Способи розв'язання квадратних рівнянь. Квадратні рівняння

Завдання добре знайоме з математики. Вихідними даними є коефіцієнти a, b, c. Рішенням у загальному випадку є два корені x 1 і x 2 , які обчислюються за формулами:

Усі величини, які у цій програмі, мають речовий тип.

алгкоріння квадратного рівняння

речей a, b, c, x1, x2, d

почвведення a, b, c

x1:=(-b+Öd)/(2a)

x2:=(-b-Öd)/(2a)

висновок x1, X2

Слабкість такого алгоритму видно «неозброєним оком». Він не має найважливішою властивістю, що висуваються до якісних алгоритмів: універсальністю по відношенню до вихідних даних Якими б не були значення вихідних даних, алгоритм повинен призводити до певного результату та виходити на кінець.Результатом може бути числова відповідь, але може бути і повідомлення про те, що при таких даних завдання рішення не має. Неприпустимі зупинки в середині алгоритму через неможливість виконати якусь операцію. Це ж властивість у літературі з програмування називають результативністю алгоритму (у будь-якому разі має бути отриманий якийсь результат).

Щоб побудувати універсальний алгоритм, спочатку потрібно ретельно проаналізувати математичний зміст завдання.

Вирішення рівняння залежить від значень коефіцієнтів a, b, c. Ось аналіз цього завдання (обмежуємося лише пошуком речовинного коріння):

якщо a=0, b=0, c=0, будь-яке х – рішення рівняння;

якщо a=0, b=0, c¹0, рівняння рішень немає;

якщо a=0, b¹0, то це лінійне рівняннящо має одне рішення: x=–c/b;

якщо a10 і d=b 2 -4ac³0, то рівняння має два речові корені (формули наведені вище);

якщо a10 і d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.

Блок-схема алгоритму:

Цей же алгоритм алгоритмічною мовою:

алгкоріння квадратного рівняння

речей a, b, c, d, x1, x2

почвведення a, b, c

якщо a=0

то якщо b=0

то якщо c=0

товисновок «будь-яке х – рішення»

інакшевисновок «немає рішень»

інакше x:= –c/b

інакше d:=b2–4ac

якщоі d<0

товисновок «немає речовинного коріння»

інакшее x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b-Öd)/(2a)

висновок "x1 =", x1, "x2 =", x2

У цьому алгоритмі багаторазово використано структурна команда розгалуження.Загальний вигляд команди розгалуження в блок-схемах та алгоритмічною мовою наступний:

Спочатку перевіряється «умова» (обчислюється ставлення, логічне вираження). Якщо умова істинна, то виконується серія 1 - послідовність команд, на яку вказує стрілка з написом так (позитивна гілка). Інакше виконується серія 2 (негативна гілка). У АЯ умова записується після службового слова «якщо», позитивна гілка – після слова «те», негативна – після слова «інакше». Літери «кв» позначають кінець розгалуження.

Якщо на гілках одного розгалуження містяться інші розгалуження, такий алгоритм має структуру вкладених розгалужень. Саме таку структуру має алгоритм «коріння квадратного рівняння». У ньому для стислості замість слів «так» і «ні» використано відповідно «+» та «–».

Розглянемо таку задачу: дано ціле позитивне число n. Потрібно обчислити n! (N-факторіал). Згадаймо визначення факторіалу.

Нижче наведено блок-схему алгоритму. У ньому використовуються три змінні цілого типу: n – аргумент; i – проміжна змінна; F – результат. Для перевірки правильності алгоритму побудовано трасувальну таблицю. У такій таблиці для конкретних значень вихідних даних по кроках простежується зміна змінних, що входять до алгоритму. Ця таблиця складена для випадку n=3.

Трасування доводить правильність алгоритму. Тепер запишемо цей алгоритм алгоритмічною мовою.

алгФакторіал

ціл n, i, F

почвведення n

F:=1; i:=1

Бувай i£n, повторювати

нц F:=F´i

Цей алгоритм має циклічну структуру. В алгоритмі використано структурну команду «цикл-поки», або «цикл із передумовою». Загальний вигляд команди «цикл-поки» у блок-схемах та в АЯ наступний:

Повторюється виконання серії команд (тіла циклу), доки умова циклу істинна. Коли умова стає помилковою, цикл закінчує виконання. Службові слова «нц» та «кц» позначають відповідно початок циклу та кінець циклу.

Цикл з передумовою – це основна, але з єдина форма організації циклічних алгоритмів. Іншим варіантом є цикл із постумовою.Повернемося до алгоритму розв'язання квадратного рівняння. До нього можна підійти з такої позиції: якщо a = 0, це вже не квадратне рівняння і його можна не розглядати. У такому випадку вважатимемо, що користувач помилився при введенні даних і слід запропонувати йому повторити введення. Інакше висловлюючись, у алгоритмі буде передбачено контроль достовірності вихідних даних із наданням користувачеві можливості виправити помилку. Наявність такого контролю – ще одна ознака хорошої якості програми.

У загальному вигляді структурна команда «цикл із постумовою» або «цикл-до» представляється так:

Тут використовується умова закінчення циклу. Коли воно стає дійсним, цикл закінчує роботу.

Складемо алгоритм вирішення наступного завдання: дано два натуральні числа M і N. Потрібно обчислити їх найбільший спільний дільник – НОД(M,N).

Це завдання вирішується за допомогою методу, відомого під назвою алгоритму Евкліда. Його ідея полягає в тому властивості, що й M>N, то НОД(M

1) якщо числа рівні, то взяти їх загальне значення як відповідь; в іншому випадку продовжити виконання алгоритму;

2) визначити більше із чисел;

3) замінити більшу кількість різницею більшого і меншого значень;

4) повернутись до виконання пункту 1.

Блок-схема та алгоритм на АЯ будуть наступними:

Алгоритм має структуру циклу із вкладеним розгалуженням. Виконайте самостійно трасування цього алгоритму для випадку M=18, N=12. Через війну вийде НОД=6, що, зрозуміло, правильно.

Бібліографічний опис:Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Єльков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмельова О. В. Способи вирішення квадратних рівнянь// Молодий вчений. - 2016. - №6.1. - С. 17-20..04.2019).

Наш проект присвячений способам розв'язання квадратних рівнянь. Мета проекту: навчитися вирішувати квадратні рівняння засобами, що не входять до шкільної програми. Завдання: знайти всі можливі способи розв'язання квадратних рівнянь та навчитися їх використовувати самим та познайомити однокласників із цими способами.

Що таке «квадратні рівняння»?

Квадратне рівняння- рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де a, b, c- Деякі числа ( a ≠ 0), x- Невідоме.

Числа a, b, c називаються коефіцієнтами квадратного рівняння.

a називається першим коефіцієнтом;
b називається другим коефіцієнтом;
c – вільним членом.

А хто ж перший "винайшов" квадратні рівняння?

Деякі прийоми алгебри рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Стародавньому Вавилоні. Знайдені стародавні вавилонські глиняні таблички, датовані десь між 1800 і 1600 роками до н.е., є ранніми свідченнями про вивчення квадратних рівнянь. На цих табличках викладено методи розв'язання деяких типів квадратних рівнянь.

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першого, а й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та із земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики.

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасним, проте невідомо, як дійшли вавилоняни цього правила. Майже всі знайдені до цього часу клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Вавилонські математики приблизно з IV століття до н. використовували метод доповнення квадрата для вирішення рівнянь з позитивним корінням. Близько 300 року до н. Евклід вигадав загальніший геометричний метод рішення. Першим математиком, який знайшов рішення рівняння з негативним корінням у вигляді алгебраїчної формули, був індійський учений Брахмагупта(Індія, VII століття нашої ери).

Брахмагупта виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

ax2 + bх = с, а>0

У цьому рівнянні коефіцієнти можуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.

В Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так учена людина затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

В алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмідається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, виражаючи їх так:

1) "Квадрати рівні корінням", тобто ах2 = bх.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто ах2 = с.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах2 = с.

4) «Квадрати та числа дорівнюють корінням», тобто ах2 + с = bх.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто ах2 + bх = с.

6) «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому явно не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр та ал-мукабала. Його рішення, звісно, не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно тому, що в конкретних практичних Завдання воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім їх геометричні докази.

Форми розв'язання квадратних рівнянь на зразок Аль-Хорезмі у Європі було вперше викладено у «Книзі абака», написаної 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел.

Ця книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із цієї книги переходили майже до всіх європейських підручників XIV-XVII ст. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду x2 + bх = с при всіляких комбінаціях знаків та коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі у 1544 р. М. Штіфелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллісеред перших у XVI ст. враховують, крім позитивних, та негативні корені. Лише XVII в. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютоната інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

Розглянемо кілька способів розв'язання квадратних рівнянь.

Стандартні способи розв'язання квадратних рівнянь із шкільної програми:

Розкладання лівої частини рівняння на множники.
Метод виділення повного квадрата.
Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.
Графічний розв'язок квадратного рівняння.
Вирішення рівнянь з використанням теореми Вієта.

Зупинимося докладніше на розв'язання наведених та не наведених квадратних рівнянь за теоремою Вієта.

Нагадаємо, що для вирішення наведених квадратних рівнянь достатньо знайти два числа такі, добуток яких дорівнює вільному члену, а сума – другому коефіцієнту з протилежним знаком.

приклад.x 2 -5x+6=0

Потрібно знайти числа, добуток яких дорівнює 6, а сума 5. Такими числами будуть 3 та 2.

Відповідь: x 1 =2, x 2 =3.

Але можна використовувати цей спосіб і для рівнянь із першим коефіцієнтом не рівним одиниці.

приклад.3x 2 +2x-5=0

Беремо перший коефіцієнт і множимо його на вільний член: x2+2x-15=0

Корінням цього рівняння будуть числа, добуток яких дорівнює - 15, а сума дорівнює - 2. Ці числа - 5 і 3. Щоб знайти коріння вихідного рівняння, отримане коріння ділимо на перший коефіцієнт.

Відповідь: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Розв'язання рівнянь способом "перекидання".

Розглянемо квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0 де а≠0.

Помножуючи обидві його частини а, отримуємо рівняння а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Нехай ах = у, звідки х = у/а; тоді приходимо до рівняння у 2 + by + ас = 0, рівносильному даному. Його коріння у 1 та у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

Остаточно отримуємо х 1 = у 1/а та х 2 = у 2/а.

При цьому способі коефіцієнт a множиться на вільний член, як "перекидається" до нього, тому його називають способом "перекидання". Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

приклад.2х 2 - 11х + 15 = 0.

"Перекинемо" коефіцієнт 2 до вільного члена і зробивши заміну отримаємо рівняння у 2 - 11у + 30 = 0.

Відповідно до зворотної теореми Вієта

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 = 2,5; у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Відповідь: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

Нехай надано квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Якщо a + b + с = 0 (тобто сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю), то х 1 = 1.

2. Якщо а – b + с = 0, або b = а + с, то х 1 = – 1.

приклад.345х 2 - 137х – 208 = 0.

Так як а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = –208/345.

Відповідь: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

приклад.132х 2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115 = 0), то х 1 = - 1, х 2 = - 115/132

Відповідь: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Існують інші властивості коефіцієнтів квадратного рівняння. але їх використання складніше.

8. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми.

Рис 1. Номограма

Це старий і нині забутий спосіб розв'язання квадратних рівнянь, вміщений с.83 збірника: Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.

Таблиця XXII. Номограма для вирішення рівняння z 2 + pz + q = 0. Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтами визначити коріння рівняння.

Криволинійна шкала номограми побудована за формулами (рис. 1):

Вважаючи ОС = р, ED = q, ОЕ = а(все в см), з рис.1 подоби трикутників САНі CDFотримаємо пропорцію

звідки після підстановок та спрощень випливає рівняння z 2 + pz + q = 0,причому літера zозначає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.

Рис. 2 Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми

приклади.

1) Для рівняння z 2 - 9z + 8 = 0номограма дає коріння z 1 = 8,0 та z 2 = 1,0

Відповідь: 8,0; 1.0.

2) Розв'яжемо за допомогою номограми рівняння

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Поділимо коефіцієнти цього рівняння на 2 отримаємо рівняння z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограма дає коріння z 1 = 4 та z 2 = 0,5.

Відповідь: 4; 0,5.

9. Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь.

приклад.х 2 + 10 х = 39.

В оригіналі це завдання формулюється так: "Квадрат і десять коренів дорівнюють 39".

Розглянемо квадрат зі стороною х, на його сторонах будуються прямокутники так, що інша сторона кожного з них дорівнює 2,5, отже площа кожного дорівнює 2,5x. Отриману фігуру доповнюють потім до нового квадрата АВСD, добудовуючи в кутах чотири рівні квадрати, сторона кожного з них 2,5, а площа 6,25

Рис. 3 Графічний спосіб розв'язання рівняння х 2 + 10х = 39

Площа S квадрата ABCD можна як суму площ: початкового квадрата x 2 , чотирьох прямокутників (4∙2,5x = 10х) і чотирьох прибудованих квадратів (6,25∙ 4 = 25) , тобто. S = х 2 + 10х = 25. Замінюючи х 2 + 10х числом 39, отримаємо що S = 39 + 25 = 64, звідки слід, що сторона квадрата АВСD, тобто. відрізок АВ = 8. Для шуканої сторони х початкового квадрата отримаємо

10. Вирішення рівнянь з використанням теореми Безу.

Теорема Безу. Залишок від розподілу многочлена P(x) на двочлен x - α дорівнює P(α) (тобто значення P(x) при x = α).

Якщо число α є коренем многочлена P(x), цей многочлен ділиться на x -α без залишку.

приклад.х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Розділимо Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1 = 0; х=1, або х-3=0, х=3; Відповідь: х1 =2, х2 =3.

Висновок:Уміння швидко і раціонально вирішувати квадратні рівняння просто необхідне для вирішення складніших рівнянь, наприклад, дробно-раціональних рівнянь, рівнянь вищих ступенів, біквадратних рівнянь, а старшій школі тригонометричних, показових і логарифмічних рівнянь. Вивчивши всі знайдені способи розв'язання квадратних рівнянь, ми можемо порадити однокласникам, крім стандартних способів, розв'язання способом перекидання (6) і розв'язання рівнянь за якістю коефіцієнтів (7), тому що є більш доступними для розуміння.

Література:

Брадіс В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.
Алгебра 8 клас: підручник для 8 кл. загальноосвіт. установ Макарічев Ю. Н., Міндюк Н. Г., Нешков К. І., Суворова С. Б. за ред. С. А. Теляковського 15-те вид., Дораб. - М: Просвітництво, 2015
https://ua.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Глейзер Г.І. Історія математики у школі. Посібник для вчителів. / За ред. В.М. Молодшого. - М: Просвітництво, 1964.

Слайд 2

Квадратні рівняння цикл уроків алгебри в 8 класі за підручником А.Г. Мордковича

Вчитель МБОУ Грушевської ЗОШ Кірєєва Т.О.

Слайд 3

Цілі: ввести поняття квадратного рівняння, кореня квадратного рівняння; показати розв'язки квадратних рівнянь; формувати вміння розв'язувати квадратні рівняння; показати спосіб розв'язання повних квадратних рівнянь з використанням формули коренів квадратного рівняння.

Слайд 4

Слайд 5

Трохи з історії Квадратні рівняння у Стародавньому Вавілоні. Необхідність вирішувати рівняння не тільки першого, а й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до нашої віри вавилоняни. Застосовуючи сучасний запис алгебри, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння.

Слайд 6

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені й досі клинописні тексти наводячи лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилонії, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Слайд 7

Визначення 1. Квадратним рівнянням називають рівняння виду, де коефіцієнти а, в, с – будь-які дійсні числа, причому Багаточлен називають квадратним тричленом. а - перший, або старший коефіцієнт - другий коефіцієнт с - вільний член

Слайд 8

Визначення 2. Квадратне рівняння називають наведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює 1; Квадратне рівняння називають ненаведеним, якщо старший коефіцієнт відмінний від 1. Приклад. 2 - 5 + 3 = 0 - наведене квадратне рівняння - наведене квадратне рівняння

Слайд 9

Визначення 3. Повне квадратне рівняння – це квадратне рівняння, в якому присутні всі три доданки. а + вх + с = 0 Неповне квадратне рівняння - це рівняння, в якому присутні не всі три доданки; це рівняння, у якого хоча б один з коефіцієнтів, дорівнює нулю.

Слайд 10

Способи розв'язання неповних квадратних рівнянь.

Слайд 11

Розв'язати завдання № 24.16 (a,б) Розв'яжіть рівняння: або Відповідь. або Відповідь.

Слайд 12

Визначення 4 Коренем квадратного рівняння Називають будь-яке значення змінної х, за якого квадратний тричлен Звертається в нуль; таке значення змінної х називають також коренем квадратного тричлена.

Слайд 13

Дискримінант квадратного рівняння D 0 D=0 Рівняння не має коріння Рівняння має два корені Рівняння має один корінь Формули коріння квадратного рівняння

Слайд 14

D>0 квадратне рівняння має два корені, що знаходяться за формулами Приклад. Розв'язати рівняння Розв'язання. а = 3, = 8, с = -11, Відповідь: 1; -3

Слайд 15

Алгоритм розв'язання квадратного рівняння 1. Обчислити дискримінант D за формулою D=2. Якщо D0, то квадратне рівняння має два корені.

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Уміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠0.

Перш ніж вивчати конкретні методи вирішення, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

Не мають коріння;
Мають рівно один корінь;
Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує та єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться – зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

Якщо D< 0, корней нет;
Якщо D = 0, є рівно один корінь;
Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x2+3x+7=0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно - зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо, власне, до вирішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул - вийде одне й те число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці у формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок - і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

x 2 + 9x = 0;
x 2 – 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: вони навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Зрозуміло, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний коріньіснує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Досить виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число – коріння буде два. Якщо негативне — коріння не буде взагалі.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Винесення загального множника за дужку

Твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь: