Теорема розкладання квадратного тричлена на множники. Розкладання квадратних тричленів на множники: приклади та формули

Розкладання багаточленів для отримання твору іноді здається заплутаним. Але це не так складно, якщо розібратися в покроковому процесі. У статті докладно розказано, як розкласти на множники квадратний тричлен.

Багатьом незрозуміло, як розкласти на множники квадратний тричлен, і навіщо це робиться. Спочатку може здатися, що це марна справа. Але в математиці нічого не робиться просто так. Перетворення необхідно спрощення висловлювання і зручності обчислення.

Багаточлен, що має вигляд – ax²+bx+c, називається квадратним тричленом.Доданок «a» має бути негативним або позитивним. Насправді цей вираз називається квадратним рівнянням. Тому іноді кажуть і інакше: як розкласти квадратне рівняння.

Цікаво!Квадратним багаточленом називають із-за найбільшого його ступеня – квадрата. А тричлен - через 3-х складових доданків.

Деякі інші види багаточленів:

• лінійний двочлен (6x+8);
• кубічний чотиричлен (x³+4x²-2x+9).

Розкладання квадратного тричлена на множники

Спочатку вираз прирівнюється до нуля, потім потрібно знайти значення коріння x1 та x2. Коріння може не бути, може бути один або два корені. Наявність коренів визначається дискримінантом. Його формулу слід знати напам'ять: D=b²-4ac.

Якщо результат D виходить негативний, коріння немає. Якщо позитивний – корені два. Якщо в результаті вийшов нуль – один корінь. Коріння теж обчислюється за формулою.

Якщо при обчисленні дискримінанта виходить нуль, можна застосовувати будь-яку формулу. Насправді формула просто скорочується: -b/2a.

Формули для різних значеньдискримінанти різняться.

Якщо D позитивний:

Якщо D дорівнює нулю:

Онлайн калькулятори

В інтернеті є онлайн калькулятор. З його допомогою можна розкласти на множники. На деяких ресурсах можна подивитися рішення покроково. Такі послуги допомагають краще зрозуміти тему, але потрібно постаратися добре вникнути.

Корисне відео: Розкладання квадратного тричлена на множники

Приклади

Пропонуємо переглянути прості прикладиЯк розкласти квадратне рівняння на множники

Приклад 1

Тут показано, що в результаті вийде два x, тому що D позитивний. Їх і треба підставити у формулу. Якщо коріння вийшло негативне, знак у формулі змінюється на протилежний.

Нам відома формула розкладання квадратного тричленана множники: a(x-x1)(x-x2). Ставимо значення дужки: (x+3)(x+2/3). Перед складником ступеня немає числа. Це означає, що там одиниця, вона опускається.

Приклад 2

Цей приклад наочно показує, як розв'язувати рівняння, що має один корінь.

Підставляємо значення, що вийшло:

Приклад 3

Дано: 5x²+3x+7

Спочатку обчислимо дискримінант, як у попередніх випадках.

D = 9-4 * 5 * 7 = 9-140 = -131.

Дискримінант негативний, отже, коріння немає.

Після отримання результату варто розкрити дужки та перевірити результат. Повинен з'явитись вихідний тричлен.

Альтернативний спосіб вирішення

Деякі люди так і не змогли потоваришувати з дискримінантом. Можна ще одним способом розкласти квадратний тричлен на множники. Для зручності спосіб показано на прикладі.

Дано: x²+3x-10

Ми знаємо, що повинні вийти 2 дужки: (_) (_). Коли вираз має такий вигляд: x²+bx+c, на початку кожної дужки ставимо x: (x_)(x_). Що залишилися два числа – твір, дає «c», т. е. у разі -10. Дізнатися, які це числа, можна лише шляхом підбору. Підставлені числа повинні відповідати складові, що залишився.

Наприклад, перемноження наступних чисел дає -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Ні.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Ні.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Ні.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Підходить.

Отже, перетворення виразу x2+3x-10 має такий вигляд: (x-2)(x+5).

Важливо!Варто уважно стежити, щоб не переплутати знаки.

Розкладання складного тричлена

Якщо "a" більше одиниці, починаються складнощі. Але все не так важко, як здається.

Щоб виконати розкладання на множники, потрібно спочатку подивитися, чи можна щось винести за дужку.

Наприклад, дано вираз: 3x2+9x-30. Тут виноситься за дужку число 3:

3(x²+3x-10). В результаті виходить вже відомий тричлен. Відповідь виглядає так: 3(x-2)(x+5)

Як розкладати, якщо доданок, який знаходиться у квадраті негативний? У разі за дужку виноситься число -1. Наприклад: -x²-10x-8. Після вираз виглядатиме так:

Схема мало відрізняється від попередньої. Є лише кілька нових моментів. Допустимо, дано вираз: 2x²+7x+3. Відповідь також записується у 2-х дужках, які потрібно заповнити (_) (_). У 2-у дужку записується х, а в 1-у те, що залишилося. Це так: (2x_)(x_). В іншому повторюється попередня схема.

Число 3 дають числа:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Вирішуємо рівняння, підставляючи дані числа. Підходить останній варіант. Отже, перетворення виразу 2x²+7x+3 має такий вигляд: (2x+1)(x+3).

Інші випадки

Перетворити вираз вдасться не завжди. При другому способі рішення рівняння не потрібно. Але можливість перетворення доданків у твір перевіряється лише через дискримінант.

Варто потренуватися вирішувати квадратні рівняння, щоб при використанні формул не виникало труднощів.

Корисне відео: розкладання тричлена на множники

Висновок

Користуватися можна будь-яким способом. Але краще обоє відпрацювати до автоматизму. Також навчитися добре вирішувати квадратні рівняння та розкладати багаточлени на множники потрібно тим, хто має намір пов'язати своє життя з математикою. На цьому будуються всі математичні теми.

Розкладання квадратних тричленів на множники відноситься до шкільним завданням, з якими рано чи пізно стикається кожен. Як його виконати? Якою є формула розкладання квадратного тричлена на множники? Розберемося покроково за допомогою прикладів.

Загальна формула

Розкладання квадратних тричленів на множники здійснюється розв'язком квадратного рівняння. Це нескладне завдання, яке можна вирішити декількома методами – знаходженням дискримінанта, за допомогою теореми Вієта, існує і графічний спосібрішення. Перші два способи вивчаються у середній школі.

Загальна формула виглядає так:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритм виконання завдання

Щоб виконати розкладання квадратних тричленів на множники, потрібно знати теорему Віта, мати під рукою програму на вирішення, вміти знаходити рішення графічно чи шукати коріння рівняння другого ступеня через формулу дискримінанта. Якщо даний квадратний тричлен і його треба розкласти на множники, алгоритм дій такий:

1) Прирівняти вихідний вираз до нуля, щоб одержати рівняння.

2) Навести подібні доданки (якщо є така потреба).

3) Знайти коріння будь-яким відомим способом. Графічний метод краще застосовувати у разі, якщо наперед відомо, що коріння - цілі та невеликі числа. Потрібно пам'ятати, що кількість коренів дорівнює максимальному ступеню рівняння, тобто квадратного рівняння коріння два.

4) Підставити значення ху вираз (1).

5) Записати розкладання квадратних тричленів на множники.

Приклади

Остаточно зрозуміти, як виконується це завдання, дозволяє практика. Ілюструють розкладання на множники квадратного тричлена.

необхідно розкласти вираз:

Вдамося до нашого алгоритму:

1) х 2 -17х +32 = 0

2) подібні доданки зведені

3) за формулою Вієта знайти коріння для цього прикладу складно, тому краще скористатися виразом для дискримінанта:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Підставимо знайдене нами коріння в основну формулу для розкладання:

(Х-2,155) * (Х-14,845)

5) Тоді відповідь буде такою:

х 2 -17х +32 = (х-2,155) (х-14,845)

Перевіримо, чи відповідають знайдені дискримінантом рішення формулам Вієта:

14,845 . 2,155=32

Для цих коренів застосовується теорема Вієта, вони знайшли правильно, отже отримане нами розкладання на множники теж правильно.

Аналогічно розкладемо 12х2+7х-6.

х 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337) 1/2

У попередньому випадку рішення були нецілі, але дійсними числамизнайти які легко, маючи перед собою калькулятор. Тепер розглянемо більше складний приклад, в якому коріння буде комплексним: розкласти на множники х 2+4х+9. За формулою Вієта коріння знайти не вдасться, і дискримінант негативний. Коріння буде на комплексній площині.

D=-20

Виходячи з цього, отримуємо корені, що нас цікавлять -4+2i*5 1/2 і -4-2i * 5 1/2, оскільки (-20) 1/2 = 2i*5 1/2.

Отримуємо розкладання, підставивши коріння в загальну формулу.

Ще один приклад: потрібно розкласти на множники вираз 23х2-14х+7.

Маємо рівняння 23х2-14х+7 =0

D=-448

Значить, коріння 14+21,166i та 14-21,166i. Відповідь буде такою:

23х2-14х+7 = 23 (х- 14-21,166i )*(х- 14+21,166i ).

Наведемо приклад, вирішити який можна самостійно дискримінанта.

Нехай потрібно розкласти квадратне рівняння х2-32х+255. Очевидно, його можна вирішити і дискримінантом, проте швидше в цьому випадку підібрати коріння.

x 1 = 15

x 2 = 17

Значить х 2 -32х+255 = (Х-15) (Х-17).

Світ занурений у величезну кількість чисел. Будь-які обчислення відбуваються з допомогою.

Люди вчать цифри для того, щоб у подальшому житті не потрапляти на обман. Необхідно приділяти багато часу, щоб бути освіченим і розрахувати власний бюджет.

Математика – це точна наука, яка грає велику роль у житті. У школі діти вивчають цифри, а після дії над ними.

Події над числами бувають абсолютно різними: множення, розкладання, додавання та інші. Крім простих формул, у вивченні математики використовують і складніші дії. Існує безліч формул, якими дізнаються будь-які значення.

У школі, щойно з'являється алгебра, у життя школяра додаються формули спрощення. Бувають рівняння, коли невідомі числа два, але знайти простим способомне вийде. Трьохчлен - з'єднання трьох одночленів, за допомогою простого методузабирання та додавання. Тричлен вирішується за допомогою теореми Вієта та дискримінанта.

Формула розкладання квадратного тричлену на множники

Існують два правильних і простих рішенняприкладу:

• дискримінант;
• теорема Вієта.

Квадратний тричлен має невідомий у квадраті, а також число без квадрата. Перший варіант для розв'язання задачі використовує формулу Вієта. Це проста формулаякщо цифри, що стоять перед невідомим, будуть мінімальним значенням.

Для інших рівнянь, де число стоїть перед невідомим, рівняння необхідно вирішувати через дискримінант. Це більше складне рішення, але використовують дискримінант набагато частіше, ніж теорему Вієта.

Спочатку, знаходження всіх змінних рівняння необхідно звести приклад до 0. Рішення прикладу можна буде перевірити і дізнатися чи правильно підлаштовані числа.

Дискримінант

1. Необхідно прирівняти рівняння до 0.

2. Кожне число перед х буде названо числами a, b, c. Оскільки перед першим квадратним х немає числа, воно прирівнюється до 1.

3. Тепер рішення рівняння починається через дискримінант:

4. Тепер знайшли дискримінант та знаходимо два х. Різниця полягає в тому, що в одному випадку перед b стоятиме плюс, а в іншому мінус:

5. За рішенням два числа вийшло -2 та -1. Підставляємо під початкове рівняння:

6. У цьому прикладі вийшло два правильних варіанти. Якщо обидва рішення підходять, кожне з них є істинним.

Через дискримінант вирішують і складніші рівняння. Але якщо саме значення дискримінанта буде менше 0, приклад неправильний. Дискримінант під час пошуку завжди під коренем, а негативне значення неспроможна перебувати у корені.

Теорема Вієта

Застосовується для вирішення легких завдань, де перед першим не стоїть число, тобто a = 1. Якщо варіант збігається, то розрахунок проводять через теорему Вієта.

Для вирішення будь-якого тричленунеобхідно звести рівняння до 0. Перші кроки у дискримінанта та теореми Вієта не відрізняються.

2. Тепер між двома способами розпочинаються відмінності. Теорема Вієта використовує не лише «сухий» розрахунок, а й логіку та інтуїцію. Кожне число має власну букву a, b, c. Теорема використовує суму та добуток двох чисел.

Запам'ятайте! Число b завжди при додаванні стоїть з протилежним знаком, а число залишається незмінним!

Підставляючи значення дані у прикладі , отримуємо:

3. Методом логіки підставляємо найбільш відповідні цифри. Розглянемо всі варіанти розв'язання:

1. Цифри 1 та 2. При додаванні отримуємо 3, але якщо помножити, то не вийде 4. Не підходить.
2. Значення 2 та -2. При множенні буде -4 але при додаванні виходить 0. Не підходить.
3. Цифри 4 та -1. Оскільки у множенні стоїть негативне значення, отже, одне з чисел буде з мінусом. При додаванні та множенні підходить. Правильний варіант.

4. Залишається тільки перевірити, розкладаючи числа, і переглянути правильність підібраного варіанта.

5. Завдяки онлайн-перевірці ми дізналися, що -1 не підходить за умовою прикладу, а отже, є неправильним рішенням.

При додаванні негативного значеннянаприклад, необхідно цифру заносити в дужки.

В математиці завжди будуть прості завданнята складні. Сама наука включає різноманітність завдань, теорем і формул. Якщо розуміти і правильно застосовувати знання, то будь-які складнощі з обчисленнями будуть дрібними.

Математика не потребує постійного запам'ятовування. Потрібно навчиться розуміти рішення та вивчити кілька формул. Поступово, за логічними висновками, можна вирішувати схожі завдання, рівняння. Така наука може з першого погляду здатися дуже важкою, але якщо поринуть у світ чисел і завдань, то погляд різко зміниться кращий бік.

Технічні спеціальностізавжди залишаються найбільш затребуваними у світі. Зараз, у світі сучасних технологій, математика стала незамінним атрибутом будь-якої сфери Потрібно завжди пам'ятати про корисні властивостіматематики.

Розкладання тричлену за допомогою дужки

Крім рішення звичними способами, існує ще один – розкладання на дужки. Використовують із застосуванням формули Вієта.

1. Прирівнюємо рівняння до 0.

ax 2 + bx+ c= 0

2. Коріння рівняння залишаються такими самими, але замість нуля тепер використовують формули розкладання на дужки.

ax 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Рішення х=-1, х=3

Розкладання квадратного тричлена на множникиможе стати в нагоді при вирішенні нерівностей із завдання С3 або задачі з параметром С5. Також багато текстових завдань B13 вирішаться значно швидше, якщо ви володієте теоремою Вієта.

Цю теорему, звісно, ​​можна розглядати із позицій 8-го класу, у якому вона вперше проходить. Але наше завдання – добре підготуватися до ЄДІ та навчитися вирішувати завдання іспиту максимально ефективно. Тому в цьому уроці розглянуто підхід трохи відмінний від шкільного.

Формулу коренів рівняння з теореми Вієтазнають (або хоча б бачили) багато хто:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 · x_2 = \frac(c)(a),$$

де `a, b` та `c` - коефіцієнти квадратного тричлена `ax^2+bx+c`.

Щоб навчитися легко користуватися теоремою, зрозуміємо, звідки вона береться (так реально легше запам'ятати).

Нехай маємо рівняння `ax^2+ bx+ з = 0`. Для подальшої зручності розділимо його на `a` отримаємо `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Таке рівняння називається наведеним квадратним рівнянням.

Важлива думка уроку: Будь-який квадратний багаточлен, який має коріння, можна розкласти на дужки.Припустимо, що наш можна представити у вигляді `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, де `k` та ` l` – деякі константи.

Подивимося, як розкриються дужки:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Таким чином, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Це трохи відрізняється від класичного трактування теореми Вієта- У ній ми шукаємо коріння рівняння. Я ж пропоную шукати доданки для розкладання на дужки- так не потрібно пам'ятати про мінус із формули (мається на увазі `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Достатньо підібрати два таких числа, сума яких дорівнює середньому коефіцієнту, а твір – вільному члену.

Якщо нам потрібне рішення саме рівняння, то воно очевидне: коріння `x=-k` або `x=-l` (оскільки в цих випадках одна з дужок занулиться, значить, буде рівним нулю і весь вираз).

На прикладі покажу алгоритм, як розкладати квадратний багаточлен на дужки.

Приклад перший. Алгоритм розкладання квадратного тричлена на множники

Шлях у нас є квадртанний тричлен `x^2+5x+4`.

Він наведений (коефіцієнт у `x^2` дорівнює одиниці). Коріння має. (Для вірності можна прикинути дискримінант і переконатися, що він більший за нуль.)

Подальші кроки (їх слід вивчити, виконавши все тренувальні завдання):

1. Виконати наступний запис: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Замість точок залиште вільне місце, туди будемо дописувати відповідні числа та знаки.
2. Розглянути все можливі варіантияк можна розкласти число `4` на добуток двох чисел. Отримаємо пари "кандидатів" на корені рівняння: `2, 2` та `1, 4`.
3. Прикинути, із якої пари можна отримати середній коефіцієнт. Очевидно, що це `1,4`.
4. Записати $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
5. Наступний етап – розставити знаки перед вставленими числами.

   Як зрозуміти і назавжди запам'ятати, які знаки мають бути перед числами у дужках? Спробуйте розкрити їх (дужки). Коефіцієнт перед `x` у першому ступені буде `(±4±1)` (поки що знаків ми не знаємо - потрібно вибрати), і він повинен дорівнювати `5`. Очевидно, що тут будуть два плюси $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Виконайте цю операцію кілька разів (привіт, тренувальні завдання!) і більше проблем із цим ніколи не буде.

Якщо потрібно вирішити рівняння `x^2+5x+4`, то тепер його рішення не складе труднощів. Його коріння: `-4, -1`.

Приклад другий. Розкладання на множники квадратного тричлена з коефіцієнтами різних знаків

Нехай нам потрібно вирішити рівняння `x^2-x-2=0`. Навскидку дискримінант позитивний.

Ідемо алгоритмом.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Розкладання двійки на цілі множники є лише одне: `2 · 1`.
3. Пропускаємо пункт - вибирати нема з чого.
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. Твір наших чисел негативний (`-2` - вільний член), отже, одне їх буде негативне, інше - позитивне.
   Оскільки їхня сума дорівнює `-1` (коефіцієнт при `x`), то негативним буде `2` (інтуїтивне пояснення - двійка більша з двох чисел, воно сильніше "перетягне" в негативний бік). Отримаємо $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).

Третій приклад. Розкладання квадратного тричлена на множники

Рівняння `x^2+5x-84=0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Розкладання 84 на цілі множники: `4·21, 6·14, 12·7, 2·42`.
3. Оскільки нам потрібно, щоб різниця (або сума) чисел дорівнювала 5, то нам підійде пара `7, 12`.
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Сподіваюся, розкладання цього квадратного тричлена на дужкиЗрозуміло.

Якщо потрібно рішення рівняння, то воно: `12, -7`.

Завдання для тренування

Пропоную вашій увазі кілька прикладів, які легко вирішуються за допомогою теореми Вієта.(Приклади взято з журналу "Математика", 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Через кілька років після написання статті з'явився збірник із 150 завдань для розкладання квадратного багаточлена за теоремою Вієта.

Ставте лайки та ставте питання у коментарях!