із завданням розкладання квадратного тричленана множники, слід запам'ятати таку формулу:

Якщо у виразі відсутній вільний член, завдання багаторазово спрощується. Досить буде лише знайти і винести за дужки спільний знаменник. Для наочності розглянемо приклад, як розв'язувати неповні квадратні рівняння виду ax2 + bx = 0.

Винесемо змінну x за дужки та отримаємо наступне вираз:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Керуючись логікою, дійшли висновку, що x1 = 0, а x2 = -3.

Традиційний спосіб розв'язання та неповні квадратні рівняння

Що ж буде, якщо застосувати формулу дискримінанта і спробувати знайти коріння багаточлена за коефіцієнтів рівних нулю? Візьмемо приклад зі збірки типових завдань для ЄДІ з математики 2017 року, вирішимо його за допомогою стандартних формул та методом розкладання на множники.

7x2 – 3x = 0.

Розрахуємо значення дискримінант: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Виходить, багаточлен має два корені:

Тепер, розв'яжемо рівняння розкладанням на множники і порівняємо результати.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Як видно, обидва методи дають однаковий результат, але вирішити рівняння другим способом вийшло набагато простіше та швидше.

Теорема Вієта

А що ж робити з уподобаною теоремою Вієта? Чи можна застосовувати цей метод при неповному тричлен? Спробуймо розібратися в аспектах приведення неповних рівнянь до класичного вигляду ax2 + bx + c = 0.

Насправді, застосовувати теорему Вієта в даному випадку можливо. Необхідно лише привести вираз до загального вигляду, замінивши відсутні члени банкрутом.

Наприклад, при b = 0 і a = 1, щоб виключити ймовірність плутанини слід записати завдання у вигляді: ax2 + 0 + c = 0. Тоді відношення суми та добутку коренів та множників багаточлена можна виразити так:

Теоретичні викладки допомагають ознайомитися з суттю питання, і завжди вимагають відпрацювання навички під час вирішення конкретних завдань. Знову звернемося до довідника типових завдань для ЄДІ та знайдемо відповідний приклад:

Запишемо вираз у зручному для застосування теореми Вієта вигляді:

x 2 + 0 - 16 = 0.

Наступним кроком складемо систему умов:

Вочевидь, що корінням квадратного многочлена будуть x 1 = 4 і x 2 = -4.

Тепер, потренуємося наводити рівняння до загального вигляду. Візьмемо наступний приклад: 1/4× 2 – 1 = 0

Для того, щоб застосувати до вираження теорему Вієта, необхідно позбутися дробу. Перемножимо ліву і праву частини на 4 і подивимося на результат: x2– 4 = 0. Отримана рівність готова для вирішення теореми Вієта, але набагато простіше і швидше отримати відповідь просто перенісши з = 4 у праву частину рівняння: x2 = 4.

Підсумовуючи, слід сказати, що найкращим способомрозв'язання неповних рівнянь є розкладання на множники, є найпростішим і швидким методом. У разі труднощів у процесі пошуку коренів можна звернутися до традиційного методу знаходження коренів через дискримінант.

Квадратним рівнянням називають рівняння виду a * x ^ 2 + b * x + c = 0, де a, b, c деякі довільні речові (дійсні) числа, а x - змінна. Причому число не дорівнює 0.

Числа a, b, c називаються коефіцієнтами. Число а - називається старшим коефіцієнтом, число b коефіцієнтом при х, а число називають вільним членом. У деякій літературі трапляються й інші назви. Число а називається першим коефіцієнтом, а число b – другим коефіцієнтом.

Класифікація квадратних рівнянь

Квадратні рівняння мають власну класифікацію.

За наявністю коефіцієнтів:

1. Повні

2. Неповні

За значенням кофіцієнта старшого ступеня невідомого(значення старшого коефіцієнта):

1. Наведені

2. Ненаведені

Квадратне рівняння називається повнимякщо в ньому присутні всі три коефіцієнти і вони відмінні від нуля. Загальний виглядповного квадратного рівняння: a*x^2 +b*x+c=0;

Квадратне рівняння називається неповнимякщо в рівнянні a*x^2 +b*x+c=0 один з коефіцієнтів b або c дорівнює нулю (b=0 або с=0), втім неповним квадратним рівнянням буде і рівняння якого і коефіцієнт b і коефіцієнт с одночасно рівні нулю (і b=0 і c=0).

Варто звернути увагу, що про старшому коефіцієнті тут нічого не говорити, тому що він за визначенням квадратного рівняння має бути відмінний від нуля.

наведенимякщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці(a=1). Загальний вигляд наведеного квадратного рівняння: x^2+d*x+e=0.

Квадратне рівняння називається ненаведеним,якщо старший коефіцієнт у рівнянні відмінний від нуля. Загальний вигляд квадратного рівняння: a*x^2 +b*x+c=0.

Слід зазначити, що будь-яке ненаведене квадратне рівняння може призвести до наведеного. І тому необхідно розділити коефіцієнти квадратного рівняння на старший коефіцієнт.

Приклади квадратного рівняння

Розглянемо приклад:маємо рівняння 2 * x ^ 2 - 6 * x +7 = 0;

Перетворимо його на наведене рівняння. Старший коефіцієнт дорівнює 2. Поділимо на нього коефіцієнти нашого рівняння та запишемо відповідь.

x^2 - 3*x+3,5 =0;

Як ви помітили, у правій частині квадратного рівняння стоїть багаточлен другого ступеня a*x^2+b*x+c. Його ще називають квадратним тричленом.

Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того, що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й коріння знаходяться через дискримінант. Усього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається лише після частого розв'язання таких рівнянь. Тоді всі формули будуть згадуватися самі собою.

Загальний вигляд квадратного рівняння

Тут запропоновано їх явний запис, коли найбільша ступінь записана першою, і далі - за спаданням. Часто бувають ситуації, коли доданки стоять урізнобій. Тоді краще переписати рівняння в порядку зменшення ступеня у змінної.

Введемо позначення. Вони представлені у таблиці нижче.

Якщо прийняти ці позначення, то всі квадратні рівняння зводяться до наступного запису.

Причому коефіцієнт а≠0. Нехай ця формула буде позначена номером один.

Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:

у рішенні буде два корені;
відповіддю буде одне число;
коріння у рівняння не буде зовсім.

І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який варіант випаде в конкретному випадку.

Види записів квадратних рівнянь

У завданнях можуть зустрічатися різні записи. Не завжди вони будуть виглядати як загальна формулаквадратного рівняння. Іноді в ній не вистачатиме деяких доданків. Те, що було записано вище, — це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати другий або третій доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, лише неповними.

Причому зникнути можуть тільки доданки, у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може бути рівним нулю за жодних умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється на лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:

Отже, видів лише два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула матиме номер два, а друга – три.

Дискримінант та залежність кількості коренів від його значення

Це число потрібно знати у тому, щоб обчислити коріння рівняння. Воно може бути пораховано завжди, хоч би якою була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаною нижче, яка матиме чотири номери.

Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповідь рівняння будуть два різні корені. При негативному числі коріння квадратного рівняння не буде. У разі його рівності нулю відповідь буде одна.

Як розв'язується квадратне рівняння повного вигляду?

По суті, розгляд цього питання вже розпочався. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того, як з'ясовано, що є коріння квадратного рівняння, і відоме їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коріння два, потрібно застосувати таку формулу.

Оскільки в ній стоїть знак "±", то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня- Це дискримінант. Тому формулу можна переписати інакше.

Формула номер п'ять. З цього ж запису видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва корені набудуть однакових значень.

Якщо розв'язання квадратних рівнянь ще не відпрацьовано, то краще до того, як застосовувати формули дискримінанта та змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на початку буває плутанина.

Як розв'язується квадратне рівняння неповного вигляду?

Тут все набагато простіше. Навіть немає потреби у додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанта та невідомої.

Спочатку розглянемо неповне рівнянняпід номером два. У цій рівності слід винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два корені. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається із самої змінної. Другий вийде під час вирішення лінійного рівняння.

Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності до правої. Потім треба розділити на коефіцієнт, що стоїть перед невідомою. Залишиться лише витягти квадратний корінь і не забути записати його двічі з протилежними знаками.

Далі записані деякі дії, які допомагають навчитися розв'язувати різні види рівностей, які перетворюються на квадратні рівняння. Вони сприятимуть тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок щодо великої тематики «Квадратні рівняння (8 клас)». Згодом ці дії не потрібно постійно виконувати. Тому що з'явиться стійка навичка.

Спочатку потрібно записати рівняння у стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок із найбільшим ступенем змінним, а потім - без ступеня і останнім - просто число.

Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Його краще позбутися. З цією метою всю рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак протилежний.

Так само рекомендується позбавлятися дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.

Приклади

Потрібно вирішити такі квадратні рівняння:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(Х +1) 2 + Х + 1 = (Х +1) (Х +2).

Перше рівняння: х 2 − 7х = 0. Воно неповне, тому вирішується так, як описано для формули під номером два.

Після винесення за дужки виходить: х (х – 7) = 0.

Перший корінь набуває значення: х 1 = 0. Другий буде знайдено з лінійного рівняння: х – 7 = 0. Легко помітити, що х 2 = 7.

Друге рівняння: 5х2 + 30 = 0. Знову неповне. Тільки вирішується так, як описано для третьої формули.

Після перенесення 30 у праву частину рівності: 5х 2 = 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х 2 = 6. Відповідями будуть числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.

Третє рівняння: 15 − 2х − х 2 = 0. Тут і надалі розв'язання квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування в стандартний вигляд: − х 2 − 2х + 15 = 0. Тепер настав час скористатися другим корисною порадоюта помножити все на мінус одиницю. Виходить х 2 + 2х - 15 = 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Він є позитивним числом. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два корені. Їх треба вирахувати за п'ятою формулою. По ній виходить, що х = (-2±64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тоді х 1 = 3, х 2 = - 5.

Четверте рівняння х 2 + 8 + 3х = 0 перетворюється на таке: х 2 + 3х + 8 = 0. Його дискримінант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю цього завдання буде наступний запис: «Корнів немає».

П'яте рівняння 12х + х 2 + 36 = 0 слід переписати так: х 2 + 12х + 36 = 0. Після застосування формули дискримінанту виходить число нуль. Це означає, що він матиме один корінь, саме: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шосте рівняння (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) вимагає провести перетворення, які полягають у тому, що потрібно привести подібні доданки, до того розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вираз: х 2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х 2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння набуде вигляду: х 2 - х = 0. Воно перетворилося на неповне . Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Корінням цього будуть числа 0 та 1.

5х (х – 4) = 0

5 х = 0 або х - 4 = 0

х = ±√25/4

Навчившись вирішувати рівняння першого ступеня, безумовно, хочеться працювати з іншими, зокрема з рівняннями другого ступеня, які по-іншому називаються квадратними.

Квадратні рівняння – це рівняння типу ах ² + bx + c = 0, де змінною є х, числами будуть – а, b, с, де а не дорівнює нулю.

Якщо квадратному рівнянні один чи інший коефіцієнт (з або b) дорівнюватиме нулю, це рівняння буде ставитися до неповного квадратного рівняння.

Як вирішити неповне квадратне рівняння, якщо учні досі вміли розв'язувати лише рівняння першого ступеня? Розглянемо неповні квадратні рівняння різних видіві нескладні способиїх вирішення.

а) Якщо коефіцієнт с дорівнюватиме 0, а коефіцієнт b не дорівнюватиме нулю, то ах ² + bх + 0 = 0 зводиться до рівняння виду ах ² + bх = 0.

Щоб вирішити таке рівняння, потрібно знати формулу розв'язання неповного квадратного рівняння, яка полягає в тому, щоб ліву частину його розкласти на множники і пізніше використати умову рівності добутку нулю.

Наприклад, 5х² - 20х = 0. Розкладаємо ліву частину рівняння на множники, при цьому здійснюючи звичайну математичну операцію: винесення загального множника за дужки

5х (х – 4) = 0

Використовуємо умову, яка каже, що твори дорівнюють нулю.

5 х = 0 або х - 4 = 0

Відповіддю буде: перший корінь – 0; другий корінь – 4.

б) Якщо b = 0, а вільний член не дорівнює нулю, то рівняння ах ² + 0х + с = 0 зводиться до рівняння виду ах ² + с = 0. Розв'язують рівняння двома способами: а) розкладаючи багаточлен рівняння в лівій частині на множники ; б) використовуючи властивості арифметичного квадратного кореня. Таке рівняння вирішується одним із методів, наприклад:

х = ±√25/4

х = ±5/2. Відповіддю буде: перший корінь дорівнює 5/2; другий корінь дорівнює – 5/2.

в) Якщо b дорівнюватиме 0 і с дорівнюватиме 0, то ах ² + 0 + 0 = 0 зводиться до рівняння виду ах ² = 0. У такому рівнянні x дорівнюватиме 0.

Як бачите, неповні квадратні рівняння можуть мати не більше двох коренів.