Hur man löser kvadratroten. Hur man snabbt extraherar kvadratrötter

Bland de många kunskaper som är ett tecken på läskunnighet är alfabetet i första hand. Nästa, samma "tecken"-element, är färdigheterna att addera-multiplikation och, intill dem, men omvänd betydelse, aritmetiska operationer av subtraktion-division. Färdigheterna som lärts i avlägsen skolbarndom tjänar troget dag och natt: TV, tidning, SMS och överallt vi läser, skriver, räknar, adderar, subtraherar, multiplicerar. Och säg mig, har du ofta behövt slå rötter i livet, förutom på landet? Till exempel ett sådant underhållande problem, som kvadratroten av siffran 12345 ... Finns det fortfarande krut i pulverflaskorna? Kan vi göra det? Ja, det finns inget lättare! Var är min miniräknare ... Och utan den, hand-to-hand, svag?

Låt oss först klargöra vad det är - Roten ur tal. Generellt sett betyder "att extrahera en rot från ett tal" att utföra den aritmetiska operationen motsatsen till att höja till en potens - här har du motsatsernas enhet i livets tillämpning. låt oss säga att en kvadrat är en multiplikation av ett tal i sig själv, det vill säga som de lärde ut i skolan, X * X = A eller i en annan notation X2 = A, och i ord - "X i kvadrat är lika med A". Då låter det omvända problemet så här: kvadratroten av talet A, är talet X, som i kvadrat är lika med A.

Extrahera kvadratroten

Från skolkursen i aritmetik är beräkningsmetoder "i en kolumn" kända, som hjälper till att utföra alla beräkningar med de första fyra aritmetiska operationer. Tyvärr ... För kvadratiska, och inte bara kvadratiska, rötter till sådana algoritmer existerar inte. Och i det här fallet, hur extraherar man kvadratroten utan en miniräknare? Baserat på definitionen av kvadratroten finns det bara en slutsats - det är nödvändigt att välja värdet på resultatet genom sekventiell uppräkning av tal, vars kvadrat närmar sig värdet på rotuttrycket. Bara och allt! Innan det har gått en timme eller två kan det beräknas med den välkända metoden att multiplicera till en "kolumn", vilken kvadratrot som helst. Om du har kompetensen räcker ett par minuter för detta. Även en inte helt avancerad miniräknare eller PC-användare gör det i ett svep - framsteg.

Men allvarligt talat, beräkningen av kvadratroten utförs ofta med hjälp av tekniken "artillerigaffel": först tar de ett tal vars kvadrat ungefär motsvarar rotuttrycket. Det är bättre om "vår kvadrat" är något mindre än detta uttryck. Sedan korrigerar de talet efter sin egen kunskapsförståelse, multiplicerar till exempel med två, och ... kvadrerar det igen. Om resultatet är större än talet under roten, successivt justera det ursprungliga numret, gradvis närmar sig sin "kollega" under roten. Som du kan se - ingen miniräknare, bara möjligheten att räkna "i en kolumn". Naturligtvis finns det många vetenskapligt motiverade och optimerade algoritmer för att beräkna kvadratroten, men för "hembruk" ger ovanstående teknik 100% förtroende för resultatet.

Ja, jag glömde nästan, för att bekräfta vår ökade läskunnighet, beräknar vi kvadratroten av det tidigare angivna talet 12345. Vi gör det steg för steg:

1. Ta, rent intuitivt, X=100. Låt oss räkna ut: X * X = 10000. Intuitionen är på topp - resultatet är mindre än 12345.

2. Låt oss försöka, också rent intuitivt, X = 120. Sedan: X * X = 14400. Och igen, med intuition, ordningen - resultatet är mer än 12345.

3. Ovan erhålls en "gaffel" på 100 och 120. Låt oss välja nya nummer - 110 och 115. Vi får respektive 12100 och 13225 - gaffeln smalnar av.

4. Vi försöker på "kanske" X = 111. Vi får X * X = 12321. Detta nummer är redan ganska nära 12345. I enlighet med erforderlig noggrannhet kan "passningen" fortsätta eller stoppas vid det erhållna resultatet. Det är allt. Som utlovat - allt är väldigt enkelt och utan miniräknare.

Lite historia...

Funderar på att använda kvadratrötter fortfarande pytagoreerna, elever i skolan och anhängare av Pythagoras, under 800 år f.Kr. och just där "sprang" in på nya upptäckter inom siffror. Och var kom det ifrån?

1. Lösningen av problemet med extraktion av roten, ger resultatet i form av tal av en ny klass. De kallades irrationella, med andra ord "orimliga", eftersom. de skrivs inte som ett fullständigt nummer. Det mest klassiska exemplet av detta slag är kvadratroten ur 2. Detta fall motsvarar beräkningen av diagonalen för en kvadrat med en sida lika med 1 - här är det, inflytandet från den pythagorasiska skolan. Det visade sig att i en triangel med en mycket specifik enhetsstorlek på sidorna har hypotenusan en storlek som uttrycks av ett tal som "inte har något slut." Så i matematik dök upp

2. Det är känt att det visade sig att detta matematisk operation innehåller en annan hake - extraherar roten, vi vet inte vilken kvadrat av ett tal, positivt eller negativt, är rotuttrycket. Denna osäkerhet, det dubbla resultatet från en operation, skrivs ned.

Studiet av problemen förknippade med detta fenomen har blivit en riktning inom matematiken som kallas teorin om en komplex variabel, vilket är av stor praktisk betydelse inom matematisk fysik.

Det är märkligt att rotbeteckningen - radikal - användes i hans "Universal Arithmetic" av samma allestädes närvarande I. Newton, men exakt modernt utseende Rotuppteckningen har varit känd sedan 1690 från fransmannens bok "Guide to Algebra".

Matematik föddes när en person blev medveten om sig själv och började positionera sig själv som en autonom enhet i världen. Viljan att mäta, jämföra, beräkna vad som omger dig är det som ligger till grund för en av våra dagars grundläggande vetenskaper. Till en början var dessa delar av elementär matematik, som gjorde det möjligt att associera siffror med deras fysiska uttryck, senare började slutsatserna presenteras endast teoretiskt (på grund av deras abstrakthet), men efter ett tag, som en vetenskapsman uttryckte det, " matematik nådde taket av komplexitet när alla tal." Begreppet "kvadratrot" dök upp vid en tidpunkt då det lätt kunde stödjas av empiriska data, som gick utanför beräkningarnas plan.

Hur allt började

Det första omnämnandet av roten, som på det här ögonblicket betecknad som √, registrerades i de babyloniska matematikernas skrifter, som lade grunden för modern aritmetik. Naturligtvis såg de ut lite som den nuvarande formen - forskarna under dessa år använde först skrymmande tabletter. Men under det andra årtusendet f.Kr. e. de kom på en ungefärlig beräkningsformel som visade hur man tar kvadratroten. Bilden nedan visar en sten på vilken babyloniska forskare ristade utdataprocessen √2, och den visade sig vara så korrekt att avvikelsen i svaret endast hittades i tionde decimalen.

Dessutom användes roten om det var nödvändigt att hitta sidan på en triangel, förutsatt att de andra två var kända. Tja, när man löser andragradsekvationer finns det ingen flykt från att extrahera roten.

Tillsammans med de babyloniska verken studerades ämnet för artikeln också i det kinesiska verket "Matematik i nio böcker", och de gamla grekerna kom till slutsatsen att vilket tal som helst från vilket roten inte extraheras utan en rest ger ett irrationellt resultat .

Ursprunget till denna term är associerad med den arabiska representationen av numret: forntida forskare trodde att kvadraten på ett godtyckligt tal växer från roten, som en växt. På latin låter detta ord som radix (man kan spåra ett mönster - allt som har en "rot" semantisk belastning är konsonant, vare sig det är rädisa eller ischias).

Forskare från efterföljande generationer plockade upp denna idé och betecknade den som Rx. Till exempel, på 1400-talet, för att indikera att kvadratroten är hämtad från ett godtyckligt tal a, skrev de R 2 a. Vanlig modernt utseende"tick" √ dök upp först på 1600-talet tack vare Rene Descartes.

Våra dagar

Matematiskt är kvadratroten ur y talet z vars kvadrat är y. Med andra ord är z 2 =y ekvivalent med √y=z. Denna definition är dock endast relevant för den aritmetiska roten, eftersom den antyder ett icke-negativt värde för uttrycket. Med andra ord, √y=z, där z är större än eller lika med 0.

I allmänhet, vilket är giltigt för att bestämma en algebraisk rot, kan värdet på ett uttryck vara antingen positivt eller negativt. På grund av det faktum att z 2 =y och (-z) 2 =y har vi alltså: √y=±z eller √y=|z|.

På grund av det faktum att kärleken till matematik bara har ökat med vetenskapens utveckling, finns det olika manifestationer av anknytning till den, inte uttryckta i torra beräkningar. Till exempel, tillsammans med sådana intressanta händelser som Pi-dagen, firas också kvadratrotens helgdagar. De firas nio gånger på hundra år, och bestäms enligt följande princip: siffrorna som anger dagen och månaden i ordning måste vara kvadratroten av året. Ja, in nästa gång Denna högtid kommer att firas den 4 april 2016.

Egenskaper för kvadratroten på fältet R

Nästan alla matematiska uttryck har en geometrisk grund, detta öde passerade inte och √y, som definieras som sidan av en kvadrat med area y.

Hur hittar man roten till ett tal?

Det finns flera beräkningsalgoritmer. Den enklaste, men samtidigt ganska besvärliga, är den vanliga aritmetiska beräkningen, som är följande:

1) från talet vars rot vi behöver subtraheras udda tal i tur och ordning - tills resten av utdata är mindre än det subtraherade eller jämna noll-. Antalet drag blir så småningom det önskade antalet. Beräkna till exempel kvadratroten ur 25:

Nästa udda nummer är 11, resten är: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

För sådana fall finns det en Taylor-serieexpansion:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , där n tar värden från 0 till

+∞ och |y|≤1.

Grafisk representation av funktionen z=√y

Betrakta en elementär funktion z=√y i fältet för reella tal R, där y är större än eller lika med noll. Hennes diagram ser ut så här:

Kurvan växer från origo och korsar nödvändigtvis punkten (1; 1).

Egenskaper för funktionen z=√y i fältet för reella tal R

1. Definitionsdomänen för den betraktade funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår).

2. Värdeintervallet för den betraktade funktionen är intervallet från noll till plus oändlighet (noll ingår igen).

3. Funktionen tar minimivärdet (0) endast vid punkten (0; 0). Det finns inget maxvärde.

4. Funktionen z=√y är varken jämn eller udda.

5. Funktionen z=√y är inte periodisk.

6. Det finns bara en skärningspunkt för grafen för funktionen z=√y med koordinataxlarna: (0; 0).

7. Skärningspunkten för grafen för funktionen z=√y är också nollpunkten för denna funktion.

8. Funktionen z=√y växer kontinuerligt.

9. Funktionen z=√y tar bara positiva värden, därför upptar dess graf den första koordinatvinkeln.

Alternativ för att visa funktionen z=√y

Inom matematiken, för att underlätta beräkningen av komplexa uttryck, används ibland kraftformen att skriva kvadratroten: √y=y 1/2. Det här alternativet är praktiskt, till exempel för att höja en funktion till en potens: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Denna metod är också en bra representation för differentiering med integration, eftersom kvadratroten tack vare den representeras av en vanlig potensfunktion.

Och i programmering är ersättningen för symbolen √ kombinationen av bokstäverna sqrt.

Det är värt att notera att i detta område är kvadratroten mycket efterfrågad, eftersom den är en del av de flesta geometriska formler som är nödvändiga för beräkningar. Själva räknealgoritmen är ganska komplicerad och bygger på rekursion (en funktion som kallar sig själv).

Kvadratroten i det komplexa fältet C

I stort sett var det ämnet för denna artikel som stimulerade upptäckten av området komplexa tal C, eftersom matematiker hemsöktes av frågan om att få en jämn gradsrot från ett negativt tal. Så här såg den imaginära enheten i ut, som kännetecknas av en mycket intressant egenskap: dess kvadrat är -1. Tack vare detta fick andragradsekvationer och med en negativ diskriminant en lösning. I C, för kvadratroten, är samma egenskaper relevanta som i R, det enda är att begränsningarna för rotuttrycket tas bort.

Arean av en kvadratisk tomt är 81 dm². Hitta hans sida. Antag att längden på sidan av kvadraten är X decimeter. Då är tomtens yta X² kvadratdecimeter. Eftersom, enligt villkoret, denna yta är 81 dm², alltså X² = 81. Längden på sidan av en kvadrat är ett positivt tal. Ett positivt tal vars kvadrat är 81 är talet 9. När man löste problemet krävdes det att man hittade talet x, vars kvadrat är 81, det vill säga lösa ekvationen X² = 81. Denna ekvation har två rötter: x 1 = 9 och x 2 \u003d - 9, eftersom 9² \u003d 81 och (- 9)² \u003d 81. Båda talen 9 och - 9 kallas kvadratrötterna av talet 81.

Observera att en av kvadratrötterna X= 9 är ett positivt tal. Det kallas den aritmetiska kvadratroten ur 81 och betecknas √81, så √81 = 9.

Aritmetisk kvadratrot ur ett tal aär ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika med a.

Till exempel är talen 6 och -6 kvadratrötterna ur 36. Talet 6 är den aritmetiska kvadratroten ur 36, eftersom 6 är ett icke-negativt tal och 6² = 36. Talet -6 är inte en aritmetisk rot.

Aritmetisk kvadratrot ur ett tal a betecknas enligt följande: √ a.

Tecknet kallas det aritmetiska kvadratrottecknet; a kallas ett rotuttryck. Uttryck √ a läsa så här: den aritmetiska kvadratroten ur ett tal a. Till exempel, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. I de fall det står klart att vi pratar om den aritmetiska roten säger de kort: "kvadratroten av a«.

Att hitta kvadratroten ur ett tal kallas att ta kvadratroten. Denna åtgärd är det omvända till kvadrering.

Alla tal kan kvadreras, men inte alla tal kan vara kvadratrötter. Till exempel är det omöjligt att extrahera kvadratroten av talet - 4. Om en sådan rot fanns, beteckna den med bokstaven X, vi skulle få fel likhet x² \u003d - 4, eftersom det finns ett icke-negativt tal till vänster och ett negativt till höger.

Uttryck √ a bara vettigt när a ≥ 0. Definitionen av kvadratroten kan kortfattat skrivas som: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Jämlikhet (√ a)² = a giltig för a ≥ 0. Alltså för att se till att kvadratroten av ett icke-negativt tal a lika b, d.v.s. att √ a =b måste du kontrollera att följande två villkor är uppfyllda: b ≥ 0, b² = a.

Kvadratroten ur en bråkdel

Låt oss räkna ut. Observera att √25 = 5, √36 = 6, och kontrollera om likheten håller.

Som och , då är jämställdheten sann. Så, .

Sats: Om en a≥ 0 och b> 0, det vill säga roten till bråket lika med roten från täljaren dividerat med roten av nämnaren. Det krävs för att bevisa att: och .

Sedan √ a≥0 och √ b>0, då.

Genom egenskapen att höja en bråkdel till en potens och bestämma kvadratroten satsen är bevisad. Låt oss titta på några exempel.

Beräkna , enligt den beprövade satsen .

Andra exemplet: Bevisa det , om a ≤ 0, b < 0. .

Ett annat exempel: Beräkna .

Kvadratrotstransformation

Ta ut multiplikatorn under rotens tecken. Låt ett uttryck ges. Om en a≥ 0 och b≥ 0, sedan genom satsen på produktens rot kan vi skriva:

En sådan omvandling kallas att faktorisera rottecknet. Betrakta ett exempel;

Beräkna kl X= 2. Direkt substitution X= 2 i det radikala uttrycket leder till komplicerade beräkningar. Dessa beräkningar kan förenklas om vi först tar bort faktorerna under rottecknet: . Genom att nu ersätta x = 2 får vi:.

Så när man tar bort faktorn under rottecknet, representeras det radikala uttrycket som en produkt där en eller flera faktorer är kvadraterna av icke-negativa tal. Rotproduktsatsen tillämpas sedan och roten av varje faktor tas. Betrakta ett exempel: Förenkla uttrycket A = √8 + √18 - 4√2 genom att ta bort faktorerna under rottecknet i de två första termerna, vi får:. Vi betonar att jämställdheten gäller endast när a≥ 0 och b≥ 0. om a < 0, то .

Ganska ofta, när vi löser problem, ställs vi inför ett stort antal som vi behöver extrahera Roten ur. Många elever bestämmer sig för att detta är ett misstag och börjar lösa hela exemplet. Detta bör under inga omständigheter göras! Det finns två anledningar till detta:

Rötter från stora siffror faktiskt förekommer i uppgifter. Speciellt i text;
Det finns en algoritm med vilken dessa rötter betraktas nästan verbalt.

Vi kommer att överväga denna algoritm idag. Vissa saker kanske verkar obegripliga för dig. Men om du uppmärksammar den här lektionen kommer du att få det mest kraftfulla vapnet mot kvadratrötter.

Så algoritmen:

Begränsa den önskade roten ovanför och under till multiplar av 10. Därför kommer vi att minska sökintervallet till 10 tal;
Från dessa 10 nummer, sålla bort de som definitivt inte kan vara rötter. Som ett resultat kommer 1-2 nummer kvar;
Kvadra dessa 1-2 siffror. Den av dem, vars kvadrat är lika med det ursprungliga numret, kommer att vara roten.

Innan vi tillämpar denna algoritm fungerar i praktiken, låt oss titta på varje enskilt steg.

Rötter begränsning

Först och främst måste vi ta reda på mellan vilka tal vår rot ligger. Det är mycket önskvärt att talen är en multipel av tio:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Vi får en serie siffror:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Vad ger dessa siffror oss? Det är enkelt: vi får gränser. Ta till exempel talet 1296. Det ligger mellan 900 och 1600. Därför kan dess rot inte vara mindre än 30 och större än 40:

[Bildtext]

Detsamma är med alla andra tal som du kan hitta kvadratroten från. Till exempel, 3364:

[Bildtext]

Istället för ett obegripligt tal får vi alltså ett mycket specifikt område där den ursprungliga roten ligger. För att ytterligare begränsa sökningens omfattning, gå till det andra steget.

Eliminering av uppenbart överflödiga siffror

Så vi har 10 nummer - kandidater för roten. Vi fick dem väldigt snabbt, utan komplext tänkande och multiplikation i en kolumn. Det är dags att gå vidare.

Tro det eller ej, nu minskar vi antalet kandidatnummer till två – och återigen utan några komplicerade beräkningar! tillräckligt för att veta särskild regel. Här är det:

Den sista siffran i kvadraten beror bara på den sista siffran originalnummer.

Det räcker med andra ord att titta på den sista siffran i kvadraten - och vi kommer omedelbart att förstå var det ursprungliga numret slutar.

Det finns bara 10 siffror som kan stå på sista plats. Låt oss försöka ta reda på vad de blir till när de är kvadratiska. Ta en titt på tabellen:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Denna tabell är ytterligare ett steg mot att beräkna roten. Som du kan se visade sig siffrorna på den andra raden vara symmetriska med avseende på de fem. Till exempel:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Som du kan se är den sista siffran densamma i båda fallen. Och det betyder att till exempel roten av 3364 nödvändigtvis slutar på 2 eller 8. Å andra sidan kommer vi ihåg begränsningen från föregående stycke. Vi får:

[Bildtext]

De röda rutorna visar att vi inte känner till denna siffra ännu. Men trots allt ligger roten mellan 50 och 60, där det bara finns två tal som slutar på 2 och 8:

[Bildtext]

Det är allt! Av alla möjliga rötter lämnade vi bara två alternativ! Och detta är i det svåraste fallet, eftersom den sista siffran kan vara 5 eller 0. Och då kommer det att finnas den enda kandidaten för rötterna!

Slutliga beräkningar

Så vi har 2 kandidatnummer kvar. Hur vet du vilken som är roten? Svaret är uppenbart: kvadrera båda siffrorna. Den som kvadrerar kommer att ge det ursprungliga numret och kommer att vara roten.

Till exempel, för talet 3364, hittade vi två kandidatnummer: 52 och 58. Låt oss kvadrera dem:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Det är allt! Det visade sig att roten är 58! Samtidigt, för att förenkla beräkningarna, använde jag formeln för kvadraterna av summan och skillnaden. Tack vare detta behövde du inte ens multiplicera siffrorna i en kolumn! Detta är en annan nivå av optimering av beräkningar, men det är naturligtvis helt valfritt :)

Exempel på rotberäkning

Teori är bra såklart. Men låt oss testa det i praktiken.

[Bildtext]

Låt oss först ta reda på mellan vilka nummer talet 576 ligger:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Låt oss nu titta på den sista siffran. Det är lika med 6. När händer detta? Endast om roten slutar på 4 eller 6. Vi får två tal:

Det återstår att kvadrera varje nummer och jämföra med originalet:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Bra! Den första kvadraten visade sig vara lika med det ursprungliga numret. Så detta är roten.

Uppgift. Beräkna kvadratroten:
[Bildtext]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Låt oss titta på den sista siffran:

1369 → 9;
33; 37.

Låt oss kvadrera det:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Här är svaret: 37.

Uppgift. Beräkna kvadratroten:
[Bildtext]

Vi begränsar antalet:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Låt oss titta på den sista siffran:

2704 → 4;
52; 58.

Låt oss kvadrera det:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Vi fick svaret: 52. Det andra talet kommer inte längre att behöva kvadratiseras.

Uppgift. Beräkna kvadratroten:
[Bildtext]

Vi begränsar antalet:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Låt oss titta på den sista siffran:

4225 → 5;
65.

Som du kan se, efter det andra steget, återstår bara ett alternativ: 65. Detta är den önskade roten. Men låt oss ändå ruta det och kontrollera:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Allt är korrekt. Vi skriver ner svaret.

Slutsats

Ack, inte bättre. Låt oss ta en titt på orsakerna. Det finns två av dem:

Det är förbjudet att använda miniräknare vid något normalt matteprov, vare sig det är GIA eller Unified State Examination. Och för att bära in en miniräknare i klassrummet kan de lätt kastas ut från provet.
Var inte som dumma amerikaner. Som inte är som rötter - de kan inte lägga till två primtal. Och vid åsynen av bråkdelar blir de i allmänhet hysteriska.

I den här artikeln kommer vi att presentera begreppet roten till ett tal. Vi kommer att agera sekventiellt: vi börjar med kvadratroten, från den går vi vidare till beskrivningen kubikroten, efter det generaliserar vi begreppet rot genom att definiera roten till den n:e graden. Samtidigt kommer vi att introducera definitioner, notation, ge exempel på rötter och ge nödvändiga förklaringar och kommentarer.

Kvadratrot, aritmetisk kvadratrot

För att förstå definitionen av roten till ett tal, och kvadratroten i synnerhet, måste man ha . Vid denna tidpunkt kommer vi ofta att möta andra potensen av ett tal - kvadraten av ett tal.

Låt oss börja med kvadratrotsdefinitioner.

Definition

Kvadratroten ur aär talet vars kvadrat är a .

För att ta med exempel på kvadratrötter, ta flera siffror, till exempel 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , och kvadrera dem, vi får talen 25 , 0.09 , 0.09 respektive 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09(0,3)2=0,3 0,3=0,09 och 02=00=0). Sedan enligt definitionen ovan är 5 kvadratroten ur 25, −0,3 och 0,3 är kvadratrötterna ur 0,09, och 0 är kvadratroten ur noll.

Det bör noteras att inte för något tal existerar a, vars kvadrat är lika med a. För alla negativa tal a finns det nämligen nej riktigt nummer b , vars kvadrat skulle vara lika med a . Faktum är att likheten a=b 2 är omöjlig för något negativt a , eftersom b 2 är ett icke-negativt tal för något b . Således, på mängden reella tal finns det ingen kvadratrot ur ett negativt tal. Med andra ord, på uppsättningen av reella tal är kvadratroten av ett negativt tal inte definierad och har ingen betydelse.

Detta leder till en logisk fråga: "Finns det en kvadratrot av a för något icke-negativt a"? Svaret är ja. Skälet för detta faktum kan betraktas som en konstruktiv metod som används för att hitta värdet av kvadratroten.

Då uppstår följande logiska fråga: "Vad är antalet av alla kvadratrötter av ett givet icke-negativt tal a - ett, två, tre eller till och med fler"? Här är svaret på det: om a är noll, så är den enda kvadratroten av noll noll; om a är något positivt tal, då är antalet kvadratrötter från talet a lika med två, och rötterna är . Låt oss underbygga detta.

Låt oss börja med fallet a=0 . Låt oss först visa att noll verkligen är kvadratroten ur noll. Detta följer av den uppenbara likheten 0 2 =0·0=0 och definitionen av kvadratroten.

Låt oss nu bevisa att 0 är den enda kvadratroten ur noll. Låt oss använda den motsatta metoden. Låt oss anta att det finns något icke-nolltal b som är kvadratroten ur noll. Då måste villkoret b 2 =0 vara uppfyllt, vilket är omöjligt, eftersom värdet på uttrycket b 2 är positivt för varje b som inte är noll. Vi har kommit till en motsägelse. Detta bevisar att 0 är den enda kvadratroten ur noll.

Låt oss gå vidare till fall där a är ett positivt tal. Ovan sa vi att det alltid finns en kvadratrot ur ett icke-negativt tal, låt b vara kvadratroten ur a. Låt oss säga att det finns ett tal c , som också är kvadratroten av a . Då, enligt kvadratrotens definition, är likheterna b 2 =a och c 2 =a giltiga, varav det följer att b 2 −c 2 =a−a=0, men eftersom b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , sedan (b−c) (b+c)=0 . Den resulterande jämlikheten i kraft egenskaper för åtgärder med reella tal endast möjligt när b−c=0 eller b+c=0 . Således är talen b och c lika eller motsatta.

Om vi antar att det finns ett tal d, som är en annan kvadratrot av talet a, så bevisas det genom resonemang liknande de som redan givits att d är lika med talet b eller talet c. Så antalet kvadratrötter av ett positivt tal är två, och kvadratrötterna är motsatta tal.

För bekvämligheten av att arbeta med kvadratrötter negativ rot skiljer från det positiva. För detta ändamål introducerar den definition av aritmetisk kvadratrot.

Definition

Aritmetisk kvadratrot ur ett icke-negativt tal aär ett icke-negativt tal vars kvadrat är lika med a .

För den aritmetiska kvadratroten av talet a accepteras notationen. Tecknet kallas det aritmetiska kvadratrottecknet. Det kallas också för radikalens tecken. Därför kan man delvis höra både "root" och "radikal", vilket betyder samma objekt.

Talet under det aritmetiska kvadratrottecknet kallas rotnummer, och uttrycket under rottecknet - radikalt uttryck, medan termen "radikalt antal" ofta ersätts med "radikalt uttryck". Till exempel, i notationen är talet 151 ett radikalt tal, och i notationen är uttrycket a ett radikalt uttryck.

Vid läsning utelämnas ofta ordet "aritmetik", till exempel läses posten som "kvadratroten ur sju komma tjugonio hundradelar." Ordet "aritmetik" uttalas bara när de vill betona att vi pratar om den positiva kvadratroten ur ett tal.

I ljuset av den införda notationen följer det av definitionen av den aritmetiska kvadratroten att för varje icke-negativt tal a .

Kvadratrötterna av ett positivt tal a skrivs med det aritmetiska kvadratrottecknet som och . Till exempel är kvadratrötterna av 13 och . Den aritmetiska kvadratroten ur noll är noll, det vill säga . För negativa siffror a kommer vi inte att tillskriva posterna betydelse förrän vi studerar komplexa tal. Till exempel är uttrycken och meningslösa.

Utifrån definitionen av en kvadratrot bevisas egenskaper hos kvadratrötter, som ofta används i praktiken.

För att avsluta detta underavsnitt, noterar vi att kvadratrötterna av ett tal är lösningar av formen x 2 =a med avseende på variabeln x .

kubrot av

Definition av kubroten av talet a ges på ett liknande sätt som definitionen av kvadratroten. Bara det är baserat på konceptet med en kub av ett tal, inte en kvadrat.

Definition

Kubroten av en ett tal vars kub är lika med a kallas.

Låt oss ta exempel kubrötter . För att göra detta, ta flera siffror, till exempel 7 , 0 , −2/3 , och kub dem: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Sedan kan vi, baserat på definitionen av kubroten, säga att talet 7 är kubroten ur 343, 0 är kubroten ur noll och −2/3 är kubroten ur −8/27.

Det kan visas att kubroten av talet a, till skillnad från kvadratroten, alltid existerar, och inte bara för icke-negativ a, utan även för valfritt reellt tal a. För att göra detta kan du använda samma metod som vi nämnde när vi studerade kvadratroten.

Dessutom finns det bara en kubrot av ett givet tal a. Låt oss bevisa det sista påståendet. För att göra detta, överväg tre fall separat: a är ett positivt tal, a=0 och a är ett negativt tal.

Det är lätt att visa att för positivt a kan kubroten av a varken vara negativ eller noll. Låt b vara kubroten till a , då kan vi per definition skriva likheten b 3 =a . Det är tydligt att denna likhet inte kan vara sann för negativ b och för b=0, eftersom b 3 =b·b·b i dessa fall blir ett negativt tal respektive noll. Så kubikroten av ett positivt tal a är ett positivt tal.

Antag nu att det förutom talet b finns ytterligare en kubrot från talet a, låt oss beteckna det c. Då c3 =a. Därför b 3 −c 3 =a−a=0 , men b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 + b c+c 2)(detta är den förkortade multiplikationsformeln skillnad på kuber), varav (b−c) (b2 +b c+c2)=0 . Den resulterande likheten är endast möjlig när b−c=0 eller b 2 +b c+c 2 =0 . Från den första likheten har vi b=c , och den andra likheten har inga lösningar, eftersom dess vänstra sida är ett positivt tal för alla positiva tal b och c som summan av tre positiva termer b 2 , b c och c 2 . Detta bevisar det unika hos kubroten av ett positivt tal a.

För a=0 är den enda kubroten av a noll. Faktum är att om vi antar att det finns ett tal b , som är en kubrot av noll som inte är noll, måste likheten b 3 =0 gälla, vilket är möjligt endast när b=0 .

För negativt a kan man argumentera liknande fallet för positivt a . Först visar vi att kubroten av ett negativt tal inte kan vara lika med varken ett positivt tal eller noll. För det andra antar vi att det finns en andra kubrot av ett negativt tal och visar att det nödvändigtvis kommer att sammanfalla med det första.

Så det finns alltid en kubrot av ett givet reellt tal a, och bara en.

Låt oss ge definition av aritmetisk kubrot.

Definition

Aritmetisk kubrot av ett icke-negativt tal a ett icke-negativt tal vars kub är lika med a kallas.

Den aritmetiska kubroten av ett icke-negativt tal a betecknas som , tecknet kallas tecknet för den aritmetiska kubroten, talet 3 i denna notation kallas rotindikator. Siffran under rottecknet är rotnummer, är uttrycket under rottecknet radikalt uttryck.

Även om den aritmetiska kubroten endast definieras för icke-negativa tal a, är det också bekvämt att använda poster där negativa tal står under det aritmetiska kubrottecknet. Vi kommer att förstå dem på följande sätt: , där a är ett positivt tal. Till exempel, .

Vi kommer att prata om egenskaperna hos kubrötter i den allmänna artikeln egenskaper hos rötter.

Att beräkna värdet på en kubrot kallas att extrahera en kubrot, denna åtgärd diskuteras i artikeln extrahera rötter: metoder, exempel, lösningar.

För att avsluta detta underavsnitt säger vi att kubroten till a är en lösning av formen x 3 =a.

N:te rot, aritmetisk rot av n

Vi generaliserar begreppet rot från ett tal - vi introducerar bestämning av den n:te roten för n.

Definition

n:te roten av enär ett tal vars n:te potens är lika med a.

Från denna definition är det tydligt att roten till den första graden från talet a är talet a själv, eftersom när vi studerade graden med en naturlig indikator tog vi en 1 = a.

Ovan övervägde vi specialfall av roten av den n:e graden för n=2 och n=3 - kvadratroten och kubroten. Det vill säga att kvadratroten är roten till andra graden och kubroten är roten till tredje graden. För att studera rötterna till den n:e graden för n=4, 5, 6, ... är det bekvämt att dela upp dem i två grupper: den första gruppen - rötterna till jämna grader (det vill säga för n=4, 6 , 8, ...), den andra gruppen - rötterna udda grader (det vill säga för n=5, 7, 9, ... ). Detta beror på det faktum att rötterna av jämna grader liknar kvadratroten, och rötterna till udda grader liknar kubikroten. Låt oss ta itu med dem i tur och ordning.

Vi börjar med rötter vars krafter är jämna tal 4, 6, 8, ... Som vi redan har sagt är de analoga med kvadratroten ur a. Det vill säga, roten till en jämn grad från talet a existerar endast för icke-negativ a. Dessutom, om a=0, så är roten av a unik och lika med noll, och om a>0, så finns det två rötter av en jämn grad från talet a, och de är motsatta tal.

Låt oss motivera det sista påståendet. Låt b vara en rot av jämn grad (vi betecknar det som 2 m, där m är något naturligt nummer) från nummer a . Antag att det finns ett tal c - ytterligare 2 m rot av a . Då b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Men vi känner till formen b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2), sedan (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2)=0. Av denna likhet följer att b−c=0 , eller b+c=0 , eller b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2 =0. De två första likheterna betyder att talen b och c är lika eller b och c är motsatta. Och den sista likheten är endast giltig för b=c=0, eftersom dess vänstra sida innehåller ett uttryck som är icke-negativt för alla b och c som summan av icke-negativa tal.

När det gäller rötterna av den n:e graden för udda n, liknar de kubroten. Det vill säga roten till vilken udda grad som helst från talet a finns för vilket reellt tal a som helst, och för ett givet tal a är det unikt.

Det unika hos roten av udda grad 2·m+1 från talet a bevisas i analogi med beviset för kubrotens unikhet från en . Bara här istället för jämställdhet a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) en likhet av formen b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +... +c 2 m). Uttrycket i den sista parentesen kan skrivas om som b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Till exempel, för m=2 har vi b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). När a och b båda är positiva eller båda negativa är deras produkt ett positivt tal, då är uttrycket b 2 +c 2 +b·c , som står inom parentes för den högsta graden av häckning, positivt som summan av positiva tal. När vi nu successivt går till uttrycken inom parentes för de tidigare häckningsgraderna ser vi till att de också är positiva som summan av positiva tal. Som ett resultat får vi att likheten b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +... +c 2 m)=0 endast möjligt när b−c=0 , det vill säga när talet b är lika med talet c .

Det är dags att ta itu med notationen av den n:e gradens rötter. För detta är det givet bestämning av den aritmetiska roten av den n:e graden.

Definition

Den aritmetiska roten av den n:e graden av ett icke-negativt tal a ett icke-negativt tal kallas, vars n:te potens är lika med a.