Формули коріння квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних та комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коріння та розкладання на множники.

Основні формули

Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння(1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна поєднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відомі, то багаточлен другого ступеня можна у вигляді твори сомножителей (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що дійсні числа.
Розглянемо дискримінант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю, то квадратне рівняння (1) має два кратні (рівні) дійсні корені:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант негативний, то квадратне рівняння (1) має два комплексно пов'язані корені:
;
.
Тут - уявна одиниця, ;
і - дійсна та уявна частини коріння:
; .
Тоді

.

Графічна інтерпретація

Якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При , графік перетинає вісь абсцис (вісь ) у двох точках.
При , графік стосується осі абсцис в одній точці.
При , графік не перетинає вісь абсцис.

Нижче наведено приклади таких графіків.

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Висновок формули для коріння квадратного рівняння

Виконуємо перетворення та застосовуємо формули (f.1) та (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для багаточлена другого ступеня як:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
та .
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

Приклад 1

(1.1) .

Рішення

.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний, то рівняння має два дійсні корені:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y = 2 x 2 + 7 x + 3перетинає вісь абсцис у двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь ) у двох точках:
та .
Ці точки є корінням вихідного рівняння (1.1).

Відповідь

;
;
.

Приклад 2

Знайти коріння квадратного рівняння:
(2.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два кратні (рівні) корені:
;
.

Тоді розкладання тричлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y = x 2 - 4 x + 4стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь ) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить у розкладання на множники двічі:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівні корені:
.

Відповідь

;
.

Приклад 3

Знайти коріння квадратного рівняння:
(3.1) .

Рішення

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний, . Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексне коріння:
;
;
.

Тоді


.

Графік функції не перетинає вісь абсцис. Справжнього коріння немає.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції є параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

Відповідь

Справжнього коріння немає. Коріння комплексне:
;
;
.

Бібліографічний опис:Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Єльков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмельова О. В. Способи розв'язання квадратних рівнянь// Юний учений. - 2016. - №6.1. - С. 17-20..02.2019).



Наш проект присвячений способам розв'язання квадратних рівнянь. Мета проекту: навчитися вирішувати квадратні рівняння засобами, які не входять до шкільної програми. Завдання: знайти всі можливі способи розв'язання квадратних рівнянь та навчитися їх використовувати самим та познайомити однокласників із цими способами.

Що таке «квадратні рівняння»?

Квадратне рівняння- рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де a, b, c- Деякі числа ( a ≠ 0), x- Невідоме.

Числа a, b, c називаються коефіцієнтами квадратного рівняння.

• a називається першим коефіцієнтом;
• b називається другим коефіцієнтом;
• c – вільним членом.

А хто ж перший "винайшов" квадратні рівняння?

Деякі алгебраїчні прийоми розв'язання лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому у Стародавньому Вавилоні. Знайдені стародавні вавилонські глиняні таблички, датовані десь між 1800 і 1600 роками до н.е., є ранніми свідченнями про вивчення квадратних рівнянь. На цих табличках викладено методи розв'язання деяких типів квадратних рівнянь.

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першого, а й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та із земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики.

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасним, проте невідомо, як дійшли вавилоняни цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

Вавилонські математики приблизно з IV століття до н. використовували метод доповнення квадрата для вирішення рівнянь з позитивним корінням. Близько 300 року до н. Евклід вигадав загальніший геометричний метод рішення. Першим математиком, який знайшов рішення рівняння з негативним корінням у вигляді алгебраїчної формули, був індійський учений Брахмагупта(Індія, VII століття нашої ери).

Брахмагупта виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

ax2 + bх = с, а>0

У цьому рівнянні коефіцієнти можуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.

В Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань таке: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так учена людина затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

В алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмідається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, виражаючи їх так:

1) "Квадрати рівні корінням", тобто ах2 = bх.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто ах2 = с.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах2 = с.

4) «Квадрати та числа дорівнюють корінням», тобто ах2 + с = bх.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто ах2 + bх = с.

6) «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а не віднімаються. При цьому явно не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр та ал-мукабала. Його рішення, звісно, ​​не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно тому, що в конкретних практичних Завдання воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім їх геометричні докази.

Форми розв'язання квадратних рівнянь на зразок Аль-Хорезмі у Європі було вперше викладено у «Книзі абака», написаної 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел.

Ця книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із цієї книги переходили майже до всіх європейських підручників XIV-XVII ст. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду x2 + bх = с при всіляких комбінаціях знаків та коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі у 1544 р. М. Штіфелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллісеред перших у XVI ст. враховують, крім позитивних, та негативні корені. Лише XVII в. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютоната інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

Розглянемо кілька способів розв'язання квадратних рівнянь.

Стандартні способи розв'язання квадратних рівнянь із шкільної програми:

1. Розкладання лівої частини рівняння на множники.
2. Метод виділення повного квадрата.
3. Розв'язання квадратних рівнянь за формулою.
4. Графічний розв'язок квадратного рівняння.
5. Вирішення рівнянь з використанням теореми Вієта.

Зупинимося докладніше на розв'язання наведених та не наведених квадратних рівнянь за теоремою Вієта.

Нагадаємо, що для вирішення наведених квадратних рівнянь достатньо знайти два числа такі, добуток яких дорівнює вільному члену, а сума – другому коефіцієнту з протилежним знаком.

приклад.x 2 -5x+6=0

Потрібно знайти числа, добуток яких дорівнює 6, а сума 5. Такими числами будуть 3 та 2.

Відповідь: x 1 =2, x 2 =3.

Але можна використовувати цей спосіб і для рівнянь із першим коефіцієнтом не рівним одиниці.

приклад.3x 2 +2x-5=0

Беремо перший коефіцієнт і множимо його на вільний член: x2+2x-15=0

Корінням цього рівняння будуть числа, добуток яких дорівнює - 15, а сума дорівнює - 2. Ці числа - 5 і 3. Щоб знайти коріння вихідного рівняння, отримане коріння ділимо на перший коефіцієнт.

Відповідь: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Розв'язання рівнянь способом "перекидання".

Розглянемо квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0 де а≠0.

Помножуючи обидві його частини а, отримуємо рівняння а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Нехай ах = у, звідки х = у/а; тоді приходимо до рівняння у 2 + by + ас = 0, рівносильному даному. Його коріння у 1 та у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.

Остаточно отримуємо х 1 = у 1/а та х 2 = у 2/а.

При цьому способі коефіцієнт a множиться на вільний член, як "перекидається" до нього, тому його називають способом "перекидання". Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

приклад.2х 2 - 11х + 15 = 0.

"Перекинемо" коефіцієнт 2 до вільного члена і зробивши заміну отримаємо рівняння у 2 - 11у + 30 = 0.

Відповідно до зворотної теореми Вієта

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 = 2,5; у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Відповідь: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

Нехай надано квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Якщо a + b + с = 0 (тобто сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю), то х 1 = 1.

2. Якщо а – b + с = 0, або b = а + с, то х 1 = – 1.

приклад.345х 2 - 137х – 208 = 0.

Так як а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = –208/345.

Відповідь: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

приклад.132х 2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115 = 0), то х 1 = - 1, х 2 = - 115/132

Відповідь: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Існують інші властивості коефіцієнтів квадратного рівняння. але їх використання складніше.

8. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми.

Рис 1. Номограма

Це старий і нині забутий спосіб розв'язання квадратних рівнянь, вміщений с.83 збірника: Брадис В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.

Таблиця XXII. Номограма для вирішення рівняння z 2 + pz + q = 0. Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтами визначити коріння рівняння.

Криволинійна шкала номограми побудована за формулами (рис. 1):

Вважаючи ОС = р, ED = q, ОЕ = а(все в см), з рис.1 подоби трикутників САНі CDFотримаємо пропорцію

звідки після підстановок та спрощень випливає рівняння z 2 + pz + q = 0,причому літера zозначає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.

Рис. 2 Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою номограми

приклади.

1) Для рівняння z 2 - 9z + 8 = 0номограма дає коріння z 1 = 8,0 та z 2 = 1,0

Відповідь: 8,0; 1.0.

2) Розв'яжемо за допомогою номограми рівняння

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Поділимо коефіцієнти цього рівняння на 2 отримаємо рівняння z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограма дає коріння z 1 = 4 та z 2 = 0,5.

Відповідь: 4; 0,5.

9. Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь.

приклад.х 2 + 10 х = 39.

В оригіналі це завдання формулюється так: "Квадрат і десять коренів дорівнюють 39".

Розглянемо квадрат зі стороною х, на його сторонах будуються прямокутники так, що інша сторона кожного дорівнює 2,5, отже, площа кожного дорівнює 2,5x. Отриману фігуру доповнюють потім до нового квадрата АВСD, добудовуючи в кутах чотири рівні квадрати, сторона кожного з них 2,5, а площа 6,25

Рис. 3 Графічний спосіб розв'язання рівняння х 2 + 10х = 39

Площа S квадрата ABCD можна як суму площ: початкового квадрата x 2 , чотирьох прямокутників (4∙2,5x = 10х) і чотирьох прибудованих квадратів (6,25∙ 4 = 25) , тобто. S = х 2 + 10х = 25. Замінюючи х 2 + 10х числом 39, отримаємо що S = 39 + 25 = 64, звідки слід, що сторона квадрата АВСD, тобто. відрізок АВ = 8. Для шуканої сторони х початкового квадрата отримаємо

10. Вирішення рівнянь з використанням теореми Безу.

Теорема Безу. Залишок від розподілу многочлена P(x) на двочлен x - α дорівнює P(α) (тобто значення P(x) при x = α).

Якщо число α є коренем многочлена P(x), цей многочлен ділиться на x -α без залишку.

приклад.х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Розділимо Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1 = 0; х=1, або х-3=0, х=3; Відповідь: х1 =2, х2 =3.

Висновок:Уміння швидко і раціонально вирішувати квадратні рівняння просто необхідне для вирішення складніших рівнянь, наприклад, дробно-раціональних рівнянь, рівнянь вищих ступенів, біквадратних рівнянь, а старшій школі тригонометричних, показових і логарифмічних рівнянь. Вивчивши всі знайдені способи розв'язання квадратних рівнянь, ми можемо порадити однокласникам, крім стандартних способів, розв'язання способом перекидання (6) і розв'язання рівнянь за якістю коефіцієнтів (7), тому що є більш доступними для розуміння.

Література:

1. Брадіс В.М. Чотиризначні математичні таблиці. - М., Просвітництво, 1990.
2. Алгебра 8 клас: підручник для 8 кл. загальноосвіт. установ Макаричів Ю. Н., Міндюк Н. Г., Нешков К. І., Суворова С. Б. під ред. С. А. Теляковського 15-те вид., Дораб. - М: Просвітництво, 2015
3. https://ua.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. Посібник для вчителів. / За ред. В.М. Молодшого. - М: Просвітництво, 1964.

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і з того часу їхнє застосування тільки зростає. Дискримінант дозволяє вирішувати будь-які квадратні рівняння за допомогою загальної формули, яка має такий вигляд:

Формула дискримінанта залежить від рівня багаточлена. Вищеописана формула підійде на вирішення квадратних рівнянь наступного виду:

Дискримінант має такі властивості, які необхідно знати:

* "D" дорівнює 0, коли многочлен має кратне коріння (рівне коріння);

* "D" є симетричним багаточленом щодо коріння багаточлена і тому є багаточленом від його коефіцієнтів; більше, коефіцієнти цього многочлена цілі незалежно від розширення, у якому беруться коріння.

Допустимо, нам дано квадратне рівняння наступного виду:

1 рівняння

За формулою маємо:

Оскільки \, то рівняння має 2 корені. Визначимо їх:

Де можна вирішити рівняння через дискримінант онлайн вирішувачем?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете подивитися відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, то ви можете поставити їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.

Квадратні рівняння. Дискримінант. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Види квадратних рівнянь

Що таке квадратне рівняння? Як воно виглядає? У терміні квадратне рівнянняключовим словом є "квадратне".Воно означає, що у рівнянні обов'язковоповинен бути присутнім ікс у квадраті. Крім нього, у рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) просто ікс (у першому ступені) і просто число (Вільний член).І не повинно бути іксів у мірі, більше двійки.

Говорячи математичною мовою, квадратне рівняння – це рівняння виду:

Тут a, b і с- Якісь числа. b і c- Зовсім будь-які, а а- будь-яке, крім нуля. Наприклад:

Тут а =1; b = 3; c = -4

Тут а =2; b = -0,5; c = 2,2

Тут а =-3; b = 6; c = -18

Ну ви зрозуміли…

У цих квадратних рівняннях зліва присутній повний набірчленів. Ікс у квадраті з коефіцієнтом а,ікс у першому ступені з коефіцієнтом bі вільний член с.

Такі квадратні рівняння називаються повними.

А якщо b= 0, що в нас вийде? У нас пропаде ікс у першому ступені.Від множення на нуль таке трапляється.) Виходить, наприклад:

5х 2 -25 = 0,

2х2-6х=0,

-х 2+4х=0

І т.п. А якщо вже обидва коефіцієнти, bі cрівні нулю, то все ще простіше:

2х 2 = 0,

-0,3 х 2 = 0

Такі рівняння, де чогось не вистачає, називаються неповними квадратними рівняннями.Що цілком логічно.) Прошу помітити, що ікс у квадраті є у всіх рівняннях.

До речі, чому ане може бути рівним нулю? А ви підставте замість анулик.) У нас зникне ікс у квадраті! Рівняння стане лінійним. І вирішується вже зовсім інакше.

Ось і всі основні види квадратних рівнянь. Повні та неповні.

Розв'язання квадратних рівнянь.

Розв'язання повних квадратних рівнянь.

Квадратні рівняння вирішуються просто. За формулами та чіткими нескладними правилами. У першому етапі треба задане рівняння призвести до стандартного виду, тобто. до виду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді – перший етап робити не потрібно. Головне – правильно визначити всі коефіцієнти, а, bі c.

Формула для знаходження коріння квадратного рівняння виглядає так:

Вираз під знаком кореня називається дискримінант. Але про нього – нижче. Як бачимо, для знаходження ікса ми використовуємо тільки a, b і с. Тобто. коефіцієнти із квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і су цю формулу і рахуємо. Підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, у рівнянні:

а =1; b = 3; c= -4. Ось і записуємо:

Приклад практично вирішено:

Це відповідь.

Все дуже просто. І що, думаєте, помилитись не можна? Ну так, як же…

Найпоширеніші помилки – плутанина зі знаками значень a, b і с. Точніше, не з їхніми знаками (де там плутатися?), а з підстановкою негативних значень у формулу для обчислення коріння. Тут рятує докладний запис формули із конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:

Тут a = -6; b = -5; c = -1

Допустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.

Ну і не лінуйтеся. Написати зайву строчку займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма дужками та знаками:

Це здається неймовірно важким, так старанно розписувати. Але це лише здається. Спробуйте. Ну, чи вибирайте. Що краще, швидко, чи правильно? Крім того, я вас порадую. Через деякий час відпаде потреба так ретельно розписувати. Саме правильно виходитиме. Особливо, якщо застосовуватимете практичні прийоми, що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться просто і без помилок!

Але, часто, квадратні рівняння виглядають трохи інакше. Наприклад, ось так:

Дізналися?) Так! Це неповні квадратні рівняння.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь.

Їх також можна вирішувати за загальною формулою. Треба тільки правильно збагнути, чому тут дорівнюють a, b і с.

Зрозуміли? У першому прикладі a = 1; b = -4;а c? Його взагалі нема! Так, правильно. У математиці це означає, що c = 0 ! От і все. Підставляємо у формулу нуль замість c,і все в нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут не з, а b !

Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без жодних формул. Розглянемо перше неповне рівняння. Що там можна зробити у лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.

І що з цього? А те, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли якийсь із множників дорівнює нулю! Не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульові числа, які при перемноженні дадуть нуль!
Не виходить? Отож…
Отже, можна впевнено записати: х 1 = 0, х 2 = 4.

Усе. Це і буде коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці кожного з них у вихідне рівняння, ми отримаємо правильну тотожність 0 = 0. Як бачите, рішення набагато простіше, ніж за загальною формулою. Зауважу, до речі, який ікс буде першим, а яким другим абсолютно байдуже. Зручно записувати по порядку, х 1- те, що менше, а х 2- Те, що більше.

Друге рівняння також можна вирішити просто. Переносимо 9 у праву частину. Отримаємо:

Залишається корінь витягти з 9, і все. Вийде:

Теж два корені . х 1 = -3, х 2 = 3.

Так вирішуються усі неповні квадратні рівняння. Або за допомогою винесення ікса за дужки, або простим перенесенням числа вправо з подальшим вилученням кореня.
Зплутати ці прийоми дуже складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь з ікса отримувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нічого.

Дискримінант. Формула дискримінанту.

Чарівне слово дискримінант ! Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість та обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанта не доводиться! Він простий і безвідмовний у зверненні.) Нагадую найзагальнішу формулу для вирішення будь-якихквадратних рівнянь:

Вираз під знаком кореня називається дискримінантом. Зазвичай дискримінант позначається буквою D. Формула дискримінанта:

D = b 2 - 4ac

І чим же примітний цей вислів? Чому воно заслужило спеціальну назву? У чому сенс дискримінанту?Адже -b,або 2aу цій формулі спеціально ніяк не називають... Літери та літери.

Справа ось у чому. При розв'язанні квадратного рівняння за цією формулою, можливі лише три випадки.

1. Дискримінант позитивний.Це означає, що з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, або погано – питання інше. Важливо, що виходить у принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння – два корені. Два різні рішення.

2. Дискримінант дорівнює нулю.Тоді у вас буде одне рішення. Так як від додавання-віднімання нуля в чисельнику нічого не змінюється. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакові. Але, у спрощеному варіанті, прийнято говорити про одному рішенні.

3. Дискримінант негативний.З негативного числа квадратний корінь не вилучається. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.

Чесно кажучи, при простому розв'язанні квадратних рівнянь, поняття дискримінанта не дуже й потрібне. Підставляємо на формулу значення коефіцієнтів, і вважаємо. Там все само собою виходить, і два корені, і одне, і жодне. Однак, при вирішенні складніших завдань, без знання сенсу та формули дискримінантане обійтись. Особливо – у рівняннях з параметрами. Такі рівняння - вищий пілотаж на ДІА та ЄДІ!)

Отже, як вирішувати квадратні рівняннячерез дискримінант ви згадали. Або навчилися, що теж непогано.) Умієте правильно визначати a, b і с. Вмієте уважнопідставляти їх у формулу коренів та уважнорахувати результат. Ви зрозуміли, що ключове слово тут – уважно?

А тепер прийміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. За які потім буває боляче і прикро.

Прийом перший . Не лінуйтеся перед вирішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає?
Допустимо, після будь-яких перетворень ви отримали таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коріння! Майже, напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b та с.Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс у квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

І знову не кидайтесь! Мінус перед іксом у квадраті може дуже вас засмутити. Забути його легко… Позбудьте мінус. Як? Та як навчали у попередній темі! Потрібно помножити все рівняння на -1. Отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коріння, рахувати дискримінант і дорішувати приклад. Дорішайте самостійно. У вас має вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! По теоремі Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! Перевіряємо останнєрівняння. Тобто. те, яким ми записували формулу коренів. Якщо (як у цьому прикладі) коефіцієнт а = 1, перевірити коріння легко. Досить їх перемножити. Має вийти вільний член, тобто. у разі -2. Зверніть увагу не 2, а -2! Вільний член зі своїм знаком . Якщо не вийшло – значить, уже десь накосячили. Шукайте помилку.

Якщо вийшло – треба скласти коріння. Остання та остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт bз протилежним знаком. У разі -1+2 = +1. А коефіцієнт b, що перед іксом, дорівнює -1. Значить, все правильно!
Жаль, що це так просто тільки для прикладів, де ікс у квадраті чистий, з коефіцієнтом а = 1.Але хоч у таких рівняннях перевіряйте! Дедалі менше помилок буде.

Прийом третій . Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбавтеся дробів! Помножте рівняння на спільний знаменник, як описано в уроці "Як розв'язувати рівняння? Тотожні перетворення". При роботі з дробами помилки чомусь так і лізуть.

До речі, я обіцяв злий приклад із купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.

Щоб не плутатися в мінусах, примножуємо рівняння на -1. Отримуємо:

От і все! Вирішувати – одне задоволення!

Отже, підсумуємо тему.

Практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом у квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові – ліквідуємо дроби множенням всього рівняння на відповідний множник.

4. Якщо ікс у квадраті – чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за теоремою Вієта. Робіть це!

Тепер можна і вирішувати.)

Розв'язати рівняння:

8х 2 – 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 – 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Відповіді (безладно):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х - будь-яке число

х 1 = -3
х 2 = 3

рішень немає

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Все сходиться? Чудово! Квадратні рівняння – не ваш головний біль. Перші три вийшли, а решта – ні? Тоді проблема не у квадратних рівняннях. Проблема у тотожних перетвореннях рівнянь. Прогуляйтеся за посиланням, це корисно.

Чи не зовсім виходить? Чи зовсім не виходить? Тоді вам допоможе Розділ 555. Там всі ці приклади розібрані по кісточках. Показано головніпомилки у вирішенні. Розповідається, зрозуміло, і застосування тотожних перетворень у вирішенні різних рівнянь. Дуже допомагає!

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Перетворення повного квадратного рівняння на неповне виглядає так (для випадку \(b=0\)):

Для випадків, коли \(с=0\) або коли обидва коефіцієнти дорівнюють нулю - все аналогічно.

Зверніть увагу, що про рівність нулю \(a\) не йдеться, воно одно нулю бути не може, тому що в цьому випадку перетворитися на :

Розв'язання неповних квадратних рівнянь.

Насамперед, треба розуміти, що неповне квадратне рівняння все-таки є , тому може бути вирішене як і звичайне квадратне (через ). Для цього просто дописуємо недостатній компонент рівняння з нульовим коефіцієнтом.

Приклад : Знайдіть корені рівняння \(3x^2-27=0\)
Рішення :

		У нас неповне квадратне рівняння з коефіцієнтом (b = 0). Тобто, ми можемо записати рівняння у такому вигляді:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Фактично тут те саме рівняння, що й на початку, але тепер його можна вирішувати як звичайне квадратне. Спочатку виписуємо коефіцієнти.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Обчислимо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Знайдемо коріння рівняння за формулами \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) та \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Записуємо відповідь

Відповідь : \ (x_ (1) = 3 \); \(x_(2)=-3\)

Приклад : Знайдіть корені рівняння \(-x^2+x=0\)
Рішення :

		Знову неповне квадратне рівняння, але тепер нулю дорівнює коефіцієнт (c). Записуємо рівняння як повне.